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课堂检测·素养达标
1.下列函数中,是指数函数的是 ( )
A.y=(-8)x
B.y=
C.y=ax
D.y=(2a-1)x(a>,且a≠1)
【解析】选D.D为指数函数;A中底数-8<0,所以不是指数函数;B中指数不是自变量x,而是x的函数,所以不是指数函数;C中底数a,只有规定a>0且a≠1时,才是指数函数.
2.若指数函数f(x)的图象过点(3,8),则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=2x
C.f(x)= D.f(x)=
【解析】选B.设f(x)=ax(a>0且a≠1),
则由f(3)=8得a3=8,所以a=2,所以f(x)=2x.
3.指数函数f(x)=ax的图象经过点(2,4),则f(-3)的值是________.?
【解析】由题意知4=a2,所以a=2,
因此f(x)=2x,故f(-3)=2-3=.
答案:
4.已知函数f(x)为指数函数,且f=,则f(-2)=________.?
【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),
由f=得,=,
所以a=3,又f(-2)=a-2,
所以f(-2)=3-2=.
答案:
【新情境·新思维】
某电商平台近三年的购物节的销售额连续增长,这三年的增长率分别为x,y,z,则这三年平均增长率为 ( )
A.
B.
C.
D.-1
【解析】选D.设这三年平均增长率为p,
则(1+p)3=(1+x)(1+y)(1+z)
故p=-1.
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课时素养评价 二十八
指数函数的概念
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)以x为自变量的四个函数中,是指数函数的为 ( )
A.y=(+1)x B.y=(1-)x
C.y=3x+1 D.y=πx
【解析】选A、D.由指数函数的定义可知选A,D.
2.函数y=(a-2)2ax是指数函数,则 ( )
A.a=1或a=3 B.a=1
C.a=3 D.a>0且a≠1
【解析】选C.由指数函数的定义知所以解得a=3.
【加练·固】
若函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,则a=________.?
【解析】由指数函数的定义得
解得a=1.
答案:1
3.某地为了保持水土资源,实行退耕还林,如果2015年退耕8万公顷,以后每年比上一年增加10%,那么2020年需退耕 ( )
A.8×1.14万公顷 B.8×1.15万公顷
C.8×1.16万公顷 D.8×1.13万公顷
【解析】选B.根据题意,2015年退耕8万公顷,
x年后退耕8×1.1x万公顷,
所以2020年退耕亩数为8×1.15(万公顷).
4.碳14的半衰期为5 730年,那么碳14的年衰变率为 ( )
A. B.
C. D.1
【解析】选C.设碳14的年衰变率为m,原有量为1,则m5 730=,解得m=,
所以碳14的年衰变率为.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1),经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为________.?
【解析】由已知得
解得
所以f(x)=+3,
所以f(-2)=+3=4+3=7.
答案:7
6.已知函数f(x)满足f(x)=则f(-7.5)的值为________.?
【解析】由题意,得f(-7.5)=f(-5.5)
=f(-3.5)=f(-1.5)
=f(0.5)=20.5=.
答案:
三、解答题
7.(16分)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数解析式.如果存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)?
【解析】根据题意得:1期到期本利和为:
y=a(1+r),2期到期本利和为:y=a(1+r)2,
3期到期本利和为:y=a(1+r)3,
所以y=a(1+r)x(x∈N*).
将a=1 000,r=2.25%,x=5代入得,
y=1 000×(1+2.25%)5=1 000×1.022 55≈1 118.
所以本利和y随存期x变化的函数式为y=a(1+r)x(x∈N*)5期后的本利和约为
1 118元.
(15分钟·30分)
1.(4分)若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为 ( )
A.2 B.2 C.-2 D.-2
【解析】选B.因为函数f(x)=·ax是指数函数,
所以a-3=1,a>0,a≠1,
解得a=8,所以f(x)=8x,
所以f==2.
【加练·固】
某种放射性元素,100年后只剩原来质量的一半,现有这种元素1克,3年后剩下
( )
A.克 B.(1-0.5%)3克
C.0.925克 D.克
【解析】选D.设这种放射性元素,每年衰减P,
则(1-P)100=,则1-P=,
故这种元素1克,3年后剩下(1-P)3
===(克).
2.(4分)某钢厂的年产量由2000年的4 000万吨增加到2010年的5 000万吨,如果按照这样的年增长率计算,则该钢厂2020年的年产量约为 ( )
A.6 000万吨 B.6 200万吨
C.6 250万吨 D.6 400万吨
【解析】选C.设年增长率为x,根据题意列方程得4 000(1+x)10=5 000,解得(1+x)10=,
如果按照这样的年增长率计算,则该钢厂2020年的年产量约为:4 000(1+x)20=
4 000×()2=6 250(万吨).
3.(4分)函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型,则a的取值范围是________. ?
【解析】由题意0
答案:(1,2)
4.(4分)某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=k·ax(a>0且a≠1)(x∈N*).当商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元时,该商品上架第4天的价格为________元. ?
【解析】由题意可知
解得
所以当x=4时,y=k·a4=.
答案:
5.(14分)某生态文明小镇2018年底人口为20万人,人均住房面积为8 m2,计划2022年底人均住房达到10 m2,如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%,那么要实现上述计划,这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2.(精确到1万m2)
【解析】设这个城市平均每年要新增住房x万m2,
据题意可得20×8+4x=20(1+1%)4·10,
所以x=50×1.014-40≈12.
所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2.
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课件48张PPT。4.2 指 数 函 数
4.2.1 指数函数的概念 1.指数函数
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.【思考】
(1)为什么指数函数的底数a>0,且a≠1?提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;
当x≤0时,ax无意义.
②如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于x= ,…,该函数
无意义.
③如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.(2)指数函数的解析式有什么特征?
提示:①a>0,且a≠1;②ax的系数为1;③自变量x的系数为1.2.指数型函数模型
形如y=kax(k∈R,且k≠0;a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型.【思考】
设原有量为N,每次的增长量为p,经过x次增长,该量增长到y,则x,y之间满足的关系式是什么?
提示:y=N(1+p)x(x∈N).【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=x5是指数函数. ( )
(2)y=2ax(a>0,且a≠1)是指数函数. ( )
(3)y= 是刻画指数增长变化规律的函数模型.
( )提示:(1)×.y=x5不是指数函数,指数函数的底数是常
数.
(2)×.指数函数的系数为1.
(3)×.y= 是刻画指数衰减变化规律的函数模型.2.按复利计算利率的储蓄,存入银行2万元,如果年息3%,5年后支取,本利和为人民币 ( )
A.2(1+0.3)5万元 B.2(1+0.03)5万元
C.2(1+0.3)4万元 D.2(1+0.03)4万元【解析】选B.由题意可得,5年后本利和为人民币2(1+0.03)5万元.3.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)=________.?
【解析】由题意,设f(x)=ax(a>0且a≠1),则由f(2)=a2
=2,得a= ,所以f(x)=( )x.
答案:( )x类型一 指数函数的概念
【典例】1.以x为自变量的四个函数中,是指数函数的为 ( )
A.y=(π-1)x B.y=(1-π)x
C.y=3x+1 D.y=x22.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则a的值为________.?【思维·引】1.根据指数函数解析式的特征判断.
2.根据指数函数的定义式列出方程求解.【解析】1.选A.由指数函数的定义可知选A.
2.由题意得a2-3a+3=1,即(a-2)(a-1)=0,解得a=2或a=1(舍).
答案:2【内化·悟】
从自变量所在位置看,指数函数与幂函数有什么区别?
提示:指数函数y=ax(a>0且a≠1)中自变量x在指数位置.
幂函数y=xα中自变量x在底数位置.【类题·通】
判断一个函数是指数函数的方法
(1)把握指数函数解析式的特征:①底数a>0且a≠1;
②ax的系数为1;③自变量x的系数为1.
(2)有些函数需要对解析式变形后判断,如
是指数函数.【习练·破】
1.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)= ( )
A.8 B. C.4 D.2【解析】选D.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,
所以2a-3=1,解得a=2,
所以f(x)=2x,所以f(1)=2.2.已知函数f(x)=(2a-1)x是指数函数,则实数a的取值范围是__________.?【解析】由题意可知 解得a> ,且a≠1.
所以实数a的取值范围是
答案: ∪(1,+∞)【加练·固】
下列一定是指数函数的是 ( )
A.y=ax
B.y=xa(a>0且a≠1)
D.y=(a-2)ax【解析】选C.A中a的范围没有限制,故不一定是指数函
数;
B中y=xa(a>0且a≠1)中变量是底数,故也不是指数函数;
C中y= 显然是指数函数;D中只有a-2=1即a=3时为指
数函数.类型二 指数函数的解析式
【典例】1.指数函数y=f(x)的图象经过点 ,则
f(-π)=________.?
2.指数函数y=f(x)的图象经过点 那么f(4)·
f(2)=________.世纪金榜导学号?【思维·引】1.设出指数函数的解析式,代入(π, ),再求f(-π).
2.先求出指数函数的解析式,再计算乘积式.【解析】1.设指数函数的解析式为y=ax(a>0,且a≠1),
则 =aπ,所以f(-π)=a-π=(aπ)-1= .
答案: 2.设指数函数的解析式为y=ax(a>0,且a≠1),因为函数
的图象经过点
所以 =a-2,所以a=2,
所以指数函数的解析式为y=2x,
所以f(4)·f(2)=24·22=26=64.
答案:64【内化·悟】
怎样设指数函数的解析式?
提示:设指数函数为f(x)=ax(a>0,且a≠1).【类题·通】
求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0且a≠1).
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式.【习练·破】
1.若点(a,27)在函数y=( )x的图象上,则 的值为
( )
A. B.1 C. D.0【解析】选A.点(a,27)在函数y=( )x的图象上,
所以27=( )a,即33= ,
所以 =3,
解得a=6,所以 2.若指数函数y=f(x)的图象经过点 ,则
______.?【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),因为f(x)过点 ,
所以 =a-2,所以a=4,所以f(x)=4x,
所以
答案: 类型三 指数型函数的实际应用
角度1 增长型指数函数模型
【典例】随着我国经济的不断发展,2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元,预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长,那么2021年年底该地区的农民人均年收入为 ( )
世纪金榜导学号A.3 000×1.06×7元 B.3 000×1.067元
C.3 000×1.06×8元 D.3 000×1.068元【思维·引】利用指数增长模型y=N(1+p)x(x∈N)列式.【解析】选B.设经过x年,该地区的农民人均年收入为y元,依题意有y=3 000×1.06x,
因为2 014年年底到2 021年年底经过了7年,
故把x=7代入,即可求得y=3 000×1.067.【素养·探】
在指数函数模型的应用性问题中,常常用到核心素养中的数学运算和数据分析,利用指数幂的运算性质进行运算.
本例中,哪一年年底该地区的农民人均年收入超过5 000元?【解析】设经过x年后,年底该地区的农民人均年收入超过5 000元,则3 000×1.06x≥5 000,
经验证,因为3 000×1.069≈5 068>5 000,
故到2 023年年底该地区的农民人均年收入超过5 000元.角度2 衰减型指数函数模型
【典例】调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原
因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精
含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后,血液
中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少,则他至少要
经过________小时后才可以驾驶机动车. ( )?
A.1 B.2 C.3 D.4【思维·引】列出血液中酒精含量随时间变化的关系式,列出方程后求时间.【解析】选B.设n个小时后才可以驾车,
由题意得方程0.8(1-50%)n=0.2,
0.5n= ,解得n=2,
即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车.【类题·通】
关于指数型函数模型
设原有量为N,每次的增长(衰减)率为p,经过x次增长(衰减),该量增长到y,则y=N(1±p)x(x∈N).【习练·破】
已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2017年底的生产成本为6 400元/件,那么2020年底的生产成本为________元/件.?【解析】由题意得,2020年底的生产成本为:6 400×(1-
25%)3=6 400× =2 700(元/件).
答案:2 700