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课堂检测·素养达标
1.已知lg2=a,lg7=b,则lg35等于 ( )
A.1+a-b B.a+b-1
C.1+b-a D.1-b-a
【解析】选C.lg35=lg(5×7)=lg5+lg7=lg+lg7=1-lg2+lg7=1-a+b.
2.log34log1627等于 ( )
A. B.
C.3 D.4
【解析】选A.原式=·=.
3.计算:+lg100-ln=________.?
【解析】原式=+2-=2.
答案:2
4.计算lg4+21g5+log25·log58=________.?
【解析】原式=lg(4×52)+×=lg102+3=2+3=5.
答案:5
【新情境·新思维】
（2019·北京高考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
【解析】选A.令m1=-26.7，m2=-1.45，
则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=
所以
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课时素养评价 三十二
对数的运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知x,y为正实数,则 ( )
A.2ln x+ln y=2ln x+2ln y
B.2ln(x+y)=2ln x·2ln y
C.2ln x·ln y=(2ln x)ln y
D.2ln(xy)=2ln x·2ln y
【解析】选C、D.根据指数与对数的运算性质可得2ln x·ln y=(2ln x)ln y,
2ln(xy)=2ln x+ln y=2ln x·2ln y,
可知C,D正确,而A,B都不正确.
2.式子-log32×log427+2 0180等于 ( )
A.0 B.
C.-1 D.
【解析】选A.-log32×log427+20180
=-×+1
=-×+1=-+1=0.
3.若lg x=m,lg y=n,则lg-lg的值为 ( )
A.m-2n-2 B.m-2n-1
C.m-2n+1 D.m-2n+2
【解析】选D.因为lg x=m,lg y=n,
所以lg-lg=lg x-2lg y+2=m-2n+2.
4.若5a=2b=1且abc≠0,则+= ( )
A.2 B.1
C.3 D.4
【解析】选A.因为5a=2b=1,
所以取常用对数得:alg5=blg2=,所以+=2lg5+2lg2=2(lg5+lg2)=2.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知a2=(a>0),则loa=________.?
【解析】由a2=(a>0)得a=,
所以lo=lo=2.
答案:2
6.已知x>0,y>0,若2x·8y=16,则x+3y=________,则+log927y= ________.?
【解析】根据题意,若2x·8y=16,则2x+3y=24,
则x+3y=4,则+log927y=+=(x+3y)=2.
答案:4 2
三、解答题(共26分)
7.(12分)求下列各式的值:
(1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0
(2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.
【解析】(1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0
=+2++1=5.
(2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2
=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2+lg 2lg 5+lg 5+(lg 2)2
=2+lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5
=2+lg 2+lg 5=3.
8.(14分)2018年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长6.7%,那么过多少年后国民生产总值是2018年的2倍(lg 2≈0.301 0,lg 1.067≈0.028 2,精确到1年).
【解析】设经过x年国民生产总值为2018年的2倍.
经过1年,国民生产总值为a(1+6.7%),
经过2年,国民生产总值为a(1+6.7%)2,
…
经过x年,国民生产总值为a(1+6.7%)x=2a,
所以1.067x=2,两边取常用对数,得x·lg 1.067=lg 2.
所以x=≈≈11.
故约经过11年,国民生产总值是2018年的2倍.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知实数a,b满足ab=ba,且logab=2,则ab= ( )
A. B.2
C.4 D.8
【解析】选D.因为实数a,b满足logab=2,故a2=b,又由ab=ba得=a2a,解得:a=2,或a=0(舍去),故b=4,ab=8.
2.(4分)某化工厂生产一种溶液,按市场需求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(已知lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1) ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选C.设需要过滤n次,
则0.02×≤0.001,即≤,
所以nlg≤lg,即n≥=≈7.4,
又n∈N,所以n≥8,
所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求.
【加练·固】某学校2016年投入130万元用于改造教学硬件设施,为进一步改善教学设施,该校决定每年投入的资金比上一年增长12%,则该校某年投入的资金开始超过300万的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg3≈0.48)
( )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
【解析】选C.假设该校某年投入的资金开始超过300万的年份是x,
则130(1+12%>300,
所以x-2016>=7.4,x>2023.4,
该校某年投入的资金开始超过300万的年份是2024.
3.(4分)(lg2)2+lg5·lg20++0.02×=________. ?
【解析】(lg2)2+lg5·lg20+()0+0.02×=(lg2)2+lg5·(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3×9=(lg2+lg5)2+1+×9=1+1+100=102.
答案:102
【加练·固】+log2(47×25)-πln=________.?
【解析】+log2(47×25)-πln
=4-π+log2219+π=4+19=23.
答案:23
4.(4分)已知函数f(x)=则f=________. ?
【解析】因为2+log23<4,所以f=
f==·
=×=.
答案:
5.(14分)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.
【解析】令2x=3y=5z=k(k>0),
所以x=log2k,y=log3k,z=log5k,
所以=logk2,=logk3,=logk5,由++=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1,
所以k=30,所以x=log230=1+log215,
y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.
1.已知函数f(n)=lo(n+2)(n为正整数),若存在正整数k满足f(1)·f(2)·…·f(n)=k,那么我们将k叫做关于n的“对整数”,当n∈[1,2016]时,“对整数”的个数为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】选C.因为f(n)=lo(n+2),
所以k=f(1)·f(2)·…·f(n)
=··…·=log2(n+2),
所以n+2=2k ,n=2k-2,又n∈,所以k∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10} 满足要求,所以当n∈[1,2016]时,“对整数”的个数为9个.
2.如果方程(lg x)2+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0的两根是α,β,求αβ的值.
【解析】方程(lgx)2+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0可以看成关于lg x的二次方程.
因为α,β是原方程的两根,
所以lg α,lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根.
由根与系数的关系,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=lg,
所以lg αβ=lg α+lg β=lg ,
所以αβ=.
【加练·固】已知方程x2+xlog26+log23=0的两个实数根为α,β,则·等于 ( )
A. B.36
C.-6 D.6
【解析】选B.方程x2+xlog26+log23=0的两个实数根为α,β,
则α+β=-log26,
则·===62=36.
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课件57张PPT。 4.3.2 对数的运算 1.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)积的对数:loga(MN)=logaM+logaN.
(2)商的对数:loga =logaM-logaN.
(3)幂的对数:logaMn=nlogaM(n∈R). 【思考】
在积的对数运算性质中,三项的乘积式loga(MNQ)是否适用?你可以得到一个什么样的结论?
提示:适用,loga(MNQ)=logaM+logaN+logaQ,积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积.2.换底公式
若a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1;则有__________ 【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么
形式?
提示:(2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论
吗?
提示: 【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)lg(x+y)=lg x+lgy. ( )
(2)log2(16-8)=log216-log28. ( )
(3) ( )提示:(1)×.令x=y=1,则lg(x+y)=lg2>lg1=0,而
lg x+lg y=0,不成立.
(2)×.等式的左边=log2(16-8)=log28=3,
右边=log216-log28=4-3=1.
(3)×.等式的左边= 2.计算log69+log64= ( )
A.log62 B.2
C.log63 D.3
【解析】选B.log69+log64=log636=2.3.计算 +lg4+2lg5=________.?
【解析】 +lg4+2lg5=1+lg4+lg25=1+lg100=3.
答案:3类型一 对数运算性质的应用
【典例】1.计算lg2+lg5+2log510-log520的值为( )
A.21 B.20
C.2 D.12.已知a=log32,用a来表示log38-2log36为 ( )
A.a-2 B.5a-2
C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-1
3.计算:lg5(lg 8+lg 1 000)+ +lg0.06.
世纪金榜导学号【思维·引】1.逆用对数的运算性质合并求值.
2.变形8=23,6=2×3,利用对数运算性质展开后代入a.
3.综合利用对数的运算性质求值.【解析】1.选C.lg 2+lg 5+2log510-log520
=1+ =1+1=2.
2.选A.log38-2log36=3log32-2(log32+log33)
=3a-2(a+1)=a-2.3.原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2
=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.【内化·悟】
1.lg 2与lg 5之间有何关系?
提示:lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2.2.应用对数运算性质求值时关键是什么?
提示:关键是对数的底数应该相同,才能利用性质合并计算.【类题·通】
利用对数运算求值的方法
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【习练·破】
1.计算:(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=____.?
【解析】原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2
=lg 10=1.
答案:12.计算: +lg4+lg25.
【解析】原式= +2lg 2+2lg 5
=6+2(lg 2+lg 5)=8.【加练·固】
求下列各式的值
(1) +2lg 2+lg 25.
(2) +log212- log242.
(3) 【解析】(1)原式= +lg 4+lg 25= +lg 100=
(2)原式= (log27-log248)+log23+2log22- (log22+
log23+log27)
= log27- log23- log216+ log23+2- log27-
=- .(3)原式=
=2.类型二 对数换底公式的应用
【典例】1.设log34·log48·log8m=log416,则m的值是
( )
A. B.9
C.18 D.272.若实数a,b满足3a=4b=12,则 = ( )
世纪金榜导学号【思维·引】1.利用常用对数换底后化简求值.
2.利用指数式与对数式的互化,表示出a,b后代入求值.【解析】1.选B.因为log34·log48·log8m
=
所以 ·lg 3=lg 32,解得m=9.2.选D.3a=4b=12,即有a=log312,b=log412,
则 =log123+log124=log1212=1.【内化·悟】
1.应用换底公式化简求值时一般选用的底数是什么?
提示:一般以10或e为底进行化简求值.2.logab(b≠1)的倒数可以化为什么的形式?
提示:因为logab·logba=1,所以 =logba.【类题·通】
利用换底公式进行化简和求值
(1)一般先换底为常用对数或自然对数再进行化简求值.
(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用.
(3)注意常见结论的应用,如对数的倒数公式
=logba.【习练·破】
1.若alog32=1,b=log38·log44·log82,则 ( )
A.a1
C.a=b D.ab=1【解析】选D.因为b=log38·log44·log82=log32,
alog32=1,即ab=1.2.设2a=72b=m,且 则m= ( )
【解析】选B.因为2a=72b=m>0,所以a=log2m,2b=log7m,
所以 =logm2, =2logm7=logm49,因为 ,所以logm2+logm49=logm98=2=logmm2,
所以m2=98,所以m=7 .【加练·固】
已知3a=5b=A,且 则A的值是 ( )【解析】选B.因为3a=5b=A,所以a=log3A,b=log5A,
所以 =logA3+logA5=logA15=2,所以A= .类型三 对数运算性质的综合应用
角度1 与方程有关的对数问题
【典例】若2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 的值为 ( )
世纪金榜导学号
A.4 B.1或
C.1或4 D. 【思维·引】将原式转化为含x,y的方程.
【解析】选D.因为2lg(x-2y)=lg x+lgy,
所以lg(x-2y)2=lg xy,(x-2y)2=xy,
所以x2+4y2-5xy=0,所以4 -5 +1=0,
解得 = ,或 =1(舍),所以 的值为 .【素养·探】
在与对数相关的方程问题中,常常用到核心素养中的
数学运算,通过构造方程,转化方程,解方程来解决问题.
本例中的方程改为lg x+lg y=2lg(2x-3y),试求 的
值.【解析】因为lgx+lgy=2lg(2x-3y),
所以 解得 (舍去).
所以角度2 实际应用问题
【典例】通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级,其计算公式是M=lgA-lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅,M为震级.则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.?
世纪金榜导学号【思维·引】利用公式表示出8级、5级时的最大振幅求比值.【解析】由M=lgA-lgA0可得,M= =10M,
A=A0·10M,
当M=8时,地震的最大振幅为A8=A0·108;
当M=5时,地震的最大振幅为A5=A0·105;
所以两次地震的最大振幅之比是:
所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍.
答案:1 000【类题·通】
1.与对数方程有关的问题
利用对数的性质转化为普通方程,通过变形求解,得出结论后要验证方程中的对数式是否有意义.2.与对数相关的实际问题
对数可以解决一些比较庞大的数据运算,因此在天文、物理、考古等问题中有广泛的应用,首先将实际问题利用对数表示,再利用对数、指数运算解决问题.【习练·破】
1.方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212的解x=______.?【解析】因为方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212,
所以
解得x=-1.
答案:-12.某工厂从2000年的年产值1 000万元增加到2018年的5 000万元,如果每年年产值增长率相同,则每年年产值增长率是多少?(ln(1+x)≈x,取lg5≈0.7,ln10≈2.3)【解析】设每年年产值增长率为x,根据题意得1 000(1
+x)18=5 000,即(1+x)18=5,两边取常用对数,得18lg(1+x)
=lg5,即lg(1+x)= ×0.7.由换底公式,得
由已知条件ln(1+x)≈x,得x≈ln(1+x)≈
≈0.0894≈9%,所以每年年产值增长率约为9%.类型四 半衰期中的对数运算问题
【物理情境】
在物理学上,一个放射性同位素的半衰期是指一个样本
内,其放射性原子衰变至原来数量的一半所需的时间.
测定古植物的年代可用放射性碳法.在植物内部含有微
量的放射性元素14C,在植物死亡后,新陈代谢停止,14C就不再产生,且原有的14C会自动衰变,经过5 730年(14C
的半衰期)它们的残余量就只有原始含量的 ,经过科
学测定,若14C的原始含量为a,则经过t年后的残余量at
与a之间满足关系式at=a·e-kt.现有一出土古植物,其
中的14C的残余量占原始含量的87.9%,试推算出这个古
植物死亡的时间.(lg2≈0.301 0,lg0.879≈-0.056)【转化模板】
1. —由题意可建立对数运算模型求解;
2. —已知at=a·e-kt.当t=5 730时, .若
=0.879,试求t的值.(lg2≈0.301 0,lg0.879≈
-0.056)3. —因为at=a·e-kt.所以 =e-kt.两边取以10
为底的对数,得 =-ktlge.因为t=5 730时, .
所以 =-5 730klge.所以klge= ,所以t=
,因为 =0.879,所以t= ·lg0.879≈1 066.4. —这个古植物约是1066年前死亡的.
