人教版数学九年级上册同步课时训练
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
自主预习 基础达标
要点1 圆周角及圆周角定理
1. 顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角.
2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半.
要点2 圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角 ；半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 .
要点3 圆内接四边形的性质
1. 圆内接多边形的定义：如果一个多边形的所有顶点都在 ，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 .
课后集训 巩固提升
1. 下列图形中的角是圆周角的是( )
A B C D
2. 下列说法中正确的是( )
A. 顶点在圆周上的角叫圆周角 B. 圆周角等于圆心角的一半
C. 同弦所对的所有圆周角相等 D. 弦所对的圆周角有无数个
3. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为( )
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
第3题 第4题
4. 如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O中，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
5. 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是线段BC延长线上的一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A. 115° B. 105° C. 75° D. 85°
6. ⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对的圆周角为( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A. 45° B. 50° C. 60° D. 75°
第7题 第8题
8. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于( )
A. 29° B. 31° C. 59° D. 62°
9. 如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是上一点，D，E是上不同的两点(不与A，B两点重合)，则∠D＋∠E的度数为( )
A. m B. 180°－ C. 90°＋ D.
第9题 第10题
10. 如图，BA是半圆O的直径，点C在⊙O上，若∠ABC＝50°，则∠CAB＝ .
11. 如图所示，A，B，C，D是⊙O上顺次四点，若∠AOC＝160°，则∠D＝ ，∠B＝ .
第11题 第12题
12. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，连接BC，AC，∠BAC＝60°，弦AD平分∠BAC，若AD＝6，那么AC＝ .
13. 如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝AC，D，E在⊙O上，说明：BD＝DE.
14. 如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE.
求证：△ADE是等腰三角形.
15. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是上一点(不与C，D重合)，求证：∠CPD＝∠COB；
(2)点P′在上(不与C，D重合)时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论.
16. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求的长.
17. 如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB＝ (结果保留根号)；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数.
18. 在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.
(1)如图①，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；
(2)如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数.
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 1. 圆上 相交 2. 圆心角
要点2 相等 直角 直径
要点3 1. 同一个圆上 2. 互补
课后集训 巩固提升
1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. C 8. B 9. B
10. 40°
11. 80° 100°
12. 2
13. 解：连接AD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠EAD，∴＝，∴BD＝DE.
14. 证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形.
15. (1)证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴＝，∴∠COB＝∠BOD＝∠COD.又∵∠CPD＝∠COD，∴∠CPD＝∠COB.
(2)解：∠CP′D＋∠COB＝180°.证明：∵四边形PCP′D是圆内接四边形，∴∠CPD＋∠CP′D＝180°.∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
16. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵M为中点，∴＝，∴＋＝＋，即＝.∴BM＝CM.
(2)解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∴的长＝×4π＝π.
17. 解：(1)2
(2)∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D.∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D.又∵∠BOD＝2∠A，∠B＝30°，∠D＝20°，∴2∠A＝∠B＋∠A＋∠D＝∠A＋50°，∴∠A＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°.
18. 解：(1)如图①，过点O作OE⊥AC于点E，则AE＝AC＝×2＝1.∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE＝r.在Rt△AOE中，AO2＝AE2＋OE2，即r2＝12＋(r)2，解得r＝.
(2)连接BC.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°－∠BAC＝65°.根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB－∠A＝65°－25°＝40°.
