湘教版八年级数学上册第3章实数3.1 平方根教学课件（共43张）

(共43张PPT)

平方根
教学课件
湘教版八年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入
为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？
？

解析：根据正方形的面积公式
即：边长
由于
因此正方形的边长应取15m
同学们是如何想到这种通过面积得到边长的方法的呢？接下来让我们来仔细研究这种反向的方法吧！
02 新知探究

新知探究
平方根

想一想 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 ，
所以这个数是3或-3.
3和-3互为相反数，会不会是巧合呢

新知探究
平方根

根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.由此我们抽象出下述概念：
如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.
若r2=a，则r是a的一个平方根.

新知探究
想一想

除了2和－2以外，4的平方根还有其他的数吗？
因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以，比2大的数都不是4的平方根.
类似地，边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，因此，比2小的正数都不是4的平方根.


边长为2


边长为4
<

新知探究
小归纳

若 r 是正数 a 的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.
我们把正数a的正平方根记作 ，读作“根号a”；
把a的负平方根记作 ，读作“负根号a”.
正数a的平方根可以用 “ ”来表示.

新知探究
想一想

零的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.
由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.
小结：正数平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是0；负数没有平方根.

新知探究
小归纳

求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.开平方与平方互为逆运算.
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9







开平方

平方







新知探究
无理数的认识

想一想：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？
想一想：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？




因为S大正方形=2，所以a2=2.
从“数”的角度：
因为 a2=2, 而12=1, 22=4
所以 12所以 1< a< 2，a不是整数

新知探究
无理数的认识






B
A
C
取出一个三角形
从“形”的角度：

在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a
根据三角形的三边关系：
AC-BC< a 所以0
新知探究
无理数的认识

想一想：a可能是分数吗？
① a是分母为2的分数吗？
② a是分母为3的分数吗？
③ a是分母为4的分数吗？
④ a是分母为多少的分数？
归纳：a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.

新知探究
无理数的认识

观察下列结果：
2.82=7.84， 2.92=8.41；
2.822=7.9524 2.832=8.0089
2.8282=7.997584 2.8292=8.003241
… …
想一想：a究竟是多少？

新知探究
无理数的认识

从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边长是多少吗？
面积为8的正方形，它的边长应该比2.828大，比2.829小……
既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.把无限不循环小数叫作无理数.

新知探究
练一练

把下列各数分别填入相应的集合内：
0.101，

有理数集合
无理数集合

．．．

．．．

新知探究
无理数

我们常见的无理数的有以下三种形式：
（1）含 的一些数，如2 ；
（2）开不尽方的数，如 ；
（3）有规律但不循环的数，如1.010 010 001 000 01…

新知探究
练一练

1.分别求下列各数的平方根：
36， ，1.21.
解 : 由于62=36， 因此36的平方根是6与-6.
即
由于 2= ，
因此 的平方根是 与 .
即
由于1.12=1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即

新知探究

练一练
① 的平方根是_______；
② (－16)2的平方根是_______.
2.填一填

新知探究
练一练

3. 设n为正整数，且n＜ ＜n＋1，则n的值为(　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．∵ ＜ ＜ ，∴8＜ ＜9，∴n＝8.
D
方法总结：开不尽的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围．

新知探究
算术平方根的概念及其性质

我们把正数a的正平方根 叫作a的算术平方根.
想一想：正数、负数、0的算术平方各有几个？
正数的算术平方根是一个正数，
0的算术平方根还是0，
负数没有算术平方根.

新知探究
算术平方根的概念及其性质

算术平方根的性质：

非负数

非负数
(a≥0)
算术平方根具有双重非负性

新知探究
练一练

4.判断下列说法是否正确.
①25的算术平方根是5 （ ）；
②25的平方根是5 （ ）；
③5是25的平方根 （ ）.
√


√
注意区分“平方根”与“算术平方根”意义

新知探究
练一练

5.若|m-1| + =0,求m+n的值.
解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，
又|m-1| + =0,
所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
方法归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.

新知探究
小归纳

平方根与算术平方根的联系与区别：
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.

3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.

1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 ，
而算术平方根表示为 .
联系：
区别：

新知探究
用计算器求算术平方根

想一想：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？
例如 …，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 ，
，…，我们称 3.14，3.142是 的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.

新知探究
练一练

4. 用计算器求下列各式的值.
(1)
解：（1）依次按键：
显示：32
所以，

1
2
0
4
=

新知探究
练一练

(2) （精确到小数点后面第三位）.
解：（2）依次按键：
显示：2.828 427 125
所以，

8
=
03 典型例题


例题讲解
1. 分别求 64， ，6.25的平方根.
解
： 64的平方根是8与 -8， 的平方根是 与 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
2. 分别求 81， ，0.16的算术平方根.
解： 81的算术平方根是9， 的算术平方根是 ，0.16的算术平方根是0.4.


例题讲解
3. 判断下列说法是否正确.
（1） 是 的一个平方根；
（2） 是6的算术平方根；
（3） 的值是±4；
（4）(-4)2的平方根是-4.
正确.
正确.
不正确，是 4.
不正确，是 ±4.


例题讲解
4.下列各数： 1， (相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
A
【解析】无限不循环小数是无理数，其中
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.


例题讲解
5.下列各数中，是无理数的为（ ）

A. 3.14 B. C. D.

C
【解析】因为3.14是小数， 是分数， 是无限循环小
数，所以选项A,B,D都是有理数； 是无限不循环小数，所以是无理数.
04 拓展提高

拓展提高
1.已知 ，求x的值．
解：∵
∴
∴ x=12 或 x=－10.

拓展提高
2. 面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器求边长的近似值（精确到0.001cm）.
正方形的面积是6cm2，因此它的边长为 cm.
解:
用计算器计算 ：显示2.4494897，
所以， .
05 课堂小结


课堂小结
平方根的概念

正数的平方根
0的平方根
负数的平方根

正平方根
负平方根
↑
算术平方根
（就是0本身）
→
（没有）
→


课堂小结
→
无理数

带省略号且不循环的小数
有特殊意义的数，如π等
带根号，但被开方数是开方不尽的数
用计算器计算
↓
概念
06 作业布置
完成课本习题 3.1 A、B组

作业布置
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