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课堂检测·素养达标
1.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是 ( )
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3
C.f(x)=|x| D.f(x)=ln x
【解析】选C.对于选项C而言,令|x|=0,得x=0,即函数f(x)=|x|存在零点,但当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)>0,所以f(x)=|x|的函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧函数值同号,所以不能用二分法求零点的近似值.
2.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)内的近似解的过程中,有f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则该方程的解所在的区间为 ( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
【解析】选B.根据题意,由于f(1.5)>0,
f(1.25)<0,则有f(1.25)·f(1.5)<0,
则该方程的根所在的区间为(1.25,1.5).
3.用二分法求函数y=f (x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时,验证f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是 ( )
A.(2,4) B.(2,3)
C.(3,4) D.无法确定
【解析】选B.由题意可知:对于函数y=f(x)在区间[2,4]上,有f(2)·f(4)<0,
利用函数的零点存在性定理,所以函数在(2,4)上有零点.取区间的中点x1==3,
因为计算得f(2)·f(x1)<0,所以利用函数的零点存在性定理,函数在(2,3)上有零点.
4.用二分法求函数f(x)=5x+7x-2的一个零点,其参考数据如下:
x
0.031 25
0.062 5
0.093 75
0.125
0.156 25
0.187 5
0.218 75
0.25
f(x)的近似值
-0.729 7
-0.456 7
-0.180 9
0.097 8
0.379 7
0.664 7
0.953 3
1.245 3
根据上述数据,可得f(x)=5x+7x-2的一个零点近似值(精确度0.05)为________.?
【解析】由参考数据知f(0.093 75)≈-0.180 9<0,
f(0.125)≈0.097 8>0,
即f(0.093 75)·f(0.125)<0
且0.125-0.093 75=0.031 25<0.05.
所以f(x)=5x+7x-2的一个零点的近似值可取为0.125.
答案:0.125(不唯一)
【新情境·新思维】
某同学在借助题设给出的数据求方程lg x=2-x的近似数(精确度0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,得出f(1)<0,且f(2)>0,他用“二分法”取到了4个x的值,计算其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解为x≈1.8,那么他所取的4个值中的第二个值为________.?
【解析】先判断零点所在的区间为(1,2),故用“二分法”取的第一个值为1.5,由于方程的近似解为x≈1.8,故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2),故取的第二个值为(1.5+2)÷2=1.75.
答案:1.75
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课时素养评价 三十八
用二分法求方程的近似解
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是 ( )
【解析】选A.由图象可知A中零点左右两侧的函数符号不同,故可用二分法求零点.
2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是 ( )
A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001
【解析】选B.据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.
3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为 ( )
A.(0,0.5),f(0.125) B.(0.5,1),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25)
【解析】选D.因为f(x)=x5+8x3-1,
则f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,
所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),
第二次应计算的函数值应该为f(0.25).
4.(多选题)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
x
1
1.5
1.25
1.375
1.437 5
1.406 25
f(x)的
近似值
-2
0.625
-0.984
-0.260
0.162
-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0近似解(精确度为0.05)可以是 ( )
A.1.25 B.1.437 5
C.1.406 25 D.1.421 9
【解析】选B、C、D.由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.406 25,
1.437 5)之间;结合选项可知,方程的近似解可以是1.406 25,1.437 5,1.421 9.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.求方程x3-3x-1=0在区间(1,2)内的实根,用“二分法”确定的下一个有解的区间是________.?
【解析】设函数f(x)=x3-3x-1,
因为f(1)=-3<0,f(2)=1>0,f(1.5)=-<0,
所以下一个有解的区间是(1.5,2).
答案:(1.5,2)
6.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是________,函数的零点是________.(用a表示)?
【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b;则令f(x)=x2+ax+=0,解得x=-.
答案:a2=4b -
三、解答题
7.(16分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.
(1)求证:f(x)在区间(1,2)上存在零点.
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示,请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1).
x
1
1.5
1.25
1.375
1.312 5
1.343 75
f(x)的
近似值
-1
1
-0.406 25
0.183 59
-0.138 18
0.015 81
【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1,
所以f(1)=-1<0,f(2)=7>0,
所以f(1)·f(2)=-7<0.
且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内连续,
所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.
(2)由(1)知,f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内存在零点,由表知f(1)=-1,f(1.5)=1,
所以f(1)·f(1.5)<0,所以f(x)的零点在(1,1.5)上,因为f(1.25)=-0.406 25,
所以f(1.25)·f(1.5)<0,
所以f(x)的零点在(1.25,1.5)上,
因为f(1.375)≈0.183 59,所以f(1.25)·f(1.375)<0,所以f(x)的零点在(1.25,1.375)上,
因为f(1.312 5)≈-0.138 18,
所以f(1.312 5)·f(1.375)<0,
所以f(x)的零点在(1.312 5,1.375)上,
因为f(1.343 75)≈0.015 81,
所以f(1.312 5)·f(1.343 75)<0,
所以f(x)的零点在(1.312 5,1.343 75)上,
由于|1.343 75-1.312 5|=0.031 25<0.1,且1.312 5≈1.3,1.343 75≈1.3,所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是1.3.
(15分钟·30分)
1.(4分)用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间(an,bn)内,当|an-bn|<ε时,函数的近似零点与真正的零点的误差不超过 ( )
A.ε B.ε C.2ε D.ε
【解析】选A.最大误差即为区间长度ε .
2.(4分)已知曲线y=与y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是
( )
A. B. C. D.(1,2)
【解析】选A.设f(x)=-x,则f(0)=1>0,f=-=-<0,
f(1)=-1<0,
f(2)=-2<0,显然有f(0)·f<0.
【加练·固】若aA.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
【解析】选A.由题意知f(x)的图象是开口向上的抛物线,由a0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由零点存在判定定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点.
所以f(x)的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.
3.(4分)若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数,且b-a=1)上有一根,则a+b=________.?
【解析】设f(x)=x3-x+1,
则f(-2)=-5<0,f(-1)=1>0,
可得a=-2,b=-1,
所以a+b=-3.
答案:-3
4.(4分)已知函数f(x)=log2x+2x-m有唯一零点,如果它的零点在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是________.?
【解析】因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以
所以
解得2答案:(2,5)
5.(14分)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),求f(x1)和f(x2)与0的大小关系.
【解析】f(x)=2x+=2x-,
f(x)由两部分组成,y=2x在(1,+∞)上单调递增,y=-在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为x1所以f(x1)又因为x2>x0,
所以f(x2)>f(x0)=0.
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课件59张PPT。4.5.2 用二分法求方程的近似解 1.二分法的概念
对于在区间 上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数
y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数
零点近似值的方法叫做二分法.【思考】
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点?
提示:不是,只有满足函数图象在零点附近连续,且在该零点左右函数值异号时,才能应用“二分法”求函数零点. 2.用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
如下:
(1)确定区间 验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
(2)求区间(a,b)的中点c.(3)计算f(c):
①若f(c)=0,则c就是函数的零点;
②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复(2)～(4).【思考】
零点的近似解只能是区间的端点a或b吗?
提示:不是,区间的端点可以,区间的中点也可以,实际上区间上的任意一个值都可以.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)求函数f(x)=(x-1)2的零点近似值可以用二分法.
( )
(2)用二分法求出的函数零点就是精确值. ( )(3)用“二分法”求近似解时,精确度ε越大,零点的精确度越高. ( ) 提示:(1)×.函数需满足在区间 上连续不断且
f(a)·f(b)<0,才能用二分法求零点.
(2)×.用二分法求出的函数零点可能是精确值,也可能
是近似值.
(3)×.精确度ε越大,零点的精确度越低.2.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是 ( )【解析】选A.只有A中图象没有穿过x轴.3.用二分法求方程的近似解,精确度为ε,则终止条件为 ( )
A.|x1-x2|>ε B.|x1-x2|<ε
C.x1<ε【典例】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是 世纪金榜导学号( )A.x1 B.x2 C.x3 D.x42.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)·f(4)<0,给定精确度为0.1,需将区间等分________次.?【思维·引】1.根据二分法的定义判断.
2.根据二分法求零点的步骤判断.【解析】1.选C.二分法求函数f(x)的零点时,函数必须满足在零点两侧的函数值异号,而图中函数在零点x3的两侧的函数值都是负值,故不能用二分法求出.2.开区间(2,4)的长度等于2,每经过一次操作,区间长
度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为
因为用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,
要求精确度为0.1,所以 ≤0.1,解得n≥5.
答案:5【内化·悟】
能用二分法求零点的函数图象有什么特征?
提示:函数的图象应穿过x轴,零点左右的函数值符号相反.【类题·通】
运用二分法求函数的零点应具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.【习练·破】
1.下列函数中,不能用二分法求零点的是 ( )【解析】选D.由函数图象可得,D中的函数没有零点,故不能用二分法求零点;A,B,C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反,故能用二分法求函数的零点.2.下列函数中不能用二分法求零点的是 ( )
A.f(x)=2x+3 B.f(x)=ln x-6
C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=2x-1【解析】选C.A,B,D三个函数中,都存在x0∈[a,b],使f(a)·f(b)<0,只有C中f(x)≥0,因此函数f(x)=x2-2x+1不能用二分法求零点.【加练·固】
下列函数的零点不能用二分法求解的是 ( )
A.f(x)=x3-1 B.f(x)=ln x+3
C.f(x)=|x| D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.所给函数均为连续函数,故只需考虑是否
存在区间[a,b],使得f(a)f(b)<0即可.
对于A,存在区间 使得f(0)f(2)<0,
对于B,存在区间 使得f f(1)<0,
对于C,由于f(x)=|x|≥0,故不存在区间[a,b],使得f(a)f(b)<0,
对于D,存在区间[0,1],使得f(0)f(1)<0.类型二 用二分法求函数的近似解
【典例】1.用二分法研究函数f(x)=x3-2x-1的零点时,若零点所在的初始区间为(1,2),则下一个有解区间为
( )
A.(1,2) B.(1.75,2)
C.(1.5,2) D.(1,1.5)2.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的零点时,其参考数据如下:据此数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01)为 世纪金榜导学号( )
A.1.57 B.1.562 5
C.1.59 D.1.587 5【思维·引】1.确定有解区间要计算f(1),f(2),
f(1.5).
2.首先确定有解区间,再验证是否满足精确度.【解析】1.选C.已知函数f(x)=x3-2x-1,
因为f(1)=-2<0,f(2)=3>0,f(1.5)=- <0,
所以下一个有根区间是(1.5,2).
2.选B.由图表知,f(1.562 5)≈0.003>0,
f(1.556 2)≈-0.029<0,所以函数f(x)=3x-x-4的一个零点在区间
(1.556 2,1.562 5)上,
故函数的零点的近似值(精确到0.01)为 1.562 5.【内化·悟】
1.怎么样确定零点所在的区间?
提示:取中点,计算中点的函数值,与端点函数值比较符号异同,在符号相异的一侧区间内.2.怎么样确定二分法终止的区间?
提示:验证是否满足|a-b|<ε.【类题·通】
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是[m,c]还是[c,n],逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.【习练·破】
1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是 ( )
A.[-2,1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]【解析】选A.二分法求变号零点时所取初始区间[a,b],应满足使f(a)·f(b)<0.由于本题中函数f(x)=x3+5,
f(-2)=-3,f(1)=6,显然满足f(-2)·f(1)<0,故函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是[-2,1].2.用二分法求f(x)=0的近似解,f(1)=-2,
f(1.5)=0.625,f(1.25)=-0.984,
f(1.375)=-0.260,下一个求f(m),则m=________.?【解析】根据题意,方程f(x)=0的根应该在区间
(1.375,1.5)上,则m= =1.437 5.
答案:1.437 5【加练·固】
用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为
( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(2,3) D.(2,4)【解析】选B.因为f(0)=20+0-7=-6<0,
f(4)=24+12-7>0,又已知f(2)=22+6-7>0,
所以f(0)·f(2)<0,所以零点在区间(0,2).类型三 用二分法求方程的近似解
角度1 确定方程近似解所在的区间
【典例】若x0是方程ln x+x-3=0的实数解,则x0属于区间 世纪金榜导学号( )
A.(1,1.5) B.(1.5,2)
C.(2,2.5) D.(2.5,3)【思维·引】转化为判断相应函数的零点所在的区间.【解析】选C.因为方程ln x+x-3=0,
所以设对应函数f(x)=ln x+x-3,
因为f(2)=ln 2+2-3=ln 2-1<0,
f(2.5)=ln 2.5+2.5-3=ln 2.5-0.5>0,
所以根据零点存在定理可知在区间(2,2.5)内函数存在零点,即x0属于区间(2,2.5).【素养·探】
在确定方程近似解的过程中,需要用到核心素养中的逻辑推理,将方程的近似解转化为函数零点的近似解处理.
本题的条件不变,试进一步探究方程近似解的下一个有解区间.【解析】取区间(2,2.5)的中点2.25,
则f(2.25)=ln 2.25+2.25-3=ln 2.25- >0,
所以下一个有解区间为(2,2.25).角度2 确定方程的近似解
【典例】某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示: 世纪金榜导学号则方程ln x=6-2x的近似解(精确度0.1)可取为 ( )
A.2.52 B.2.625
C.2.66 D.2.75 【思维·引】根据精确度确定有解区间再取近似解.【解析】选A.根据题意,方程ln x=6-2x对应的函数即为f(x)=ln x+2x-6,由表格可知,
函数的零点在(2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.625),
(2.5,2.562 5)内,因此方程的近似解在区间(2.5,
2.562 5),
据此分析选项A中2.52符合题意.【类题·通】
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数F(x)=f(x)-g(x)零点近似值的步骤求解.【习练·破】
用二分法求方程ex+x-3=0在x∈[0,1]上的近似解的过
程中,取区间中点x0= ,那么下一个有解区间为
( )A. B.
C. 都可以 D.不能确定【解析】选B.因为f(x)=ex+x-3,
所以f(0)=1+0-3=-2<0,f(1)=e+1-3>0,
f <0,所以f f(1)<0,
所以f(x)零点所在的区间为
所以方程ex+x-3=0有解的区间是
