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课堂检测·素养达标
1.下面关于函数f(x)=1-的说法正确的是 ( )
A.f(x)为增函数 B.在(-∞,0)上是单调递增
C.f(x)为减函数 D.在(-∞,0)上为单调递减
【解析】选B.根据题意,f(x)=1-,其定义域为{x|x≠0},函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,分析选项知A,C,D错误.
2.已知f(x)是定义在上的增函数,且f(-2)=3,则满足f(2x-3)<3的x的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.由题意,f(2x-3)
因为f(x)在上是增函数,
则2x-3<-2,解得x<.
3.函数y=(k+2)x+1在R上是减函数,则k的取值范围是 ( )
A.k≥-2 B.k≤-2
C.k>-2 D.k<-2
【解析】选D.要使函数y=(k+2)x+1在R上是减函数,必须k+2<0,所以k<-2.
4.函数f(x)=-+1的单调递减区间为________.?
【解析】函数f(x)=-+1的图象开口向下,对称轴为直线x=-2,在对称轴右侧函数单调递减,所以函数f(x)=-+1的单调递减区间为.
答案:
【新情境·新思维】
定义域在R上的函数f(x)满足:对?x1,x2∈R,有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,则有
( )
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)【解析】选A.定义域在R上的函数f(x)满足,对?x1,x2∈R,有(x1-x2)(f(x1) -f(x2))>0,可得函数f(x)是R上的增函数,所以f(-2)关闭Word文档返回原板块
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课堂检测·素养达标
1.函数y=在[2,3]上的最小值为 ( )
A.2 B. C. D.-
【解析】选B.y=在[2,3]上单调递减,所以x=3时取最小值为.
2.函数f(x)的图象如图,则其最大值、最小值分别为 ( )
A.f,f B.f(0),f
C.f,f(0) D.f(0),f(3)
【解析】选B.观察函数图象,f(x)最大值、最小值分别为f(0), f.
3.函数f(x)=的最小值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选B.当x>-1时,
f(x)=x2的最小值为f(0)=0;
当x≤-1时,f(x)=-x递减,可得f(x)≥1,
综上可得函数f(x)的最小值为0.
4.设函数f(x)=ax+(1-x)(a>0),当0≤x≤1的最小值为g(a),则g(a)的最大值为 ( )
A.a B. C.2 D.1
【解析】选D.f(x)=x+,
当0当a=1时,a-=0,f(x)=1;
当a>1时,a->0,f(x)递增,在[0,1]上的最小值为f(0)=(a>1),因此g(a)=
可得g(a)的最大值为1.
5.函数f(x)=在[1,b](b>1)上的最小值是,则b=______.?
【解析】因为f(x)在[1,b]上单调递减,
所以f(x)在[1,b]上的最小值为f(b)==,
所以b=4.
答案:4
【加练·固】
对于区间[a,b]和函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在[a,b]上是单调函数;②函数y=f(x),x∈[a,b]的值域还是[a,b],则称区间[a,b]为函数f(x)的“不变”区间.
(1)求函数y=x2(x≥0)的所有“不变”区间.
(2)函数y=x2+m(x≥0)是否存在“不变”区间?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
【解析】(1)易知函数y=x2(x≥0)单调递增,
故有解得a=0或1,b=0或1,又因为a所以所以函数y=x2(x≥0)的“不变”区间为[0,1].
(2)易知函数y=x2+m(x≥0)单调递增,
若函数y=x2+m(x≥0)存在“不变”区间,
则有b>a≥0,且
消去m得a2-b2=a-b,
整理得(a-b)(a+b-1)=0.
因为a又由b>a≥0,得1-a>a≥0,所以0≤a<.
所以m=-a2+a=-+(0≤a<),
所以0≤m<.
综上,当0≤m<时,函数y=x2+m(x≥0)存在“不变”区间.
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课时素养评价 二十
函数的单调性
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列四个函数中在(-∞,0]上单调递减的是 ( )
A.f(x)=x2-2x B.f(x)=-x2
C.f(x)=x+1 D.f(x)=
【解析】选A、D.在A中,f(x)=x2-2x的减区间为(-∞,1],故A符合题意;在B中,f(x)=-x2的减区间为[0,+∞),故B不符合题意;在C中,f(x)=x+1在R上是增函数,故C不符合题意;在D中,f(x)=在(-∞,1)上单调递减,所以在(-∞,0]上单调递减,故D符合题意.
【加练·固】(2019·綦江高一检测)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是 ( )
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
【解析】选D.根据题意,依次分析选项:
对于A,若f(x)=x,则y==,在R上不是减函数,A错误;对于B,若f(x)=x,
则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;对于C,若f(x)=x,则y=-=-,在R上不是增函数,C错误;对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2∈R,设x10,则y=-f(x)在R上为减函数,D正确.
2.设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)=f(x2) D.不能确定
【解析】选D.根据单调性定义,所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量,才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小,因为x1,x2不在同一单调区间内,所以选D.
3.可推得函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1,2]上单调递增的一个条件是 ( )
A.a=0 B.
C. D.
【解析】选B.若a>0,函数f(x)=ax2-2x+1,开口向上,对称轴为x=-=,
要使f(x)在区间[1,2]上单调递增,
可以推出若a<0,图象开口向下,要求≥2,显然不可能,当a=0时,f(x)=-2x+1,在[1,2]上单调递减,不合题意.
4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则 ( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2+a)【解析】选D.因为a2+1-a=+>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞,
+∞)上为减函数,所以f(a2+1)二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=x2-3|x|+2的单调递减区间是______,单调递增区间是______.?
【解析】化简函数为f(x)=
作出函数图象如图,
由图象不难得出,函数的单调递减区间为-∞,-和,
单调递增区间为和.
答案:和
和
6.已知函数y=f(x)是定义在区间(-2,2)上的减函数,若f(m-1)>f(1-2m),则m的取值范围是________.?
【解析】由题意得
解得-答案:
三、解答题(共26分)
7.(12分)求函数y=|x2+2x-3|的单调区间.
【解析】令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4作出f(x)的图象.保留其在x轴及其上方部分,将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,由图象可得原函数的增区间为[-3,-1]和[1,+∞),减区间是(-∞,-3]和[-1,1].
8.(14分)已知函数f(x)=ax+(a,b是常数),且满足f(1)=3,f(2)=.
(1)求a,b的值.
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性,并用定义证明.
【解析】(1)因为函数f(x)=ax+,
f(1)=3,f(2)=,
所以解得故a=2,b=1.
(2)f(x)在区间上单调递减.由(1)知f(x)=2x+,?x1,x2∈,且x1则f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-
=(x1-x2),因为?x1,x2∈,且x1所以x1-x2<0,x1x2<,2-<0,
故f(x1)-f(x2)>0,故f(x)在区间上单调递减.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在(2,+∞)上单调递增,则 ( )
A.f(-1)B.f(3)C.f(6)D.f(6)【解析】选B.由f(2+x)=f(2-x)知,f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5),又f(x)在(2,
+∞)上单调递增,所以f(3)2.(4分)若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范围是
( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
【解析】选B.因为函数f(x)=2|x-a|+3=因为函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,所以a>1,
所以a的取值范围是(1,+∞).
3.(4分)已知函数y=-x2+4ax在区间[-1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是________.?
【解析】根据题意,函数y=-x2+4ax为二次函数,且开口向下,其对称轴为x=2a,
若其在区间[-1,2]上单调递减,则2a≤-1,
所以a≤-,即a的取值范围为.
答案:
4.(4分)f(x)=在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是________. ?
【解析】因为f(x)为R上的减函数,
所以当x≤1时,f(x)单调递减,即a-4<0 ①,
当x>1时,f(x)单调递减,即a>0 ②且(a-4)×1+5≥2a ③,联立①②③解得,0答案:(0,1]
5.(14分)已知函数f(x)=,且f(1)=3,f(2)=.
(1)求a,b的值,写出f(x)的表达式.
(2)判断f(x)在区间[1,+∞)上的增减性,并用单调性的定义加以证明.
【解析】(1)因为
所以解得
所以f(x)=.
(2)f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
证明:?x1,x2∈[1,+∞),
且x1所以x1-x2<0,又因为x1≥1,x2>1,
所以x1x2>1,2x1x2>2>1,即2x1x2-1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
1.已知函数f(x)=的增区间为[-1,+∞),则实数a的取值范围是________.?
【解析】当x<0时,f(x)=x2+2x-3的对称轴为x=-1,
当-1≤x<0时,函数f(x)单调递增,
当x≥0时,f(x)单调递增,
要使函数在[-1,+∞)上单调递增,
则满足f(0)=0+a≥-3,即a≥-3.
答案:[-3,+∞)
2.已知函数f(x+1)=.
(1)求f(2),f(x).
(2)用定义证明函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性.
【解析】(1)因为f(x+1)=,令x=1,
得f(2)=f(1+1)=1,令t=x+1,则x=t-1,
所以f(t)=,即f(x)=.
(2)?x1,x2∈(-1,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=-
=,
又因为-10,
所以<0,f(x1)所以函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
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课时素养评价 二十一
函数的最大值、最小值
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 ( )
A.42,12
B.42,-
C.12,-
D.无最大值,最小值为-
【解析】选D.f(x)=x2+3x+2
=-,
因为-5<-<5,
所以无最大值,f(x)min=f=-.
2.已知f(x)=-,则 ( )
A.f(x)max=,f(x)无最小值
B.f(x)min=1,f(x)无最大值
C.f(x)max=1,f(x)min=-1
D.f(x)max=1,f(x)min=0
【解析】选C.f(x)=- 的定义域为[0,1],
因为f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)max=1,f(x)min=-1.
3.(多选题)下列关于函数f(x)=x+|x-1|的四种说法正确的是 ( )
A.有最小值,最小值为1
B.没有最小值
C.有最大值,最大值为10
D.没有最大值
【解析】选A、D.f(x)=x+|x-1|=
作出函数的图象如图所示,
由图象可知,f(x)的最小值为1,没有最大值.
4.设c<0,f(x)在区间[a,b]上单调递减,下列说法中正确的是 ( )
A.f(x)在区间[a,b]上有最小值f(a)
B.在[a,b]上有最小值f(a)
C.f(x)-c在[a,b]上有最小值f(a)-c
D.cf(x)在[a,b]上有最小值cf(a)
【解析】选D.根据题意,依次分析选项:
对于A,f(x)在区间[a,b]上单调递减,
则其在区间[a,b]上有最小值f(b),A错误;
对于B,f(x)在区间[a,b]上单调递减,
而函数在[a,b]上单调性无法确定,
其最小值无法确定,B错误;
对于C,f(x)在区间[a,b]上单调递减,
f(x)-c在区间[a,b]上也单调递减,
其最小值为f(b)-c,C错误;
对于D,f(x)在区间[a,b]上单调递减,且c<0,
则cf(x)在区间[a,b]上单调递增,
则在[a,b]上有最小值cf(a),D正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.若一次函数y=f(x)在区间[-1,2]上的最小值为1,最大值为3,则y=f(x)的解析式为____________.?
【解析】设f(x)=kx+b(k≠0),
当k>0时,即
所以f(x)=x+;
当k<0时,即
所以f(x)=-x+,
所以f(x)的解析式为f(x)=x+或f(x)=-x+.
答案:f(x)=x+或f(x)=-x+
6.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,6]上单调递增,且f(-4)【解析】因为函数y=f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,6]上单调递增,所以f(x)的最小值是f(-2),又因为f(-4)所以f(x)的最大值是f(6).
答案:f(-2) f(6)
三、解答题(共26分)
7.(12分)求函数y=f(x)=在区间[1,2]上的最大值和最小值.
【解题指南】先证明函数y=在区间[1,2]上的单调性,然后求最大值和最小值.
【解析】?x1,x2∈[1,2],且x1则f(x1)-f(x2)=-
=
=,
因为1≤x1所以2即6<3(x1+x2)<12,
又10,
故f(x1)-f(x2)>0.
所以函数y=在区间[1,2]上单调递减,
ymax=f(1)=-,ymin=f(2)=-4.
8.(14分)已知函数f(x)=,x∈[2,9].
(1)判断f(x)的单调性,并证明你的结论.
(2)求f(x)的最大值,最小值.
【解析】(1)f(x)在[2,9]上单调递减.
证明:?x1,x2∈[2,9],且x1则f(x1)-f(x2)=-
=,
因为2所以x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在[2,9]上单调递减.
(2)由f(x)在[2,9]上单调递减,所以当x=2时,f(x)取最大值f(2)=2;
当x=9时,f(x)取最小值f(9)=.
(15分钟·30分)
1.(4分)某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为 ( )
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
【解析】选C.设公司在甲地销售x台,则在乙地销售(15-x)台,公司获利为
L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30
=-+30+,所以当x=9或10时,L最大为120万元.
2.(4分)已知y=ax+1,在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是
( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
【解析】选C.①当a=0时,y=ax+1=1,不符合题意;
②当a>0时,y=ax+1在[1,2]上单调递增,
则(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;
③当a<0时,y=ax+1在[1,2]上单调递减,
则(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.
综上,得a=±2.
3.(4分)函数f(x)=-3x在区间上的最大值为________. ?
【解析】因为y=在区间上单调递减,y=-3x在区间上单调递减,所以函数f(x)=-3x在区间上单调递减,
所以f(x)max=f(2)=-3×2=-4.
答案:-4
4.(4分)函数f(x)=x(|x|-2)在[m,n]上的最小值为-1,最大值为1,则n-m的最大值为________. ?
【解析】函数f(x)=x(|x|-2),
当x≥0时,f(x)=x2-2x;
当x<0时,f(x)=-2x-x2.
作出y=f(x)的图象,
由图象可得x>0时,x2-2x=1,解得x=1+;
当x<0时,-2x-x2=-1,解得x=-1-,
即有f(x)在[-1-,1+]内的最大值为1,最小值为-1,故n-m的最大值为1+-(-1-)=2+2.
答案:2+2
5.(14分)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域.
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3=-,
对称轴为x=-<3,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以当x∈[-2,3]时,
f≤f(x)≤f(3),
f(3)=15,f=-,
所以当a=2,x∈[-2,3]时,该函数的值域为.
(2)函数f(x)=x2+(2a-1)x-3的对称轴是x=-a.
当-a≥1时,函数f(x)在[-1,3]上的最大值为f(-1)=-2a-1=1,所以a=-1合题意;
当-a≤1时,函数f(x)在[-1,3]上的最大值为f(3)=6a+3=1,所以a=-合题意;
所以实数a的值为-或-1.
1.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________. ?
【解析】设f(x)=x2+mx+4,则f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-.
(1)当-≤1时,即m≥-2时,满足f(2)=4+2m+4≤0,
所以m≤-4,又m≥-2,所以此时无解.
(2)当-≥2,即m≤-4时,需满足f(1)=1+m+4≤0,
所以m≤-5,又m≤-4,所以m≤-5.
(3)当1<-<2,即-4需满足此时无解.
综上所述,m≤-5.
答案:m≤-5
2.已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R),设f(x)在[-1,1]上的最大值为g(a),
(1)求g(a)的表达式.
(2)是否存在实数m,n,使得g(a)的定义域为[m,n],值域为[5m,5n]?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为函数f(x)图象的对称轴为x=-,
所以当-≤0,即a≥0时,
g(a)=f(x)max=f(1)=a2+a+2;
当->0,即a<0时,
g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.
所以g(a)=
(2)假设存在符合题意的实数m,n,
则由(1)可知,当a∈R时,g(a)∈[2,+∞).
所以若a∈[m,n],有g(a)∈[5m,5n],
则0≤m所以
所以
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课件64张PPT。3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性1.函数的单调性【思考】
在函数单调性的定义中,能否去掉“任意”?
提示:不能,不能用特殊代替一般.2.函数的单调性与单调区间
函数y=f(x)在区间D上是单调递增或单调递减,则函数在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数的单调区间.【思考】
区间D一定是函数的定义域吗?
提示:不一定,可能是定义域的一个子区间,单调性是局部概念,不是整体概念.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数f(x)=2x2,若f(-1)增函数. ( )
(2)函数f(x)= 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
( )(3)任何函数f(x)一定有严格的单调性. ( )
提示:(1)×.函数f(x)=2x2在(0,+∞)上单调递增.
(2)×.函数f(x)= 的减区间为(-∞,0),(0,+∞),不
能用“∪”表示.
(3)×.常数函数不具有严格的单调性.2.如图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-1,0)
B.(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-1,0),(1,+∞)【解析】选D.若函数单调递减,则对应图象为下降的,由图象可知,函数在(-1,0),(1,+∞)上分别下降,则对应的单调递减区间为(-1,0),(1,+∞).3.若y=f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,且f(x)【解析】因为y=f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以由f(x)2x-2,所以x<2,所以x的取值范围为(-∞,2).
答案:(-∞,2)类型一 求函数的单调区间
【典例】1.如图是定义在区间[-2,2]上的函数y=f(x),则f(x)的减区间是________.?2.函数f(x)=x|x|-2x的单调增区间为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】1.图象下降的区间为减区间.
2.分情况去掉绝对值,作出图象确定增区间.【解析】1.由图象可以看出f(x)的减区间是[-1,1].
答案:[-1,1]
2.当x≥0时,f(x)=x2-2x,对称轴为x=1,开口向上,根据图象(画图略)知在(1,+∞)上递增,
当x<0时,f(x)=-x2-2x,对称轴为x=-1,开口向下,根据图象(画图略)知在(-∞,-1)上递增,所以函数的单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
答案:(-∞,-1)和(1,+∞)
【内化·悟】
怎样求函数的单调区间?
提示:借助函数的图象求单调区间.【类题·通】
图象法求函数单调区间的步骤
(1)作图:作出函数的图象.
(2)结论:上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间.【习练·破】
函数f(x)=|x+2|的单调递增区间是________.?【解析】f(x)=|x+2|=
根据f(x)的图象(画图象略)知,
当x≥-2时,f(x)=x+2单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为[-2,+∞).
答案:[-2,+∞)【加练·固】
画出函数y=|x|(x-2)的图象,并指出函数的单调区间.【解析】y=|x|(x-2)
=
函数的图象如图所示.由函数的图象知:函数的单调递增区间为(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间为(0,1).类型二 利用定义证明函数的单调性
【典例】1.下列函数中,在R上是增函数的是( )
A.y=|x| B.y=x
C.y=x2 D.y= 2.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等实数a,b,总
有 成立,则必有 ( )
A.函数f(x)是先单调递增后单调递减
B.函数f(x)是先单调递减后单调递增
C.f(x)在R上是增函数
D.f(x)在R上是减函数3.请用函数单调性的定义证明函数f(x)=x- 在
(0,+∞)上单调递增. 世纪金榜导学号【思维·引】1.考查当x增大时,函数值y的变化.
2.分a>b,a3.利用单调性的定义证明.【解析】1.选B.根据题意,依次分析选项:
对于A,y=|x|= 在R上不是增函数,不符合题意;
对于B,y=x是正比例函数,在R上是增函数,符合题意;对
于C,y=x2是二次函数,在R上不是增函数,不符合题意;
对于D,y= 是反比例函数,在R上不是增函数,不符合
题意.2.选C.任意两个不相等实数a,b,总有 成立,
即当a>b时,f(a)>f(b),当a的定义可知,函数f(x)在R上是增函数.3.?x1,x2∈(0,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=
=(x1-x2) ,
因为x1因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,
所以1+ >0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
【内化·悟】
如果函数y=f(x)是增函数,则x与y的关系是什么?减函数呢?提示:如果函数y=f(x)是增函数,那么当x增大时,y也会随之增大;
如果函数y=f(x)是减函数,那么当x增大时,y会随之减小.
【类题·通】
1.利用定义证明函数单调性的步骤2.单调性的等价形式
对于定义域内的区间D上任意的x1,x2,且x1≠x2,
若 或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数是
增函数;
若 或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数是
减函数.【习练·破】
用函数单调性的定义证明:函数f(x)= 在(-∞,1)
上是单调递减的.【证明】?x1,x2∈(-∞,1),且x1则f(x1)-f(x2)=
因为x10,(x1-1)(x2-1)>0,
故f(x1)-f(x2)>0,故f(x)在(-∞,1)上是单调递减的.【加练·固】
已知函数f(x)= (m<0),说明此函数在定义域上的单
调性,并用定义证明在(-∞,2)上的单调性.【解析】函数f(x)在(-∞,2),(2,+∞)上单调递增,证明:?x1,x2∈(-∞,2),且x1则f(x1)-f(x2)=
=
由x10,x1-2<0,x2-2<0,又因为m<0,所以f(x1)-f(x2)<0,
故f(x)在(-∞,2)上单调递增.
类型三 函数单调性的简单应用
角度1 利用单调性解不等式
【典例】已知函数f(x)的定义域为[-2,2],且f(x)在区间[-2,2]上是增函数,f(1-m)所以-2≤1-m≤2,且-2≤m≤2,所以-1≤m≤2,
因为f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以1-m解得m>0.5,所以0.5答案:0.5 单调性的应用,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用单调性转化为不等式,从而求出变量的范围.
本例的条件若改为“减函数”,试求m的取值范围.【解析】因为f(x)的定义域为[-2,2],
所以-2≤1-m≤2,且-2≤m≤2,所以-1≤m≤2,
因为f(x)在区间[-2,2]上单调递减,所以1-m>m,
解得m<0.5,所以-1≤m<0.5.角度2 分段函数的单调性
【典例】若函数f(x)= 在R上为增
函数,则实数b的取值范围为 世纪金榜导学号( )
A.[1,2] B.
C.(1,2] D. 【思维·引】利用x>0,x≤0时的函数解析式,分段求解b的范围并注意分界点处.【解析】选A.因为函数f(x)=
在R上为增函数,
所以
解得1≤b≤2.【类题·通】
1.由函数单调性求参数范围的类型及处理方法
(1)由函数解析式求参数.(2)利用抽象函数单调性求范围.
①依据:定义在 上的单调增(减)函数中函数值与
自变量的关系 ?
②方法:依据函数单调性去掉符号“f”,转化为不等式
问题求解.2.分段函数的单调性
首先分析每段上的单调性,其次是分界点处函数值的大小,如果是增函数,则界点左侧值大于等于右侧值,如果是减函数,则界点左侧值小于等于右侧值.【发散·拓】
关于函数f(x)=x+ (a≠0)的单调性.
(1)若a>0,函数y=x+ 的图象如图1所示:则函数y=x+ 的单调增区间是(-∞,- ]和
[ ,+∞),单调减区间是(- ,0)和(0, ).
(2)若a<0,其图象如图2所示,
函数y=x+ 在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增,即
y=x+ 的单调增区间为(-∞,0)和(0,+∞).【延伸·练】
函数f(x)=x+ (x>0)的单调减区间是 ( )
A.(2,+∞) B.(0,2)
C.( ,+∞) D.(0, )【解析】选D.函数f(x)=x+ (x>0),根据对勾函数图
象及性质可知,函数f(x)=x+ (x>0)在( ,+∞)上单
调递增,函数f(x)在(0, )上单调递减.
【习练·破】
1.已知函数f(x)= 若f(a-1)>f(-a),则实数
a的取值范围是 ( )
A.a> B.a>1 C.a< D.a<1【解析】选C.因为函数f(x)=
所以函数在R上是减函数,
因为f(a-1)>f(-a),
所以a-1<-a,所以a< .2.函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在[1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B.
【解析】选D.当k=0时,f(x)=-2x-5在R上单调递减,不
符合题意,当k≠0时,因为函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在
[1,+∞)上单调递增,
所以 解得k≥ ,
综上所述:k的取值范围是 .【加练·固】
已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式.
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),
所以 解得
所以f(x)=x2-2x+5.
(2)函数f(x)的对称轴方程为x= ,要使函数f(x)在
区间[1,2]上不单调,
则1< <2,解得-4函数的最大值、最小值 函数的最大值和最小值【思考】
如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M,那么M一定是函数f(x)的最大值吗?
提示:不一定.如函数f(x)=-x2≤1恒成立,但是1不是函数的最大值.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何函数都有最大值、最小值. ( )
(2)如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的.
( )
(3)如果一个函数f(x)是区间[a,b]上是单调递减的,那么函数的最大值是f(b). ( )提示:(1)×.如函数y= 既没有最大值,也没有最小值.
(2)√.函数的最大值是唯一的.
(3)×.最大值为f(a).2.函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数的最大、最小值分别为 ( )
A.3,0 B.3,1
C.3,无最小值 D.3,-2【解析】选C.观察图象可以知道,图象的最高点坐标是(0,3),从而其最大值是3;另外从图象看,无最低点,即该函数不存在最小值.3.函数y= 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别
是( )
【解析】选A.因为y= 在[2,4]上是单调递减的,
所以当x=2时,取最大值y=1;
当x=4时取最小值y= .类型一 利用函数的图象求最值
【典例】1.函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 ( )
A.-2,f(2) B.2,f(2)
C.-2,f(5) D.2,f(5)2.已知函数f(x)= 世纪金榜导学号
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象.
(2)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.【思维·引】1.根据最值的几何意义确定最值.
2.(1)作一次函数图象需找出两个点的坐标,作二次函数图象则需找出顶点及与坐标轴的交点.
(2)利用最值的几何意义确定最值大小.【解析】1.选C.观察图象可知图象的最低点坐标是
(-2,-2),从而其最小值是-2;另外从图象看图象的最高点坐标为(5,f(5)),从而其最大值为f(5).2.(1)由题意,当x∈[-1,2]时,
f(x)=-x2+3,为二次函数的一部分;
当x∈(2,5]时f(x)=x-3,为一次函数的一部分.
所以函数f(x)的图象如图所示:(2)由图象可知,当x=0时,f(x)有最大值,最大值为3;当x=2时,f(x)有最小值,最小值为-1.【内化·悟】
利用图象求最值需要关注图象的哪些点?
提示:关注图象的最高点,最低点.【类题·通】
图象法求最值的步骤【习练·破】
已知函数f(x)= 求函数f(x)的最大值、
最小值.【解析】作出f(x)的图象如图:由图象可知,
当x=2时,f(x)取最大值为2;
当x= 时,f(x)取最小值为 .
所以f(x)的最大值为2,最小值为 .【加练·固】
已知函数f(x)= 则f(x)的最大值、最小值
分别为________,________.?【解析】作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值,最大值为f(±1)=1;
当x=0时,f(x)取最小值,最小值为f(0)=0,
故f(x)的最大值为1,最小值为0.
答案:1 0类型二 利用单调性求函数的最值
【典例】已知函数f(x)= 世纪金榜导学号
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义
证明其结论.
(2)求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值.【思维·引】(1)根据当x变大时,y值的变化判断单调性,并用定义证明.
(2)根据单调性确定在哪一点处取最大、最小值,再求最值.【解析】(1)f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
证明如下:
?x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)= 因为x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,9]上是单调递增的,
故函数f(x)在区间[2,9]上的最大值为
f(9)= ,最小值为f(2)= .【内化·悟】
利用单调性求最值的关键是什么?
提示:准确确定函数的单调性.【类题·通】
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.
(2)利用单调性求出最大(小)值.2.函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c) 中较小(大)的一个.
【习练·破】
设函数f(x)=2- .
(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义加以
证明.
(2)求函数f(x)在区间[2,5]上的最大值与最小值.【解析】(1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,证明如下:
?x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=
因为00,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)可知函数f(x)在[2,5]上单调递增,
所以f(x)max=f(5)= ,f(x)min=f(2)= .【加练·固】
已知函数f(x)= ,x∈[3,7].
(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明.
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)函数f(x)在区间[3,7]上单调递减,证明
如下:
?x1,x2∈[3,7],且x1>x2,
因为f(x1)= ,f(x2)= ,
所以f(x1)-f(x2)= 因为x1,x2∈[3,7],x1>x2,
所以x1-2>0,x2-2>0,x2-x1<0,
所以f(x1)-f(x2)= <0.
即f(x1)所以函数f(x)在[3,7]上单调递减.(2)由单调函数的定义可得f(x)max=f(3)=4,f(x)min=f(7)= .
类型三 一元二次函数的最值问题
角度1 不含参数的一元二次函数的最值问题
【典例】函数f(x)= 的最大值是( )
【思维·引】转化为二次函数求最值问题解答.【解析】选D.令t=1-x(1-x)=
则0【典例】设a为实数,函数f(x)=x2-|x-a|+1,x∈R.
世纪金榜导学号
(1)当a=0时,求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.
(2)求函数f(x)的最小值.【思维·引】(1)代入a值,化简后求最值;
(2)讨论对称轴与区间的位置关系求最值.【解析】(1)当a=0,x∈[0,2]时,函数f(x)=x2-x+1,
因为f(x)的图象开口向上,对称轴为x= ,
所以当x= 时,f(x)值最小,最小值为 ,
当x=2时,f(x)值最大,最大值为3.(2)①当x≤a时,函数f(x)=x2+x-a+1=
(i)若a≤ ,则f(x)在(-∞,a]上单调递减,
在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1;
(ii)若a> ,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为
= -a;
②当x>a时,f(x)=x2-x+a+1= (i)若a< ,则f(x)在[a,+∞)上的最小值为 =
+a;
(ii)若a≥ ,则f(x)在[a,+∞)上单调递增,
f(x)的最小值为f(a)=a2+1.
所以当a≤ 时,a2+1- ≥0,f(x)的最小
值为 +a.当a≥ 时,a2+1- ≥0,f(x)的最小值为
-a.
当 所以当 当0≤a< 时,f(x)的最小值为 -a.综上,当a<0时,f(x)的最小值为 +a;
当a≥0时,f(x)的最小值为 -a.
【素养·探】
在解决含参数的最值问题时,常常用到核心素养中的逻辑推理,利用分类与整合法,分别表示不同情况下的最值.
将本例的函数改为f(x)=x2-2ax+1,试求函数在区间[0,2]上的最值.【解析】方法一:函数的对称轴为x=a,
当a<0时,f(x)在区间[0,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=1;
当0≤a≤2时,f(x)min=f(a)=-a2+1;
当a>2时f(x)在区间[0,2]上单调递减,
所以f(x)min=f(2)=5-4a,所以f(x)min=
当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;
当a>1时,f(x)max=f(0)=1,
所以f(x)max= 方法二:由f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2,x∈[0,2],
当a<0时,如图所示,
则f(x)max=f(2)=5-4a,
f(x)min=f(0)=1,当0≤a<1时,如图所示,
则f(x)max=f(2)=5-4a,
f(x)min=f(a)=1-a2,当1≤a<2时,如图所示,
则f(x)max=f(0)=1,
f(x)min=f(a)=1-a2,当a≥2时,如图所示,
则f(x)max=f(0)=1,
f(x)min=f(2)=5-4a.综上,f(x)min=
f(x)max=
角度3 实际应用性问题
【典例】某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②.(注:利润和投资单位:万元) 世纪金榜导学号(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.
(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产,怎样分配这18万元资金,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【思维·引】(1)根据正比例函数设解析式,再求系数;
(2)利用换元法求最值.【解析】(1)根据题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2 ,
由题干图数据可知,f(x)=0.25x(x≥0),
g(x)=2 (x≥0).
(2)设B产品投入x万元,则A产品投入(18-x)万元,该企
业可获总利润为y万元.
则y= (18-x)+ ,0≤x≤18,令 =t,t∈[0, ],
则y= (-t2+8t+18)= (t-4)2+ ,
所以当t=4时,ymax= =8.5,此时x=16,18-x=2,
所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该
企业获得最大利润,约为8.5万元.【类题·通】
1.含参数的一元二次函数的最值.
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x=m为例,区间为[a,b]
(1)最小值:f(x)min= (2)最大值:f(x)max=
当开口向下、区间不是闭区间时,类似方法进行讨论,
其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.2.对于应用性问题,首先将问题利用一元二次函数表示,再利用配方法求最值.
【习练·破】
某公司生产某种皮包成本为40元/个,出厂价为60元/个,
日销售量为1 000个.为适应市场需求,公司决定提高该
款皮包档次,适度增加成本.若每个皮包成本增加的百
分率为x(0率为0.5x,同时预计日销售量可增加的百分率为0.6x.(1)若假设增加成本后的日利润为y元,求y与x的函数关系及定义域.
(2)求日利润的最大值.【解析】(1)增加成本后的日利润为:
y=[60(1+0.5x)-40(1+x)]×1 000(1+0.6x)
=-6 000x2+2 000x+20 000,定义域为{x|0=-2 000(3x2-x-10),对称轴x= ,
所以ymax= ,
所以日利润的最大值为 元.【加练·固】
某种新产品投放市场的100天中,前40天价格呈直线上升,而后60天其价格呈直线下降,现统计出其中4天的价格如表:(1)写出价格f(x)关于时间x的函数关系式(x表示投放
市场的第x天,x∈N*).
(2)销售量g(x)与时间x的函数关系式为g(x)=
(1≤x≤100,x∈N*),则该产品投放市场第几天的销售
额最高?最高为多少千元?【解析】(1)根据题意知,当1≤x≤40时,
设一次函数为y=ax+b,其过点(4,23)和点(32,30),
代入函数求得a= ,b=22;当40设一次函数为y=a'x+b',
其过点(60,22)和点(90,7),代入函数求得a'= ,b'=52,
所以f(x)=
(2)设日销售额为S(x),则当1≤x≤40时,
S(x)=f(x)g(x)= (x2-21x-9 592),
当x=10或11时,S(x)max=808.5(千元),
当40S(x)=f(x)g(x)= (x2-213x+11 336),
当x=41时,S(x)max=714(千元),因为714<808.5,
所以日销售额最高是在第10天或第11天,最高为808.5千元.
