2.1.4 函数的奇偶性 课件 26张

(共26张PPT)
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：
它关于什么对称？
而我们所学习的函数图像也有类似的
对称现象，请看下面的函数图像。
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
1
-1
f(x)=x2
（1）
（2）
-x
x
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
例如：函数f(x)=x2 ，如下：
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x2
f(-1)=f(1)
f(-2)=f(2)
f(-x)=f(x)
结论:当自变量x任取定义域
中的一对相反数时,对应的
函数值相等，即f(-x)=f(x)
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1)
f(-2)= - f(2)
f(-x)= - f(x)
-x
x
结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)
函数奇偶性的定义:
偶函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,
都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.
理解定义
4
-2
函数具有奇偶性的前提是什么？
函数的定义域关于原点对称
对于奇、偶函数定义的几点说明:
(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，
即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就
是说函数f(x) 具有奇偶性。
在线测试
1、对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？
（1）若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2) ( )
（2）若f(-2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数（ ）
（3）若f(-2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数（ ）
2、已知函数f(x)是偶函数，且f（3）=3，则f(-3)=（ ）
A、-3 B、3 C、0 D、无法确定
3、下列四个结论：
偶函数的图像一定与y轴相交；
奇函数的图像一定过原点；
偶函数的图像关于y轴对称；
奇函数y=f(x)(x)的图像必过（-a,f(a)）
表述正确的个数是
A、1 B、 2 C、3 D、4

4、已知函数f(x)是奇函数，且f(3)=3，则f(-3)等于（ ）
A、-3 B、3 C、0 D、无法确定
5、已知函数f(x)=x3，-5≤x<5，则下列结论正确的是（ ）
（A） 函数f(x)是奇函数
（B）函数f(x)的图像关于原点中心对称
（C）函数定义域中由无数多个x，使得f(-x)=-f(x)
（D）函数f(x)的定义域是关于原点对称的区域
（1）图像法
（2）定义法
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y
x
y
x
y
x
典例详解
奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.


偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.
o
y
x
例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。
第一课时【互动探究案】例2、已知函数y=f(x)是偶函数，且知道x ≥0是的图像，请作出另一半图象。
y
x
例3. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+(-x)
= -x3-x
= -(x3+x)
即 f(-x)= - f(x)
∴f(x)为奇函数
解: 定义域为R
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a
=3x4+6x2 +a
即 f(-x)= f(x)
∴f(x)为偶函数
说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.
用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断
定义域是否关于原点对称;
(2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系;
若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;
若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数.
(3)作出结论.
f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。
练习: 说出下列函数的奇偶性:
①f(x)=x4 ________
③ f(x)=x ________
④ f(x)=x -2 __________
⑤ f(x)=x5 __________
⑥f(x)=x -3 _______________
② f(x)= x -1 __________
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义域R内:
若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？
x
y
0
1
2
f(x)=2x+1
-1
分析：函数的定义域为R
但是f(-x)=2(-x)+1
= -2x+1
∴ f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠ f(x)
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）
如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
(1) f(x)= (2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4)
解: ∵定义域不关于原点 对 称
或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16;
f(4)在定义域里没有意义.
∴f(x)为非奇非偶函数
解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数
思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，
①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；
②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。

2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称.

3判断奇偶性方法：图象法，定义法。

4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提