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《24.2.3直线和圆的位置关系（3）》导学案
课题 直线和圆的位置关系（3） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．了解切线长的概念和切线长定理． 2．会作三角形的内切圆，知道内切圆和圆心的概念． 3．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
重点难点 重点：作三角形的内切圆、以及切线长定理的理解 难点：运用切线长定理进行相关的计算和推理
教学过程
知识链接 1、如图所示，直线AB和圆O的位置关系是________，有_______个交点。点到圆心的距离OP_____
合作探究 知识点1、切线长定理及应用问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？●归纳：如图，过圆外一点P有_______条直线分别与⊙O相切．经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间___________的长，叫做这点到圆的切线长．想一想：根据你对切线、切线长的理解，你能说一说切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．（拿出事先准备好的图片，然后自己动手操作）回答下列问题： OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？ 通过上述操作，你发现了什么？请证明你所发现的结论。 ●归纳：切线长定理：从圆外一点可以引圆的_____条切线，它们的切线长_____，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角．几何语言：∵PA、PB分别切☉O于A、B∴_________，____________． 问题3 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。 （1）写出图中所有的垂直关系：_______________________（2）写出图中与∠OAC相等的角：_______________________（3）写出图中所有的全等三角形：_______________________（4）写出图中所有的等腰三角形：_______________________（5）若PA=4、PD=2，求半径OA：_______________________知识点2、三角形的内切圆及作法思考：右图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.如何找到这个圆心呢？ ●归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______，内切圆的圆心是三角形三条__________的交点，叫做三角形的______．这个三角形叫做这个圆的________.知识点3、三角形的内心和性质三角形的内心在三角形的________上、三角形的内心到三角形的_______距离相等.例题讲解：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB都分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF，BD，CE的长． 同学们，通过前面的学习我们知道了三角形有两“心” ，你能说一说二者有什么区别吗？ 三角形外接圆 三角形内切圆
自主尝试 1、填空： （1）若PA=4、PM=2，则圆O的半径OA_________. （2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=________. （3）若∠P=70°，则∠AOB=_______°.（4）OP交⊙O于M，则________（填写弧的相等关系），ＡＢ____ＯＰ. 2、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
当堂检测 1.如图,已知△ABC的内切圆☉O与各边相切于点D,E,F,则点O是△DEF的( ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点2.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,C为劣弧AB上一点,∠APB=30°,则∠ACB=_____. 3.如图,△ABC中,E是内心,∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证:DE=DB.4.如图,已知AB是☉O的直径,DC是☉O的切线,点C是切点,AD⊥DC,垂足为D,且与圆O相交于点E. (1)求证:∠DAC=∠BAC. (2)若☉O的直径为5cm,EC=3cm,求AC的长. 5.如图,在△ABC中,已知∠ABC=90°,在AB上取一点E,以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D,若AE=2,AD=4. (1)求☉O的直径BE的长.(2)计算△ABC的面积.
小结反思 今天学习了什么？有哪些问题？
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《24.2.3直线和圆的位置关系（3）》导学案
课题 直线和圆的位置关系（3） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1．了解切线长的概念和切线长定理． 2．会作三角形的内切圆，知道内切圆和圆心的概念． 3．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
重点难点 重点：作三角形的内切圆、以及切线长定理的理解 难点：运用切线长定理进行相关的计算和推理
教学过程
知识链接 1、如图所示，直线AB和圆O的位置关系是________，有_______个交点。点到圆心的距离OP_____ 同学们玩过悠悠球吗？悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？可以发现拉线和圆是相切的，前面我们已经学习了切线的判定定理和性质定理，知道了怎样作三角形的外切圆，今天我们学习切线长及其定理和怎样作三角形的内切圆．
合作探究 知识点1、切线长定理及应用问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？●归纳：如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切．经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．想一想：根据你对切线、切线长的理解，你能说一说切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？●归纳：切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．（拿出事先准备好的图片，然后自己动手操作）回答下列问题： OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？ 通过上述操作，你发现了什么？请证明你所发现的结论。发现：PA=PB，∠APO=∠BPO．证明：如右图，连接OA和OB．∵ PA和PB是⊙O的两条切线，∴ OA⊥AP，OB⊥BP． 又 OA＝OB，OP＝OP，∴ Rt△AOP≌Rt△BOP．∴ PA=PB，∠APO=∠BPO．●归纳：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．几何语言：∵PA、PB分别切☉O于A、B∴PA=PB，∠APO=∠BPO． 问题3 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。 （1）写出图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角：∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC（3）写出图中所有的全等三角形：△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP（4）写出图中所有的等腰三角形：△ABP 、△AOB（5）若PA=4、PD=2，求半径OA：设OA的长为x,在直角三角形OAP中：x2+42=(x+2)2解得：x=4,即OA长为4通过问题3的练习希望同学们注意在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。 （1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。利用基本图形中发现的基本关系有利于计算、证明的简便。知识点2、三角形的内切圆及作法思考：右图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.如何找到这个圆心呢？ 我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等．因此，如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等．以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，圆I就是所求作的圆． ●归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．这个三角形叫做这个圆的外切三角形.知识点3、三角形的内心和性质三角形的内心在三角形的角平分线上、三角形的内心到三角形的三边距离相等.例题讲解：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB都分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF，BD，CE的长． 解：设AF＝x，则，AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x． 由BD＋CD＝BC，可得(13－x)(9－x)＝14． 解得x＝4． 因此AF＝4，BD＝5，CE＝9． 同学们，通过前面的学习我们知道了三角形有两“心” ，你能说一说二者有什么区别吗？ 三角形外接圆 三角形内切圆 外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。注意：1.一个三角形有且只有一个内切圆 2.一个圆有无数个外切三角形； 3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点； 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
自主尝试 1、填空： （1）若PA=4、PM=2，则圆O的半径OA_________. （答案：3）（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=________. （答案：600） （3）若∠P=70°，则∠AOB=_______°.（答案：110）（4）OP交⊙O于M，则________（填写弧的相等关系），ＡＢ____ＯＰ.（答案：，⊥） 2、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。∵PA、PB、EF为切线∴EQ=EA, FQ=FB,PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm，PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为24cm
当堂检测 1.如图,已知△ABC的内切圆☉O与各边相切于点D,E,F,则点O是△DEF的( )D A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点析：∵△ABC的内切圆☉O与各边相切于D,E,F,∴OE=OF=OD,则可知点O是DE,DF,EF垂直平分线上的点,∴点O是△DEF的三边垂直平分线的交点.2.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,C为劣弧AB上一点,∠APB=30°,则∠ACB=_____.答案:105° 解:如图,连接AO,OB, ∵PA,PB分别切☉O于A,B两点, ∴∠PAO=∠PBO=90°, ∴∠AOB=180°-∠P=150°, 设点E是优弧AB上一点,由圆周角定理知,∠E=75°, 由圆内接四边形的对角互补知,∠ACB=180°-∠E=105°.3.如图,△ABC中,E是内心,∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证:DE=DB. 证:连接EB,DB. ∵E是△ABC的内心, ∴∠EBC=∠ABE,∠BAD=∠CAD. ∵∠CAD=∠CBD, ∴∠BAD=∠CBD. 又∵∠BED=∠BAD+∠ABE,∠DBE=∠EBC+∠CBD, ∴∠BED=∠DBE,∴DE=DB.4.如图,已知AB是☉O的直径,DC是☉O的切线,点C是切点,AD⊥DC,垂足为D,且与圆O相交于点E. (1)求证:∠DAC=∠BAC. (2)若☉O的直径为5cm,EC=3cm,求AC的长.解:(1)连接OC, ∵DC切☉O于C,∴OC⊥DC, ∵AD⊥DC,∴AD∥OC, ∴∠DAC=∠OCA,∵OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA,∴∠DAC=∠BAC. (2)∵∠DAC=∠BAC,∴EC=BC=3, ∵AB是直径,∴∠ACB=90°. 由勾股定理得,AC==4, 答:AC的长是4cm.5.如图,在△ABC中,已知∠ABC=90°,在AB上取一点E,以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D,若AE=2,AD=4. (1)求☉O的直径BE的长.(2)计算△ABC的面积. 解:(1)连接OD,∴OD⊥AC,∴△ODA是直角三角形,设☉O半径为r,∴AO=r+2,∴(r+2)2—r2=16,解得:r=3,∴BE=6. (2)∵∠ABC=90°,∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线. ∵CD切☉O于D,∴CB=CD,令CB=x,∴AC=x+4,AB=8. ∵x2+82=(x+4)2,∴x=6,∴S△ABC= QUOTE ×8×6=24.
小结反思 今天学习了什么？有哪些问题？
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