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课堂检测·素养达标
1.下列能正确反映指数幂的推广过程的是 ( )
A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂
B.有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂
C.整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂
D.无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
【解析】选A.指数幂的推广过程:整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂.
2.计算(的结果是 ( )
A. B.-
C.2 D.
【解析】选D.(=2-1=.
3.·= ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.·=·==.
【新情境·新思维】
设x∈R且x≠0,若x+x-1=3,则x8+x-8的个位数字是 ( )
A.2 B.5
C.6 D.7
【解析】选D.因为x+x-1=3,
所以x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7,
所以x4+x-4=(x2+x-2)2-2=72-2=47,
所以x8+x-8=(x4+x-4)2-2=472-2=2 207,
所以x8+x-8的个位数字是7.
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课时素养评价 二十七
无理数指数幂及其运算性质
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列各式运算错误的是 ( )
A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8
B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3
C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6
D.[-(a3)2·(-b2)3]3=-a18b18
【解析】选C、D.对于A.(-a2b)2·(-ab2)3=a4b2·(-a3b6)=-a7b8,故A正确;对于B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=-a6b9÷(-a3b6)=a6-3b9-6=a3b3,故B正确;对于C.(-a3)2·(-b2)3 =a6·(-b6)=-a6b6,故C错误;对于D.[-(a3)2·(-b2)3]3=(a6b6)3=a18b18,故D错误.
2.计算:(-2)2 018·(+2)2 019= ( )
A.+2 B.-2
C.--2 D.-+2
【解析】选A.原式=[(-2)(+2)]2 018·(+2)=[(-1)]2 018·(+2)=+2.
3.化简(其中a>0,b>0)的结果是 ( )
A. B.-
C. D.-
【解析】选C.===.
4.已知am=4,an=3,则的值为 ( )
A. B.6 C. D.2
【解析】选A.===.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.如果x=1+2b,y=1+2-b,那么用x表示y等于________.?
【解析】由x=1+2b,得2b=x-1,y=1+2-b=1+=1+=.
答案:
6.已知2x+2-x=5,则4x+4-x=______,2x-2-x=________.?
【解析】因为2x+2-x=5,
则4x+4-x=(2x+2-x)2-2=52-2=23.
(+)2=2x+2-x+2=7可得+=,
(-)2=2x+2-x-2=3,可得
-=±,
所以2x-2-x=±.
答案:23 ±
三、解答题
7.(16分)已知x+x-1=3(x>0),求+的值.
【解析】因为x+x-1=3,所以x2+x-2=7,
所以(+)2
=x3+x-3+2=(x+x-1)(x2+x-2-1)+2=3×6+2=20,
所以+=2.
(15分钟·30分)
1.(4分)在算式2大+2庆+2精+2神=29中,“大、庆、精、神”分别代表四个不同的数字,且依次从大到小,则“庆”字所对应的数字为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选B.由29=16+8+4+1=24+23+22+20,
可得“庆”字所对应的数字为3.
2.(4分)()4()4等于 ( )
A.a16 B.a8 C.a4 D.a2
【解析】选C.原式==a2a2=a2+2=a4.
3.(4分)若10m=2,10n=3,则1=________. ?
【解析】1===.
答案:
4.(4分)已知m=2,n=3,则的值是________. ?
【解析】m=2,n=3,则原式==(·×m-1·)3=m·n-3=2×3-3=.
答案:
5.(14分)(1)已知x=,y=,求-的值.
(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值.
【解析】(1)-
=-=.
将x=,y=代入上式得:
==-24=-8.
(2)因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根,
所以
因为a>b>0,所以>.
====,
所以==.
【加练·固】
已知x+y=12,xy=9,且x(1)+.
(2)-.
(3)x-y.
【解析】(1)(+)2=x+y+2=18,
所以+=3.
(2)(-)2=x+y-2=6,
又x(3)x-y=()2-()2
=(+)(-)
=3×(-)
=-3×××
=-6.
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课件44张PPT。4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 1.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 【思考】
一定是实数吗?
提示:根据无理数指数幂的定义, 是实数.2.实数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈R)
(1)aras=ar+s.(2)(ar)s=ars.(3)(ab)r=arbr. 【思考】
(1)实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同吗?
提示:相同.(2)指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的?
提示:【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)无理数指数幂有的不是实数. ( )
(2)指数幂ax(a>0)中的x只能是有理数. ( )
(3) ( )提示:(1)×.无理数指数幂对应一个确定的实数.
(2)×.指数幂ax(a>0)中的x是任意实数.
(3)√.2.
【解析】
答案: 3.
【解析】
答案: 类型一 无理数指数幂的运算
【典例】计算下列各式【思维·引】(1)将 化为指数式,再用无理数指数
幂的运算性质运算.
(2)利用无理数同底数幂的运算性质计算.【解析】(1)原式=
(2)原式= 【内化·悟】
无理数指数幂、有理数指数幂在运算时有什么异同?
提示:运算性质是一样的;不同的是一个是进行无理数指数运算,一个是进行有理数指数运算.【类题·通】
关于无理数指数幂的运算
(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算.
(2)若式子中含有根式,则先化为指数式再进行运算,一般指数中的根式可以保留.【习练·破】
计算下列各式:【解析】(1)原式=
(2)原式=【加练·固】
计算
【解析】原式= =a0=1.类型二 指数运算在实际问题中的应用
【典例】某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过 世纪金榜导学号( )
A.12 h B.4 h C.3 h D.2 h【思维·引】先求分裂次数,再求分裂时间.【解析】选C.设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x次分裂,则2x=4 096,解得x=12,
所以 =3 h.【内化·悟】
细菌分裂时,每次分裂后的细菌数是分裂前的多少倍?
提示:分裂后的细菌数是分裂前的2倍.【类题·通】
指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中,常常用到指数运算,用来计算增减的次数、增减前后的数量等.【习练·破】
一张报纸,其厚度为a,现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次,这时,报纸的厚度为 ( )
A.8a B.64a C.128a D.256a【解析】选C.一张报纸,其厚度为a,现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次,这时报纸的厚度为a×27=128a.【加练·固】
某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林 ( )
A.14 400亩 B.172 800亩
C.20 736亩 D.17 280亩【解析】选D.设第x年造林亩数为y,其中x∈N*,
则y=10 000×(1+20%)x-1,
所以x=4时,y=17 280(亩).类型三 指数幂运算的综合应用
角度1 已知某因式的值求值
【典例】若a2x= -1,则 等于 ( )
A.2 -1 B.2-2 C.2 +1 D. +1【思维·引】将要求的式子变形,化为已知的因式后代入.【解析】选A. 【素养·探】
在指数式的化简求值中,经常利用核心素养中的数学
运算,通过对式子的等价变形,体现了良好的先化简后
求值的数学运算习惯.
将本例中的式子改为 ,试求值.【解析】角度2 完全平方公式在指数运算中的应用
【典例】已知 的值. 世纪金
榜导学号
【思维·引】将已知的式子反复利用完全平方公式,将
x的指数升高,再代入求值.【解析】由已知可得:x+x-1= -2=( )2-2=3.
x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7.
原式= 【类题·通】
解决条件求值问题的步骤【习练·破】
1.已知a+a-1=7(a>1),求
【解析】a+a-1=
因为a>1,所以 2.已知3a+2b=1,则 =________.?【解析】
因为3a+2b=1,
所以
所以
答案: 【加练·固】
1.若a>1,b>0,ab+a-b=2 ,则ab-a-b=________.?【解析】因为a>1,b>0,
所以ab>a-b,(ab-a-b)2=(ab+a-b)2-4
=(2 )2-4=4,
所以ab-a-b=2.
答案:22.已知x+x-1=4(0=(x+x-1)2-4=12,
又因为0所以x2-x-2=-8 ,
又因为 =x+x-1+2=6,所以
所以
