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课堂检测·素养达标
1.函数y=logax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(2,9).则a= ( )
A. B.2
C. D.3
【解析】选D.由题意得,函数y=ax(a>0且a≠1)的图象过点(2,9).所以a2=9,所以a=3.
2.函数y=2+log2x(x≥1)的值域为 ( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.[3,+∞)
【解析】选C.因为y=log2x在[1,+∞)上单调递增,所以当x≥1时,log2x≥log21=0,所以y=2+log2x≥2.
3.函数y=|log2x|的图象是图中的 ( )
【解析】选A.有关函数图象的变换是高考的一个考点,本题目的图象变换是翻折变换,可知这个函数是由y=log2x沿x轴向上翻折而得到的.
4.函数f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点________.?
【解析】由对数函数的性质可知,当x-2=1时,
即x=3时,y=-6,即函数恒过定点(3,-6).
答案:(3,-6)
【新情境·新思维】
已知函数f(x)=|ln x|,若存在两个互不相等的实数a,b,满足f(a)=f(b),则ab=________.?
【解析】由题意知,函数f(x)=|ln x|=
存在两个互不相等的实数a,b,满足f(a)=f(b),
设a
1,可得-ln a=ln b,
即ln a+ln b=0,那么ln (ab)=ln 1,所以ab=1.
答案:1
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课堂检测·素养达标
1.已知函数f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是
( )
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
【解析】选A.由题意知,
解得所以f(x)=log4(x-3),
所以f(x)是增函数,因为f(x)的定义域是(3,+∞),不关于原点对称.所以f(x)为非奇非偶函数.
2.已知f(x)=2+log3x,x∈,则f(x)的最小值为 ( )
A.-2 B.-3 C.-4 D.0
【解析】选A.因为≤x≤9,所以log3≤log3x≤log39,即-4≤log3x≤2,所以-2≤2+log3x≤4.
所以当x=时,f(x)min=-2.
3.若loga<1(0【解析】由loga<1=logaa,
因为0由loga答案:04.函数f(x)=|ln x|的单调递减区间是________.?
【解析】作出函数f(x)=|ln x|的大致图象如图所示,
则单调递减区间为(0,1).
答案:(0,1)
【新情境·新思维】
设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是________.?
【解析】根据题意画出f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0的x的取值范围是-11.
答案:(-1,0)∪(1,+∞)
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课时素养评价 三十五
对数函数的图象和性质的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知f(x)为R上的增函数,且f(log2x)>f(1),则x的取值范围为 ( )
A. B.∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(0,1)∪(2,+∞)
【解析】选C.依题意有log2x>1,所以x>2.
2.函数f(x)=log2(-1),x>8的值域是 ( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(0,1) D.(1,2)
【解析】选B.因为x>8,所以-1>2,由于对数函数的底数2大于1,说明函数为增函数.所以f(x)>log22=1,故函数的值域为(1,+∞).
3.若y=f(x)是函数y=2x的反函数,则函数y=f(-x2+2x+3)的单调递增区间是
( )
A.(-∞,1) B.(-3,-1)
C.(-1,1) D.(1,+∞)
【解析】选C.由y=f(x)是函数y=2x的反函数,得y=f(x)=log2x,则y=f(-x2+2x+3) =log2(-x2+2x+3),由-x2+2x+3>0,
解得-1所以函数y=f(-x2+2x+3)的定义域为(-1,3),因为y=log2u单调递增,u=-x2+2x+3在(-∞,1)上递增,所以y=log2(-x2+2x+3)的递增区间为(-1,1).
4.(多选题)(2018·肇庆高一检测)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则f(x)
( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.在(0,10)上单调递增
D.在(0,10)上单调递减
【解析】选B、D.由得:x∈(-10,10),
故函数f(x)的定义域为(-10,10),因为?x∈(-10,10)都有-x∈(-10,10)且f(-x)=
lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,
而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),
y=100-x2在(0,10)上递减,y=lg x递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.若f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则函数f(x)的在[0,1]上的最大值为________,最小值为________.?
【解析】当a>1时,f(x)max=f(1)=a+loga2,
f(x)min=f(0)=a0+loga1=1,所以a+loga2+1=a,所以a=,不合题意,舍去;当0此时f(x)max=1,f(x)min=+lo2=-.
答案:1 -
6.设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是________.?
【解析】若a>0,则由f(a)>f(-a)得
log2a>loa=-log2a,即log2a>0.
所以a>1.
若a<0,则由f(a)>f(-a)得
lo(-a)>log2(-a),
即-log2(-a)>log2(-a),
所以log2(-a)<0,
所以0<-a<1,即-1综上可知,-11.
答案:(-1,0)∪(1,+∞)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象经过点(9,2).
(1)求实数a的值.
(2)如果不等式f(x+1)<1成立,求实数x的取值范围.
【解析】(1)因为loga9=2,所以a2=9,
因为a>0,所以a=3.
(2)因为f(x+1)<1,也就是log3(x+1)<1,
所以log3(x+1)所以,解得-1所以实数x的取值范围是{x|-18.(14分)(1)已知函数f(x)=ex+ae-x,a∈R.
若f(x)是R上的偶函数,求a的值.
(2)判断g(x)=ln(ex+1)-x的奇偶性,并证明.
【解析】(1)因为f(x)是R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
所以e-x+aex=ex+ae-x,
所以(a-1)(ex-e-x)=0,
所以a=1.
(2)g(x) 的定义域为R,因为?x∈R,都有-x∈R且g(-x)=ln(e-x+1)+x=ln(ex+1)-x=g(x),所以g(x)是偶函数.
(15分钟·30分)
1.(4分)函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递减,那么f(x)在(-∞,0)上 ( )
A.单调递增且无最大值 B.单调递减且无最小值
C.单调递增且有最大值 D.单调递减且有最小值
【解析】选A.因为函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递减,所以02.(4分)已知函数y=|lox|的定义域为,值域为[0,1],则m的取值范围为 ( )
A.(0,2] B.(1,2] C.[1,2] D.[1,+∞)
【解析】选C.作出y=|lox|的图象(如图),
可知f=f(2)=1,由题意结合图象知:1≤m≤2.
3.(4分)已知函数f(x)=lg(+ax)图象关于原点对称.则实数a的值为________. ?
【解析】函数关于原点对称,所以函数是奇函数,通过表达式可知函数的定义域是R,
故-f(1)=f(-1),-lg(a+)=lg(-a),a+=,解得:a=±2.
答案:±2
4.(4分)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是________. ?
【解析】由题意可知,由f(log4x)<0,得-即log4答案:
5.(14分)已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若不等式f(x)>m有解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)要使函数的解析式有意义,
自变量x需满足可得-2故函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)的定义域为(-2,2).
(2)f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2).因为不等式f(x)>m有解,所以m令t=4-x2,因为-2因为y=lg x为增函数,所以f(x)的最大值为lg 4,
所以m的取值范围为m【加练·固】
设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.
【解析】(1)由题意得,f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,
所以a=3,
所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),
所以解得-3所以f(x)的定义域是(-3,3).
(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)
=log3(3+x)(3-x)=log3(9-x2),
且x∈(-3,3),所以log3(9-x2)在[0,]上单调递减,
所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,是log33=1.
1.已知函数f(x)=loga(x2-2ax)在[4,5]上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.(1,4) B.(1,4] C.(1,2) D.(1,2]
【解析】选C.设g(x)=x2-2ax,则g(x)的对称轴为x=a.
(1)当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[4,5]上单调递增,且g(x)>0在[4,5]上恒成立
则所以1(2)00在[4,5]上恒成立
则此时a不存在,
综上可得,12.设f(x)=lo为奇函数,a为常数.
(1)确定a的值.
(2)求证:f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值,不等式f(x)>+m恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以定义域关于原点对称,由>0,得(x-1)(1-ax)>0.
令(x-1)(1-ax)=0,得x1=1,x2=,
所以=-1,解得a=-1.
(2)由(1)得f(x)=lo,
令u(x)==1+,
设?x1,x2∈(1,+∞),且x1则u(x1)-u(x2)=,
因为10,x2-1>0,x2-x1>0,
所以u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2).
所以u(x)=1+在(1,+∞)上单调递减,又y=lou为减函数,所以f(x)在(1,
+∞)上单调递增.
(3)由题意知lo->m在x∈[3,4]时恒成立,
令g(x)=lo-,x∈[3,4],由(2)知lo在[3,4]上单调递增,又-在[3,4]上也单调递增,
故g(x)在[3,4]上单调递增,
所以g(x)的最小值为g(3)=-,
所以m<-,故实数m的取值范围是(-∞,-).
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课时素养评价 三十四
对数函数的图象和性质
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数y=3+loga(2x+3)的图象必经过定点P的坐标为 ( )
A.(-1,3) B.(-1,4)
C.(0,1) D.(2,2)
【解析】选A.令2x+3=1,求得x=-1,y=3,故函数y=3+loga(2x+3)的图象必经过定点P的坐标为(-1,3).
【加练·固】
已知函数f(x)=loga(x-2),若图象过点(11,2),则f(5)的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【解析】选B.由函数图象过点(11,2),
则loga(11-2)=2,解得a=3.
故f(5)=log3(5-2)=1.
2.将函数f(x)=log3x的图象上每一点向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到y=h(x)的图象,则h(x)的解析式是 ( )
A.-1+log3x B.1+log3x
C.log33x-3 D.log3(3x-3)
【解析】选D.将函数f(x)=log3x的图象上每一点向右平移1个单位,所得函数的解析式为g(x)=log3(x-1),再向上平移1个单位,
得到函数h(x)的解析式是h(x)=log3(x-1)+1=log3(3x-3).
3.函数y=log2(x-2+1)的值域为 ( )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
【解析】选B.因为x-2+1=+1>1,所以y>0,
所以所求值域为(0,+∞).
4.下列四个数中最大的是 ( )
A.(ln 2)2 B.ln(ln 2) C.ln D.ln 2
【解析】选D.因为y=ln x为增函数,
所以0所以ln(ln 2)且(ln 2)2二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=的定义域是________.?
【解析】由得
所以x≥4.
答案:[4,+∞)
6.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为________.?
【解析】f(x)的定义域为R.因为3x>0,所以3x+1>1.
因为y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
所以log2(3x+1)>log21=0.即f(x)的值域为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知1≤x≤4,求函数f(x)=log2×log2的最大值与最小值.
【解析】因为f(x)=log2×log2
=(log2x-2)(log2x-1)=-,
又因为1≤x≤4,所以0≤log2x≤2,
所以当log2x=,即x==2时f(x)取最小值-;
当log2x=0,即x=1时,f(x)取最大值2,
所以函数f(x)的最大值是2,最小值是-.
【加练·固】
设函数f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定义域为.
(1)若t=log2x,求t的取值范围.
(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.
【解析】(1)因为t=log2x为增函数,而x∈,所以t的取值范围为,即t∈[-2,2].
(2)记t=log2x,则y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)=(t+2)(t+1)(-2≤t≤2).
因为y=-在上单调递减,在上单调递增,
所以当t=log2x=-,即x==时,
y=f(x)有最小值f=-;
当t=log2x=2,即x=22=4时,
y=f(x)有最大值f(4)=12.
8.(14分)已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断函数的奇偶性.
【解析】(1)要使函数有意义,则有>0,
即或
解得x>1或x<-1,
此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)因为?x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),都有-x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
且f(-x)=loga=loga=-loga=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(15分钟·30分)
1.(4分)为了得到函数y=lg x的图象,只需将函数y=lg(10x)图象上 ( )
A.所有点的纵坐标伸长到原来的10倍,橫坐标不变
B.所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.所有点沿y轴向上平移一个单位长度
D.所有点沿y轴向下平移一个单位长度
【解析】选D.由于函数y=lg(10x)=lg x+1,把函数y=lg(10x)的图象上所有的点向下平移1个单位长度,可得函数y=lg x的图象.
2.(4分)已知a=201,b=log2018,c=log2019,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
【解析】选A.因为a=201>20190=1,
c=log2019=log20192018<,
所以a,b,c的大小关系为a>b>c.
3.(4分)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=lof(x)的定义域是________. ?
【解析】由题意知,f(x)>0,由所给图象可知f(x)>0的解集为{x|2答案:{x|24.(4分)已知函数f(x)=则f(f(1))+f=________.?
【解析】由题意可知f(1)=log21=0,
f(f(1))=f(0)=30+1=2,
f=+1=+1
=2+1=3,所以f(f(1))+f=5.
答案:5
5.(14分)已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上时,点在函数y=g(x)的图象上.
(1)写出y=g(x)的解析式.
(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.
【解析】(1)依题意,得
则g=log2(x+1),
故g(x)=log2(3x+1).
(2)由f(x)-g(x)=0
得log2(x+1)=log2(3x+1),
所以
解得x=0或x=1.
1.已知a【解析】选B.由题图可知02.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
【解析】(1)若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R.
当a=0时,x>-,这与x∈R矛盾,所以a≠0,
因此,不等式需满足解得a>1.
所以实数a的取值范围是(1,+∞).
(2)若f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域为R,
则t=ax2+2x+1的值域A?(0,+∞).
①当a=0时,t=2x+1,与题意相符;
②当a≠0时,结合二次函数的性质,得解得0综上所述,实数a的取值范围是[0,1].
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课件60张PPT。4.4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质 1.对数函数的图象及性质【思考】
(1)对于对数函数y=log2x,y=log3x,
…,为什么一定过点(1,0)?
提示:当x=1时,loga1=0恒成立,即对数函数的图象一定
过点(1,0). (2)在下表中,?处y的范围是什么?提示:2.反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们定义域与值域正好互换.【思考】
函数y=log2x与y= 互为反函数吗?
提示:不是,同底数的指数函数与对数函数互为反函数.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对数函数的图象都过定点(0,1). ( )
(2)对数函数的图象都在y轴的右侧. ( )
(3)若对数函数y=log2ax是减函数,则0(2)√.由对数函数的图象可知正确.
(3)√.由对数函数的单调性可知,0<2a<1,所以0A.2 B.1 C.0 D.-1
【解析】选B.函数在(0,2]上递增,故x=2时,y的值最大,最大值是1.3.函数y=log3x与y= 的图象关于________对称.?
【解析】函数y=log3x与y= 的图象关于x轴对称.
答案:x轴类型一 利用对数函数的单调性比较大小
【典例】1.若a=log32,b=log34,c= 6,则a,b,c的
大小关系正确的是 ( )
A.aC.c是 ( )
A.aC.b2.借助中间值比较大小.【解析】1.选C.因为函数y=log3x在(0,+∞)上是增函
数,所以log34>log32>log31=0,
c= 6=-log36<0,所以cb=log2 1,
所以a,b,c的大小关系为b1.对数式底数不同时,用哪个公式化为同底?
提示:可以利用公式 (a>0且a≠1).
2.对数式比较大小一般用什么方法?
提示:利用单调性、中间值比较.【类题·通】
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
提醒:比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.【习练·破】
1.（2019·全国卷Ⅰ）已知a=log20.2,b=20.2,c= 0.20.3，则( )
A.aC.c20=1,0 <0.20.3<0.20=1,则0A.a>b>c B.c>a>b
C.b>c>a D.b>a>c【解析】选D.因为log22=1b=ln(3e)=ln 3+ln e>2,c=e-2所以a,b,c的大小关系为b>a>c.【加练·固】
已知 b< a< c,则 ( )
A.2a>2b>2c B.2b>2a>2c
C.2c>2b>2a D.2c>2a>2b【解析】选B.由于函数y= x为减函数,因此由 b
< a< c,可得b>a>c,又由于函数y=2x为增函数,
所以2b>2a>2c.类型二 对数函数的图象及应用
【典例】1.已知lg a+lg b=0,则函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx在同一坐标系中的图象可能是 ( )2.函数f(x)=loga(3x-2)+2的图象恒过点________.
世纪金榜导学号?【思维·引】1.先得出a,b的关系,再判断图象关系.
2.利用loga1=0确定恒过点的坐标.【解析】1.选B.lg a+lg b=0,即lg(ab)=0,则ab=1,
选项A中,g(x)=logbx的图象错误,因为g(x)的定义域为
(0,+∞),排除A;
选项B中,由g(x)=logbx的图象知b>1,所以0 >1,f(x)=a-x= 的图象与此相符,故B中的图象
可能成立;选项C中,由g(x)=logbx的图象知b>1,所以0 >1,f(x)=a-x= 的图象与此不相符,故排除C;
选项D中,由g(x)=logbx的图象知01,从而
0< <1,f(x)=a-x= 的图象与此不相符,故排除D.2.根据题意,令3x-2=1,解得x=1,此时y=0+2=2,即函数f(x)的图象过定点(1,2).
答案:(1,2)【内化·悟】
如图所示的曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=logax,y=
logbx,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d,1的大小关系是什么?提示:作直线y=1,观察与对数函数的图象交点,交点的横坐标即为底数,从左向右,图象对应的底数逐渐变大,即c对数函数图象过定点问题
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).【习练·破】
1.小华同学作出的a=2,3, 时的对数函数y=logax的图
象如图所示,则对应于C1,C2,C3的a的值分别为 ( )A.2,3, B.3,2,
C. ,2,3 D. ,3,2【解析】选C.根据对数函数的性质,显然对应于C1,C2,
C3的a的值分别为 ,2,3.2.已知a>0,a≠1,则f(x)=loga 的图象恒过点
( )
A.(1,0) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(1,4)【解析】选B.令 =1,解得:x=-2,
故f(-2)=loga1=0恒成立,
即f(x)=loga 的图象恒过点(-2,0).3.函数y=f(x)=-lg|x|的图象大致是 ( )【解析】选B.因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以排除C,D,当x>0时,y=-lg x单调递减,排除A.【加练·固】
关于函数f(x)= |x|,下列结论正确的是 ( )
A.值域为(0,+∞) B.图象关于x轴对称
C.定义域为R D.在区间(-∞,0)上单调递增【解析】选D.因为f(x)= |x|,
所以f(x)的值域是R,A错误,
函数的图象关于y轴对称,B错误,
函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),C错误,
函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,D正确.类型三 与对数函数相关的定义域和值域
角度1 求函数的定义域
【典例】函数y= 的定义域是 ( )
世纪金榜导学号
A.[1,+∞) B.
C.(1,+∞) D. 【思维·引】根据被开方数大于等于0列出不等式,利用对数的性质求范围.【解析】选D. (3x-2)≥0,
所以0<3x-2≤1,
所以2<3x≤3,
所以 在求含有对数式的函数的定义域时,常常用到核心素养中的逻辑推理.结合对数运算,利用对数函数的性质求范围.将本例中的函数变为y= ,试求函数的定
义域.【解析】由题意知, (3x-2)-1≥0,
所以 (3x-2)≥1,所以0<3x-2≤ ,
解得 所以函数的定义域为 角度2 简单的值域问题
【典例】若函数f(x)=logax(0是减函数,
所以在区间[a,2a]上,f(x)min=loga(2a),
f(x)max=logaa=1,所以loga(2a)= ,所以a=
答案: 【类题·通】
1.求对数型函数的定义域时常用的模型2.与对数函数值域相关的问题
(1)利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法.
(2)若底数中含有字母,需要对字母分大于1,小于1大于0两种情况讨论.【习练·破】
1.函数y= 的定义域为________.?【解析】应该满足 即x+2≥1,
解得x≥-1,所以函数的定义域为[-1,+∞).
答案:[-1,+∞)2.若函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a=________.?
【解析】函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上单调递增,则f(x)max=f(a)=4+log2a=6,解得a=4.
答案:4【加练·固】
函数f(x)=2x+log2x(x∈[1,2])的值域为________.?
【解析】因为y=2x,y=log2x均为增函数,所以f(x)=
2x+log2x在[1,2]上单调递增,故f(x)∈[2,5].
答案:[2,5]课件43张PPT。第2课时
对数函数的图象和性质的应用 类型一 解对数不等式
【典例】1.已知函数f(x)=ln x,若f(x-1)<1,则实数x的取值范围是 ( )
A.(-∞,e+1) B.(0,+∞)
C.(1,e+1) D.(e+1,+∞)2.已知log0.7(2m)2.利用单调性、定义域转为不等式组求解.【解析】1.选C.因为函数f(x)=ln x,f(x-1)<1,
所以ln(x-1)<1,所以0解得:m>1.
答案:m>1【内化·悟】
解含对数的不等式时容易忽视什么问题?
提示:容易忽视定义域.【类题·通】
关于对数不等式的解法
(1)整理不等式,观察对数式的底数,确定单调性,不确定的分情况讨论.
(2)根据单调性、定义域列出不等式(组),解不等式(组)求范围.【习练·破】
若loga <1,则a的取值范围是 ( )【解析】选D.由loga <1得:loga 1时,
有a> ,即a>1;当0的取值范围是 ∪(1,+∞).【加练·固】
解不等式:loga(x-4)>loga(x-2).【解析】(1)当a>1时,原不等式等价于
该不等式组无解;(2)当0解得x>4,
所以当a>1时,原不等式的解集为空集;
当0【典例】已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0,且a≠1),
(1)求函数f(x)的定义域和值域.
(2)若函数 f(x)有最小值为-2,求a的值. 世纪金榜导学号【思维·引】(1)利用每一个对数式真数大于0求定义域,换元法求值域.
(2)借助(1)中的最小值求a的值.【解析】(1)由 得-3所以函数的定义域为{x|-3f(x)=loga(1-x)(x+3),
设t=(1-x)(x+3)=4-(x+1)2,
所以t≤4,又t>0,则01时,y≤loga4,值域为{y|y≤loga4}.
当0所以loga4=-2,解得a= .【内化·悟】
怎样求函数y=logaf(x)的值域?
提示:先求f(x)的值域,再求y=logaf(x)的值域.【类题·通】
求函数定义域的常用方法
(1)单调性法:根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.(2)换元法:求形如y=logaf(x)型函数值域的步骤:①换元,令u=f(x),利用函数图象和性质求出u的范围;②利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围.【习练·破】
若函数g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值1,则实数a的值
等于 ( )
A. B. C. D.4【解析】选C.因为函数g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值
1,故ax2+2x-1有最大值3,即 =3,解得:a=- .【加练·固】
已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域.
(2)当a>1时,求使f(x)>0的x的解集.【解析】(1)要使函数有意义,
则
解得-11时,由f(x)>0,得loga(x+1)>loga(1-x),则
解得0角度1 对数型函数的奇偶性问题
【典例】函数 是 ( )
A.偶函数
B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数【思维·引】利用定义,结合对数的运算判断.
【解析】选B.已知函数的定义域是R,因为?x∈R,都
有-x∈R,且f(-x)=
=-f(x).所以是奇函数.【素养·探】
在判断含对数式的函数的奇偶性时,常常用到核心素养
中的数学运算、逻辑推理,利用对数运算性质化简、变
形,利用奇偶性的定义进行判断.
本例中将函数变为f(x)= 试判断函数
的奇偶性.【解析】因为 ≥x,
所以 -x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R.
因为?x∈R,都有-x∈R且f(-x)=lg( +x)
=-f(x),
所以f(x)为奇函数.角度2 对数型函数的单调性问题
【典例】1.函数f(x)=lg x2的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,0) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)2.函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是________. 世纪金榜导学号?【思维·引】1.分层分析单调性,再复合.
2.首先根据函数的单调性确定a与1的关系,再限定真数大于0.【解析】1.选A.函数f(x)=lg x2,
可令t=x2(x≠0),则y=lg t,
由t=x2在(-∞,0)上递减,(0,+∞)上递增;
y=lg t在(0,+∞)上递增,
可得函数f(x)=lg x2的单调递减区间是(-∞,0).2.因为函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,而函数t=ax-3在[1,3]上单调递增,
根据复合函数的单调性可得a>1,且a-3>0,
求得a>3.
答案:a>3【类题·通】
1.与对数有关的奇偶问题
判断与对数函数有关的奇偶性时,依据是奇偶性的定义,关键是利用对数的运算性质对f(-x)进行变形,注意运算logab-1=-logab、分子分母有理化等的应用.2.形如函数y=logaf(x)的单调性
首先要确保f(x)>0,
当a>1时,y=logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y=f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y=f(x)的单调性相反.【习练·破】
1.函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数【解析】选A.由 解得-1所以函数的定义域为(-1,1),因为?x∈(-1,1)都有
-x∈(-1,1)且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-
ln(1-x)]=-f(x),所以函数是奇函数.2.函数f(x)= (x2-4)的单调递增区间是________.?【解析】由x2-4>0得x∈(-∞,-2)∪(2,+∞),
令t=x2-4,由于函数t=x2-4的对称轴为y轴,
开口向上,所以t=x2-4在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上
递增,又由函数y= t是定义域内的减函数,所以原
函数在(-∞,-2)上递増.
答案:(-∞,-2)