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课堂检测·素养达标
1.下列函数中,是对数函数的是 ( )
A.y=lgxa(x>0且x≠1) B.y=log2x-1
C.y=2lg8x D.y=log5x
【解析】选D.由对数函数的定义可知:y=log5x是对数函数,其余3个都不是对数函数.
2.已知对数函数的图象过点M(9,2),则此对数函数的解析式为 ( )
A.y=log2x B.y=log3x
C.y=lox D.y=lox
【解析】选B.设函数f(x)=logax(x>0,a>0且a≠1),因为对数函数的图象过点M(9,2),
所以2=loga9,所以a2=9,a>0,解得a=3.
所以此对数函数的解析式为y=log3x.
3.函数f(x)=ln(1-x)的定义域是 ( )
A.(0,1) B.[0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
【解析】选D.要使f(x)有意义,则1-x>0,
所以x<1,所以f(x)的定义域为(-∞,1).
4.如果函数y=log2x的图象经过点A(4,y0),那么y0=________.?
【解析】因为函数y=log2x的图象经过点A(4,y0),
所以y0=log24,所以=4=22,所以y0=2.
答案:2
【新情境·新思维】
设集合A={x|2x≤4},集合B={x|y=lg(x-1)},
则A∩B等于 ( )
A.(1,2) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2]
【解析】选D.A={x|2x≤4}={x|x≤2},
由x-1>0得x>1,
所以B={x|y=lg(x-1)}={x|x>1},
所以A∩B={x|1
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课时素养评价 三十三
对数函数的概念
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列函数表达式中,是对数函数的有 ( )
A.y=logπx B.y=lox
C.y=log4x2 D.y=log2(x+1)
【解析】选A、B.A中y=logπx是对数函数;
B中y=lox是对数函数;
C中y=log4x2不是对数函数;
D中y=log2(x+1)不是对数函数.
2.函数f(x)=log3(x2-x-2)的定义域为 ( )
A.{x|x>2或x<-1} B.{x|-1C.{x|-21或x<-2}
【解析】选A.由题意得:x2-x-2>0,解得:x>2或x<-1,所以函数的定义域是{x|x>2或x<-1}.
【加练·固】函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为 ( )
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1]
【解析】选A.由题意得:x2-x>0,解得x>1或x<0,
故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).
3.若f(x)=logax+(a2-4a-5)是对数函数,则a= ( )
A.-1 B.2 C.3 D.5
【解析】选D.由对数函数的定义可知,
解得a=5.
4.函数f(x)=的定义域为 ( )
A.[1,10] B.[1,2)∪(2,10]
C.(1,10] D.(1,2)∪(2,10]
【解析】选D.要使原函数有意义,
则解得:1所以函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,10].
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.对数函数f(x)的图象经过点,则f(x)=________.?
【解析】设对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1),
因为图象经过点,所以loga=2,
所以a2=,得a=,所以f(x)=lox.
答案:lox
6.已知函数f(x)=loga(x+2),若图象过点(6,3),则f(x)=________,f(30)= ________.?
【解析】代入(6,3),3=loga(6+2)=loga8,
即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),所以f(30)=log232,令log232=m,所以2m=32,所以m=5.
答案:log2(x+2) 5
三、解答题
7.(16分)某工厂2015年生产某产品2万件,计划从2016年开始每年比上一年增产20%,问从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件(已知lg 2= 0.301 0,lg 3=0.477 1)?
【解析】设再过y年这家工厂生产这种产品的年产量为x万件,则2(1+20%)y=x,即1.2y=,即y=log1.2,令x=6,所以y=log1.23==≈6.03,
所以从2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∪(RN)= ( )
A.{x|x<1} B.{x|x≥-1}
C.? D.{x|-1≤x<1}
【解析】选A.因为函数f(x)的定义域为M={x|-1g(x)的定义域为N={x|x>-1},
所以RN={x|x≤-1},M∪(RN)=
{x|-12.(4分)若函数y=log2(kx2+4kx+5)的定义域为R,则k的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.(-∞,0)∪
【解析】选B.由题意得:kx2+4kx+5>0在R上恒成立,
k=0时,成立;k≠0时,解得:03.(4分)已知对数函数过点(2,4),则f(x)的解析式为________. ?
【解析】设该函数的解析式为y=logax(a>0,且a≠1,x>0),
则4=loga2,则a4=2,解得a=,
故所求对数函数的解析式为f(x)=lox.
答案:f(x)=lox
4.(4分)设f(x)=则f(f(-2))=________. ?
【解析】因为f(-2)=10-2>0,f(10-2)=lg 10-2,
令lg 10-2=x,则10x=10-2,所以x=-2,
所以f(f(-2))=-2.
答案:-2
5.(14分)设函数f(x)=ln(x2+ax+1)的定义域为A.
(1)若1∈A,-3?A,求实数a的取值范围.
(2)若函数y=f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意,得
所以a≥.故实数a的取值范围为.
(2)由题意,得x2+ax+1>0在R上恒成立,
则Δ=a2-4<0,解得-2故实数a的取值范围为(-2,2).
【加练·固】求下列函数的定义域.
(1)y=.
(2)y=log|x-2|(25-5x).
【解析】(1)要使函数有意义,需
即即-3故所求函数的定义域为(-3,-2)∪[2,+∞).
(2)要使函数有意义,需
即所以x<2,且x≠1,
故所求函数的定义域为(-∞,1)∪(1,2).
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课件51张PPT。4.4 对 数 函 数
4.4.1 对数函数的概念 对数函数
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).【思考】
(1)对数函数的定义域为什么是(0,+∞)?
提示:ax=N?loga N=x,真数为幂值N,而N>0,故式子logax中,x>0.(2)对数函数的解析式有何特征?
提示:①a>0,且a≠1;②logax的系数为1;
③自变量x的系数为1.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=logx5是对数函数. ( )
(2)y=loga(2x)(a>0,且a≠1)是对数函数. ( )
(3)函数y=loga(x2-x+1)(a>0,且a≠1)的定义域为R.
( ) 提示:(1)×.y=logx5不是对数函数,对数函数的底数是常数.
(2)×.对数函数自变量x的系数为1.
(3)√.因为Δ=1-4=-3<0,所以x2-x+1>0恒成立.2.函数y=log2(x-2)的定义域是 ( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.[4,+∞)
【解析】选C.由x-2>0,得x>2,所以函数的定义域为(2,+∞).3.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为________.?
【解析】设对数函数为y=logax(a>0,且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=loga16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x.
答案:y=log2x类型一 对数函数的概念
【典例】1.下列函数是对数函数的是 ( )
A.y=log3(x+1) B.y=loga(6x)(a>0,且a≠1)
C.y=ln x D.logax2(a>0,且a≠1)2.已知函数f(x)是对数函数,且f(5)=1,则f(3)+f
=________.?3.函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,求实数a的值及f(x)的解析式. 世纪金榜导学号【思维·引】1.根据对数函数解析式的特征判断.
2.设出f(x)的解析式f(x)=logax(a>0,且a≠1),求出a后再利用对数的运算求值.
3.利用对数函数解析式特征求出a的值,验证是否符合对数函数的定义.【解析】1.选C.根据对数函数的定义可得,只有y=ln x
为对数函数.
2.设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
因为f(5)=loga5=1,所以a=5,f(x)=log5x,
所以,f(3)+f =log53+log5 =log525=2.
答案:23.a2-a+1=1,解得a=0或1.
又a+1>0,且a+1≠1,所以a=1.
所以f(x)=log2x.【内化·悟】
判断一个函数是否是对数函数要从哪些方面判断?
提示:从系数、底数、真数三个方面判断.【类题·通】
1.判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:
(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.2.对数函数解析式的求法
若已知一个函数是对数函数,则可设函数f(x)=logax
(a>0,且a≠1),再根据条件求出a值.【习练·破】
1.给出下列函数:①y= ②y=log3(x-1);
③y=log(x+1)x;④y=logπx.其中是对数函数的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选A.①②不是对数函数,因为对数的真数不是只含有自变量x;③不是对数函数,因为对数的底数不是常数;④是对数函数.2.若对数函数过点(4,2),则其解析式为________.?
【解析】设对数函数的解析式为f(x)=logax(a>0且a≠1),由f(4)=2得loga4=2,
所以a2=4,所以a=2,即f(x)=log2x.
答案:f(x)=log2x【加练·固】
1.下列给出的函数:①y=log5x+1;②y=loga(x+3)(a>0,
且a≠1);③y= ;④y= log3x;⑤y= .其中
是对数函数的为 ( )
A.③④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.③⑤【解析】选D.由对数函数定义知③⑤是对数函数.2.已知对数函数f(x)=(m2-m-1)log(m+1)x,求f(27).【解析】若f(x)=(m2-m-1)log(m+1)x为对数函数,则
?
所以m=2,所以f(x)=log3x,
所以令f(27)=log327=3.类型二 对数型函数的定义域
角度1 简单的对数型函数的定义域
【典例】函数y=log2(x2+5x+6)的定义域为________.?【思维·引】利用真数大于0解不等式求范围.
【解析】令x2+5x+6>0,解得x<-3或x>-2,
所以函数的定义域为(-∞,-3)∪(-2,+∞).
答案:(-∞,-3)∪(-2,+∞)【素养·探】
在求对数型函数的定义域时,常常用到核心素养中的数学运算,通过解不等式或不等式组求定义域.
将本题中的函数变为y=log(x-1)(x2+5x+6),试求函数的定义域.【解析】由题意 解得
所以x>1,且x≠2,
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞).角度2 综合的对数型函数的定义域
【典例】1.函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是
________.?
2.函数y= +ln(3-2x)的定义域为________.
世纪金榜导学号?【思维·引】1.利用分母不为零、被开方数不小于零、真数大于零求定义域.
2.利用被开方数不小于零,真数大于零列不等式组求解.【解析】1.由 解得- 所以函数的定义域是
答案: 2.由 解得 所以0≤x<
所以函数的定义域为
答案: 【类题·通】
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时,被开方数非负.
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.【习练·破】
1.函数y= +lg(1+x)的定义域为________.?【解析】由题意得 解得-1所以函数的定义域为{x|-1答案:{x|-1所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,2).
答案:(-1,0)∪(0,2)【加练·固】
函数f(x)= +lg(1+x)的定义域是( )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)【解析】选C.由题意知 解得x>-1,且x≠1,所
以定义域为(-1,1)∪(1,+∞).类型三 对数函数在实际问题中的应用
【典例】某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含
量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂
质含量减少 ,问至少应过滤多少次,才能使产品达到
市场要求?(参考数据lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)
世纪金榜导学号【思维·引】设过滤y次后的杂质为x,建立指数函数关系后转化为对数函数解题.【解析】设过滤y次后杂质含量为x,
则x=0.02 即50x=
则y= (50x),
令x=0.001,则y= 0.05= =
≈10.42,所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求.【内化·悟】
本例中设的过滤次数变量是什么?
提示:过滤次数变量是y.【类题·通】
建立对数函数模型解决应用问题
对数运算是求指数的运算,因此要建立对数函数模型,可设指数变量为y,利用指数与对数的互化得到对数函数解析式,再利用已知数据或计算工具计算解题.【习练·破】
某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据:
lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30).【解析】设经过y年后公司的研发资金为x,
则x=130(1+12%)y,即 =1.12y,
所以y=log1.12 ,令x=200,
所以
所以到2021年,公司研发资金开始超过200万元.【加练·固】
某种动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2x,设这种动物第2年有100只,到第8年它们将发展到 ( )
A.200只 B.300只 C.400只 D.500只【解析】选B.由题意,数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2x,这种动物第2年有100只,
所以100=alog22,所以a=100,
所以y=100×log2x,
所以当x=8时,y=100×log28=100×3=300.