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课堂检测·素养达标
1.下列集合中,结果是空集的是 ( )
A.{x∈R|x2-1=0} B.{x|x>6或x<1}
C.{(x,y)|x2+y2=0} D.{x|x>6且x<1}
【解析】选D.{x∈R|x2-1=0} ={-1,1},{(x,y)|x2+y2=0} = {(0,0)} ,{x|x>6或x<1} 表示部分实数;x>6且x<1的实数是不存在的,
所以{x|x>6且x<1}=?.
2.如果集合A={x|x≤},a=,那么 ( )
A.a?A B.{a}A C.{a}∈A D.a?A
【解析】选B.因为a=<,所以a∈A,A错误.由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知,C,D错,B正确.
3.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x
【解析】将集合A在数轴上表示出来,如图所示,
要满足A?B,表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边,故m≥3.
答案:m≥3
【新情境·新思维】
设A是非空集合,对于k∈A,如果∈A,那么称集合A为“和谐集”,在集合M=的所有非空子集中,是和谐集的集合的个数为________.?
【解 析】由和谐集的定义知,该集合中可以含有元素-1,1,和3,和2,所以共有和谐集的集合的个数为15个.
答案:15
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课时素养评价 三
集合间的基本关系
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知集合A={x|x2-9=0},则下列式子表示正确的有 ( )
A.3∈A B.{-3}∈A
C.??A D.{3,-3}?A
【解析】选A、C、D.根据题意,集合A={x|x2-9=0}={-3,3},依次分析4个式子:
对于A,3∈A,3是集合A的元素,正确;
对于B,{-3}∈A,{-3}是集合,应有{-3}?A,错误;
对于C,??A,空集是任何集合的子集,正确;
对于D,{3,-3}?A,任何集合都是其本身的子集,正确.
2.下列四个集合中,是空集的是 ( )
A.{x|x+3=3}
B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
【解析】选D.因为x2-x+1=0,没有实根,所以集合{x|x2-x+1=0,x∈R}=?.
3.已知集合M?{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【解析】选D.M可以是?,{4},{7},{8},{4,7},{7,8},共6个.
4.集合P={x|y=x2},集合Q={y|y=x2},则P与Q的关系为 ( )
A.P?Q B.Q?P
C.P=Q D.以上都不正确
【解析】选B.因为P={x|y=x2}=R,Q={y|y=x2}={y|y≥0},所以Q?P.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则b=________,c=________.?
【解析】依题意知,1,2是方程x2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得,b=-(1+2)=-3,c=1×2=2.
答案:-3 2
6.已知集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},那么M________P.(填“”“”或“=”)?
【解题指南】判断两集合关系的关键是看集合中的元素满足的特征.
【解析】对于任意的x∈P,有x=a2-4a+5=(a-2)2+1,因为a∈N*,所以(a-2)2∈N,M={x|x≥2},则MP.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知集合A={1,2,m3},B={1,m},B?A,求m的值.
【解析】由B?A得m∈A,所以m=m3或m=2,所以m=2或m=-1或m=1或m=0,又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m=0或2或-1.
8.(14分)设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1【解析】化简集合A得A={x|-2≤x≤5}.
(1)当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B=??A.
(2)当m>-2时,B={x|m-1因此,要B?A,则只要?-1≤m≤2.
综上所述,m的取值范围是{m|-1≤m≤2或m≤-2}.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知集合M=,N=,则集合M,N的关系是 ( )
A.M?N B.MN
C.N?M D.NM
【解析】选B.设n=2m或2m+1,m∈Z,则有
N=
=.
又因为M=,所以MN.
2.(4分)已知集合P={x|y=},集合Q={y|y=},则P与Q的关系是
( )
A.P=Q B.P?Q
C.P?Q D.P∩Q=?
【解析】选C.P={x|y=}={x|x≥-1},Q={y|y=}={y|y≥0},所以P?Q.
3.(4分)已知?{x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是________.?
【解题指南】解答本题的关键是对?{x|x2-x+a=0}的理解,其实质说明集合{x|x2-x+a=0}是非空集合.
【解析】因为?{x|x2-x+a=0},
所以方程x2-x+a=0有实根,
所以Δ=(-1)2-4a≥0,a≤.
答案:a≤
4.(4分)已知,若A={x|x<-1或x>5},B={x|a≤x【解析】因为A={x|x<-1或x>5},B={x|a≤x5,解得a≤-5或a>5.
答案:a≤-5或a>5
【加练·固】若{x∈Z|2x-a=0}{x|-1【解析】由题意可知,-1<<3,所以-2答案:{0,2,4}
5.(14分)若集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}只有一个真子集,求a的值.
【解析】当A只有一个真子集时,A为单元素集,这时有两种情况:当a=0时,方程化为2x+1=0,解得x=-;当a≠0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1.综上所述,a=0或1.
【加练·固】设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若B?A,求实数a的取值范围.
【解析】由题意得A={0,-4},B?A.
(1)当A=B时,即B={0,-4}, 故0,-4是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,
即
解得a=1.
(2)当B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1.
(3)当B只含有一个元素时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1. 当a=-1时,B={x|x2=0}={0}?A,满足条件.
综上所述,所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.
1.设集合M={x|x=2k-1,k∈Z},N={x|x=4k±1,k∈Z},则 ( )
A.M=N B.MN
C.NM D.N?M
【解析】选A.方法一:(列举法)
因为集合M={x|x=2k-1,k∈Z},所以其中的元素是奇数且M={…,-3,-1,1,3,…}.
因为集合N={x|x=4k±1,k∈Z},所以其中的元素也是奇数且N={…,-3,-1, 1,3,…}.
所以它们之间的关系为M=N.
方法二:(特征性质法)当k为偶数,即k=2n,n∈Z时,x=4n-1,n∈Z,
当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时,
x=4n+1,n∈Z,所以集合M=N.
2.已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0},Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4,存在集合M使得PMQ,求这样的集合M.
(2)若集合P是集合Q的一个子集,求b的取值范围.
【解析】(1)当b=4时,方程x2-3x+b=0的根的判别式Δ=(-3)2-4×1×4<0,
所以P=?,又Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-4,-1,1},
所以PQ.由已知,得M应是一个非空集合,且是Q的一个真子集,用列举法可得这样的集合M共有6个,分别为{-4},{-1},{1},{-4,-1},{-4,1},{-1,1}.
(2)当P=?时,P是Q的一个子集,此时Δ=9-4b<0,所以b>.
当P≠?时,因为Q={-4,-1,1},所以当-1∈P时,(-1)2-3×(-1)+b=0,
所以b=-4,
此时P={x∈R|x2-3x-4=0}={4,-1},
因为4?Q,所以P不是Q的子集,
当-4∈P时,P={7,-4},也不是Q的子集,
当1∈P时,P={1,2},也不是Q的子集,
综上,满足条件的b的取值范围是.
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课件70张PPT。1.2 集合间的基本关系 1.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
2.子集与真子集【思考】
(1)任意两个集合之间是否有包含关系?
提示:不一定,如集合A={1,3},B={2,3},这两个集合就没有包含关系.(2)符号“∈”与“?”有什么区别?
提示:①“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如1∈N,-1?N.
②“?”是表示集合与集合之间的关系,比如N?R,{1,2,3}?{3,2,1}.
③“∈”的左边是元素,右边是集合,而“?”的两边均为集合.3.集合相等4.空集【思考】
(1)?与{0}有何区别?
提示:?是不含任何元素的集合;{0}是含有一个元素的集合,0∈{0},0??,? {0}.(2)若集合A满足A?B,则从元素具有什么特征考虑,集合A有哪些情况?
提示:有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素构成的集合;③A是由B的全部元素构成的集合.5.集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A?A.
(2)对于集合A,B,C,若A?B,且B?C,则A?C.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何集合至少有两个子集. ( )
(2){0,1,2}?{2,0,1}. ( )
(3)若A?B,且A≠B,则A B. ( )
(4)集合{0,1}的子集是{0},{1},{0,1}. ( )提示:(1)×.?只有一个子集.
(2)√.{0,1,2}={2,0,1},所以{0,1,2}?{2,0,1}.
(3)√.若A?B,且A≠B,则A B.
(4)×.?也是集合{0,1}的子集.2.下列图形中,表示M?N的是( )
【解析】选C.根据题意可知,M中的任意一个元素都是N中的元素,故C正确.3.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B?A,则实数m=________.?
【解析】因为B?A,B={3,4},A={-1,3,m},比较A,B中的元素可知m=4.
答案:4类型一 集合间关系的判断
【典例】1.下列各个关系式中,正确的是 ( )
A.?={0} B. ∈Q
C.{3,5}≠{5,3} D.{1}?{x|x2=x}2.已知集合A={x|x<-2或x>0},B={x|0A.A=B B.A B C.B A D.A?B
3.判断下列各组中集合之间的关系:
(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};
(2)A={x|x2-x=0},B={x∈R|x2+1=0};(3)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四
边形},D={x|x是正方形};
(4)M= ,N= .世纪金榜
导学号【思维·引】
1.先确定是元素与集合的关系还是集合与集合的关系,然后根据集合中元素的特征逐项判断.
2.画出数轴,观察数轴判断集合A与B的关系.
3.首先确定集合由哪些元素构成,然后判断集合之间的关系.【解析】1.选D.因为? {0}, ?Q,{3,5}={5,3},
所以A,B,C错误,{x|x2=x}={0,1},
所以{1}?{x|x2=x}成立
2.选C.由数轴知B A.3.(1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不
成立,所以A B.
(2)因为A={x|x2-x=0}={0,1},B={x∈R|x2+1=0}=?,所
以B A.(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示,
从而C A B D.(4)方法一:对于集合M,其组成元素是 ,分子部分表
示所有的整数;对于集合N,其组成元素是 +n= ,
分子部分表示所有的奇数.由真子集的概念知,N M.方法二:用列举法表示集合如下:
M= ,
N= ,所以N M.【内化·悟】
当集合中元素有无限多个时,常用哪些方法判断集合之间的关系?
提示:常用的方法有以下两种:(1)画数轴,(2)适当变形寻找联系,例如:对于集合A= , B= ,将集合A变为A= ,
不难观察出A B.【类题·通】
1.集合间基本关系判定的两种方法和一个关键2.证明集合相等的两种方法
(1)用两个集合相等的定义,证明两个集合 A,B中的元素全部相同,即可证明A=B.
(2)证明A?B,同时B?A ,推出A=B.【习练·破】
1.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间最适合的关系是 ( )
A.A?B B.A?B C.A B D.A B
【解析】选D.因为A中元素是3的整数倍,而B中元素是3的偶数倍,所以集合B是集合A的真子集.2.已知集合A= ,B= ,
则集合A,B的关系为________.?
【解析】由集合A得:A= ,
由集合B得:B= ,
因为2n+1,n∈Z和2n+3,n∈Z都表示所有奇数,所以A=B.
答案:A=B【加练·固】
1.已知集合U,S,T,F之间的关系如图所示,下列关系中错误的有________.(只填序号)?①S U;②F T;③S T;④S F;⑤F U.
【解析】根据子集、真子集的定义,由Venn图的关系,可以看出S U,S T,F U正确,②④错误.
答案:②④2.已知集合A={x|x=3n-2,n∈Z},B={y|y=3k+1,k∈Z},证明:A=B.
【证明】(1)设任意x0∈A,则x0=3n0-2,
且n0∈Z,3n0-2=3(n0-1)+1,因为n0∈Z,
所以n0-1∈Z,所以x0∈B,故A?B.(2)设任意y0∈B,则有y0=3k0+1,
且k0∈Z,3k0+1=3(k0+1)-2,
因为k0∈Z,所以k0+1∈Z,
所以y0∈A,故B?A.综上可得A=B.类型二 元素个数有限的集合的子集问题
【典例】1.满足{2019}?A {2019,2020,2021}的集合A的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. 世纪金榜导学号【思维·引】
1.依据子集和真子集的定义确定集合A中的元素,写出满足条件的集合;
2.先确定集合A由哪些元素构成,然后按元素个数分类写出A的所有子集.【解析】1.选C.满足{2019}?A {2019,2020,2021}
的集合A可以是:A={2019},{2019,2020},{2019,2021},
因此满足条件的集合A的个数为3.
2.因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},
所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),
(1,1)}, {(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),
(1,1),(2,0)}.【内化·悟】
求集合的子集时,为了做到不重不漏,常采用什么方法?
提示:对于含有n个元素的集合A,按元素个数由0到n,依次列出集合A的子集.【类题·通】
求解有限集合的子集的三个关键点
(1)确定所求集合.
(2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出.(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.
另外,一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.【习练·破】
满足条件{x|x2-1=0}?A {-1,0,1,2,5}的集合A的个数为 ( )
A.7 B.6 C.8 D.5【解析】选A.因为{x|x2-1=0}={-1,1},
所以{-1,1}?A {-1,0,1,2,5},
所以集合A可以是{-1,1},{-1,1,0},{-1,1,2},
{-1,1,5},{-1,1,0,2},{-1,1,0,5},{-1,1,2,5},共7个.【加练·固】
已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,
x∈R}的子集的个数为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.不确定【解析】选C.方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0,
所以方程有两个不相等的实数根,
所以集合M有2个元素,
所以集合M有22=4个子集.类型三 由集合间的关系求参数的值(取值范围)
角度1 由集合相等求参数
【典例】已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求x,y的值.【思维·引】
根据A=B列方程组,解方程求出x,y,检验集合中元素的互异性,求出x,y的值.【解析】因为A=B,所以集合A与集合B中的元素相同,所
以 或
解得 或 或
验证得,当x=0,y=0时,A={2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾,舍去.所以x,y的取值为
或 角度2 由集合之间的包含关系求参数
【典例】已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤
2m-1},若B?A,求实数m的取值范围.
世纪金榜导学号【思维·引】
分B=?和B≠?两种情况讨论,B≠?时根据B?A列不等式组求m的取值范围.【解析】
(1)当B=?时,有m-6>2m-1,
则m<-5,此时B?A成立.
(2)当B≠?时,B?A,此时满足
解得 不等式组解集为?.由(1)(2)知,实数m的取值范围是{m|m<-5}.【素养·探】
由集合间的关系求参数问题中,经常利用核心素养中的直观想象,由数轴直观展示集合之间的关系,并列出不等式(组),求参数的值或范围.
本例中若将“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|x<-2或x>5}”,其余条件不变,求实数m的取值范围.【解析】(1)当B=?时,m-6>2m-1,则m<-5,此时满足条件
B?A.
(2)当B≠?时,B?A,则
或 解得-5≤m<- 或m>11.
综合(1)、(2)知,实数m的取值范围是{m|m<- 或m>11}.【类题·通】
1.由集合相等求参数取值的方法
从集合相等的含义出发,转化为元素间的关系,一是利
用分类讨论的方法建立方程组求参数的值,二是利用元
素相同,则元素的和与积分别相同,建立方程组求参数的值.需要注意的是解方程组后要代入检验,对不符合题意的参数的值要舍去.2.由集合之间的包含关系求参数的两类问题
(1)若集合中的元素是一一列举的,依据集合之间的关系,可转化为解方程(组)求解,此时要注意集合中元素的互异性.
(2)若集合中的元素由不等式(组)限制,常借助于数轴转化为不等式(组)求解,此时要注意端点值能否取到.3.由集合之间的包含关系求参数的一个关注点
空集是任何集合的子集,因此在解A?B(B≠?)的含参数的问题时,要注意讨论A=?和A≠?两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.【习练·破】
1.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q?P,那么a的取值是________.?【解析】由题意得P={-1,1},又因为Q?P,若Q=?,则a=0,
此时满足Q?P,若Q≠?,则Q= ,由题意知,
=1或 =-1,解得a=±1.综上可知,a的取值是0,±1.
答案:0,±12.已知集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y}且A=B,求实数x与y的值.
【解析】由已知A=B={0,|x|,y},
所以0∈A.
若x=0,则A={0,0,-y},不满足元素的互异性;若xy=0,即y=0,则B={0,|x|,0},也不满足元素的互异性.
所以只有x-y=0,即y=x.
所以A={x,xy,x-y}={x,x2,0},B={0,|x|,x}.
所以x2=|x|,所以x=0(舍)或x=1或x=-1.
当x=1时,A=B={1,1,0},不满足元素的互异性,故x≠1.当x=-1时,A=B={-1,1,0},满足题意.
所以x=y=-1即为所求.【加练·固】
1.已知集合A={x|-3求实数m的取值范围.【解析】因为B A,画出数轴,观察可知
解得-2综上,实数m的取值范围为{m|-2A={1,3,1}不满足元素的互异性,所以x=1(舍).
当x+2=x2,即x=2或x=-1.
若x=2时,A={1,3,4},B={1,4},满足B?A.
若x=-1时,A={1,3,1}不满足元素的互异性.综上,存在x=2使得B?A.
此时,A={1,3,4},B={1,4}.