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课堂检测·素养达标
1.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( )
A.y1,y2, B.y2,y1,
C.y3,y2, D.y1,y3,y2
【解析】选C.通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,对数函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数函数的增长速度越来越快,y2随x的变化符合此规律;幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间,y1随x的变化符合此规律.
2.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是 ( )
A.y=1 B.y=x
C.y=3x D.y=log3x
【解析】选C.结合函数y=1,y=x,y=3x及y=log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y=3x.
3.一辆匀速行驶的火车90min行驶180 km,则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是 ( )
A.y=2t B.y=120t
C.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0)
【解析】选D.90min=1.5h,所以y=t=120t(t≥0).
4.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型.?
【解析】当x=3时,甲:y=32+1=10,|10-10.2|=0.2,
当x=3时,乙:y=3×3-1=8,|8-10.2|=2.2,
所以应选用甲作为函数模型.
答案:甲
【新情境·新思维】
在y=2x,y=log2x,y=x这三个函数中,当0
恒成立的函数的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】选B.作出图象(略),图象分三种:直线型,例如一次函数的图象;向上弯曲型,例如指数函数f(x)=2x的图象;向下弯曲型,例如对数函数f(x)=log2x的图象,可知只有y=log2x符合要求.
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课时素养评价 三十六
不同函数增长的差异
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.下列函数中,随x的增大而增大,且速度最快的是 ( )
A.y=3x B.y=1 000x
C.y=log2x D.y=x3
【解析】选A.指数函数模型增长速度最快.
2.有一组实验数据如表所示:
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是 ( )
A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
【解析】选C.通过所给数据可知s随t的增大而增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变.
3.某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长10.4%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是下图中的 ( )
【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+10.4%;经过2年森林的蓄积量为(1+10.4%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+10.4%)x(x≥0),即y=(110.4%)x(x≥0).因为底数110.4%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.
4.某商品价格前两年递增20%,后两年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比较,变化情况是 ( )
A.减少7.84% B.增加7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
【解析】选A.由题意,设商品原价格为a元,则四年后的价格为a(1+20%)2(1 -20%)2=0.921 6a.所以=7.84%.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________.?
【解析】当x变大时,x比ln x增长要快,
所以x2要比xln x增长的要快.
答案:y=x2
6.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.
以下四种说法:
①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变.其中说法正确的序号是__________.?
【解析】由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1),反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[3,8]的图象可知,总产量C没有变化,即第三年后停产,所以②③正确.
答案:②③
三、解答题
7.(16分)画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.
【解析】函数f(x)与g(x)的图象如下.
根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);
当x=4时,f(x)=g(x);
当x>4时,f(x) (15分钟·30分)
1.(4分)下列函数在(0,+∞)上单调递减的是 ( )
A.f(x)=ln x B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=-
【解析】选B.根据题意,依次分析选项:
对于A,f(x)=ln x为对数函数,其底数为e>1,
在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
对于B,f(x)=e-x=,为指数函数,其底数为,在(0,+∞)上单调递减,符合题意:
对于C,f(x)==,为幂函数,在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
对于D,f(x)=-,在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
2.(4分)在是某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示,现给出下列说法:
①前5 min温度增加越来越快;②前5 min温度增加越来越慢;③5 min后温度保持匀速增加;④5 min后温度保持不变.
其中说法正确的是 ( )
A.①④ B.②④
C.②③ D.①③
【解析】选C.前5 min,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加,所以②③正确.
3. (4分)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0且a≠1)的图象.有以下叙述:
①第4个月时,剩留量就会低于;
②每月减少的有害物质量都相等;
③若剩留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确叙述的序号是________.?
【解析】根据题意,函数的图象经过点,
故函数为y=,令t=4时,y=<,故①正确;令t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;分别令y=,,,
解得t1=lo,t2=lo,t3=lo,t1+t2=t3,故③正确.
答案:①③
4.(4分)某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.
Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.
利用你选取的函数,求得:
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________.?
(2)最低种植成本是________(元/100 kg).?
【解析】由提供的数据知,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数,而函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=a·logbt在a≠0时,均为单调函数,这与表格提供的数据不吻合,故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述,
将表格所提供的三组数据(60,116),(100,84),(180,116)分别代入Q可得,
解得a=,b=-,c=224,
所以Q=t2-t+224,
(1)Q=t2-t+224的对称轴为t=120,开口向上,在对称轴处即t=120天时函数取最小值.
(2)当t=120时,
Q=×1202-×120+224=80.
答案:(1)120 (2)80
5.(14分)2018年1月8日,中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会,在科技界引发热烈反响,自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料,由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位:克)的关系为:当0≤x<6时,y是x的二次函数;当x≥6时,y=.
测得数据如表(部分)
x(单位:克)
0
1
2
9
…
y
0
3
…
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x).
(2)求函数f(x)的最大值.
【解析】(1)当0≤x<6时,由题意,
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由表格数据可得
解得
所以,当0≤x<6时,f(x)=-x2+2x,
当x≥6时,f(x)=.由表格数据可得
f(9)==,解得t=7.
所以当x≥6时,f(x)=,
综上,f(x)=
(2)当0≤x<6时,f(x)=-x2+2x=-(x-4)2+4,
所以当x=4时,函数f(x)最大值为4;
当x≥6时,f(x)=单调递减,
所以f(x)的最大值为f(6)==3,
因为4>3,所以函数f(x)的最大值为4.
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课件56张PPT。4.4.3 不同函数增长的差异 三种函数的性质及增长速度比较【思考】
存在一个x0,当x>x0时,为什么ax>xn>logax(a>1,n>0)一定成立?
提示:当a>1,n>0时,由y=ax,y=xn,y=logax的增长速度,存在x0,当x>x0时,三个函数的图象由上到下依次为指数,幂,对数,故一定有ax>xn>logax.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数 的衰减速度越来越慢. ( )
(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. ( )
(3)若a>1,n>0,对于任意x0∈R,一定有 ( ) 提示:(1)√.由函数y= 的图象可知其衰减速度越
来越慢.
(2)√.一次函数的图象是直线,因此其增长速度不变.
(3)×.如23<32.2.某种商品进价为4元/件,当日均零售价为6元/件时,日均销售100件,当单价每增加1元时,日均销售量减少10件,试计算该商品在销售过程中,若每天固定成本为20元,则预计单价为多少时,日利润最大 ( )
A.8元/件 B.10元/件 C.12元/件 D.14元/件【解析】选B.设单价为(6+x)元,日均销售量为(100-10x)件,
则日利润y=(6+x-4)(100-10x)-20
=-10x2+80x+180
=-10(x-4)2+340(0所以当x=4时,ymax=340,
即单价为10元/件时,日利润最大.3.甲、乙两人在一次赛跑中,路程y与时间x的函数关系如图所示,则下列说法正确的是 ( )A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点【解析】选D.根据图象可以看出,甲、乙两人同一时间从同一地点出发,两人路程一样,显然甲所用时间短,所以甲先到达终点.类型一 几种函数模型增长的差异
【典例】1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是
( )
A.y= B.y=100ln x
C.y=100x D.y=100·2x2.下表是某次测量中两个变量x,y的一组数据,若将y表示为关于x的函数,则最可能的函数模型是 ( )A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型【思维·引】1.根据不同函数增长速度的特点判断.
2.利用函数值y随x的增大的变化特点判断.【解析】1.选A.指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度越快.
2.选D.观察图表中函数值y随自变量x变化规律,随着自变量x增加,函数值也在增加,但是增加的幅度越来越小,所以它最可能的函数模型为对数函数.【类题·通】
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.【习练·破】
已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设
其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)=x2,
f2(x)= f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果运动时间足够
长,则运动在最前面的物体一定是 ( )
A.a B.b C.c D.d【解析】选D.根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数.当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体.【加练·固】
下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为 ( )A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.对数函数模型 D.指数函数模型
【解析】选D.由表格数据可知x每增加1个单位,y的值大约为原来值的4倍,故函数模型为指数函数模型.类型二 指数函数、对数函数与幂函数模型比较
【典例】1.如图,能使不等式log2x<2x2 B.x>4
C.0(2)结合函数图象示意图,判断f(6),g(6),f(2 019),
g(2 019)的大小.【思维·引】1.根据图象上交点坐标判断.
2.(1)根据两类函数图形的特征判断.
(2)由图象的交点坐标分界,利用图象高低判断大小.【解析】1.选D.当2(2)因为f(1)>g(1),f(2)
g(10),
所以1x2,
从图象上可以看出当x1当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019);
又因为g(2 019)>g(6),
所以f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).【内化·悟】
在(0,+∞)上,log2x,2x与x2的大小关系是怎样的?
提示:当04时,log2x当2由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.【习练·破】
函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象,如图所示:(1)试根据函数增长差异找出曲线C1,C2对应的函数.
(2)以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当xf(x);当x1f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x).【加练·固】
函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)= 的图象如图所
示,试分别指出各曲线对应的函数,并以1,a,b,c,d,e为
分界点比较三者的大小.【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,
可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应
的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.
由图象可得:当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);当eg(x)>f(x)>h(x);当ah(x)>f(x);当bh(x)>g(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).类型三 不同函数模型的实际应用
角度1 增长曲线的选择
【典例】高为H,满缸水量为M的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象是
( )【思维·引】根据鱼缸的形状,判断h变化时水的体积V变化的快慢,选择变化曲线.【解析】选B.当h=H时,体积是M,故排除A,C.h由H到0变
化的过程中,由于水缸中间粗,两头细,当h< 时,V的
变化速度越来越快,当h> 时,V的变化速度越来越慢,
综合分析可知选B.【素养·探】
在增长曲线的选择过程中,常常用到核心素养中的直观想象,根据变量增长得快慢,想象函数曲线的变化,从而选择恰当的曲线描述实际问题.
本例中,若将鱼缸的形状变为如图的形状,则应选择哪一个曲线?【解析】选D.当h=H时,体积是M,故排除A,C.h由H到0变
化的过程中,h< 时,V的变化速度越来越慢,当h>
时,V的变化速度越来越快,综合分析可知选D.角度2 函数模型的应用
【典例】在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度
v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m
千克的函数关系式是v=2 000×ln .当燃料质量
是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12千
米/秒.世纪金榜导学号?【思维·引】把最大速度代入函数关系式,利用对数运
算解题.
【解析】当v=12 000时,2 000×ln =12 000,所
以ln =6,所以 =e6-1.
答案:e6-1【类题·通】
1.函数增长快慢对函数曲线的影响
随着自变量的增大,如果函数值增长越来越快,则函数的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值增长越来越慢,则函数的图象越“缓”,类似于对数函数的图象.2.函数模型的实际应用
指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用,可根据增长得快慢特征选择、建立函数模型,再利用指数、对数运算解决问题,已经给出函数模型的,则直接代入相应的数据计算解决.【习练·破】
1.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的高度,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是 ( )【解析】选B.由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口,因为圆柱中液面上升的速度是一个常量,即漏斗中液体漏出的速度是一定的,因此H增长的速度越来越大.2.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=
Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?【解析】(1)因为此函数是减函数,所以臭氧的含量减
少.
(2)令Q0e-0.002 5x= 即e-0.002 5x= ,
-0.002 5t=ln 利用计算器解得t≈277.26,
所以278年后将会有一半的臭氧消失.