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课堂检测·素养达标
1.命题p:(a+b)·(a-b)=0,q:a=b,则p是q的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选B.由命题p:(a+b)·(a-b)=0,得:
|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故p是q的必要条件.
2.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中,真命题是 ( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
【解析】选B.若a=b,则ac=bc;若ac=bc,则a不一定等于b,故“ac=bc”是“a=b”的必要条件.
3.设集合M={x|0【解析】由于NM,所以“a∈N”?“a∈M”,
所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件.
答案:必要
【新情境·新思维】
有一个圆A,在其内又含有一个圆B.请回答:命题:“若点在B内,则点一定在A内”中,“点在B内”是“点在A内”的什么条件;“点在A内”又是“点在B内”的什么条件.
【解析】如图,因为“点不在A内?点一定不在B内”为真,所以“点在B内”是“点在A内”的充分条件;“点在A内”是“点在B内”的必要条件.
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课堂检测·素养达标
1.“-1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.因为{x|-2.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.“a>b”推不出“a2>b2”,
例如,2>-3,但4<9;“a2>b2”也推不出“a>b”,
例如,9>4,但-3<2.
3.若“x>a”是“x>2”的充分条件,则实数a的取值范围是________.?
【解析】由题意得{x|x>a}?{x|x>2},所以a≥2.
答案:a≥2
4.函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________.?
【解析】函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k>0,b>0.
答案:k>0,b>0
【新情境·新思维】
在下列电路图中,分别判断闭合开关A是灯泡B亮的什么条件:
【解析】如题干图(1)所示,开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件;
如题干图(2)所示,开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件;
如题干图(3)所示,开关A闭合是灯泡B亮的充要条件;
如题干图(4)所示,开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件.
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课时素养评价 七
充 要 条 件
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.“x>a”是“x>|a|”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当x>a时,如x=1,a=-1,x=|a|,
所以x>ax>|a|,显然x>|a|?x>a,
所以“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件.
2.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.本题采用特殊值法:
当a=3,b=-1时,a+b>0,但ab<0,故不是充分条件;
当a=-3,b=-1时,ab>0,但a+b<0,故不是必要条件.所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.
3.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是
( )
A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件
C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
【解析】选A、B、D.A正确,Δ=b2-4ac≥0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;
B正确,Δ=b2-4ac=0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;
C错误,Δ=b2-4ac>0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;
D正确,Δ=b2-4ac<0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根.
4.设全集为U,在下列条件中,是B?A的充要条件的有 ( )
①A∪B=A;②(UA)∩B=?;③UA?UB;
④A∪(UB)=U.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.画出Venn图可知,
B?A?A∪B=A;B?A?(UA)∩B=?;
B?A?UA?UB;
B?A?A∪(UB)=U.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空
(1)m=1是函数y=为二次函数的______条件.?
(2)△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的______条件.?
【解析】(1)当m=1时,函数y=x2为二次函数.反之,当函数y=为二次函数时,
m2-4m+5=2,解得m=3或m=1,
所以m=1是函数y=为二次函数的充分不必要条件.
(2)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,
所以△ABC是锐角三角形?∠ABC为锐角,
∠ABC为锐角△ABC是锐角三角形,
所以△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的充分不必要条件.
答案:(1)充分不必要 (2)充分不必要
6.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.?
【解析】一元二次方程x2-4x+n=0有实数根?(-4)2-4n≥0?n≤4.又n∈N*,则n=4时,方程x2-4x+4=0,有整数根2;n=3时,方程x2-4x+3=0,有整数根1,3;n=2时,方程x2-4x+2=0,无整数根;
n=1时,方程x2-4x+1=0,无整数根.所以n=3或n=4.
答案:3或4
三、解答题
7.(16分)在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)
(1)p:∠C=90°;q:△ABC是直角三角形.
(2)p:a,b至少有一个不为零;q:a2+b2>0.
(3)p:a+1>b;q:a>b.
(4)p:-5x2ym与xny是同类项;q:m+n=3.
【解析】(1)由题意得,p?q,qp,
所以p是q的充分不必要条件;
(2)若a,b至少有一个不为零,则a2,b2至少有一个大于零,所以a2+b2>0,反之由a2+b2>0也可推出a,b至少有一个不为零,所以p?q,
所以p是q的充要条件.
(3)p:a+1>b,q:a>b,
因为a+1>a,所以q?p,pq,
所以p是q的必要不充分条件.
(4)若-5x2ym与xny是同类项,
则m=1,n=2,所以m+n=3,
当m+n=3时,-5x2ym与xny不一定是同类项,
所以p?q,qp,所以p是q的充分不必要条件.
(15分钟·30分)
1.(4分)设P,Q是非空集合,命题甲为P∩Q=P∪Q;命题乙为:P?Q,那么甲是乙的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.P∩Q=P∪Q?P=Q?P?Q,
当PQ时,P∩Q≠P∪Q,所以P?QP∩Q=P∪Q,所以甲是乙的充分不必要条件.
2.(4分)若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)= -a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.若φ(a,b)=0,即=a+b,
两边平方得ab=0,若a=0,
则=b,所以b≥0,
若b=0,则=a,所以a≥0,故具备充分性.
若a≥0,b≥0,ab=0,则不妨设a=0.
φ(a,b)=-a-b=-b=0.故具备必要性.
3.(4分)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是 ( )
A.b=c=0 B.b=0且c≠0
C.b=0 D.b≥0
【解析】选C.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称?-=0?b=0.
4.(4分)已知p:-1【解析】因为q是p的必要不充分条件,
所以p?q,qp,
所以{x|-1所以m+1>3,解得m>2.
答案:m>2
【加练·固】已知p:0【解析】因为由2x-3因为p是q充分不必要条件,所以{x|0答案:m≥3
5.(14分)设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|,
(1)充分性(p?q):如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,
则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.
当xy>0时,即x>0,y>0,或x<0,y<0,
又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),
|x|+|y|=-x-y,所以等式成立.
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
(2)必要性(q?p):若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,
则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,
所以|xy|=xy,所以xy≥0.
由(1)(2)可得,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
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课时素养评价 六
充分条件与必要条件
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.“a和b都是奇数”是“a+b也是偶数”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.两个奇数的和是偶数,但和为偶数的两个数有可能是两个偶数,不一定是两个奇数,所以“a和b都是奇数”?“a+b也是偶数”,“a+b也是偶数”“a和b都是奇数”.所以“a和b都是奇数”是“a+b也是偶数”的充分条件.
【加练·固】已知p:>0,q:xy>0,则p是q的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选C.>0?“x>0且y>0”或“x<0且y<0”?xy>0,所以p是q的充分条件也是必要条件.
2.已知命题“若p,则q”,假设“若q,则p”为真,则p是q的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选B.“若q,则p”为真,即q?p,所以p是q的必要条件.
3.aA.a+b<0 B.a-b>0
C.>1 D.<-1
【解析】选A.因为a4.(多选题)有以下说法,其中正确的为 ( )
A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件
D.“x>3”是“x2>4”的充分条件
【解析】选A、C、D.A正确,因为“m是有理数”?“m是实数”,
所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件;
B不正确,因为“x∈A”“x∈A∩B”,所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件;
C正确,由于“x=3”?“x2-2x-3=0”,故“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件;
D正确.由于“x>3”?“x2>4”,所以“x>3”是“x2>4”的充分条件.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.用“充分”或“必要”填空:
(1)“x≠3”是“|x|≠3”的______条件.?
(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的______条件.?
【解析】(1)当|x|≠3时,x≠±3,
所以“x≠3”“|x|≠3”,“|x|≠3”?“x≠3”,所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件.
(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除,所以“个位数字是5的自然数”?“这个自然数能被5整除”;“这个自然数能被5整除”“个位数字是5的自然数”,所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.
答案:(1)必要 (2)充分
6.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的______条件.(填“充分”或“必要”)?
【解析】当A∩B={4}时,m2=4,
所以m=±2.所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件.
答案:充分
三、解答题
7.(16分)下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?哪些命题中的p是q的必要条件?
(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除.
(2)p:x>1,q:x2>1.
(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形.
(4)p:A∩B=A,q:UB?UA.
【解析】(1)数a能被6整除,则一定能被3整除,反之不一定成立.即p?q,qp,
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.
(2)因为x2>1?x>1或x<-1,
所以p?q,且qp.
所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.
(3)△ABC中,有两个角相等时为等腰三角形,不一定为正三角形,即pq,且q?p,
所以p不是q的充分条件,但p是q的必要条件.
(4)画出Venn图(如图)可得.
结合图形可知,A∩B=A?A?B?UB?UA,
反之也成立.所以p是q的充分条件,且p是q的必要条件.
(15分钟·30分)
1.(4分)若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则 ( )
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.x∈A必有x∈C,但反之不一定成立,所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
2.(4分)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 ( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件,也是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
【解析】选A.因为甲是乙的必要条件,
所以乙?甲.
又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,
所以丙?乙,但乙丙,如图.
综上,有丙?甲,但甲丙,
即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
3.(4分)给出下列四个条件:①a>0,b>0;②a<0,b<0;③a=3,b=-2;④a>0,b<0且|a|>|b|,其中________是a+b>0的充分条件.(填序号) ?
【解析】问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件;对应即为“谁”?“a+b>0”.“a>0,b>0”?“a+b>0”,“a=3,b=-2”?“a+b=1>0”,“a>0,b<0且|a|>|b|”?“a+b>0”故①③④正确,而②中“a<0,b<0”?“a+b<0”不正确.
答案:①③④
4.(4分)条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围________. ?
【解析】x>1?x>a,令A={x|x>1},
B={x|x>a},则A?B,所以a≤1.
答案:a≤1
5.(14分)已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.
【解析】若a2-b2=1,
则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2
=a2+b2-2b2=a2-b2=1,
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.
a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件,
证明如下:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,
即a4-(b2+1)2=0,
所以(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,
因为a2+b2+1≠0,所以a2-b2=1,
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.
【加练·固】已知a,b是实数,且ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件是a+b=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.
【解析】若a+b=1,即b=1-a,
a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
所以a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件,
a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的必要条件,
证明如下:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
因为ab≠0,
所以a≠0且b≠0,
所以a2-ab+b2≠0,
故a+b=1.
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课件48张PPT。1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件【思考】
在逻辑推理中,p?q能表达成哪几种说法?
提示:以下5种说法:
①“若p,则q”为真命题;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.2.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)“x=3”是“x2=9”的必要条件. ( )
(2)“x>0”是“x>1”的充分条件. ( )
(3)如果p是q的充分条件,则p是唯一的. ( )提示:(1)×.因为“x2=9” “x=3”.
(2)×.因为“x>0” “x>1”.
(3)×.不唯一,如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.2.x,y∈R,下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条
件? ( )
A.x+y=0 B.x2+y2>0
C.x-y=0 D.x3+y3≠0【解析】选B.因为xy≠0?x≠0且y≠0?x2>0
且y2>0?x2+y2>0,所以“x2+y2>0”是“xy≠0”的必要条件.
3.在平面内,下列是“四边形是矩形”的充分条件的
是 ( )
A.四边形是平行四边形且对角线相等
B.四边形两组对边相等
C.四边形的对角线互相平分
D.四边形的对角线垂直【解析】选A.因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以“四边形是平行四边形且对角线相等”是“四边形是矩形”的充分条件.类型一 充分条件
【典例】1.设x∈R,则使x>3.14成立的一个充分条件
是 ( )
A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x<42.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q
的充分条件? 世纪金榜导学号
(1)若a∈Q,则a∈R;(2)若a(3)若x>1,则x2>1.
(4)若(a-2)(a-3)=0,则a=3.(5)在△ABC中,若A>B,则BC>AC.
(6)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.
【思维·引】
1.我们平常说充分条件时,一般是“p是q的充分条件”,而这里是“x>3.14”的充分条件是( ).这个语序有些类似于英语的“倒装句”应改写为( )是“x>3.14”的充分条件”即:( )?“x>3.14”.
2.逐个判断“若p,则q”是否为真命题.【解析】1.选C.因为x>4?x>3.14,
所以x>3.14的一个充分条件是x>4.
2.(1)由于Q R,所以p?q,
所以p是q的充分条件.(2)由于a1;当b>0时, <1,
因此p q,所以p不是q的充分条件.
(3)由x>1可以推出x2>1.因此p?q,
所以p是q的充分条件.
(4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3,因此p q,所以p不是q的充分条件.(5)由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC.因此p?q,所以p是q的充分条件.
(6)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,
由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p?q,
所以p是q的充分条件.【素养·探】
在与充分条件判断有关的问题中,经常利用核心素养
中的逻辑推理,以命题真假判断为背景,理解充分条件
和必要条件.
将本例2(2)的条件改为“若0断?【解析】当0 ;
当00,b>0时,有b< ;
因此p q,所以p不是q的充分条件.【类题·通】
充分条件的两种判断方法
(1)定义法:(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.【习练·破】
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?
(1)若x2=y2,则x=y.
(2)若内错角相等,则两直线平行.(3)若整数a能被4整除,则a的个位数字为偶数.
(4)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0.
【解析】(1)若x2=y2,则x=y或x=-y,
因此p q,所以p不是q的充分条件.
(2)若内错角相等,则两直线平行是真命题,
所以p?q,所以p是q的充分条件.(3)若整数a能被4整除,则a是偶数,
所以a的个位数字为偶数;
所以p?q,所以p是q的充分条件.
(4)因为(x-1)2+(y-2)2=0?x=1且y=2
?(x-1)·(y-2)=0,
所以p?q,所以p是q的充分条件.【加练·固】
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?
(1)若ab>0,则a>0,b>0.
(2)若两个三角形相似,则两个三角形全等.(3)若x为无理数,则x2为无理数.
(4)若x=1,则x2-4x+3=0.
【解析】(1)ab>0?a>0,b>0或a<0,b<0 a>0,b>0,因
此p q,所以p不是q的充分条件.
(2)因为两个三角形相似不一定全等,
因此p q,所以p不是q的充分条件.(3)若x为无理数,则x2不一定为无理数;例如 为无理
数,则( )2=2不为无理数;
因此p q,所以p不是q的充分条件.
(4)因为x=1?x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0,
所以x=1是x2-4x+3=0的充分条件,
所以p?q,所以p是q的充分条件.类型二 必要条件
【典例】1.使|x|=x成立的一个必要条件是 ( )
A.x<0 B.x≥0或x≤-1
C.x>0 D.x≤-12.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p
的必要条件? 世纪金榜导学号
(1)若|x|=|y|,则x=y;
(2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形;
(3)p:x=1,q:x-1= ;(4)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5;
(5)p:a是自然数,q:a是正整数;
(6)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.
【思维·引】
1.这个语序应改写为( )是|x|=x的必要条件,
即:|x|=x?( ).
2.逐个判断“若p,则q”是否为真命题.【解析】1.选B.因为|x|=x?x≥0
?x≥0或x≤-1,所以使|x|=x成立的一个必要条件是x≥0或x≤-1.
2.(1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,
因此p q,所以q不是p的必要条件;(2)直角三角形不一定是等腰三角形.
因此p q,所以q不是p的必要条件.
(3)当x=1时,x-1= =0,
所以p?q,所以q是p的必要条件;(4)当x=-2时,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所
以p q,所以q不是p的必要条件;
(5)0是自然数,但是0不是正整数,所以p q,
所以q不是p的必要条件;
(6)等边三角形一定是等腰三角形,
所以p?q,所以q是p的必要条件.【内化·悟】
已知q是p的必要条件,q成立,p是否成立?q不成立,p是否成立?
提示:q成立,p未必会成立.q不成立,p一定不成立.【类题·通】
必要条件的两种判断方法
(1)定义法:(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.【习练·破】
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若a是1的平方根,则a=1.
(2)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=12.(3)若a是无理数,则a是无限小数.
(4)若a与b互为相反数,则a与b的绝对值相等.
【解析】(1)1的平方根是±1,
所以p q,所以q不是p的必要条件.
(2)因为4x2-mx+9=(2x±3)2,
所以m=±12,所以p q,
所以q不是p的必要条件.(3)因为无理数是无限不循环小数,
所以p?q,所以q是p的必要条件.
(4)若a与b互为相反数,则a与b的绝对值相等,所以p?q,所以q是p的必要条件.【加练·固】
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若a+5是无理数,则a是无理数.
(2)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等.(3)若(x-a)(x-b)=0,则x=a.
(4)若a和b都是偶数,则a·b是偶数.
【解析】(1)若a+5是无理数,则a+5是无限不循环小数,所以a是无限不循环小数,
所以a是无理数,所以p?q,所以q是p的必要条件.
(2)全等三角形面积相等,所以p?q,所以q是p的必要条件.(3)若(x-a)(x-b)=0,则x=a或x=b;
所以p q,所以q不是p的必要条件.
(4)两个偶数的乘积仍是偶数.
所以p?q,所以q是p的必要条件.
课件61张PPT。1.4.2
充 要 条 件 充要条件
(1)定义:若p?q且q?p,则记作p?q,此时p是q的充分必要条件,简称充要条件.(2)条件与结论的等价性:如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
(3)概括:如果p?q,那么p与q互为充要条件.
【思考】
(1)符号“?”的含义是什么?
提示:“?”表示“等价”,如“A与B等价”指的是“如果A,那么B”,同时有“如果B,那么A”,或者说“从A推出B”,同时可“从B推出A”.(2)命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类?
提示:①充分必要条件(充要条件),即 p?q且q?p.
②充分不必要条件,即p?q且q p.
③必要不充分条件,即p q且q?p.
④既不充分又不必要条件,即p q且q p.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成
立. ( )
(2)若p q和q p有一个成立,则p一定不是q的充要
条件. ( )(3)若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要条件. ( )
提示:(1)√.当p是q的充要条件时,p?q,且q?p,故说成q成立当且仅当p成立,这种说法正确.
(2)√.若p q或q p,则p不是q的充分条件,或p不是q的必要条件,故此说法正确.
(3)√.因为p?q,q?r,所以p?r,
所以p是r的充要条件.2.“a+b<0”是“a<0,b<0”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.充要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a与b异号且负数绝对值大时,也有
a+b<0,所以“a+b<0” “a<0,b<0”,
显然“a<0,b<0”?“a+b<0”,所以“a+b<0”是
“a<0,b<0”的必要而不充分条件.3.点P(x,y)是第二象限的点的充要条件是 ( )
A.x<0,y<0 B.x<0,y>0
C.x>0,y>0 D.x>0,y<0【解析】选B.第二象限的点横坐标小于0,纵坐标大于0,所以点P(x,y)是第二象限的点的充要条件是x<0,y>0.类型一 充要条件的判断
【典例】1.“b2=ac”是“ 成立”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.充要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件2.下列各题中,哪些p是q的充要条件? 世纪金榜导学号
(1)p:x≠0,q:x+|x|>0
(2)p:关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解;
q:a>0(3)p:ab>0,a,b∈R;q:|a+b|=|a|+|b|
(4)p:c=0;q:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点
【思维·引】
1.依据等式两边同乘以非零实数,等式仍成立判断.
2.p?q和q?p有一个不成立,p不是q的充要条件.【解析】1.选C.b2=ac ,如b=0,c=0时,b2=ac,而 无意义.但 ?b2=ac,
所以“b2=ac”是“ ”的必要不充分条件.2.(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0,如x=-1时,x+|x|=0,
而x+|x|>0,所以p q,
所以p不是q的充要条件
(2)若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a≠0,
所以p q,所以p不是q的充要条件(3)因为a=0时,也有|a+b|=|a|+|b|,
所以q p,所以p不是q的充要条件.
(4)当c=0时,函数y=ax2+bx的图象经过原点;当y=ax2
+bx+c(a≠0)的图象经过原点时,0=a×02+b×0+c,所
以c=0,
所以p?q,所以p是q的充要条件.【内化·悟】
根据充分必要条件的定义和判断方法,你能总结一个记忆口诀吗?
提示:顺向为充(原命题真),逆向为必(逆命题为真).【类题·通】
从命题角度判断p是q的充分必要条件
(1)原理:判断p是q的充分必要条件,主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.(2)方法:
①若p?q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
②若q?p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;
③若二者都成立,则p与q互为充要条件.【习练·破】
下列各题中,哪些p是q的充要条件?
(1)p:x2=3x+4; q:x= .
(2)p:a是自然数; q:a是正数.
(3)p:a=1; q:a的倒数是其本身.(4)p:点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等;
q:a=1或a=0.
【解析】(1)当x=-1时,x2=3x+4,
但是x= =1
所以p q,所以p不是q的充要条件.
(2)0是自然数,但是0不是正数,
所以p q,所以p不是q的充要条件.(3)倒数是其本身的有±1,
所以q p,所以p不是q的充要条件.
(4)当a=1时,点P(1,1)到两坐标轴距离相等,
当a=0时,点P(2,-2)到两坐标轴距离相等,
当点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等时,|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.
所以p?q,所以p是q的充要条件.
【加练·固】
下列各题中,哪些p是q的充要条件?
(1)p:x=y;q:
(2)p:∠1=∠2;q:∠1与∠2是对顶角.
(3)p:反比例函数y= 的图象在第二、四象限;q:m<5.
(4)p:a> ;q:a≥1.【解析】(1)当a=0时,p q,
所以p不是q的充要条件.
(2)对顶角相等,但相等的角不一定是对顶角,所以p
q,所以p不是q的充要条件.
(3)反比例函数y= 的图象在第二、四象限?m-5<0
?m<5,所以p是q的充要条件.(4)当a=- 时,a> ,所以p q,
所以p不是q的充要条件.类型二 充要条件的证明
【典例】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 世纪金榜导学号【思维·引】
从充分性和必要性两个方面进行证明.【证明】设p:a+b+c=0;q:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
(1)充分性(p?q):因为a+b+c=0,
所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中
得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1,(2)必要性(q?p):
因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.
所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【素养·探】
在与充要条件的证明有关的问题中,经常利用核心素
养中的逻辑推理,通过命题真假的证明,判断充分、必
要条件,提高分析、推理、论证的能力.
将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一
个负根”,“a+b+c=0”改为“ac<0”,如何证明?【证明】设p:ac<0; q:关于x的方程ax2+bx+c=0有一
个正根和一个负根,
(1)充分性(p?q):因为ac<0,
所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,由
根与系数关系可知这两个根的积为 <0,
所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.(2)必要性(q?p):因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和
一个负根,由根与系数的关系可知这两个根的积为
<0,所以ac<0.
由(1)(2)可得,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和
一个负根的充要条件是ac<0.【类题·通】
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒:证明时一定要注意,分清充分性与必要性的证明方向.【习练·破】
已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:xy>0是
的充要条件.【证明】设p:xy>0; q: .
(1)充分性(p?q):由xy>0及x>y,
得 (2)必要性(q?p):
由 ,得 <0,即 <0,
又由x>y,得y-x<0,所以xy>0.
由(1)(2)可得,xy>0是 的充要条件.
【加练·固】
求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件.【解析】①当a=0时,解得x=-1,满足条件;
②当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根,则a<0;
若方程有两个负的实根,
则必须满足 解得0反之,若a≤ ,则方程至少有一个负的实根.
因此,关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤ .类型三 用集合观点解充分条件、必要条件问题
【典例】1.已知p:点M(1-a,2a+6)在第四象限,q:a<1,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件2.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】1.第四象限内的点横坐标大于0,纵坐标小于0.
依据“小范围”推“大范围”,“大范围”推不出“小范围”判断.2.先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系,建立关于m的不等式(组)进行求解.
【解析】1.选A.因为点M(1-a,2a+6)在第四象限,
所以 解得a<-3.
因为{a|a<-3} {a|a<1},所以p?q,q p,
所以p是q的充分不必要条件.2.p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m} {x|-2≤x≤10},
故有 解得m≤3.
又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0在用集合观点解充分条件、必要条件的问题中,经常利用核心素养中的直观想象,通过研究充分条件和必要条件与集合的关系,培养借助集合解决问题的能力.将本例2的“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件,
设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以A B.
所以
解不等式组得m>9或m≥9,所以m≥9,
即实数m的取值范围是{m|m≥9}.【类题·通】
从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.【习练·破】
设p:实数x满足a0),q:实数x满足2所以q对应的集合是p对应集合的真子集,
所以{x|2则 得 即实数a的取值范围是 已知p:-1所以p对应的集合是q对应集合的真子集,
所以{x|-1所以 ?-2≤k≤1.