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课堂检测·素养达标
1.下列命题是全称量词命题的是 ( )
A.有的三角形是等边三角形
B.所有2的倍数都是偶数
C.有一个实数,使|x|≤0
D.至少有一个x∈{x|x是无理数},x2是无理数
【解析】选B.对于A、C、D中,分别含有存在量词“有的”“有一个”“至少有一个”,所以A、C、D都是存在量词命题,B中含有全称量词“所有”,所以B是全称量词命题.
2.下列命题中是真命题的是 ( )
A.?x∈R,x2+1<0
B.?x∈Z,3x+1是整数
C.?x∈R,|x|>3
D.?x∈Q,x2∈Z
【解析】选B.A是假命题.因为?x∈R,x2+1≥1;
B是真命题.当x=1时,3x+1=4是整数;
C是假命题.如x=2,|x|<3;
D是假命题.如x=,x2?Z.
3.下列命题中,是全称量词命题的有________,是存在量词命题的有________. (填序号)?
①有的集合的真子集个数为0;②所有有两个角是60°的三角形是等边三角形;③任意一个集合与空集的交集都是空集;④至少有一个无理数的平方是有理数;⑤所有正数都是实数吗?
【解析】①④为存在量词命题,②③为全称量词命题,而⑤不是命题.
答案:②③ ①④
4.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是______________(填全称量词命题或存在量词命题),用符号表示为______________.?
【解析】命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是存在量词命题,用符号表示为?x,y∈R,x+y>1.
答案:存在量词命题 ?x,y∈R,x+y>1
【新情境·新思维】
用符号“?”与“?”表示下面含有量词的命题,并判断真假.
(1)不等式x2-x+≥0对一切实数x都成立.
(2)存在实数x,使得=.
【解析】(1)?x∈R,x2-x+≥0恒成立.
x2-x+=≥0,故该命题为真命题.
(2)?x∈R,使得=.
因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
所以≤<.故该命题是假命题.
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课堂检测·素养达标
1.命题“负数的平方是正数”的否定是 ( )
A.负数的平方不是正数
B.有些负数的平方是正数
C.所有负数的平方是正数
D.有些负数的平方不是正数
【解析】选D.该命题的否定:有些负数的平方不是正数.
2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 ( )
A.?x∈R,|x|>0 B.?x∈R,|x|>0
C.?x∈R,|x|≤0 D.?x∈R,|x|≤0
【解析】选C.由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,而命题的否定只否定结论.
3.命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是____________________.?
【解析】该命题的否定:所有三角形的三条中线不相等.
答案:所有三角形的三条中线不相等
4.“?x>0,x+1>”的否定是____________.?
【解析】命题的否定是:?x>0,使x+1≤.
答案:?x>0,使x+1≤
【新情境·新思维】
设集合A={1,2,4,6,8,10,12},试写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:?n∈A,n<12.
(2)q:?x∈{x|x是奇数},x∈A.
【解析】(1)﹁p:?n∈A,n≥12.
因为当n=12时,﹁p成立,所以﹁p是真命题.
(2)﹁q:?x∈{x|x是奇数},x?A.
﹁q是假命题.
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课时素养评价 九
全称量词命题和存在量词命题的否定
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.命题“?x∈R,x2=x”的否定是 ( )
A.?x∈R,x2≠x
B.?x∈R,x2=x
C.?x?R,x2≠x
D.?x∈R,x2≠x
【解析】选D.该命题的否定:?x∈R,x2≠x.
2.已知命题p:?x,y∈Z,x2+y2=2 015,则p为 ( )
A.?x,y∈Z,x2+y2≠2 015
B.?x,y∈Z,x2+y2≠2 015
C.?x,y∈Z,x2+y2=2 015
D.不存在x,y∈Z,x2+y2=2 015
【解析】选A.含有存在量词的命题的否定,只需将存在量词改为全称量词,再将结论否定即可.
所以p为?x,y∈Z,x2+y2≠2 015.
3.设命题p:?x∈Q,x2∈Q,则 ( )
A.命题p的否定为真命题
B.命题p的否定为:?x∈Q,x2?Q
C.命题p的否定为:?x?Q,x2∈Q
D.命题p的否定为:?x∈Q,x2?Q
【解析】选D.因为命题p为真命题,所以命题p的否定为假命题,命题p的否定为:?x∈Q,x2?Q.
4.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是( )
A.所有四边形的内角和都是360°
B.?x∈R,x2+2x+2≤0
C.?x∈{x|x是无理数},x2是无理数
D.对所有实数a,都有|a|>0
【解析】选B、D.A.该命题的否定:有的四边形的内角和不是360°,是假命题;
B.该命题的否定:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.
C.该命题的否定:?x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题;
D.该命题的否定:存在实数a,有|a|≤0,真命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.命题“?x>-1,x2+x-2 019>0”的否定是______.?
【解析】该命题的否定“?x>-1,x2+x-2 019≤0”.
答案:?x>-1,x2+x-2 019≤0
【加练·固】若命题p:?x∈R,<0,则p:________.?
【解析】p:?x∈R,使>0或x-2=0.
答案:?x∈R,使>0或x-2=0
【误区警示】此题最容易出现的错误答案是:?x∈R,使≥0.
6.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为______,此命题的否定是____,是____命题(填“真”或“假”).?
【解析】此命题用符号表示为?x,y∈R,x+y>1,此命题的否定是?x,y∈R,x+y≤1,
原命题为真命题,所以它的否定为假命题.
答案:?x,y∈R,x+y>1 ?x,y∈R,x+y≤1 假
三、解答题
7.(16分)写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)任何有理数都是实数.
(2)存在一个实数a,能使a2+1=0成立.
【解析】(1)该命题的否定:至少有一个有理数不是实数.因为原命题是真命题,所以其否定是假命题.
(2)该命题的否定:任意一个实数a,不能使a2+1=0成立.因为a2=-1在实数范围内不成立,所以原命题是假命题,所以其否定是真命题.
【加练·固】写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:?x∈R,x2-x+≥0.
(2)p:所有的正方形都是菱形.
(3)p:至少有一个实数x,使x3+1=0.
【解析】(1)是全称量词命题,p:?x∈R,x2-x+<0.因为对于任意的x,x2-x+=≥0,所以p为假命题.
(2)是全称量词命题,p:存在一个正方形不是菱形.正方形是特殊的菱形,所以p为假命题.
(3)是存在量词命题,p:?x∈R,x3+1≠0.因为x=-1时,x3+1=0,所以p为假命题.
(15分钟·30分)
1.(4分)?m,n∈Z,使得m2=n2+1 998的否定是 ( )
A.?m,n∈Z,使得m2=n2+1 998
B.?m,n∈Z,使得m2≠n2+1 998
C.?m,n∈Z,使得m2≠n2+1 998
D.以上都不对
【解析】选C.这是一个存在量词命题,其否定为全称量词命题,形式是:?m,n∈Z,使得m2≠n2+1 998.
2.(4分)已知命题p:?x∈{x|1
A.a<1 B.a>3
C.a≤3 D.a≥3
【解析】选D.p是真命题,所以p是假命题;
所以?x∈{x|1所以当13.(4分)已知命题q:“三角形有且只有一个外接圆”,则q为__________. ?
【解析】q为存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.
答案:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆
4.(4分)已知命题p:?x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是______. ?
【解析】因为p为假命题,所以命题p的否定:?x>0,x+a-1≠0是真命题,所以x≠1-a,
所以1-a≤0,所以a≥1.
答案:a≥1
5.(14分)命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定.
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?
【解析】(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,
则需要使的解集不为空集.
a,b应满足的条件是b关闭Word文档返回原板块
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课时素养评价 八
全称量词与存在量词
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.下列命题:
(1)今天有人请假.
(2)中国所有的江河都流入太平洋.
(3)中国公民都有受教育的权利.
(4)每一个中学生都要接受爱国主义教育.
(5)有人既能写小说,也能搞发明创造.
(6)任何一个数除0都等于0.
其中是全称量词命题的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.不少于4个
【解析】选D.(2)(3)(4)(6)都含有全称量词.
2.(多选题)下列命题中是真命题的是 ( )
A.?x∈R,2x2-3x+4>0
B.?x∈{1,-1,0},2x+1>0
C.?x∈N,使≤x
D.?x∈N*,使x为29的约数
【解析】选A、C、D.对于A,这是全称量词命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A为真命题;
对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;
对于C,这是存在量词命题,当x=0时,有≤x成立,故C为真命题;
对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数成立,所以D为真命题.
3.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是 ( )
A.?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
B.?a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
C.?a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
D.?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.A,B不是全称量词命题,故排除;等式a2+b2+2ab=(a+b)2对全体实数都成立.
4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 ( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
【解析】选B.选项A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;
选项B中x=0时,x2=0,所以B既是存在量词命题又是真命题;
选项C中因为+(-)=0,所以C是假命题;
选项D中对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.下列命题,是全称量词命题的是________;是存在量词命题的是________.?
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
【解析】命题①②③中省略了全称量词“所有的”,故①②③是全称量词命题,命题④中含有存在量词“至少有一个”,故④是存在量词命题.
答案:①②③ ④
【加练·固】下列命题:①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③任何一个实数乘以0都等于0;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是________,既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号).?
【解析】①是全称量词命题,是真命题;②是全称量词命题,是真命题;③是全称量词命题,是真命题;④含存在量词“有的”,是存在量词命题,是真命题;⑤是存在量词命题,是真命题;⑥是存在量词命题,是假命题,因为任意三角形内角和为180°.
答案:①②③ ④⑤
6.下列全称量词命题中是真命题的为________.(填序号)?
①负数没有对数;
②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;
③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;
④?x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
【解析】①②③为真命题;当x=y=0时,x2+|y|=0,④为假命题.
答案:①②③
三、解答题
7.(16分)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立.
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交.
(3)?x∈R,<0.
(4)存在实数x,=-x.
【解析】(1)存在量词命题.因为x2+x+8=+>0,所以该命题为假命题.
(2)全称量词命题,如函数y=x2+1的图象与x轴不相交,所以该命题为假命题.
(3)存在量词命题.非负数有算术平方根,且仍为非负数,所以该命题为假命题.
(4)存在量词命题.当x<0时,=-x,所以该命题为真命题.
(15分钟·30分)
1.(4分)设非空集合P,Q满足,P∩Q=Q且P≠Q,则下列命题是假命题的是 ( )
A.?x∈Q,有x∈P
B.?x∈P,有x?Q
C.?x?Q,有x∈P
D.?x?Q,有x?P
【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q,
所以QP,所以集合Q中的元素都是集合P的元素,但是集合P中有元素集合Q中是没有的,所以A,B,C正确,D错误.
2.(4分)已知?x∈{x|0≤x≤2},m>x,?x∈{x|0≤x≤2},n>x,那么m,n的取值范围分别是 ( )
A.m∈{m|m>0},n∈{n|n>0}
B.m∈{m|m>0},n∈{n|n>2}
C.m∈{m|m>2},n∈{n|n>0}
D.m∈{m|m>2},n∈{n|n>2}
【解析】选C.由?x∈{x|0≤x≤2},m>x,可得m>2;由?x∈{x|0≤x≤2},n>x,可得n>0.
3.(4分)下列命题中是真命题的为____.(填序号)?
(1)菱形的每一条对角线平分一组对角;
(2)?x1,x2∈R,且x1(3)?x∈Z,x2的个位数不是2;
(4)方程2x+4y=3的所有解都不是整数解.
【解析】(1)真命题,由菱形的性质可知,该命题是真命题;(2)假命题,如-2<-1,但是(-2)2>(-1)2;(3)真命题,?x∈Z,x2的个位数有可能是0,1,4,5,6,9;(4)真命题,当x,y∈Z时,左边是偶数,右边3是奇数,不可能相等.
答案:(1)(3)(4)
4.(4分)已知命题p:“?x∈R,(a-3)x+1=0”是真命题,则实数a的取值集合是__________. ?
【解析】因为“?x∈R,(a-3)x+1=0”是真命题,所以关于x的方程(a-3)x+1=0有实数解,
所以a-3≠0,即a≠3,所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠3}.
答案:{a∈R|a≠3}
5.(14分)若对于一切x∈R且x≠0,都有|x|>ax,求实数a的取值范围.
【解析】若x>0,由|x|>ax得a<=1,
若x<0,由|x|>ax得a>=-1,
若对于一切x∈R且x≠0,都有|x|>ax,
则实数a的取值范围是-1关闭Word文档返回原板块
课件58张PPT。1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)全称量词命题:含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(3)符号表示:
①将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示.
②全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为:?x∈M,p(x).【思考】
常见的全称量词还有哪些?
提示:常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡是”等.2.存在量词与存在量词命题
(1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)存在量词命题:含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(3)符号表示:存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为:?x∈M,p(x).
【思考】
常见的存在量词还有哪些?
提示:常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”等.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题. ( )
(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. ( )
(3)全称量词命题一定含有全称量词. ( )提示:(1)√.全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)√.存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.(3)×.有些命题虽然没有写出全称量词,但其意义具备“任意性”,这类命题也是全称量词命题,如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误的.2.下列命题中是存在量词命题的是 ( )
A.?x∈R,x2≥0
B.?x∈R,x2<0
C.平行四边形的对边不平行
D.矩形的任一组对边都不相等【解析】选B.A、C、D是全称量词命题,B是存在量词命题.
3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的
是 ( )
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在实数x,平方为8
C.所有菱形的四条边都相等
D.存在一个实数x使不等式x2-3x+6<0成立【解析】选C.A是全称量词命题但是假命题,B、D是存在量词命题,C是全称量词命题且是真命题.类型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【典例】1.下列命题中为全称量词命题的是 ( )
A.有些实数没有倒数
B.矩形都有外接圆
C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
D.?x∈R,x2+x≤22.下列命题中为存在量词命题的是 ( )
A.存在实数x>1,使x2>1
B.全等的三角形必相似
C.相似三角形必全等
D.?x∈N*,(x-2)2>03.判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题. 世纪金榜导学号
(1)有一个实数x,x不能取倒数.
(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.
(3)圆内接四边形,其对角互补.(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
【思维·引】
1.先看是否有全称量词,当没有时,要结合命题的具体
意义进行判断.
2.根据是否有存在量词进行判断.
3.有全称量词的是全称量词命题,有存在量词的是存在
量词命题,当没有时,要结合命题的具体意义进行判断.【解析】1.选B.A、C、D是存在量词命题,B可改写为“所有矩形都有外接圆”,是全称量词命题.2.选A.A是存在量词命题,B、C、D是全称量词命题.
3.(1)含有存在量词“有一个”,故为存在量词命题.
(2)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
(3)可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”,故为全称量词命题.(4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题.
【内化·悟】
通常什么情况下会省略量词?
提示:全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略.【类题·通】
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路【习练·破】
判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.
(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数.
(2)有些三角形不是等腰三角形.
(3)有的实数是无限不循环小数.
(4)所有的正方形都是矩形.【解析】(1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.
(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.【加练·固】
判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)?x∈R,x2+1≥1.
(2)所有的正方形都是菱形.
(3)有些整数只有两个正因数.
(4)有一个实数x,使x2+2x+3=0.【解析】(1)含有全称量词“?”,故为全称量词命题.
(2)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
(3)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(4)含有存在量词“有一个”,故为存在量词命题.类型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【典例】1.判断下列全称量词命题的真假:
(1)所有的有理数都有倒数.
(2)任何实数都有平方根.
(3)?x∈R,使x2+x+1>0.
(4)凸多边形的外角和等于360°.2.判断下列存在量词命题的真假: 世纪金榜导学号
(1)存在有理数x,使x2-2=0.
(2)存在一个x∈R,使 =0.
(3)存在x∈Q,使2x-x3=0.
(4)?x∈Z,使3x+4=5.【思维·引】
1.若每个元素都满足p(x),则是真命题;
若存在一个元素不满足p(x),则是假命题.
2.若存在一个元素满足p(x),则是真命题,否则是假命题.【解析】1.(1)0是有理数,但是0没有倒数,所以此命题
是假命题.
(2)负数没有平方根,所以此命题是假命题.
(3)对于任意的x∈R,x2+x+1= >0恒成立,所以
此命题是真命题.
(4)凸多边形的外角和等于360°是真命题.2.(1)方程x2-2=0无有理数根,所以该命题是假命题.
(2)因为不存在x∈R,使 =0成立,所以该命题是假
命题.
(3)有理数x=0是方程2x-x3=0的一个实数根,所以该命
题是真命题.(4)由于3x+4=5成立时,x= ?Z,因而不存在x∈Z,使
3x+4=5,所以存在量词命题“?x∈Z,使3x+4=5”是假
命题.
【内化·悟】
判断全称量词命题真假时,真命题容易判断还是假命题容易判断?存在量词命题呢?
提示:判断全称量词命题为假比判断其为真容易,只需一个反例即可;判断存在量词命题为真比判断其为假容易,只需一个特例即可.【类题·通】
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
(1)全称量词命题的真假判断.
要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)存在量词命题的真假判断.
要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.
【习练·破】
指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点.(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数.
(3)?x,y∈Z,使3x-4y=20.
(4)任何数的0次方都等于1.
【解析】(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.
(2)存在量词命题.存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.(3)存在量词命题.取x=0,y=-5时,3×0-4×(-5)=20成立,所以该命题是真命题.
(4)全称量词命题.0的0次方无意义,所以该命题是假命题.【加练·固】
指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)?x∈Q,x2=3.
(2)每一个三角形的内角和都是180°.(3)钝角三角形有的高在三角形外部.
(4)对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0.
【解析】(1)存在量词命题.由于使x2=3成立的实数只
有± ,且它们都不是有理数,因此没有任何一个有理
数的平方能等于3,所以该命题是假命题.
(2)全称量词命题.由三角形的内角和定理可知,该命题
是真命题.(3)存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部,所以该命题是真命题.
(4)全称量词命题.a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以该命题是假命题.类型三 全称量词命题与存在量词命题的应用
【典例】1.已知命题p:“?x∈R,关于x的一元二次方
程x2-2 x+m=0有实数根”是真命题,则实数m的取值
范围是 ( )
A.m<3 B.m>3
C.m≤3 D.m≥32.已知命题p:“?x∈R,mx2≥0”是真命题,则实数m的取值范围是__________. 世纪金榜导学号?【思维·引】
1.由题意可知对应的方程有实数解,即Δ≥0.
2.根据x2≥0确定实数m的取值范围.【解析】1.选C.因为关于x的一元二次方程x2-2 x
+m=0有实数根,所以Δ=(-2 )2-4m≥0,
所以m≤3.
2.当x∈R时,x2≥0,若“?x∈R,mx2≥0”是真命题,
有m≥0.
答案:m≥0【素养·探】
在与全称量词命题与存在量词命题的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究全称量词命题和存在量词命题的意义,推理得到字母的取值范围.
将本例1的方程改为“x2+2x+2=m”,求实数m的取值范围.
【解析】依题意,方程x2+2x+2-m=0有实数解,
所以Δ=4-4(2-m)≥0,解得m≥1.【类题·通】
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围.(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.
【习练·破】
已知命题p:“?x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是__________.?【解析】因为当x≥3时,2x-1≥5,
所以若“?x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,
则m≤5.
答案:m≤5【加练·固】
已知命题p:“?x<0,mx≥0”是真命题,则实数m的取值范围是__________.?【解析】因为“?x<0,mx≥0”是真命题,
所以关于x的不等式mx≥0有负实数解,
所以m≤0.
答案:m≤0课件39张PPT。1.5.2
全称量词命题和存在量词命题的否定 1.全称量词命题的否定2.存在量词命题的否定【思考】
用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?
提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)命题﹁p的否定是p. ( )
(2)?x∈M,p(x)与?x∈M,﹁p(x)的真假性相反.( )
(3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”
同时否定. ( )提示:(1)√.命题p与﹁p互为否定.
(2)√.存在量词命题p与其否定﹁p一真一假.
(3)×.存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.2.设命题p:?x∈R,x2+1>0,则﹁p为 ( )
A.?x∈R,x2+1>0 B.?x∈R,x2+1≤0
C.?x∈R,x2+1<0 D.?x∈R,x2+1≤0【解析】选B.根据命题p可得﹁p:?x∈R,x2+1≤0.类型一 全称量词命题的否定
【典例】1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则 ( )
A.﹁p:?x∈A,2x?B
B.﹁p:?x?A,2x?B
C.﹁p:?x?A,2x∈B
D.﹁p:?x∈A,2x?B2.写出下列全称量词命题的否定: 世纪金榜导学号
(1)对所有正数x, >x+1.
(2)?x∈R,x3+1≠0.
(3)所有被5整除的整数都是奇数.
(4)每一个四边形的四个顶点共圆.【思维·引】
1.命题p中的量词是“?”,命题的结论是“2x∈B”,改量词,否定结论即可.
2.全称量词改为存在量词,同时否定结论即可.【解析】1.选D.该命题的否定为﹁p:?x∈A,2x?B.
2.(1)该命题的否定:存在正数x, ≤x+1.
(2)该命题的否定:?x∈R,x3+1=0.
(3)该命题的否定:存在一个被5整除的整数不是奇数.
(4)该命题的否定:存在一个四边形,它的四个顶点不
共圆.【素养·探】
在全称量词命题的否定问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,依据全称量词命题的否定是存在量词命题解题,训练推理、论证的能力.
将本例1中命题p改为“?x?A,2x∈B”,其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】将量词“?”换为“?”,结论否定即可,即其否定为:?x?A,2x?B”.【类题·通】
1.对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.2.全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.【发散·拓】
常见的词语的否定:【延伸·练】已知全集U=R,A?U,B?U,如果命题p:
∈A∪B,则命题﹁p是____________________.?【解析】因为p: ∈A∪B,
所以﹁p: ?A且 ?B,
即﹁p: ∈(?UA)∩(?UB).
答案: ∈(?UA)∩(?UB).【习练·破】
写出下列全称量词命题的否定:
(1)?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.
(2)任何一个实数除以1,仍等于这个数.
(3)所有分数都是有理数.
(4)任意两个等边三角形都相似.【解析】(1)该命题的否定:
?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.
(2)该命题的否定:存在一个实数除以1,不等于这个数.
(3)该命题的否定:存在一个分数不是有理数.
(4)该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.【加练·固】
写出下列全称量词命题的否定:
(1)被8整除的数能被4整除.
(2)所有二次函数的图象关于y轴对称.
(3)实数都能写成小数形式.
(4)方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.【解析】(1)存在一个数能被8整除,但不能被4整除.
(2)存在一个二次函数,它的图象不关于y轴对称.
(3)存在一个实数不能写成小数形式.
(4)方程x2-8x-10=0有一个根是奇数.类型二 存在量词命题的否定
【典例】1.命题p:?x>0,x+ =2,则﹁p为 ( )
A.?x>0,x+ =2 B.?x>0,x+ ≠2
C.?x≤0,x+ =2 D.?x≤0,x+ ≠22.已知命题p:存在k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图象不经过定点M,若命题p是假命题,则点M的坐标为______.?3.写出下列存在量词命题的否定: 世纪金榜导学号
(1)有些实数的绝对值是正数.
(2)某些平行四边形是菱形.
(3)?x∈R,x2+1<0.
(4)?x,y∈Z,使得 x+y=3.【思维·引】
1.一方面要改变量词,另一方面要否定结论.
2.依据原命题和其否定一真一假解答.
3.找准量词和结论,分别进行改变和否定.【解析】1.选B.该命题的否定﹁p:?x>0,x+ ≠2.
2.因为命题p是假命题,所以﹁p是真命题
即任意k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图象经过定点M,易
知点M的坐标为(-1,3).
答案(-1,3)3.(1)该命题的否定:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”.也即“所有实数的绝对值都不是正数”.
(2)该命题的否定:“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一个平行四边形都不是菱形”.(3)该命题的否定:“不存在x∈R,x2+1<0”,也即
“?x∈R,x2+1≥0”.
(4)该命题的否定:“?x,y∈Z, x+y≠3”.
【内化·悟】
写出存在量词命题的否定后,如何检验是否正确?
提示:一方面检查是否改写了量词和否定了结论,另一方面可以依据原命题和其否定一真一假检验.
【类题·通】
1.对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.2.存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.【习练·破】
判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)某些梯形的对角线互相平分.
(2)?x∈{x|x是无理数},x2是无理数.
(3)在同圆中,同弧所对的圆周角相等.
(4)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小.【解析】(1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分.
(2)真命题.?x∈{x|x是无理数},x2是有理数.
(3)真命题.在同圆中,同弧所对的圆周角不相等.
(4)真命题.任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.【加练·固】
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出这些命题的否定.
(1)有一个奇数不能被3整除.
(2)?x∈Z,x2与3的和不等于0.
(3)有些三角形的三个内角都为60°.
(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解析】(1)是存在量词命题,否定为:每一个奇数都能被3整除.
(2)是全称量词命题,否定为:?x∈Z,x2与3的和等于0.
(3)是存在量词命题,否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题,省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”,否定为:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.
