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课堂检测·素养达标
1.如果N=a2(a>0且a≠1),则有 ( )
A.log2N=a B.log2a=N
C.logNa=2 D.loga N=2
【解析】选D.因为N=a2(a>0且a≠1),所以2=logaN.
2.若loga=-2,则a= ( )
A.2 B.4
C. D.
【解析】选A.loga=-2,则a-2==2-2,所以a=2.
3.若等式lo=0成立,则x=________.?
【解析】由lo=0,得=1,得x=3.
答案:3
4.计算=________.?
【解析】原式=3×=.
答案:
【新情境·新思维】
若0
【解析】选A.由|x|=loga,
得y==又0所以函数在(-∞,0]上递减,在(0,+∞)上递增,且y≥1.
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课时素养评价 三十一
对数的概念
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列选项中,可以求对数的是 ( )
A.0 B.-5 C.π D.x2+1
【解析】C、D.根据对数的定义,得0和负数没有对数,所以选项A,B没有对数.
π>0,选项C有对数.
又x2+1≥1,所以选项D有对数.
【加练·固】对数式lo(x-1)中实数x的取值范围是________.?
【解析】由题意可得,
解得x>,且x≠2.
所以实数x的取值范围是∪(2,+∞).
答案:∪(2,+∞)
2.若x=lo16,则x= ( )
A.-4 B.-3
C.3 D.4
【解析】选A.因为x=lo16,所以=24,所以-x=4,解得x=-4.
3.若log34x=1,则4x+的值为 ( )
A.3 B.4
C. D.
【解析】选D.因为log34x=1,则4x=3,所以4x+=3+=.
4.-2-lg 0.01+ln e3等于 ( )
A.14 B.0
C.1 D.6
【解析】选B.原式=4-(33-(-2)+3=4-9-(-2)+3=0.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.若3a=24,blog23=1,则=____,=________.?
【解析】因为3a=24,所以a=log324,b=log32,所以3b=2,
所以===6,===3.
答案:6 3
6.若logπ[log2(ln x)]=0,则x=________.?
【解析】由logπ[log2(ln x)]=0,得log2(ln x)=1,所以ln x=2,所以x=e2.
答案:e2
三、解答题
7.(16分)求下列各式中x的值.
(1)log4(log3x)=0.
(2)lg(log2x)=1.
(3)lo=x.
【解析】(1)因为log4(log3x)=0,
所以log3x=40=1,所以x=31=3.
(2)因为lg(log2x)=1,所以log2x=10,
所以x=210=1 024.
(3)因为lo=x,
所以(-1)x====-1,
所以x=1.
(15分钟·30分)
1.(4分)设0【解析】选A.因为x+logay=0,所以logay=-x,
所以y=a-x,即y=(a-1)x=,又因为01.
所以指数函数y=的图象单调递增,过点(0,1).
2.(4分)方程=的解是 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=9
【解析】选A.因为=2-2,所以log3x=-2,所以x=3-2=.
3.(4分)若a=log92,则9a=________,3a+=________. ?
【解析】a=log92,则9a==2,
所以3a=,3a+=+=.
答案:2
4.(4分)方程4x-2x-6=0的解为____. ?
【解析】由4x-2x-6=0,得(2x)2-2x-6=0,
解得2x=3,或2x=-2(舍去),所以x=log23.
答案:x=log23
5.(14分)已知logax=4,logay=5(a>0,且a≠1),求A=的值.
【解析】由logax=4,得x=a4,
由logay=5,得y=a5,
所以A=
=·[(·y-2
=·(·y-2=·
=(a4·(a5
==a0=1.
【加练·固】求下列各式中x的值:
(1)logx27=. (2)log2 x=-.
(3)x=log27. (4)x=lo16.
【解析】(1)由logx27=,可得=27,
所以x=2=(33=32=9.
(2)由log2x=-,可得x=,
所以x== =.
(3)由x=log27,可得27x=,
所以=3-2,所以x=-.
(4)由x=lo16,可得=16,
所以=24,所以x=-4.
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课件54张PPT。4.3 对 数
4.3.1 对数的概念 1.对数的概念
(1)若ax=N(a>0,且a≠1),则x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)ax=N?x=logaN.
(3)常用对数:以10为底,记作lg N.
自然对数:以无理数e≈2.718 28…为底,记作ln N. 【思考】
(1)式子logmN中,底数m的范围是什么?
提示:m>0,且m≠1.(2)对数式logaN是不是loga与N的乘积?
提示:不是,logaN是一个整体,是求幂指数的一种运算,其运算结果是一个实数.2.对数的性质
(1)负数和0没有对数.
(2)loga1=0.
(3)logaa=1.
3.对数恒等式:________【思考】
loga1=0,logaa=1, 是如何推出来的?
提示:a0=1?loga1=0,
a1=a?logaa=1,
x=logaN代入ax=N得 【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)因为(-3)2=9,所以log(-3)9=2. ( )
(2)因为2x=3,所以log32=x. ( )
(3)log35=log53. ( )提示:(1)×.对数的底数不能为负值.
(2)×.应为log23=x.
(3)×.log35≠log53,两个是不同的对数值.2.若log3x=3,则x= ( )
A.1 B.3 C.9 D.27
【解析】选D.因为log3x=3,所以x=33=27.3.把对数式x=log527改写为指数式________.?
【解析】对数式x=log527改写为指数式为5x=27.
答案:5x=27类型一 对数的概念
【典例】1.若a2019=b(a>0,且a≠1),则 ( )
A.logab=2019 B.logba=2019
C.log2019a=b D.log2019b=a2.对数式log(a-2)(5-a)中实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,5) B.(2,5)
C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞)3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 ( )
世纪金榜导学号
A.e0=1与ln1=0
B.log39=2与 =3
D.log77=1与71=7【思维·引】1.根据对数的定义式转化.
2.对数式中底数大于0,且不等于1,真数大于0.
3.根据对数的定义式判断.【解析】1.选A.若a2019=b(a>0,且a≠1),
则2 019=logab.2.选C.要使对数式b=log(a-2)(5-a)有意义,
则 ,解得a∈(2,3)∪(3,5).3.选B.对于A:e0=1可化为:0=loge1=ln1,所以A正确;对
于B:log39=2可化为:32=9,所以B不正确;
对于C: = 可化为log8 =- ,所以C正确;
对于D:log77=1可化为:71=7,所以D正确.【内化·悟】
指数式、对数式中的底数、幂指数、幂、真数的对应关系是什么?提示:【类题·通】
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式:
将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.(2)对数式化为指数式:
将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.【习练·破】
1.如果a5=b(a>0且a≠1,b>0),则 ( )
A.logab=5 B.loga5=b
C.log5a=b D.log5b=a
【解析】选A.如果a5=b(a>0且a≠1,b>0),则logab=5.2.若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是
( )
A.[2,+∞) B.(2,3)∪(3,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义,须 解
得t>2且t≠3,所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).3.将下列指数式与对数式进行互化.
(1) (2) (3)lg 0.001=-3.【解析】(1)由
可得
(2)由 可得 =4.
(3)由lg 0.001=-3,可得10-3=0.001.类型二 指数式与对数式的互化与求值
角度1 利用指数式与对数式的互化求值
【典例】1.求下列各式中x的值:
(1) log64x=
(2)logx8=6.
(3)lg 100=x.
(4)-ln e2=x.2.若loga2=m,loga3=n,其中a>0,且a≠1,则am+n=
________.?
【思维·引】1.化为指数式,利用指数运算求值.
2.先求出am,an,再计算am+n.【解析】1.(1)
(2)x6=8,所以(3)10x=100=102,于是x=2.
(4)由-lne2=x,得-x=lne2,即e-x=e2,所以x=-2.
2.loga2=m,可得am=2,loga3=n,an=3,am+n=aman=2×3=6.
答案:6【素养·探】
在利用指数式与对数式互化求值时,经常用到核心素养中的数学运算,主要体现在指数运算性质的应用.
本例2中,条件不变,试求a2m-n.【解析】由例2解析可知,am=2,an=3,
所以 角度2 对数的性质在求值中的应用
【典例】已知 =0,求x+y
的值.
【思维·引】利用loga1=0,logaa=1求出x,y.【解析】因为
所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,
所以x=43=64,同理求得y=16,所以x+y=80.【类题·通】
1.关于指数式与对数式的互化
(1)互化的关键是,准确应用定义式.
(2)求值问题需化为指数式,利用指数运算求值.2.对数性质在求值中的应用
此类题目一般都有多层,解题方法是利用对数的性质,从外向里逐层求值.【习练·破】
1.若 则a= ( )
A.4 B.8
C.16 D.32【解析】选B.因为 ,所以 ,
所以 =4,所以a2=64,又a>0,所以a=8.2.log5[log3(log2x)]=0,则 等于 ( )【解析】选C.因为log5[log3(log2x)]=0,
所以log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以x=23=8,
所以 3.若lg[log2(lg x)]=0,则x=________.?
【解析】因为lg[log2(lg x)]=0,所以log2(lg x)=1,
所以lgx=2,所以x=102=100.
答案:100【加练·固】
若x=lg 3,则 【解析】 因为x=lg 3,所以10x=3,从而10-x=
故原式=
答案: 类型三 对数恒等式的应用
【典例】1.设 则x的值等于 ( )
A.10 B.12 C.100 D.±100
2.计算 世纪金榜导学号?【思维·引】1.利用对数恒等式列出关于x的方程求解.
2.利用指数的运算性质转化为对数恒等式的形式求值.【解析】1.选B.由 得2x+1=25,
所以x=12.
2. =4×5=20.
答案:20【内化·悟】
形如 的式子能直接用对数恒等式吗?
提示:不能,可以化为 后再利用对数恒等式
求值.【类题·通】
应用对数恒等式求解的步骤提醒:应用对数恒等式的前提是底数相同.【习练·破】
求值:
(1) =________.?
(2) =________.?【解析】(1) =4.
答案:4
(2) =3×2=6.
答案:6【加练·固】
?
【解析】 =125.
答案:125