湘教版八年级数学上册第2章三角形《2.4 线段的垂直平分线》教学课件（共35张）

(共35张PPT)

线段的垂直平分线
教学课件
湘教版八年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入
某市某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
B
A
C
02 新知探究

新知探究
线段的垂直平分线

已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.


l
A′
(A)
A
1




2
●
●
D

新知探究
线段的垂直平分线

我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.

新知探究
小归纳

线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.


l
B
A
1




2
P
已知：l垂直平分线段AB
结论：PA=PB

新知探究
练一练

如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　)
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
C

新知探究
练一练

解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．

新知探究
线段垂直平分线的性质定理的逆定理

思考：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论

新知探究
线段垂直平分线的性质定理的逆定理

（1）当点P在线段AB上时，
因为PA=PB，
所以点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；

新知探究
线段垂直平分线的性质定理的逆定理

（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
因为PA=PB，
所以△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
因此直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.

新知探究
小归纳

线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
应用格式：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．

P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

新知探究
练一练

已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ OA=OB.
同理OB=OC.
∴ OA=OC.
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.

现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？


新知探究
线段垂直平分线的尺规作图

想一想：怎样作出线段的垂直平分线？
做一做：在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕l就是线段AB的垂直平分线.
思考：
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？


A
B




A(B)
O
l




O
l
B
A
C



新知探究

线段垂直平分线的尺规作图
作法：
①分别以点A，B 为圆心， 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C 和点D；
②过点C,D作直线CD，则直线CD为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.

新知探究
过一点做已知直线的垂线

由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.

新知探究

(1)当点P在直线l上.
① 在直线l 上点P 的两旁分别截
取线段PA， PB，使PA= PB；
② 分别以A，B 为圆心 以大于 AB
的长为半径画弧， 两弧相交于点C；
③ 过点C， P作直线CP，
则直线CP为所求作的直线.


B
l
A
P


C
·


过一点做已知直线的垂线

新知探究

过一点做已知直线的垂线
(2) 当点P在直线l外.
①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径
画弧， 交直线l于点A，B；
②分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画
弧， 两弧相交于点C；
③过点C,P作直线CP，则直线CP为所
求作的直线.

l
·
P




C

03 典型例题


典型例题
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D


典型例题
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种.
无数
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③


典型例题
4.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.

A
B
C
D
E

16


典型例题
5.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　）
A．∠A的平分线
B．AC边的中线
C．BC边的高线
D．AB边的垂直平分线

D


典型例题
6.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确
B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
D


典型例题
04 拓展提高

拓展提高
1.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴
点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
∴
AO=BO.
05 课堂小结


课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定

性质
判定


内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
见垂直平分线，得线段相等
内容
作用
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平分线上






课堂小结
线段垂直平分线的作法

方法与步骤

应用作图
过一点作直线的垂线

点在直线上
点在直线外
06 作业布置
完成课本习题 2.4 A、B组

作业布置
谢 谢 观 看