人教A版高中数学必修五教案 2.4 等比数列

人教A版高一数学必修5
等比数列的前项和教案
（第一课时）
一、教材分析
地位作用：这节内容是在学习完等差数列的通项公式，前n项和公式，以及等比数列的定义、通项公式等知识的基础上进行的。它是数列的重要内容，不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
学习目标：
根据新课程标准要求和教材分析，制定如下学习目标：
知识与技能：
1、掌握等比数列的前n项和公式的推导方法。
2、掌握等比数列的前n项，会用公式解决一些简单问题．
过程与方法：
通过公式的推导过程，理解“错位相减法”,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会从特殊到一般的思维方法，体会方程思想、分类讨论思想及转化思想．
情感与态度：
通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、敢于创新，从中获得成功的体验，并能够在和谐的生生、师生的共同活动中感受学习乐趣。
重点和难点：
重点：公式的推导、和公式的运用．
难点：公式的推导方法的发现，及应用。
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点．
二、学情分析
从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差数列及前n项和等知识，一方面容易把本节内容与等差知识进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算量很大，思维的深刻性很高，而且对q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后继学习实用过程中往往会出错。学生虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏深刻性，不够严谨，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
　
三、学法分析
学生在教师创设的问题情境中，通过感悟体验，从情境中提炼数学问题，提高观察、概括、归纳和动手尝试的能力，结合教师的点拨提问，经过研探论证形成对等比数列的前n项和公式的认识，在反馈矫正环节，通过训练题，发现自身不足，互动互检，在教师的及时点拨下提高对等比数列的前n项和公式的应用能力，通过课堂小结回顾当堂所学，自我评价是否实现学习目标并及时完善。整个过程，体现了学生的主体地位，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，使学生提高了数学素养，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。
四、教法分析
根据这节课的特点，以建构主义理论为指导，根据学生的认知水平，本节课我采用了启发式和探究式相结合的教学方法，充分体现老师的主导作用，充分发挥学生的主体地位，创造和谐的学习环境，使学生能够愉快地自觉学习，通过教师创设的问题情景，让学生观察、分析、独立思考，必要时通过合作探索，使学生发现解决问题的方法，完成公式推导，解决问题。
一句话： 以学生为本，让课堂焕发生机。
五、教学过程
结合本节课的特点，设计如下的教学过程：设（创设情境）→探（探索发现）→析（辨析质疑）→练（练习巩固 ）→结（课堂小结）→升（作业提升）
1、创设情境
（国际象棋发明者的故事）大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正方形，黑白相间共64格。关于国际象棋有这样一个传说. 古印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求吧!”国王说:“这太简单了,来人,快点去办。”然而,过了好多天,手下急匆匆地跑来：“不好啦,不好啦!”你猜怎么了?原来经计算发现,就是印度几十年生产的所有麦子加起来都还不够,那么到底怎样计算的呢？
设计意图：根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示的作用下，学生会很自然把自己融入角色，学生的兴趣和思维得到激发。
【教师提问】
同学们，如何计算出这些到底是多少粒小麦？
【学生活动】

【教师小结】：
我们发现，这是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和。
设计意图：把应用问题数学化，将问题转化为等比数列求和
【教师提问】
如何求这个和呢？
2.探索发现
(1)探索求和:（主要引导学生解决消除邻项不同和变加为减的问题）
【师生活动】：
记为（1）式，引导学生观察每一项的特征，思考它们之间联系？用什么办法可以消除它们之间的不同?
（学生会发现，后一项都是前一项的2倍, 每一项都乘以2，就变成了它的后一项）
将（1）式两边同乘以2则有 ，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？
经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到： ．指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。
设计意图：留出时间让学生充分地思考， 求这个和的关键是变形为“相减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生能力的良好契机．
(2)公式推证:
【教师提问】：
刚才我们求的是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和。设等比数列的首项为，公比为，怎样求前项和？
设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．
让学生自主完成，并让一名学生板演，然后对个别学生进行指导
对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？再次追问：结合等比数列的通项公式,如何把sn用a1、an、q表示出来？
设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．
引导学生对q进行分类讨论，得出公式，然后引导学生得出公式的另一形式。（教师板书）
【讨论交流，延伸拓展】
在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？
学生可能会说处下面推导过程（教师总结：其实也是错位相减法）
思路一：累加法
上式累加得到
思路二：提取公比
思路三：等比定理法
设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上三种方法都可以化归到, 这其实就是关于的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.(另外这三种方法结合教学时间可以讲一种或两种，另外的可以留给学生课下讨论，重点还是让学生掌握错位相减法的思想。)
3、 辨析质疑
设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．
引导让学生用所学方法把问题解决
(2)练习
判断是非：
① （ ）
② （ ）
③若且，则
　　 （ ）
设计意图：在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“小、易、快”填空和判断是非练习，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成.，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．
首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．
巩固提高
例2．已知是等比数列，请完成下表：
题号
(1)
4
　　　
　　
(2)
　　
　　
(3)
　　
　　
例3．求等比数列的第5项到第10项的和．
方法1： 观察、发现：．
方法2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为，公比为，项数为．
设计意图：例2采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，主要是熟练公式运用，着重强调公式的选择.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力
例3由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.
5、课堂小结
引导学生从知识、思想、方法三个方面对本节内容进行总结．
设计意图：培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．
6、作业布置
设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．
六、板书设计
§2.5等比数列的前n项和
公式的发现过程
公式的推导证明过程
例1：
分析
解:
练习
七、教学过程设计说明：　　
本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。