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课堂检测·素养达标
1.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
123.5
21.5
-7.82
11.57
-53.7
-126.7
-129.6
那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选B.由数表可知,函数分别在(2,3)(3,4)(4,5)上各至少一个零点,因此在区间[1,6]上的零点至少有3个.
2.函数f(x)=ln x+3x的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.令f(x)=0,则ln x+3x=0,即ln x=-3x,令y=ln x,y=-3x,作出两函数的图象,如图
两函数有一个交点,故方程ln x+3x=0有一个根,
函数f(x)=ln x+3x有一个零点.
3.函数f(x)=-5的零点所在的区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选B.由于函数f(x)=-5是单调递增函数,且f(1)<0,f(2)>0,所以根据零点存在定理可知,函数f(x)=-5的零点所在区间为(1,2).
4.函数f(x)=3x+1-7的零点是______.?
【解析】令3x+1-7=0,解得x=log3,
所以函数的零点为log3.
答案:log3
【新情境·新思维】
若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是______.?
【解析】根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象,如图:
由图可知即
解得-12
答案:(-12,0)
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课时素养评价 三十七
函数的零点与方程的解
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选A、C.函数f(x)=(x2-1)(x+1)的零点就是(x2-1)(x+1)=0的根,显然方程的根为-1,1,故零点是-1,1.
【加练·固】函数f(x)=(x-1)(x2+3x-10)的零点个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.因为f(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2),所以由f(x)=0得x=-5或x=1或x=2.
2.函数f(x)=的零点有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选A.因为x>2,x≠3,所以f(x)=≠0,即无零点.
3.函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是 ( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
【解析】选C.函数f(x)=lnx-是(1,+∞)上的连续增函数,f(2)=ln 2-3<0;
f(3)=ln 3-=ln<0,f(4)=ln 4-1>0;
f(3)f(4)<0,所以函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间为(3,4).
4.若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是
( )
A.a>1 B.a<-1
C.a<-1或a>1 D.-1【解析】选C.函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则f(-1)f(1)<0,
即(1-a)(1+a)<0,
解得a<-1或a>1.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=的零点是________.?
【解析】令f(x)=0,即=0,即x-1=0或ln x=0,所以x=1,故函数f(x)的零点为1.
答案:1
6.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有两个不同零点,则k的取值范围是________.?
【解析】作出f(x)的函数图象如图所示:
因为f(x)=k有两个不同解,所以0答案:(0,1)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数y=f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时
f(x)=
(1)试求f(-2)的值.(2)求出f(x)的零点.
【解析】(1)由已知得f(-2)=-f(2),
2∈(0,3],f(2)=,所以f(-2)=-.
(2)由-x2+2=0,且0又f(x)为奇函数,可得另一个零点为x=-,
综上,f(x)的零点为和-.
8.(14分)已知函数f(x)=
(1)在如图的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间.
(2)若f(a)=2,求实数a的值.
(3)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.
【解析】(1)函数图象如图,
由图可知,函数的减区间为;增区间为,(1,+∞).
(2)由f(a)=2,得a2-a=2(a≤1)或log2(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.
(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点,则-<-m≤0,解得0≤m<.
【加练·固】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)求f(0)及f(f(1))的值.
(2)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式.
(3)若关于x的方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)根据题意当x≥0时,
f(x)=x2-2x;
则f(0)=0,f(1)=1-2=-1,
又由函数f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1)=-1,
则f(f(1))=f(-1)=-1.
(2)设x<0,则-x>0,
则有f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
又由函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=x2+2x,
则当x<0时,f(x)=x2+2x.
(3)若方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,则函数y=f(x)与直线y=m有4个交点,而y=f(x)的图象如图:分析可得-1 (15分钟·30分)
1.(4分)已知a是函数f(x)=ln x-lox的零点,若0A.f(x0)=0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定
【解析】选C.根据题意,函数f(x)=ln x-lox=ln x+log2x,其定义域为(0,+∞),且为增函数,a是函数
f(x)=ln x-lox的零点,则f(a)=0,
若02.(4分)若方程|lg x|-+a=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
【解析】选B.因为|lg x|-+a=0有两个不相等的实数根?函数y=|lg x|与 函数 y=-a的图象有两个不同的交点,在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,如图:
要使两个函数的图象有两个交点,
必须有-a>0,解得a<.
3.(4分)设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是________.?
【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x在(-∞,0]上有且仅有1个零点.
因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].
答案:(0,1]
4.(4分)设函数f(x)=则函数F(x)=f(x)+x的零点的个数是__________. ?
【解析】根据题意,函数f(x)=
当x≤0时,f(x)=2x,若函数F(x)=f(x)+x=0,即f(x)=-x,有2x=-x,
函数y=2x与y=-x的图象有1个交点,
则此时函数F(x)=f(x)+x有1个零点;
当x>0时,f(x)=-,
若函数F(x)=f(x)+x=0,
即f(x)=-x,有=x,解可得x=1,
此时函数F(x)=f(x)+x有1个零点;
综合,函数F(x)=f(x)+x的零点的个数是2.
答案:2
5.(14分)已知a∈R,函数f(x)=
(1)求f(1)的值.
(2)求函数f(x)的零点.
【解析】(1)当x>0时,
f(x)=1-,所以f(1)=1-=0.
(2)①当x>0时,令f(x)=0,即1-=0,
解得x=1>0.所以1是函数f(x)的一个零点.
②当x<0时,令f(x)=0,
即(a-1)x+1=0.(*)
当a>1时,由(*)得x=<0,
所以是函数f(x)的一个零点;
当a=1时,方程(*)无解;
当a<1时,由(*)得x=>0(舍去).
综上所述,当a>1时,函数f(x)的零点是1和;当a≤1时,函数f(x)的零点是1.
1.已知函数f(x)=若方程f(x)=2有两个解,则实数a的取值范围是________. ?
【解析】函数f(x)=
当x≥1时,方程f(x)=2,可得ln x+1=2,
解得x=e,函数有一个零点,
当x<1时,函数只有一个零点,即x2-4x+a=2,
在x<1时只有一个解.
因为y=x2-4x+a-2开口向上,对称轴为:x=2,
x<1时,函数单调递减,所以f(1)<2,
可得:-3+a<2,解得a<5.
答案:(-∞,5)
2.已知f(x)=+.
(1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由.
(2)设g(x)=f(x)-a,若函数g(x)没有零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f(x)是奇函数,理由如下:
由2x-1≠0,2x≠1,得x≠0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且对于?x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有
-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
因为f(x)=+=,
所以f(-x)=
==
=-=-f(x),
则f(x)是奇函数.
(2)函数g(x)=f(x)-a没有零点,
则方程f(x)=a没有实根,
对于f(x)=+,
当x>0时,2x>1,则2x-1>0,
则有+>,
则在(0,+∞)上,f(x)>,
又由函数f(x)为奇函数,
则当x<0时,f(x)<-,
故函数f(x)的值域为
∪;
则当-≤a≤时,f(x)=a无实根,
此时函数g(x)没有零点.
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课件61张PPT。4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解 1.函数的零点
(1)函数f(x)的零点是使f(x)=0的实数x.
(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系.【思考】
(1)函数的零点是点吗?
提示:不是,是使f(x)=0的实数x,是方程f(x)=0的根.
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)=0根的个数有什么关系?
提示:相等. 2.函数的零点存在定理
(1)条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,f(a)f(b)<0;
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,即存在c∈(a,b)使f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.【思考】
(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,f(a)f(b)<0时,能否判断函数在区间(a,b)上的零点个数?
提示:只能判断有无零点,不能判断零点的个数.(2)函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有
f(a)f(b)<0?
提示:不一定,如f(x)=x2在区间(-1,1)上有零点0,但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=2x-1的零点是 ( )
(2)函数f(x)=x2+x+1有零点. ( )
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上满足f(a)·f(b)>0,则
在区间(a,b)上一定没有零点. ( ) 提示:(1)×.函数y=2x-1的零点是 .
(2)×.因为方程x2+x+1=0的Δ=1-4=-3<0无根,所以函
数没有零点.
(3)×.如f(x)=x2在区间(-1,1)上有f(-1)f(1)=1×1
=1>0,但是在区间(-1,1)上有零点0.2.下列图象表示的函数中没有零点的是 ( )【解析】选A.B,C,D的图象均与x轴有交点,故函数均有零点,A的图象与x轴没有交点,故函数没有零点.3.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是______.?
【解析】方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,x2= ,所
以函数f(x)=2x2-3x+1的零点是 ,1.
答案: ,1类型一 函数零点的概念及求法
【典例】1.若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,则下列命题中正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间(1,8)内无零点
D.函数f(x)在区间[2,8)内无零点2.函数f(x)=(x+1)(x2-16x+39)的零点是__________.世纪金榜导学号?【思维·引】1.根据零点的个数、区间关系判断.
2.转化为求方程f(x)=0的根.【解析】1.选D.因为函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,
所以函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,
所以函数f(x)在区间[2,8)内无零点.2.因为f(x)= (x+1)(x2-16x+39)
=(x+1)(x-3)(x-13),由f(x)=0,得x=-1或x=3或x=13.
答案:-1,3,13【类题·通】
函数零点的求法
(1)求函数的零点即求方程f(x)=0的根,求根时要涉及一元一次、二次方程,分式方程的解法,有时还需要利用指、对互化解与指数、对数相关的方程.
(2)在选择题中,也可以利用代入验证的方法求零点.【习练·破】
1.函数f(x)=ln x+ 的零点为 ( )
A.1 B. C.e D. 【解析】选A.依次检验,使f(x)=0的即为零点.2.函数y=3x-2的零点是______.?
【解析】令3x-2=0,则3x=2,所以x=log32.
答案:log32【加练·固】
函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________.?【解析】因为函数f(x)=ax+b有一个零点是2,
所以2a+b=0,即b=-2a,
所以g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),
因为-ax(2x+1)=0,所以x=0,x=-
所以函数g(x)=bx2-ax的零点是0,-
答案:0,- 类型二 图象法确定函数零点的个数
【典例】1.函数f(x)=ln (x+1)- 在定义域内的零点
个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.32.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________. 世纪金榜导学号?【思维·引】1.令f(x)=0,移项后转化为两个初等函数,利用图象的交点个数判断.
2.先确定函数,再分类讨论求a的取值范围.【解析】1.选C.函数f(x)=ln (x+1)- 在定义域
{x|x>-1且x≠0}内的零点个数,即为f(x)=0,即求
y=ln(x+1)和y= 的图象交点个数,作出y=ln(x+1)和
y= 的图象,可得有两个交点.2.函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a的图象的交点的个数,如图,当a>1时,两函数图象有两个交点;当01.答案:(1,+∞)【内化·悟】
在不求零点的情况下怎样判断函数零点的个数?
提示:转化为两个函数的图象的交点问题,几个交点就有几个零点.【类题·通】
利用函数的图象判断零点个数
(1)原理:函数的零点个数?方程的根的个数?移项拆分为两个函数,作图观察交点个数.
(2)关键:拆分成的两个函数应方便作图.【习练·破】
1.已知函数f(x)= 则函数g(x)=f(x)+x-3的
零点个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.令g(x)=0,得:f(x)=-x+3,
画出函数f(x)和y=-x+3的图象,如图所示:函数g(x)的零点个数即f(x)和y=-x+3的交点个数,结合图象有2个交点,故函数g(x)有2个零点.2.已知函数f(x)= ,若函数y=f(x)-m有两个不同的
零点,则m的取值范围为 ( )
A.m<1 B.m>1
C.00【解析】选C.函数f(x)= 的图象
如图所示,由图可得:当0f(x)= 的图象与直线y=m有两个
交点,即函数y=f(x)-m有两个不同的零点.【加练·固】
函数f(x)= -|lnx|的解的个数为________.?【解析】方程 -|lnx|=0的解的个数即为函数y=
与y=|lnx|的图象交点的个数,
在同一坐标系中画出函数y= 与y=|lnx|的图象如
图所示:由图可得函数y= 与y=|lnx|的图象有2个交点,故
方程 =|lnx|的解有2个.
答案:2类型三 判断函数零点所在的区间
角度1 判断零点所在的区间
【典例】1.由表格中的数据,可以断定方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是 ( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)2.函数f(x)= 的零点所在的大致区间是
( )
A.(1,2) B.(2,e) C.(e,3) D.(3,4)【思维·引】1.比较ex与3x+2在区间端点处的大小判断.
2.计算在各个区间端点处的函数值,利用零点存在定理判断.【解析】1.选C.由题意,令f(x)=ex-3x-2,
因为f(2)=e2-3×2-2=7.39-8=-0.61<0;
f(3)=e3-3×3-2=20.09-11=9.09>0,
所以f(2)·f(3)<0,所以函数的零点所在区间为(2,3).2.选A.
因为f(1)=1>0,f(2)=
因为 <1,所以f(2)<0,
故f(1)f(2)<0,故零点所在的大致区间为(1,2).角度2 求参数的范围
【典例】若函数f(x)=2ax2-x-1在区间(0,1)上恰有一
个零点,则 ( )
A.a= 或a=1 B.a>1或a=0
C.a>1 D.a= 【思维·引】
讨论a=0,a>0,a<0三种情况下,使f(x)在(0,1)上恰有一个零点时,a满足的条件.【解析】选C.若函数f(x)=2ax2-x-1在区间(0,1)内恰有一个零点,
则方程2ax2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一个根,
若a=0,则方程2ax2-x-1=0可化为:-x-1=0,方程的解为-1,不成立;若a<0,设方程的两根为x1,x2,则
故x1<0,x2<0,不符合题意;
若a>0,则函数图象开口向上,又f(0)=-1<0,若函数在
(0,1)上恰有一个零点,则f(1)=2a-1-1>0,所以a>1.
综上:a>1.【素养·探】
在求参数范围的过程中,常常用到核心素养中的逻辑推理,通过对函数式、函数值的分析、计算得出范围.
将本题中的函数换为f(x)=logax+x-m(a>1),试求m的取值范围.【解析】当a>1时,函数f(x)为增函数,
若函数f(x)的零点所在区间为(0,1),
当x→0时,f(x)<0则只需要f(1)>0,即可,
则f(1)=0+1-m>0,得m<1.【类题·通】
1.判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数.
则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.2.关于含参数的函数零点
含参数的函数零点问题往往涉及一元一次、一元二次函数的图象和性质.
(1)若二次项系数中含有字母,则讨论系数是否为零,其实质是区分一次函数或二次函数.(2)对于二次函数,则要结合二次函数的图象、端点值、二次方程中Δ、根与系数的关系求解.【习练·破】
方程 =-log2x的根所在的区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.不确定【解析】选A.函数f(x)= +log2x在(0,+∞)上是连
续单调增函数,因为f(1)= >0,f(0)→-∞,
所以f(x)= +log2x的零点所在的区间为(0,1).【加练·固】
函数f(x)= -x+2的零点所在的一个区间是 ( )
A.(2,3) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2)【解析】选A.因为函数f(x)= -x+2,
所以f(2)= >0,f(3)= -1<0.
函数f(x)= -x+2是连续函数且是减函数,
所以函数f(x)的零点所在的一个区间是(2,3).