人教版数学九年级上册同步课时训练
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
自主预习 基础达标
要点1 圆心角的概念及其计算
顶点在 的角叫做圆心角.
要点2 弧、弦、圆心角之间的关系
1. 有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 .
2. 定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的弦 .
3. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的优弧和劣弧分别 .
课后集训 巩固提升
1. 下面四个图中的角，为圆心角的是( )
A B C D
2. 在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是( )
A. 圆心到这两条弦的距离相等
B. 这两条弦所对的圆心角相等
C. 这两条弦所对的弧相等
D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分
3. 如果两个圆心角相等，那么( )
A. 这两个圆心角所对的弦相等
B. 这两个圆心角所对的弧相等
C. 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D. 以上说法都不对
4. 如图所示，在⊙O中，＝，则在①AB＝CD，②AC＝BD，③∠AOC＝∠BOD，④＝说法中，正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第4题 第5题
5. 如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是( )
A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°
6. 如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为( )
A. 5πcm B. 6πcm C. 9πcm D. 8πcm
第6题 第7题
7. 如图所示，在⊙O中，弦AB＞CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M，N分别为垂足，那么OM，ON的大小关系是( )
A. OM＞ON B. OM＝ON C. OM＜ON D. 无法确定
8. 在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如果OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；②＝；③∠AOB＝∠COD中，正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9. 在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角的度数为 度.
10. 如果⊙O的半径为R，则⊙O中60°的圆心角所对的弦长为 ，120°的圆心角所对的弦长为 .
11. 弦AB分圆为1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角等于 .
12. 如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，若∠BAC＝52°，则∠AOD＝ .
第12题 第13题
13. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，的度数为60°，点B为的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为 .
14. 如图所示，在⊙O中，＝，∠AOC＝100°，求∠BOD的度数.
15. 如图所示，已知在⊙O中，＝，D，E分别为半径OA，OB的中点，你认为CD和CE有何关系？为什么？
16. 如图所示，⊙O1和⊙O2为两个等圆，O1A∥O2D，O1O2与AD相交于点E，AD与⊙O1和⊙O2分别交于点B，C.
求证：AB＝CD.
17. 如图所示，已知AB为⊙O的直径，M，N分别为OA，OB的中点，MC⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.
求证：＝.
18. 如图所示，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点E，判断，，之间的大小关系，并说明理由.
19. 如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝BF＝CD.
20. 如图，已知P是直径AB上的一点，EF，CD是过点P的两条弦，∠CPB＝∠EPB，试说明：
(1)弦CD与EF相等吗？为什么？
(2)与相等吗？为什么？
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 圆心
要点2 1. 相等 相等 2. 相等 相等 3. 相等 相等
课后集训 巩固提升
1. D 2. D 3. D 4. D 5. A 6. D 7. C 8. D
9. 60
10. R R
11. 90°
12. 104°
13.
14. 解：∵＝，∴＋＝＋，即＝，∴∠BOD＝∠AOC＝100°.
15. 解：CD＝CE.理由：连接CO，∵AO＝BO，D，E分别为AO，BO的中点，∴DO＝EO.∵＝，∴∠DOC＝∠EOC.又OC＝OC，∴△DOC≌△EOC，∴CD＝CE.
16. 证明：∵O1A∥O2D，∴∠A＝∠D.∴∠AO1B＝∠DO2C.又∵⊙O1和⊙O2为两个等圆，∴AO1＝BO1＝CO2＝DO2，∴△AO1B≌△CO2D.∴AB＝CD.
17. 解：连接OC，OD，则OC＝OD.∵OA＝OB，且OM＝OA，ON＝OB，∴OM＝ON.在Rt△CMO与Rt△DNO中，OM＝ON，OC＝OD，∴Rt△CMO≌Rt△DNO，∴∠COM＝∠DON，∴＝.
18. 解：＝＝.理由：连接DO，EO，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴在△DOB中，OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO＝60°，∴∠DOB＝60°.同理在△EOC中，∠OEC＝∠OCE＝60°，∴∠EOC＝60°，∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠EOC＝60°，∴＝＝.
19. 证明：连接AC，BD.∵C，D是的三等分点，∠AOB＝90°，∴＝＝，∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°，∴AC＝CD＝DB.又∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.在△AOC中，OA＝OC，∴∠ACO＝＝75°，∴∠AEC＝∠ACO，∴AE＝AC.同理BF＝BD，∴AE＝BF＝CD.
20. 解：(1)CD＝EF.理由：过点O作OM⊥EF，ON⊥DC，垂足分别为M，N，∵∠EPB＝∠CPB，∠OMP＝∠ONP＝90°，OP＝OP，∴△OPM≌△OPN(AAS)，∴OM＝ON，连接OE，OC，∵OE＝OC，由勾股定理得EM＝NC，∴由垂径定理得EF＝2EM，CD＝2NC，∴CD＝EF.
(2) ＝.理由：∵CD＝EF，∴＝，∴－＝－，∴＝，即＝.
