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课堂检测·素养达标
1.下列集合中,不同于另外三个集合的是 ( )
A.{x|x=2 019} B.{y|(y-2 019)2=0}
C.{x=2 019} D.{2 019}
【解析】选C.选项A,B,D中都只有一个元素“2 019”,故它们都是相同的集合;而选项C中虽然只有一个元素,但元素是等式x=2 019,而不是实数2 019,故此集合与其他三个集合不同.
2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 ( )
A.{x|-3B.{x|-3C.{x|-3D.{x|-3【解析】选D.选项A表示的是所有大于-3且小于11的有理数;选项B表示的是所有大于-3且小于11的实数;选项C表示的集合中不含有-2这个偶数.
3.用列举法表示集合 正确的是 ( )
A.(-1,1),(0,0)
B.{(-1,1),(0,0)}
C.{x=-1或0,y=1或0}
D.{-1,0,1}
【解析】选B.解方程组 得 或
所以已知集合可用列举法表示为{(-1,1),(0,0)}.
4.已知集合A={-1,0,1},集合B={y|y=|x|,x∈A},则B=________.?
【解析】因为x∈A,所以当x=-1时,y=|x|=1,
当x=0时,y=|x|=0,当x=1时,y=|x|=1.
所以B={0,1}.
答案:{0,1}
5.用列举法表示下列集合:
(1){x|x+y=7,x∈N*,y∈N*};
(2){(x,y)|x+y=7,x∈N*,y∈N*};
(3){y|y=x2-1,-2【解析】(1){1,2,3,4,5,6}.
(2){(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}.
(3){-1,0,3}.
【新情境·新思维】
当x∈A时,若x-1?A且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”,则集合A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________.?
【解析】由“孤立元素”的定义知,对任意x∈A,要成为A的孤立元素,必须是集合A中既没有x-1,也没有x+1,因此只需逐一排查A中的元素即可.0有1“相伴”,1,2则是前后的元素都有,3有2“相伴”,只有5是“孤立的”,从而集合A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}.
答案:{5}
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课时素养评价 二
集合的表示
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 ( )
A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5}
【解析】选D.根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1或5,用列举法表示可得{-1,5}.
2.(多选题)方程组的解集可表示为 ( )
A.
B.
C.(1,2)
D.{(1,2)}
【解析】选A、B、D.方程组只有一个解,解为所以方程组的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以A、B、D都符合题意.
【加练·固】下列集合的表示,正确的是 ( )
A.{2,3}≠{3,2}
B.{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}
C.{x|x>1}={y|y>1}
D.{(1,2)}={(2,1)}
【解析】选C.{2,3}={3,2},故A不正确;{(x,y)|x+y=1}中的元素为点(x,y), {y|x+y=1}中的元素为实数y,{(x,y)|x+y=1}≠{y|x+y=1},故B不正确;{(1,2)}中的元素为点(1,2),而{(2,1)}中的元素为点(2,1),{(1,2)}≠{(2,1)},故D不正确.
3.设集合A={(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*},试问下列有序数对中,是集合A的元素的为 ( )
A.(1,5),(3,3),(2,4)
B.(-1,7),(1,5),(4,2)
C.(0,6),(5,1),(3,3)
D.(8,-2),(4,2),(3,3)
【解析】选A.由题意,因为x∈N*,y∈N*,所以选项B中的(-1,7)不符合题意,选项C中的(0,6)不符合题意,选项D中的(8,-2)不符合题意.
4.下列说法中正确的是 ( )
①0与{0}表示同一个集合;
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
③方程x2(x+1)=0的所有解的集合可表示为{0,0,-1};
④集合{x|4A.只有①和④ B.只有②和③
C.只有② D.只有②和④
【解析】选C.①中“0”不能表示集合,而“{0}”可以表示集合,故①错误.根据集合中元素的无序性可知②正确;根据集合的互异性可知③错误;④不能用列举法表示,原因是集合中有无数个元素,不能一一列举.
【误区警示】解本题时注意集合与元素的区别,集合中元素的互异性和无序性,列举法与描述法表示一个集合的区别.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.小于3.14的自然数集可表示为________,小于3.14的有理数集可表示为________.?
【解析】小于3.14的自然数集可表示为{0,1,2,3},小于3.14的有理数集可表示为{x∈Q|x<3.14}.
答案:{0,1,2,3} {x∈Q|x<3.14}
6.已知集合A={x|2x+a>0},且1?A,则实数a的取值范围是________. ?
【解析】因为1?A,所以2+a≤0,所以a≤-2.
答案:{a|a≤-2}
三、解答题(共26分)
7.(12分)用适当的方法表示下列集合:
(1)不小于1 且不大于17的质数组成的集合A.
(2)平面直角坐标系中,抛物线y=x2上的点组成的集合C.
(3)所有被4除余1的整数组成的集合E.
【解析】(1)不小于1且不大于17的质数组成的
集合A={2,3,5,7,11,13,17}.
(2)平面直角坐标系中,抛物线y=x2上的点组成的集合C={(x,y)|y=x2}.
(3)所有被4除余1的整数组成的集合
E={x|x=4k+1,k∈Z}.
8.(14分)用描述法表示下列集合:
(1){0,2,4,6,8}.
(2){3,9,27,81,…}.
(3).
(4)到两坐标轴距离相等的点.
【解析】(1){x∈N|0≤x<10,且x是偶数}.
(2){x|x=3n,n∈N*}.
(3).
(4){(x,y)|x±y=0}.
【加练·固】用描述法表示下列集合:
(1){3,6,9,12,…}.
(2).
(3)数轴上与原点的距离小于或等于2的点的集合.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的集合.
【解析】(1)表示的都是被3整除的正整数.表示为{x|x=3n,n∈N*}.
(2)先统一形式,,,,,…找出规律,集合表示为.
(3)数轴上的点与实数对应,集合为{x||x|≤2}.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的特点是横坐标与纵坐标正负相同,即乘积大于零.所以集合表示为{(x,y)|xy>0}.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知P={x|2A.6C.5【解析】选B.P={x|22.(4分)集合A={1,-3,5,-7,9,-11,…},用描述法表示正确的是 ( )
①{x|x=2n±1,n∈N};
②{x|x=(-1)n(2n-1),n∈N};
③{x|x=(-1)n(2n+1),n∈N}.
A.③ B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】选A.取n=0,1,2验证各表达式,可知①②不符合,③正确.
3.(4分)用列举法表示集合A=∈Zx∈N=________. ?
【解题指南】根据x∈N,且∈Z,让x从0取值,看是否满足∈Z,这样找出A的所有元素即可.
【解析】根据x∈N,且∈Z可得:
x=0时,=-3;x=1时,=-6;
x=3时,=6;x=4时,=3;
x=5时,=2;x=8时,=1;
所以A={-3,-6,6,3,2,1}.
答案:{-3,-6,6,3,2,1}
4.(4分)若集合A={x|ax+1=0,x∈R}不含有任何元素,则实数a=________. ?
【解析】由题意得,关于x的方程ax+1=0没有实数根,(1)当a=0时,原方程可化为1=0,没有实数根,符合题意;
(2)当a≠0时,x=-,不符合题意.
综上,a=0.
答案:0
【加练·固】已知集合{b}={x∈R|ax2-4x+1=0,a,b∈R},则a+b= ( )
A. 0或1 B.
C. D.或
【解析】选D.因为集合{b}为单元素集,所以集合{x∈R|ax2-4x+1=0,a,b∈R}也只有一个元素b,
所以方程ax2-4x+1=0只有一个解,
①当a=0时,方程只有一个解x=,
即b=,满足题意,此时a+b=0+=;
②当a≠0时,则Δ=42-4a=0,解得a=4,
方程只有一个解x=,满足题意,此时
a+b=4+=.
综上所述,a+b=或.
5.(14分)用适当的方法表示下列对象构成的集合:
(1)绝对值不大于2的所有整数.
(2)方程组的解.
(3)函数y=图象上的所有点.
【解析】(1)因为|x|≤2,且x∈Z,所以x的值为-2,-1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数组成的集合为{-2,-1,0,1,2}.
(2)解方程组得
故用列举法表示方程组的解为{(0,1)}.
(3)函数y=图象上的点可以用坐标(x,y)表示,其满足的条件是y=,所以用描述法表示为.
1.两边长分别为3,5的三角形中,第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________,用描述法表示为________. ?
【解析】设三角形第三边长度为x,根据三角形三边长度的关系得:x>5-3,x>2; x<5+3,x<8,所以x的取值范围为:2用描述法表示为{x|2答案:{3,4,5,6,7} {x|2【加练·固】集合{x|x为一条边长为2,一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为________.?
【解析】当2为底边时,30°角可以是顶角或底角,有两种情形;当2为腰长时,
30°角也可以是顶角或底角,也有两种情形,故集合中有4个元素.
答案:4
2.已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}.
求证:(1)3∈A.
(2)偶数4k-2(k∈Z)不属于A.
【证明】(1)因为3=22-12,所以3∈A.
(2)设4k-2∈A,则存在m∈Z,n∈Z,使4k-2=m2-n2=(m+n)(m-n)成立,
①当m,n同奇或同偶时, m-n,m+n均为偶数,
所以(m+n)(m-n)为4的倍数,与4k-2不是4的倍数矛盾.
②当m,n一奇,一偶时,m-n,m+n均为奇数,
所以(m+n)(m-n)为奇数,与4k-2是偶数矛盾.
综上4k-2?A.
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课件60张PPT。第2课时
集合的表示 1.列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法.【思考】
(1)一一列举元素时,需要考虑元素的顺序吗?
提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.
例如:{a,b}与{b,a}表示同一个集合.(2)数集R可以写为{实数集}、{全体实数}、{R}吗?
提示:实数集R可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的.因为花括号“{ }”表示“所有”“整体”的含义.2.描述法
(1)设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}.(2)具体步骤:
①在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围.
②画一条竖线.
③在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.{(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢?
提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式x >1的解集可以用列举法表示. ( )
(2){x∈Z|x=2k,k∈Z}与{x∈Z|x=2k,k∈N}是相等的集合. ( )(3)集合{(1,2)}和{1,2}表示同一个集合. ( )
(4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合.
( )提示:(1)×.不等式x>1的解集中有无限多个元素,无法一一列出,不能用列举法表示.
(2)×.{x∈Z|x=2k,k∈Z }表示所有偶数构成的集合,{x∈Z| x =2k,k ∈N } 表示所有非负偶数构成的集合,两个集合是不相等的.(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2),而{1,2}中有两个元素1和2.
(4)√.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的所有实数,故表示同一个集合.2.用列举法表示集合{x∈N*|x-3≤2}为 ( )
A.{0,1,2,3,4} B. {0,1,2,3,4,5}
C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
【解析】选D.集合{x∈N*|x-3≤2}={x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数,则{x∈N*|x-3≤2}=
{x∈N*|x≤5}={1,2,3,4,5}.3.第一象限的点组成的集合可以表示为 ( )
A.{(x,y)|xy>0} B.{(x,y)|xy≥0}
C.{(x,y)|x>0且y>0} D.{(x,y)|x>0或y>0}
【解析】选C. 第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0,所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x,y)|x>0且y>0}.类型一 列举法表示集合
【典例】用列举法表示下列集合:
(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合.
(2) “Welcome”中的所有字母构成的集合.
(3) 2022年冬奥会的主办城市组成的集合. (4)函数y=2x-1的图象与坐标轴交点组成的集合.【思维·引】
先明确集合中的元素是什么,然后把元素一一列举出来(注意不重复),并用“{ }”括起来,元素间用分隔号“,”.【解析】(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1和2,因此可以用列举法表示为{1,2}.
(2)由于“Welcome”中包含的字母有W,e,l,c,o,m,共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,o,m}.
(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市,因此可以用列举法表示为{北京,张家口}.(4)函数y=2x-1的图象与x轴的交点为 ,与y轴的交
点为(0,-1),因此可以用列举法表示为 . 【内化·悟】
1.对于数集与平面直角坐标系内的点集,用列举法表示时有什么区别?
提示:数集中的元素直接表示出来即可,点集中的元素要用有序数对的形式表示.2.对于含较多元素或无限个元素的集合,能用列举法表示吗?
提示:如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.如正整数集{1,2,3,4,…},就不能写成{2,1,4,3,…}.【类题·通】
1.用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.
(3)用花括号括起来.2.在用列举法表示集合时的关注点
(1)用列举法书写集合时,先应明确集合中的元素是什么.如本题(4)是点集,而非数集.集合的所有元素用有序数对表示,并用“{ }”括起来,元素间用分隔号“,”.(2)元素不重复,元素无顺序,所以本题(1)中,{1,1,2}为错误表示.又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合.【习练·破】
用列举法表示下列集合:
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的
集合.
(2)式子 (a≠0,b≠0)的所有值组成的集合.【解析】(1)满足条件的数有3,5,7,
所以所求集合为{3,5,7}.
(2)因为a≠0,b≠0,
所以a与b可能同号也可能异号,
所以①当a>0,b>0时, =2;②当a<0,b<0时, =-2;
③当a>0,b<0或a<0,b>0时, =0.
故所有的值组成的集合为{-2,0,2}.【加练·固】
用列举法表示下列集合:
(1)已知集合P={x|x=2n,0≤n≤2,且n∈N}.
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.
(3)x2-4的一次因式组成的集合.
(4)由方程组 的解所组成的集合.【解析】(1)用列举法表示为P={0,2,4}.
(2)用列举法表示为{6,9,12}.
(3)用列举法表示为{x+2,x-2}.
(4)用列举法表示为{(1,2)}.类型二 描述法表示集合
【典例】1.已知集合A={1,2,3,4,5}, B={(x,y)|x∈A,
y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为 ( )
A.3 B.6 C.8 D.102.用描述法表示下列集合:
(1)小于10的所有非负整数构成的集合;
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合;
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合;
(4)集合{1,3,5,7,…}. 世纪金榜导学号
【思维·引】
1.先根据x∈A,y∈A,x-y∈A,求出集合B中的元素,再统计个数.
2.先确定集合的一个特征性质,再用描述法的形式表示出来.【解析】1.选D.x=5,y=1,2,3,4;x=4,y=1,2,3;
x=3,y=1,2;x=2,y=1,共10个.2.(1)小于10的所有非负整数构成的集合,用描述法可表示为{x|0≤x<10,x∈Z};
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合,用描述法可表示为{x||x|>3};(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0};
(4){1,3,5,7,…}用描述法可表示为{x|x=2k-1,k∈N+}.【内化·悟】
1.描述法中的代表元素一般有哪几种?
提示:{x|p(x)}表示数集,{(x,y)|p(x,y)}表示点集.
2.常用什么式子表示集合中元素具有的共同特征?
提示:常用方程、不等式等.【类题·通】
1.描述法表示集合的两个步骤2.用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,
{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.【习练·破】
1.已知集合M={x|x=7n+2,n∈N},则2 018______M,
2 019________M.(填“∈”或“?”)?
【解析】因为2 018=7×288+2,2 019=7×288+3,
所以2 018∈M,2019?M.
答案:∈ ?2.用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集.
(2)被5除余2的正整数集合.
(3)坐标平面内坐标轴上的点集.
(4)坐标平面内不在第一、三象限的点的集合.【解析】(1){x|x=2n,n∈N+}.
(2){x|x=5n+2,n∈N}.
(3){(x,y)|xy=0}.
(4){(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}.【加练·固】
用描述法表示下列集合.
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
(3)函数y=x2-2图象上所有的点组成的集合.【解析】(1){x∈R|x2-2=0}.
(2){x∈Z|10(3){(x,y)|y=x2-2}.类型三 集合表示方法的综合应用
【典例】1.若集合A={x|mx2+2x+m=0,m∈R}中有且只有一个元素,则m的取值集合是__________.?
2.用适当的方法表示下列集合.
(1)36与60的公约数组成的集合.(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合.
(3)不等式x-2>6的解的集合.
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.
世纪金榜导学号【思维·引】
1.转化为关于x的方程mx2+2x+m=0只有一个实数根,求出m的值.
2.选择适当的表示方法的原则是列举法通常用于表示元素个数较少的集合,描述法通常用于表示元素具有明显共同特征的集合.【解析】1.当m=0时,方程mx2+2x+m=0为2x=0,解得x=0,A={0};
当m≠0时,若集合A只有一个元素,
则一元二次方程mx2+2x+m=0有相等实根,
所以判别式Δ=22-4m2=0,解得m=±1;综上,当m=0或m=±1时,集合A只有一个元素.
所以m的值组成的集合B={-1,0,1}.答案:{-1,0,1}
2.(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}.
(2){x|x=2n+1且x<1 000,n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1,2,3,4,5,6}.【素养·探】
在与集合的表示方法有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象,通过研究集合中元素具有的共同特征,抽象出方程、不等式、函数等有关问题,并选用恰当的方法进行解答.将本例1的条件改为“A={x|mx2-2x+3=0,m∈R}”,若A中元素至多只有一个,求m的取值集合.【解析】①当m=0时,原方程为-2x+3=0,x= ,符合题
意.
②当m≠0时,方程mx2-2x+3=0为一元二次方程,由Δ=4-
12m≤0,得m≥ ,即当m≥ 时,方程mx2-2x+3=0无实
根或有两个相等的实数根,符合题意.
由①②知m=0或m≥ .【类题·通】
1.解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
(2)若已知集合是用列举法给出的,整体把握元素的共同特征是解题的关键.2.方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素,明确元素的特征性质.
(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用.【习练·破】
用描述法表示下列集合:
(1)所有被5整除的数.
(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合.【解析】(1){x|x=5n,n∈Z}.
(2){(x,y)|-1≤x≤ ,- ≤y≤1,且xy≥0}.【加练·固】
已知集合A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)
+q=x+3},当A={2}时,集合B= ( )
A.{1} B.{1,2} C.{2,5} D.{1,5}【解析】选D.由A={x|x2+px+q=x}={2}知
22+2p+q=2,且Δ=(p-1)2-4q=0.
计算得出,p=-3,q=4.
则(x-1)2+p(x-1)+q=x+3
可化为(x-1)2-3(x-1)+4=x+3;即(x-1)2-4(x-1)=0;
则x-1=0或x-1=4,
计算得出,x=1或x=5.
所以集合B={1,5}.
