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课堂检测·素养达标
1.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3必过定点 ( )
A.(0,-3) B.(2,-2)
C.(2,-3) D.(0,1)
【解析】选B.因为a0=1,故f(2)=-2,
所以函数f(x)=ax-2-3必过定点(2,-2).
2.若<,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.
C.(-∞,1) D.
【解析】选A.因为函数y=在R上为减函数,
所以3a-2>3-2a,所以a>1.
3.求函数y=的定义域.
【解析】由题意得-2x+1≥0,解得x≤,所以函数的定义域为.
【新情境·新思维】
已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(2,4),则a=____________,若a2x+1
【解析】因为f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,4),
所以a2=4,解得a=2,
若a2x+1即22x+1<23x-1,故2x+1<3x-1,解得x>2.
答案:2 (2,+∞)
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课堂检测·素养达标
1.函数f(x)=在区间[-2,2]上的最小值是 ( )
A. B.-
C.4 D.-4
【解析】选A.函数f(x)=在定义域R上是减函数,所以f(x)在区间[-2,2]上的最小值为f(2)==.
2.当x>0时,指数函数f(x)=(a-1)x<1恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.a>2 B.1C.a>1 D.a∈R
【解析】选B.因为x>0时,(a-1)x<1恒成立,
所以03.函数y=的单调递增区间为 ( )
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
【解析】选A.y==×2x,
所以在(-∞,+∞)上为增函数.
4.函数y=的值域为________.?
【解析】令u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以y=2u≥2-1=,
所以y=的值域为.
答案:
【新情境·新思维】
已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1,函数g(x)=x2-2x+m.如果对于?x1∈[-2,2],总?x2∈[-2,2],使得f(x1)≤g(x2),则实数m的取值范围是________.?
【解析】因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
所以f(0)=0,
当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1,
则当x∈[-2,2]时,f(x)∈[-3,3],
若对于?x1∈[-2,2],
?x2∈[-2,2],
使得g(x2)≥f(x1),则等价为g(x)max≥3,
因为g(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,x∈[-2,2],
所以g(x)max=g(-2)=8+m,
则满足8+m≥3,解得m≥-5.
答案:m≥-5
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课时素养评价 三十
指数函数的图象和性质的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)关于函数f(x)=的说法中,正确的是 ( )
A.偶函数
B.奇函数
C.在(0,+∞)上单调递增
D.在(0,+∞)上单调递减
【解析】选B、C.f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数;当x增大时,3x,-3-x=-均增大,
故f(x)增大,故函数f(x)为增函数.
2.已知函数f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的图象是( )
【解析】选A.因为f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),
所以f(x)在(0,2)内单调递减,所以03.函数y=的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[1,2] D.[1,3]
【解析】选A.令u=-3+4x-x2,因为y=3u为增函数,所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间(-∞,2].
4.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是
( )
A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)【解析】选A.因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.
由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上单调递增,且它的图象关于直线x=-1对称,
可得函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减.
再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=(a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是________.?
【解析】因为函数f(x)=是R上的减函数,所以求得0答案:(0,]
6.函数y=在区间(-∞,3)上单调递增,则实数a的取值范围是______.若在区间[-1,1]上具有严格的单调性,则实数a的取值范围是________.?
【解析】y=在(-∞,3)上递增,即二次函数y=-x2+ax-1在(-∞,3)上递增,因此需要对称轴x=≥3,解得a≥6.
若函数在[-1,1]上具有严格的单调性,则≤-1或≥1,解得a≤-2或a≥2.
答案:a≥6 a≤-2或a≥2
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=ax-1(x≥0),其中a>0且a≠1.
(1)若f(x)的图象经过点,求a的值.
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
【解析】(1)函数图象过点,所以,a2-1=,则a=.
(2)f(x)=ax-1(x≥0),由x≥0得x-1≥-1,当01时,ax-1≥a-1,所以f(x)的值域为[a-1,+∞).
【加练·固】函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调增区间.
(2)x∈[-1,2]时,求f(x)的值域.
【解析】(1)令t=x2-2x,则f(x)=h(t)=,因为h(t)=是减函数,
t=x2-2x在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1].
(2)由t=x2-2x,则f(x)=h(t)=,
因为-1≤x≤2,所以t∈[-1,3],
所以f(x)∈[,3].
8.(14分)设函数f(x)=,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x值的取值范围.
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值是16,求a的值.
【解析】(1)f(3)=,即=,
所以10-3a=1,解得a=3.
由f(x)=≥4=,
即10-3x≤-2,解得x≥4.
(2)当a>0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时单调递增,
则x=2时,函数取最大值=16,
即10-2a=-4,解得a=7,
当a<0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时单调递减,
则x=-1时,函数取最大值=16,
即10+a=-4,解得a=-14,
综上可得:a=7或a=-14.
(15分钟·30分)
1.(4分)若a=π-2,b=aa,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.a>b>c
【解析】选B.由题意得,0所以==aa-1>1,故b>a,
===aa-b>1,故b>c,
==>1,故c>a,
综上知,b>c>a.
2.(4分)已知函数f(x)=若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,] B.[,+∞)
C.[0,] D.[,1]
【解析】选A.当x≤0时,f(x)=3-x单调递减,且f(x)≥1,当x>0时,f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1,
抛物线开口向下,
此时f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(x)<1,
综上f(x)是减函数,
若f(a-1)≥f(-a),则a-1≤-a,即a≤,
则实数a的取值范围是(-∞,].
3.(4分)若函数f(x)=ax-1(a>1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则a=________. ?
【解析】因为函数f(x)=ax-1(a>1)在区间[2,3]上单调递增,
所以f(x)max=f(3)=a2,f(x)min=f(2)=a,
由题意可得a2-a=,解得a=(a>1).
答案:
4.(4分)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上单调递增,则a=________. ?
【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,
所以a=2,m=.
此时g(x)=-x2在[0,+∞)上单调递减,不合题意.
当0所以a=,m=.检验知符合题意.
答案:
5.(14分)已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8), B(3,32).
(1)试求a,b的值.
(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,8),B(3,32),
所以解得
(2)设g(x)=+=+,
y=g(x)在R上是减函数,
所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.
若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.
1.若2x-5-x≤2-y-5y,则有 ( )
A.x+y≥0 B.x+y≤0
C.x-y≤0 D.x-y≥0
【解析】选B.构造函数f(x)=2x-5-x,易得函数f(x)单调递增,由2x-5-x≤2-y-5y,
可得f(x)≤f(-y),所以x≤-y?x+y≤0.
2.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a·+.
(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=1++.
令t=,由x<0可得t>1,
f(x)=h(t)=t2+t+1=+,
因为h(t)在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)>h(1)=3,
故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M成立,
故函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,则当x≥0时,|f(x)|≤3恒成立.
故有-3≤f(x)≤3,
即-4-≤a·≤2-,
所以-4·2x-≤a≤2·2x-.
求得-4·2x-的最大值为-4-1=-5,
2·2x-的最小值为2-1=1,
故有-5≤a≤1,即a的取值范围为[-5,1].
【加练·固】
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记f(x)= .
(1)求a的值.
(2)证明f(x)+f(1-x)=1.
(3)求f+f+f+…+f的值.
【解析】(1)函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,
而函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减.
所以a+a2=20,得a=4或a=-5(舍去),所以a=4.
(2)因为f(x)=,
所以f(x)+f(1-x)=+
=+=+=+=1.
(3)由(2)知,f+f=1,
+f=1,
…f+f=1,
所以f++f+…+f=++…
+=1+1+1+…+1=1 005.
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课时素养评价 二十九
指数函数的图象和性质
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)在同一坐标系中,关于函数y=3x与y=的图象的说法正确的是
( )
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称
C.都在x轴的上方 D.都过点(0,1)
【解析】选A、C、D.作出两函数图象可知,两函数图象关于y轴对称,都在x轴的上方,都过点(0,1).
2.若f(x)=(2a-1)x是增函数,那么a的取值范围为 ( )
A.a< B.C.a>1 D.a≥1
【解析】选C.因为f(x)=(2a-1)x是增函数,
所以2a-1>1,解得a>1.
3.函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点 ( )
A.(-1,-1) B.(-1,1)
C.(0,2a-1) D.(0,1)
【解析】选B.函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1),
令x+1=0,解得x=-1,
所以f(-1)=2-1=1,
所以f(x)恒过定点(-1,1).
4.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是 ( )
A.f(1)>f(-1) B.f(1)C.f(1)=f(-1) D.不确定
【解析】选B.因为f(x)=+2是减函数,
所以f(1)二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是________.?
【解析】由题意可得,函数f(x)=a-x=()x(a>0且a≠1)在R上是增函数,
故>1,解得0答案:(0,1)
6.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则a的取值范围是________,b的取值范围是________.?
【解析】从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有00,即b<0.
答案:(0,1) (-∞,0)
三、解答题(共26分)
7.(12分)求不等式a4x+5>a2x-1(a>0,且a≠1)中x的取值范围.
【解析】对于a4x+5>a2x-1(a>0,且a≠1),
当a>1时,有4x+5>2x-1,解得x>-3;
当0故当a>1时,x的取值范围为{x|x>-3};
当08.(14分)已知指数函数f(x)的图象经过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.
(1)求函数g(x)的解析式.
(2)若g(x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围.
【解析】(1)设指数函数为f(x)=ax.
因为指数函数f(x)的图象过点(3,8),
所以8=a3,所以a=2,
所求指数函数为f(x)=2x.
因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,
所以g(x)=2-x.
(2)由(1)得g(x)为减函数,
因为g(x2-3x+1)>g(x2+2x-5),
所以x2-3x+1,
所以x的取值范围为.
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是
( )
【解析】选D.函数y=x+a是增函数.
由题意知a>0且a≠1.
当0在y轴上的截距大于0且小于1;
当a>1时,y=ax是增函数,直线y=x+a在y轴上的截距大于1.
【加练·固】
若a>1,则函数y=ax与y=(1-a)x2的图象可能是下列四个选项中的 ( )
【解析】选C.因为a>1,所以函数y=ax为增函数,可排除选项B与D.
y=(1-a)x2是开口向下的二次函数,可排除选项A.
2.(4分)定义一种运算:g☉h=已知函数f(x)=2x☉1,那么函数y=f(x-1)的大致图象是 ( )
【解析】选B.f(x)=
所以f(x-1)=
所以其图象为B.
3.(4分)设函数f(x)=则f(-4)=______,若f(x0)>1,则x0的取值范围是______. ?
【解析】f(-4)=24-1=15;由题意得或由得x0<-1,由得x0>1,
综上所述,x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:15 (-∞,-1)∪(1,+∞)
4.(4分)若函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是________. ?
【解析】因为函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,
所以就是求函数m=-0.5|1-x|的值域问题.
因为m=-0.5|1-x|的值域为[-1,0).
故实数m的取值范围是[-1,0).
答案:[-1,0)
5.(14分)已知函数f(x)=+a的图象经过第二、三、四象限.
(1)求实数a的取值范围.
(2)设g(a)=f(a)-f(a+1),求g(a)的取值范围.
【解析】(1)如图,
因为函数f(x)=+a的图象经过第二、三、四象限,
所以a<-1.
(2)g(a)=f(a)-f(a+1)=+a--a==·.
因为a<-1,所以>3,则·>2.
故g(a)的取值范围是(2,+∞).
1.若f(x)的图象向左平移一个单位后与y=5x的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=5x+1 B.f(x)=5x-1
C.f(x)=5-x+1 D.f(x)=5-x-1
【解析】选C.因为f(x)的图象向左平移一个单位后与y=5x的图象关于y轴对称,
所以与y=5x的图象关于y轴对称的函数为y=5-x,
然后将y=5-x向右平移一个单位得到y=5-(x-1)
=5-x+1,即f(x)=5-x+1.
2.已知函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).
(1)求f(x)的解析式,并求f(f(-2))的值.
(2)请在给定的直角坐标系内,利用“描点法”画出y=f(x)的大致图象.
【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1),得解得
所以f(x)=
从而f(f(-2))=f(3)=23=8.
(2)“描点法”作图,①列表:
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
3
2
1
2
4
②描点;③连线,f(x)的图象如图所示.
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课件51张PPT。 4.2.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质【思考】
(1)对于指数函数y=2x,y=3x,y= ,y= ,…,为什么
一定过点(0,1)?
提示:当x=0时,a0=1(a≠0)恒成立,即指数函数的图象一
定过点(0,1).(2)观察指数函数的图象,思考:在下表中,?处y的范围是什么?提示:【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)指数函数的图象都在x轴的上方. ( )
(2)若指数函数y=ax是减函数,则0(3)对于任意的x∈R,一定有3x>2x. ( )提示:(1)√.由指数函数的性质可知正确.
(2)√.由指数函数的单调性可知正确.
(3)×.由y=3x,y=2x的图象可知,当x<0时,3x<2x.2.函数y=2-x的图象是 ( )【解析】选B.函数y=2-x= .3.若0A.第一、二象限 B.第二、四象限
C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限【解析】选A.当0【典例】求下列函数的定义域:【思维·引】(1)利用被开方数大于等于0列不等式求范围.
(2)利用分母不为0列式求范围.【解析】(1)1- ≥0,则 ≤1,则x≥0,
所以函数的定义域为[0,+∞).
(2)由x2-5x-6≠0,得x≠-1,且x≠6,
故 的定义域为{x|x∈R,x≠-1,且x≠6}.【内化·悟】
求函数的定义域时,主要关注哪些方面?
提示:主要关注解析式中是否含有偶次根式、分式、零次幂.【类题·通】
与指数函数相关的定义域问题
(1)函数y=af(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.
(2)涉及不等关系求定义域时,先化同底,再利用图象、单调性求范围.【习练·破】
(2019·通州高一检测)函数y= 的定义域为___.?【解析】依题意得,2x-8≥0,
所以2x≥8=23,又y=2x为增函数,所以x≥3.
所以函数y= 的定义域为{x|x≥3}.
答案:[3,+∞)类型二 指数函数的图象及应用
【典例】1.(2019·重庆高一检测)函数y=2-|x|的大致图象是 ( )2.(2019·威海高一检测)函数f(x)= +2 019(a>0
且a≠1)所过的定点坐标为________.?【思维·引】1.去掉解析式中的绝对值号,分情况作图.
2.令x-2 018=0,求出x,再求y.【解析】1.选C.函数
因为2>1, <1且图象关于y轴对称,
所以函数图象在y轴右侧单调递减,y≤1,
左侧单调递增,y≤1.2.由题意,根据指数函数的性质,令x-2 018=0,
可得x=2 018,代入可得f(2 018)=2 020,
所以函数f(x)过的定点坐标为(2 018,2 020).
答案:(2 018,2 020)【内化·悟】
1.怎样作带绝对值号的函数的图象?
提示:去掉绝对值号,分情况作图.2.形如y=makx+b+n的函数所过的定点坐标是什么?
提示:令kx+b=0,x= ,y=m+n,
所以函数过点 【类题·通】
与指数函数相关的图象问题
1.定点问题:令函数解析式中的指数为0,即可求出横坐标,再求纵坐标即可.
2.平移问题:对于横坐标x满足“加左减右”.3.底数大小:对于 如图,0<11.（2019·全国卷Ⅲ）函数y= 在[-6,6]的图象
大致为( )【解析】选B.令y=f(x)=
所以f(-x)=
所以f(x)为奇函数，排除选项C.
又因为f(4)=
根据图象进行判断，可知选项B符合题意.2.已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（ ）
A．t≤-1 B．t＜-1
C．t≤-3 D．t≥-3【解析】选A.由指数函数的性质知函数g（x）=3x+t恒过定点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，
所以1+t≤0，解得t≤-1．【加练·固】
函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象如图所示,a,
b,c,d分别是下列四个数: 中的一个,则对应
的a,b,c,d的值是 ( )【解析】选C.方法一:从第一象限看指数函数的图象,
逆时针方向底数依次从小变大.
方法二:直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下
依次为c,d,a,b,而 > > > .类型三 指数函数性质的简单应用
角度1 比较大小
【典例】已知a=1.50.5,b=0.51.5,c=0.50.5则 ( )
世纪金榜导学号
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b【思维·引】同底数的利用单调性比较,不同底的与1比较.
【解析】选B.a=1.50.5>1,0<0.51.5<0.50.5<1,所以a>c>b.【类题·通】
利用单调性比较大小
(1)底数相同的直接利用单调性.
(2)底数、指数都不同的把1作为中间量比较.
(3)底数不同,指数相同的借助图象间的关系比较.【习练·破】
1.已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则 ( )
A.bC.ca=0.40.3>0.30.3>b=0.30.4,
c=0.3-0.2>1,
所以bA.aa>c
C.aa>b【解析】选B.a=0.52.1∈(0,1),b=20.5>1,c=0.22.1,
由图象可知,0.52.1>0.22.1,
所以a>c,所以b>a>c.【加练·固】
已知 则a,b,c的大小关系是
( )
A.cC.b则当01;当a>1时,有0所以
又因为函数y= 在R上是减函数,
且 所以 综上知, 即c角度2 解简单的指数不等式
【典例】使不等式92x-1< 成立的x的集合是 ( )
世纪金榜导学号【思维·引】
化同底后利用单调性解不等式.【解析】选A.将不等式化简,即34x-2< ,
可得4x-2< ,解得x< .【素养·探】
在解与指数相关的不等式时,常常利用核心素养中的
逻辑推理,通过对底数的分类讨论来解不等式.
将本例的不等式底数都改为a(a>0,且a≠1),
即a2x-1< ,试解此不等式.【解析】当a>1时,指数函数y=ax是增函数,
由2x-1< ,解得x< ;当0指数函数y=ax是减函数,由2x-1> ,解得x> .课件50张PPT。
第2课时 指数函数的图象
和性质的应用 类型一 与指数函数相关的值域问题
角度1 简单的值域问题
【典例】函数y=3-x(-2≤x≤1)的值域是 ( )
世纪金榜导学号【思维·引】先确定函数的单调性,再求最值,确立值域.【解析】选B.函数y=3-x= 在[-2,1]上单调递减,故
ymax=3-(-2)=9,ymin=3-1= ,函数y=3-x在[-2,1]上的图象
连续不断,所以其值域为 【素养·探】
函数的单调性对应函数图象的上升和下降,在利用函
数的单调性求值域的过程中,常常用到直观想象的核心
素养,利用图象求值域.
将本例的函数变为y= (-2≤x≤1),试求函数的值域.【解析】因为y=2x在[-2,1]上单调递增,
所以 ≤2x≤2,所以 ≤2x+1≤3,
所以 ,
所以函数的值域为 角度2 含参数的值域问题
【典例】已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则实数a的值为______. 世纪金榜导学号?
【思维·引】分情况表示出最大值、最小值,列式求a的值.【解析】当a>1时,y=ax在[-1,1]上单调递增,
所以当x=-1时,y取到最小值a-1,
当x=1时,y取到最大值a,
所以a-a-1=1,解得a= ;
当0当x=1时,y取到最小值a,
所以a-1-a=1,解得a=
答案: 【类题·通】
与指数函数相关的值域问题
(1)关键:根据指数函数的单调性求最大值、最小值.(2)分类讨论:如果指数函数的底数含有参数,通常要分底数大于1和底数大于0且小于1两种情况讨论,如果是最大值与最小值的和,则不需要讨论,因为无论单调递增还是递减,最值总在端点处取到.【习练·破】
若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在x∈[1,2]上的最大值和最小值的和是3a,则实数a的值是________.?【解析】函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在x∈[1,2]上的最大值和最小值的和是3a,
则f(1)+f(2)=a+a2=3a解得a=2或0(舍去).
答案:2【加练·固】
已知函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值与最小值
之差是 ,则a=________.?【解析】函数f(x)=ax在[-1,1]上单调,
若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值与最小值之差是 ,
则 ,解得a=2或a= .
答案:2或 类型二 函数y=af(x)的单调性、值域
【典例】求函数y= 的单调递增区间、值域.【思维·引】1.结合y= 的单调性,求二次函数
t=-x2+x+2的减区间.
2.利用换元法求值域.【解析】令t=-x2+x+2,则y= ,
因为t=
可得t的减区间为
因为函数y= 是减函数,
所以函数 的单调递增区间为 又t≤ 所以
所以函数 的值域为 【内化·悟】
复合函数的单调性、值域求解的关键是什么?
提示:分别分析内层函数与外层函数的单调性.【类题·通】
复合函数的单调性、值域
(1)分层:一般分为外层y=at,内层t=f(x).(2)单调性复合:复合法则“同增异减”,即内外层的单调性相同则原函数单调递增,单调性相反则原函数单调递减.
(3)值域复合:先求内层t的值域,再利用单调性求y=at的值域.【习练·破】
1.求函数y=9x-2·3x+3的单调区间,并求出其值域.【解析】设u=3x,则原函数可分解为u=3x,y=u2-2u+3,
而二次函数y=u2-2u+3单调性的分界点为u=1,
因此当x∈(-∞,0)时,u=3x单调递增,u∈(0,1),而y=u2-
2u+3在(0,1)上单调递减,
所以原函数在(-∞,0)上单调递减;当x∈[0,+∞)时,u=3x单调递增,u∈[1,+∞),而二次函数y=u2-2u+3在[1,+∞)上单调递增,所以原函数在[0,+∞)上单调递增.
综上可知,原函数在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
函数y=9x-2·3x+3的值域,即y=u2-2u+3,u∈(0,+∞)的值域,易知值域为[2,+∞).2.求函数y=22x+1-2x+2-6的单调区间及值域.
【解析】y=22x+1-2x+2-6=2·22x-4·2x-6,
令t=2x(t>0),则y=2t2-4t-6=2(t-1)2-8.
所以在区间(0,1)上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,因为函数t=2x是增函数,所以原函数的递增区间是[0,+∞),递减区间是(-∞,0],值域是[-8,+∞).【加练·固】
1.函数f(x)= 的单调递减区间是________,
值域是________.?【解析】令t=x2-2x=(x-1)2-1,
则f(x)=
利用二次函数的性质可得函数t的递增区间为[1,+∞),
所以函数f(x)= 的递减区间是[1,+∞);
因为t≥-1,
所以f(x)≤ 所以函数f(x)= 的值域为(0, ].
答案:[1,+∞) (0, ]2.函数 的递减区间为________.?
【解析】令u=x2+2x-3,开口向上,
对称轴为x=-1,u=x2+2x-3在(-∞,-1]上单调递减;
y=2u是增函数,由复合函数的单调性可知函数
的递减区间为(-∞,-1].
答案:(-∞,-1]类型三 指数函数性质的综合应用
【典例】1.已知函数 对?x1,x2
∈R,且x1≠x2,都有 成立,则实数a的取值
范围是 ( )2.已知函数 是R上的奇函数.
(1)判断并证明f(x)的单调性.
(2)若对任意实数,不等式f(f(x))+f(3-m)>0恒成立,求
m的取值范围.【思维·引】1.先判断函数的单调性,再求参数的范围.
2.(1)先求出a的值,再根据定义判断、证明单调性.
(2)利用函数的性质转化不等式,分离出m后求范围.【解析】1.选B.由题意得f(x)为增函数,
故 2.(1)因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即 =0,由此得a=1,
所以
所以f(x)为R上的增函数.
证明:?x1,x2∈R,且x1因为x1所以
所以f(x1)所以原不等式可化为f(f(x))>-f(3-m),
即f(f(x))>f(m-3),
又因为f(x)为R上的增函数,
所以f(x)>m-3,由此可得不等式m由2x>0?2x+1>1?0< <2?
-2<- <0?2<4- <4,所以m≤2.【内化·悟】
1.怎样判断函数的奇偶性?
提示:先考查定义域是否关于原点对称,再根据定义式判断.2.对?x1,x2∈D,且x1≠x2,都有 成立时,
函数f(x)在区间D上单调递增,若函数f(x)在区间D上单
调递减,应满足什么条件?
提示:应满足?x1,x2∈D,且x1≠x2,都有 <0
或 (x1-x2)<0成立. 【类题·通】
1.关于分段函数 的单调性
(1)增函数:f(x)在(-∞,x0]上单调递增,g(x)在(x0,+∞)
上单调递增,且f(x0)≤g(x0).
(2)减函数:f(x)在(-∞,x0]上单调递减,g(x)在(x0,+∞)
上单调递减,且f(x0)≥g(x0).2.含参数恒成立问题的一种处理方法
将参数分离到左侧,根据不等号恒成立的方向,求出右侧函数的最大值或最小值,即可得到参数的范围.
特别提醒:已知分段函数的单调性求参数的范围时,容易忽视判断分界点处取值的大小.【习练·破】
1.已知函数f(x)= -2x,则f(x) ( )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是减函数
C.是偶函数,且在R上是增函数
D.是偶函数,且在R上是减函数【解析】选B.f(x)= -2x,
f(-x)=2x- =-f(x),所以f(x)为奇函数,
又因为函数y= 与y=-2x都是减函数,所以两个减函
数之和仍为减函数.2.设函数 则满足f(x+1)值范围是 ( )
A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)【解析】选D.将函数f(x)的图象画出来,观察图象可知会有 解得x<0,
所以满足f(x+1)