温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课堂检测·素养达标
1.下列对象能构成集合的是 ( )
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员;②所有的钝角三角形;③2018年诺贝尔和平奖得主;④大于等于0的整数;⑤我校所有聪明的学生.
A.①②④ B.②⑤ C.③④⑤ D.②③④
【解析】选D.由集合中元素的确定性知,①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定,所以不能构成集合.
2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是 ( )
A.∈M B.0?M
C.1∈M D.-∈M
【解析】选D.>1,故A错;-2<0<1,故B错;1?M,故C错;-2<-<1,故D正确.
3.下列说法中:
①集合N与集合N+是同一个集合;
②集合N中的元素都是集合Z中的元素;
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;
④集合Q中的元素都是集合R中的元素.
其中正确的有________(填序号).?
【解析】因为集合N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确.
答案:②④
4.设集合A含有两个元素x,y,B含有两个元素0,x2,若A=B,则实数x=________,
y=________.?
【解析】由题意得,
或
即或
又当x=y=0时,不满足集合元素的互异性,
所以x=1,y=0.
答案:1 0
【新情境·新思维】
若集合A具有以下性质:
①0∈A,1∈A; ②若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A,则称集合A是“好集”.
求证:有理数集Q是“好集”.
【证明】因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,
有x-y∈Q,且x≠0时,∈Q.所以有理数集Q是“好集”.
关闭Word文档返回原板块
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价 一
集合的含义
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.下列各项中,不可以组成集合的是 ( )
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近于0的数 D.不等于0的偶数
【解析】选C. “接近于0”的标准是不确定的,故不能构成集合.
2.(多选题)下列表述正确的是 ( )
A.0∈N B.∈Z
C.∈Z D.π?Q
【解析】选A、D.因为N、Z、Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数,不是整数,不是整数,π不是有理数,所以0∈N和π?Q正确.
【加练·固】若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】选D.根据集合的性质可知,a≠b≠c,
所以△ABC一定不是等腰三角形.
3.下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a?N,则a∈N;
③a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.N*是不含0的自然数,所以①错误;
取a=,则-?N,?N,所以②错误;
对于③,当a=b=0时,a+b取得最小值是0,而不是2,所以③错误;对于④,解集中只含有元素1,故④错误.
4.“booknote”中的字母构成一个集合,该集合的元素个数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选B.根据集合元素的互异性可知,booknote中的不同字母共有“b,o,k,n,t,e”6个,故该集合的元素个数为6.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b______A,ab______A.(填“∈”或“?”)?
【解析】因为a∈A,b∈B,所以a是偶数,b是奇数,所以a+b是奇数,ab是偶数,故a+b?A,ab∈A.
答案:? ∈
6.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有________个元素.?
【解析】由x2-5x+6=0,解得x=2或x=3.由x2-x-2=0,解得x=2或x=-1.根据集合中元素的互异性可知,共有3个元素.
答案:3
三、解答题(共26分)
7.(12分)设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值.
【解析】因为a∈A且3a∈A,
所以解得a<2.又a∈N,所以a=0或1.
8.(14分)若集合A是由元素-1,3组成的集合,集合B是由方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且A=B,求实数a,b.
【解析】因为A=B,
所以-1,3是方程x2+ax+b=0的解.
则解得
(15分钟·30分)
1.(4分)已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这两个元素,则下列说法中正确的是
( )
A.a可取全体实数
B.a可取除去0以外的所有实数
C.a可取除去3以外的所有实数
D.a可取除去0和3以外的所有实数
【解析】选D.因为2a∈A,a2-a∈A,
所以2a≠a2-a.
所以a(a-3)≠0.所以a≠0且a≠3.
2.(4分)若由a2,2 019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是( )
A.0 B.2 019
C.1 D.0或2 019
【解析】 选C.若集合M中有两个元素,则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.
3.(4分)用符号“∈”或“?”填空:
(1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2________B,1+________ B.?
(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3________C,5________C.?
(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)的集合,则-1________D,(-1,1) ________D. ?
【解析】(1)因为2=>,所以2?B;
因为(1+)2=3+2<3+2×4=11,
所以1+<,所以1+∈B.
(2)因为n是正整数,所以n2+1≠3,所以3?C;
当n=2时,n2+1=5,所以5∈C.
(3)因为集合D中的元素是有序实数对(x,y),
则-1是数,所以-1?D;
又(-1)2=1,所以(-1,1)∈D.
答案:(1)? ∈ (2)? ∈ (3)? ∈
【加练·固】若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.?
【解析】第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y=x表示,显然(0,0),(1,1)都在直线y=x上,(-1,1)不在直线上.所以(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1)?A.
答案:∈ ∈ ?
4.(4分)由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含________个元素. ?
【解析】当x>0时,x=|x|=,-=-x<0,此时集合共有2个元素,当x=0时,x=|x|==-=-x=0,此时集合共有1个元素,
当x<0时,=|x|=-=-x,此时集合共有2个元素,综上,此集合最多有2个元素.
答案:2
5.(14分)写出由方程x2-(a+1)x+a=0的解组成的集合A中的元素.
【解析】由方程x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0,得x=a或x=1.
(1)当a=1时,方程有两个相同的解x=1,则集合A中只有一个元素1.
(2)当a≠1时,方程有两个解1和a,即集合A中有两个元素1和a.
【加练·固】设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.
【解析】当a=0时,由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;
当a=2时,由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;
当a=5时,由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.
由集合元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.
1.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为 ( )
A.-8 B.-16 C.8 D.16
【解析】选C.因为集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,
由题意得,集合A☉B中所有元素是2,-4,-1,
它们的积为:2×(-4)×(-1)=8.
2.(2019·徐州高一检测)设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1?A,
(1)若3∈A,求A.
(2)证明:若a∈A,则1-∈A.
【解析】(1)因为3∈A,
所以=-∈A,
所以=∈A,
所以=3∈A,
所以A=.
(2)因为a∈A,
所以∈A,
所以==1-∈A.
【加练·固】定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±b∈A,且ab∈A,且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”.试问数集N,Z,Q,R是否分别为“闭集”?若是,请说明理由;若不是,请举反例说明.
【解析】①数集N,Z不是“闭集”,例如,3∈N,2∈N,而=1.5?N;3∈Z,-2∈Z,而=-1.5?Z,故N,Z不是闭集.
②数集Q,R是“闭集”.
由于两个有理数a与b的和,差,积,商,
即a±b,ab,(b≠0)仍是有理数,
所以Q是闭集,同理R也是闭集.
关闭Word文档返回原板块
课件65张PPT。 第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义 1.元素与集合
(1)元素:把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
(2)集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.(3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样的.
(4)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.【思考】
(1)集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗?
提示:集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛,可以是数学中的数、点、代数式,也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.(2)“很瘦的人”能构成集合吗?为什么?
提示:“很瘦的人”不能构成集合.因为它没有确定的标准.如果给定一个集合A,一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了.2.元素与集合的关系【思考】
(1)元素与集合之间有第三种关系吗?
提示:对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a?A”这两种结果.
(2)符号“∈”“?”的左边可以是集合吗?
提示:∈和?具有方向性,左边是元素,右边是集合,所以左边不可以是集合.3.常见的数集及表示符号【思考】
N与N+(或N*)有何区别?
提示:N+是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N+(或N*)多一个元素0.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素. ( )
(2)好听的歌能组成一个集合. ( )
(3)高一(1)班所有姓氏构成的集合. ( )
(4)含有1,2,3三个元素的集合有6个. ( )提示:(1)×.集合中的元素是互不相同的.
(2)×.好听的歌是不确定的,所以好听的歌不能组成一个集合.
(3)√.高一(1)班的姓氏是确定的,所以能构成集合.
(4)×.因为集合中的元素满足无序性,故含有1,2,3三个元素的集合只有1个.2.已知a∈R,且a?Q,则a可以为 ( )
A. B. C.-2 D.-
【解析】选A. 是无理数,所以 ?Q, ∈R.3.已知集合A含有三个元素0,1,x-2,则实数x不能取的
值是________.?
【解析】根据集合中元素的互异性可知:
x-2≠0且x-2≠1,所以实数x不能取的值是2,3.
答案:2,3类型一 元素与集合的相关概念
【典例】1.以下元素的全体不能够构成集合的是
( )A.中国古代四大发明
B.周长为10 cm的三角形
C.方程x2-1=0的实数解
D.地球上的小河流2.集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若P与Q相等,则a=________. 世纪金榜导学号?【思维·引】
1.若一组元素是确定的,则这组元素可以构成集合.
2.根据相等集合的元素相同,列方程求a的值.【解析】1.选D.在A中,中国古代四大发明具有确定性,能构成集合,故A能构成集合;在B中,周长为10 cm的三角形具有确定性,能构成集合,故B能构成集合;
在C中,方程x2-1=0的实数解为±1,能构成集合,
故C能构成集合;在D中,地球上的小河流不确定,因此不能构成集合,故D不能构成集合.
2.由题意,得a2=4,a=±2.
答案:±2 【内化·悟】
1.判断一组对象能否组成集合的关键是什么.
提示:判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.2.两个相等集合的元素有什么特点?
提示:其中一个集合的任意一个元素,在另一个集合中都可以找到相同的元素.【类题·通】
1.一组对象能构成集合的两个条件
(1)能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素.
(2)任何两个对象都是不同的.2.集合相等的注意点
若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.【习练·破】
1.下列判断正确的个数为 ( )
(1)所有的等腰三角形构成一个集合.
(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合.
(3)质数的全体构成一个集合.(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合.
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.(1)正确.(2)正确,若 =a,则a2=1,所以
a=±1,能构成集合.(3)正确,任何一个质数都在此集合
中,不是质数的都不在.(4)不正确,集合中的元素具有
互异性,构成的集合只能含有4个元素.2.设a,b∈R,集合A中含有0,b, 三个元素,集合B中含
有1,a,a+b三个元素,且集合A与集合B相等,则a+2b=
( )
A.1 B.0 C.-1 D.不确定
【解析】选A.由题意知a+b=0,所以 =-1,
所以a=-1,b=1,所以a+2b=1.【加练·固】
1.对于以下说法:①绝对值非常小的全体实数构成一个
集合;
②长方体的全体构成一个集合;③全体无实数根的一元
二次方程构成一个集合;④0,0.5, , 组成的集合含有4个元素.其中正确的是 ( )
A.①②④ B.②③ C.③④ D.②④
【解析】选B.①中的元素不能确定,④中的集合含有3个元素,②③中的元素是确定的,所以②③能构成集合.2.下列所给的对象能构成集合的是________. ?
(1)2018年布宜诺斯艾利斯青奥会上中国队获得的金牌.
(2)无限接近零的数.
(3)方程x2-2x-3=0的所有解.
(4)平面直角坐标系中,第一象限内的所有点.【解析】(1)能.因为中国队获得的金牌是确定的.
(2)不能.因为“无限接近”标准不明确,不具有确定性,不能构成集合.
(3)能.因为方程x2-2x-3=0的解为x=3或x=-1,是确定的数,所以可以组成集合,集合中有两个元素-1和3.(4)能.因为第一象限内的点是确定的点.
综上,能构成集合的是(1)(3)(4).
答案:(1)(3)(4)类型二 元素与集合的关系
【典例】1.下列结论中,不正确的是 ( )
A.若a∈N,则-a?N B.若a∈Z,则a2∈Z
C.若a∈Q,则|a|∈Q D.若a∈R,则a3∈R2.由不超过5的实数组成集合A ,a= ,则( )
世纪金榜导学号
A.a∈A B.a2∈A
C. ?A D.a+1?A【思维·引】
1.根据常见数集的表示方法和-a,a2,|a|,a3的意义逐
个判断.
2.a,a2, ,a+1与5比较大小,即可确定答案.【解析】1.选A.A中a=0时,显然不成立.
2.选A.a= + < + =4<5,
所以a∈A.
a+1< + +1=5,
所以a+1∈A,a2=( )2+2 × +( )2=5+2 >5,
所以a2?A,
= <5,
所以 ∈A.【内化·悟】
研究元素与集合的关系的关键是什么?
提示:(1)明确集合是由怎样的元素组成.(2)对于各种数集要熟练掌握.(3)构成集合的元素特征较为隐蔽时,要注意利用相关知识进行分析.【类题·通】
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法.
①使用前提:集合中的元素是直接给出的;
②判断方法:首先明确集合是由哪些元素构成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法.
①使用前提:对于某些不便直接表示的集合;
②判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.【习练·破】
1.给出下列关系:① ∈R;② ?Q;③|-3|?N;
④|- |∈Q;⑤0?N.其中正确的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B. 是实数; 是无理数;|-3|=3是自然
数;
|- |= 是无理数;0是自然数.故①②正确,③④⑤
不正确.2.已知集合A是由形如m+ n(其中m,n∈Z)的数组成的,
判断 是不是集合A中的元素.
【解析】是.因为 =2+ ,此时m=2,n=1,满足集合
A中数的构成形式.所以 是集合A中的元素.【加练·固】
1.已知A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是 ( )
A.-1?A B.-11∈A
C.3k2-1∈A D.-34?A【解析】选C.k=0时,x=-1,
所以-1∈A,所以A错误;
令-11=3k-1,k=- ?Z,
所以-11?A,所以B错误;
令-34=3k-1,k=-11,所以-34∈A,所以D错误.
因为k∈Z,所以k2∈Z,
则3k2-1∈A,所以C正确.2.集合A中的元素x满足 ∈N,x∈N,则集合A中的元
素为________.?
【解析】由 ∈N,x∈N知x≥0, >0,
且x≠3,
故0≤x<3.又x∈N,故x=0,1,2.当x=0时, =2∈N,
当x=1时, =3∈N,
当x=2时, =6∈N.
故集合A中的元素为0,1,2.
答案:0,1,2类型三 集合中元素的特性
【典例】已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,
(1)若-3∈A,试求实数a的值.
(2)若a∈A,试求实数a的值. 世纪金榜导学号【思维·引】
(1)先根据-3∈A 列方程求a,然后检验集合中元素的互异性.
(2)先根据a∈A列方程求a,然后检验集合中元素的互异性.【解析】(1)因为-3∈A, 所以a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,则a=0.
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意.
若2a-1=-3,则a=-1.
此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)因为a∈A,所以a-3=a或2a-1=a.
当a-3=a时,有-3=0,不成立.
当2a-1=a时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.综上知a=1.【素养·探】
在与集合中元素的特性有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象,通过研究集合中元素的特性,抽象出集合中元素的一般规律,并且用数学符号予以表示.
将本例的条件改为“集合A中含有三个元素x-2,
2x2+5x,12,且-3∈A,”求x的值.【解析】因为-3∈A,所以x-2=-3或2x2+5x=-3,
所以x=-1或x=- .
当x=-1时,x-2=-3,2x2+5x=-3,集合A不满足元素的互异
性,所以x=-1舍去.
当x=- 时,经检验,符合题意.所以x=- .【类题·通】
根据集合中元素的特性求值的三个步骤【发散·拓】
集合中元素的特性的主要作用是什么?
提示:(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合,只有这种对象具有确定性时才能构成集合.(2)无序性的主要作用是与集合相等相映证.当两个集合相等时,其元素不一定依次对应相等,只要元素完全一致即可.
(3)互异性的主要作用是做题后进行检验.特别是题中含有参数(字母),求出参数的值后一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性.【延伸·练】
数集A满足条件:若a∈A,则 ∈A(a≠1).若 ∈A,
求集合中的其他元素.【解析】因为 ∈A,所以 =2∈A,所以 =
-3∈A,所以 =- ∈A,所以 = ∈A.故当 ∈A
时,集合中的其他元素为2,-3,- .【习练·破】
集合P由1,m,m2-3m-1三个元素组成,若3∈P且-1?P,则实数m=________.?
【解析】由题意,分两种情况:
(1)若m=3,则m2-3m-1=-1,不满足题意.(2)若m2-3m-1=3,则m=4或m=-1,
m=-1不满足题意,应舍去.故m=4.
答案:4【加练·固】
设集合M中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件.
(2)若-2∈M,求实数x的值.【解析】(1)由集合中元素的互异性可知,x≠3,且x≠x2-2x,x2-2x≠3.
解得x≠-1,x≠0且x≠3.
(2)因为-2∈M,所以x=-2或x2-2x=-2.
若x2-2x=-2,则x2-2x+2=0.因为Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0.
方程无解.所以x=-2.
