3.7 探索与表达规律 学案
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第三章 整式及其加减
7 探索与表达规律
自主预习
1.探索数字型的规律
（1）数字的变化规律：注意各个数与___________之间的倍分关系，平方关系等，对于分数要对_____
____________________分别考虑。
（2）算式的变化规律：仔细观察前后两个等式的相同点与不同点，确定___________与____________变化的规律。
2.探索图形型的规律
（1）图形拼接：注意图形的拼接变化特点，计算时要__________重复的；
（2）图形的增长：图形的增长变化，但总体形状不变，从增加的数量与___________变化的联系入手找出规律。
课堂巩固
知识点1：探索数字型的规律
1.给定一列按规律排列的数：，，，，…，则这列数的第6个数是（ ）
A. B. C. D.
2.已知：一组数1，3，5，7，9…，按此规律，则第n个数是_____________。
3.有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12…它的每一项可以用式子2n（n是正整数）来表示，那么有规律排列的一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，…
（1）它的每一项可用怎样的式子来表示；
（2）它的第100个数是多少？
（3）-2015是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
知识点2：探索图形型的规律
4.一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接。
（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
5.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
第5个图形有多少颗黑色棋子？
第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由。
课后提升
1.观察下列图形：
它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形的“☆”有（ ）
A.57个 B.60个 C.63个 D.85个
2.3的正整数次幂：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561…观察归纳，可得32007的个位数字是（ ）
A.1 B.3 C.7 D.9
3.下列图形都是由同样大小的五角星按一定规律组成，图①中一共有2个五角星，图②中一共有8个五角星，图③中一共有18个五角星，…，则图⑥中的五角星个数为（ ）
A.50 B.64 C.68 D.72
4.已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是____________。
5.观察下列一组数：，，，，，……，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是___________。
6.如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n个图中的阴影部分小正方形的个数是___________。
7.如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；……按这样的规律下去，第6幅图中有___________个正方形。
8.有若干个数，第2个记为a1，第2个记为a2，…，第n个记为an。若a1=，第2个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数。
（1）计算a2，a3，a4的值。
（2）根据以上计算结果，可求得a2015=____________，a2016=____________。
创新探究
9.观察下列等式：
①1×3+1=22 ②3×5+1=42 ③5×7+1=62 ……
（1）请你按照上述三个等式的规律写出第④个，第⑤个等式；
（2）请猜想，第n个等式（n为正整数）应怎样表示？
参考答案就解析
自主预习
1.（1）序号 分子 分母 （2）不同点 序号
2.（1）减去 （2）序号
课堂巩固
1.A 2.2n-1
3.解：（1）它的每一项可用式子(-1)n+1n（n是正整数）来表示。
（2）它的第100个数是-100。
（3）-2015不是这列数中的数。
4.解：（1）一张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人，2张长方形餐桌的四周可坐4×2+2=10人，3张长方形餐桌四周可坐4×3+2=14人，…n张餐桌四周可坐（4n+2）人；所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4+2=18人，8张餐桌的四周可坐4×8+2=34人；
（2）设这样的餐桌需要需要x张，由题意得4x+2=90，解得x=22.
答：这样的餐桌需要22张。
5.解：（1）第5个图形有18 颗黑色棋子。
（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，由题意，得3（n+1）=2013.
解得n=670，所以第670个图形有2013颗黑色棋子。
课后提升
1.B
2.C 解析：观察发现：3n个位数字是3，9，7，1四个一循环，所以2007÷4=501……3，即它的个位阿胡子与33的个位数字一样是7，故选C。
3.D 解析：图①有2×12=2个，图②有2×22=8个，图③有2×32=18个，……图⑥就是2×62=72.故先D。
4.2n
5. 解析：分子依次为1，3，5，7，9，…，可表示为2n-1；分子是连续奇数，分母均为完全平方数，分母依次为22，32，42，52，62，…，分别用(n+1)2表示，故答案为。
6.n(n+1)+2 解析：根据图形可知：第一个图形中阴影部分小正方形个数为4=2+2=1×2+2，第二个图形中阴影部分小正方形个数为8=6+2=2×3+2，第三个图形中阴影部分小正方形个数为14=12+2=3×4+2，…，所以第n个图形中阴影部分小正方形个数为n(n+1)+2，故答案为：n(n+1)+2.
7.91 解析：观察图形发现第1幅图有1个正方形，第2幅图有1+4=5个正方形，第3幅图有1+4+9=14个正方形，……第6幅图有1+4+9+16+25+36=91个正方形。
8.解：（1）a2=，，。
（2） 4
创新探究
9.解：（1）第④个算式为：7×9+1=82，第⑤个算式为：9×11+1=102；
（2）第n个算式为：(2n-1)(2n+1)+1=(2n)2.
7 探索与表达规律
自主预习
1.探索数字型的规律
（1）数字的变化规律：注意各个数与___________之间的倍分关系，平方关系等，对于分数要对_____
____________________分别考虑。
（2）算式的变化规律：仔细观察前后两个等式的相同点与不同点，确定___________与____________变化的规律。
2.探索图形型的规律
（1）图形拼接：注意图形的拼接变化特点，计算时要__________重复的；
（2）图形的增长：图形的增长变化，但总体形状不变，从增加的数量与___________变化的联系入手找出规律。
课堂巩固
知识点1：探索数字型的规律
1.给定一列按规律排列的数：，，，，…，则这列数的第6个数是（ ）
A. B. C. D.
2.已知：一组数1，3，5，7，9…，按此规律，则第n个数是_____________。
3.有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12…它的每一项可以用式子2n（n是正整数）来表示，那么有规律排列的一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，…
（1）它的每一项可用怎样的式子来表示；
（2）它的第100个数是多少？
（3）-2015是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
知识点2：探索图形型的规律
4.一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接。
（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
5.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
第5个图形有多少颗黑色棋子？
第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由。
课后提升
1.观察下列图形：
它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形的“☆”有（ ）
A.57个 B.60个 C.63个 D.85个
2.3的正整数次幂：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561…观察归纳，可得32007的个位数字是（ ）
A.1 B.3 C.7 D.9
3.下列图形都是由同样大小的五角星按一定规律组成，图①中一共有2个五角星，图②中一共有8个五角星，图③中一共有18个五角星，…，则图⑥中的五角星个数为（ ）
A.50 B.64 C.68 D.72
4.已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是____________。
5.观察下列一组数：，，，，，……，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是___________。
6.如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n个图中的阴影部分小正方形的个数是___________。
7.如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；……按这样的规律下去，第6幅图中有___________个正方形。
8.有若干个数，第2个记为a1，第2个记为a2，…，第n个记为an。若a1=，第2个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数。
（1）计算a2，a3，a4的值。
（2）根据以上计算结果，可求得a2015=____________，a2016=____________。
创新探究
9.观察下列等式：
①1×3+1=22 ②3×5+1=42 ③5×7+1=62 ……
（1）请你按照上述三个等式的规律写出第④个，第⑤个等式；
（2）请猜想，第n个等式（n为正整数）应怎样表示？
参考答案就解析
自主预习
1.（1）序号 分子 分母 （2）不同点 序号
2.（1）减去 （2）序号
课堂巩固
1.A 2.2n-1
3.解：（1）它的每一项可用式子(-1)n+1n（n是正整数）来表示。
（2）它的第100个数是-100。
（3）-2015不是这列数中的数。
4.解：（1）一张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人，2张长方形餐桌的四周可坐4×2+2=10人，3张长方形餐桌四周可坐4×3+2=14人，…n张餐桌四周可坐（4n+2）人；所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4+2=18人，8张餐桌的四周可坐4×8+2=34人；
（2）设这样的餐桌需要需要x张，由题意得4x+2=90，解得x=22.
答：这样的餐桌需要22张。
5.解：（1）第5个图形有18 颗黑色棋子。
（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，由题意，得3（n+1）=2013.
解得n=670，所以第670个图形有2013颗黑色棋子。
课后提升
1.B
2.C 解析：观察发现：3n个位数字是3，9，7，1四个一循环，所以2007÷4=501……3，即它的个位阿胡子与33的个位数字一样是7，故选C。
3.D 解析：图①有2×12=2个，图②有2×22=8个，图③有2×32=18个，……图⑥就是2×62=72.故先D。
4.2n
5. 解析：分子依次为1，3，5，7，9，…，可表示为2n-1；分子是连续奇数，分母均为完全平方数，分母依次为22，32，42，52，62，…，分别用(n+1)2表示，故答案为。
6.n(n+1)+2 解析：根据图形可知：第一个图形中阴影部分小正方形个数为4=2+2=1×2+2，第二个图形中阴影部分小正方形个数为8=6+2=2×3+2，第三个图形中阴影部分小正方形个数为14=12+2=3×4+2，…，所以第n个图形中阴影部分小正方形个数为n(n+1)+2，故答案为：n(n+1)+2.
7.91 解析：观察图形发现第1幅图有1个正方形，第2幅图有1+4=5个正方形，第3幅图有1+4+9=14个正方形，……第6幅图有1+4+9+16+25+36=91个正方形。
8.解：（1）a2=，，。
（2） 4
创新探究
9.解：（1）第④个算式为：7×9+1=82，第⑤个算式为：9×11+1=102；
（2）第n个算式为：(2n-1)(2n+1)+1=(2n)2.