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课堂检测·素养达标
1.下列函数是偶函数的是 ( )
A.y=x B.y=2x2-3
C.y= D.y=x2,x∈(-1,1]
【解析】选B.对于A,定义域为R,f(-x)=-x=-f(x),是奇函数;对于B,定义域为R,满足f(x)=f(-x),是偶函数;对于C和D,定义域不关于原点对称,则不是偶函数.
2.使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的α的值可以是 ( )
A.-1 B.
C.3 D.以上都不对
【解析】选C.对于A,α=-1时,f(x)=x-1,
其定义域不是R,不符合题意;
对于B,α=时,f(x)==,
其定义域不是R,不符合题意;
对于C,α=3时,f(x)=x3,其定义域为R且为奇函数,符合题意.
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=-x2-x,则f(2) =________.?
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,
并且x≤0时,f(x)=-x2-x;
所以f(2)=-f(-2)=-[-(-2)2-(-2)]=2.
答案:2
4.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)=________.?
【解析】由题图知f(1)=,f(2)=,
又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)
=--=-2.
答案:-2
【新情境·新思维】
定义两种运算:①a b=,②ab=,则函数f(x)=是
( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
【解析】选A.因为ab=,ab=,
所以f(x)==,
所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称,
所以f(x)==-,
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
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课堂检测·素养达标
1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A.y=|x|(x∈R) B.y=(x≠0)
C.y=-x2(x∈R) D.y=-x(x∈R)
【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,y=|x|为偶函数,不符合题意;对于B,y=(x≠0),是奇函数但在其定义域上不是减函数,不符合题意;对于C, y=-x2是二次函数,为偶函数,不符合题意;对于D,y=-x是正比例函数,在其定义域内既是奇函数又是减函数,符合题意.
2.奇函数y=f(x)的局部图象如图所示,则 ( )
A.f(2)>0>f(4) B.f(2)<0
C.f(2)>f(4)>0 D.f(2)【解析】选A.由题意可知:函数的图象如图:
可知f(2)>0>f(4).
3.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则当x<0时, f(x)=________.?
【解析】因为f(x)是R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
又x≥0时,f(x)=x(1+x),
所以当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x(1-x)
=-f(x),所以f(x)=x(1-x).
答案:x(1-x)
4.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________.?
【解析】设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)
=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数,
由图象可知:当-40,g(x)<0,
即h(x)<0,
当00,即h(x)<0,
所以h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
答案:(-4,-2)∪(0,2)
【新情境·新思维】
已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 ( )
A.[3,5] B.[-1,1]
C.[1,3] D.[-1,1]∪[3,5]
【解析】选D.因为偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1,所以不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(|x-2|)≤f(3),所以1≤|x-2|≤3,得1≤x-2≤3或-3≤x-2≤-1,
即3≤x≤5或-1≤x≤1,
即x的取值范围是[-1,1]∪[3,5].
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课时素养评价 二十三
函数奇偶性的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知函数f(x)=-x,x∈(-1,0)∪(0,1),则正确的判断是 ( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)在(0,1)上单调递减
D.f(x)在(-1,0)上单调递减
【解析】选A、C、D.函数f(x)=-x的定义域为{x|x≠0},
因为?x∈{x|x≠0}都有-x∈{x|x≠0},
且f(-x)=-(-x)
=-=-f(x),
所以f(x)=-x为奇函数,
因为y=和y=-x都在(0,1)上单调递减,
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,
根据f(x)为奇函数可知f(x)在(-1,0)上单调递减,
综上知A,C,D正确,B错误.
【加练·固】
下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( )
A.y=x+1 B.y=x3
C.y= D.y=x2
【解析】选B.根据题意,依次分析选项:
对于A,y=x+1,是一次函数,不是奇函数,不符合题意;对于B,y=x3,为幂函数,既是奇函数又是增函数,符合题意;对于C,y=,为反比例函数,在定义域上不是增函数,不符合题意;对于D,y=x2,为二次函数,不是奇函数,不符合题意.
2.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在(-∞,0)上有 ( )
A.最小值-5 B.最大值-5
C.最小值-1 D.最大值-3
【解析】选C.令h(x)=f(x)+g(x),
因为函数f(x),g(x)都是奇函数,
则h(x)也是奇函数,且F(x)=h(x)+2.
因为F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,所以h(x)在(0,+∞)上有最大值3,
所以h(x)在(-∞,0)上有最小值-3,
所以F(x)=h(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.
3.定义在R上的函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是 ( )
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,0)∪(0,3)
【解析】选B.因为f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,
因为f(-3)=-f(3)=0,所以f(3)=0.
则对应的函数图象如图(草图):
则当-33时,f(x)>0,
当0即f(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).
4.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是( )
A.f(-π)>f(3)>f(-2)
B.f(-π)>f(-2)>f(3)
C.f(3)>f(-2)>f(-π)
D.f(3)>f(-π)>f(-2)
【解析】选A.因为f(x)是R上的偶函数,
所以f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),
又f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,
所以f(π)>f(3)>f(2),
即f(-π)>f(3)>f(-2).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x2+-x,则f(x)=________.?
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0;
又因为x<0时,f(x)=2x2+-x,
f(-x)=-f(x), 所以x>0时,
-x<0,f(-x)=2(-x)2+-(-x)
=2x2-+x,
f(x)=-f(-x)=-2x2+-x;
综上,f(x)=
答案:
6.设函数f(x)是定义在[a,b]上的奇函数,则f(a+b)=________,此函数的最大值和最小值之和为________.?
【解析】因为函数f(x)是定义在[a,b]上的奇函数,所以a+b=0,所以f(a+b)=f(0)=0,
由奇函数的图象关于原点对称可知,此函数的最大值和最小值之和为0.
答案:0 0
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=x2+.
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
(2)判断f(x)在[2,+∞)上的单调性,并证明你的结论.
【解析】(1)f(x)为非奇非偶函数.理由如下:
根据题意,f(x)=x2+,
则f(-1)=0,f(1)=2;
则有f(-1)≠-f(1),且f(-1)≠f(1);
则f(x)为非奇非偶函数.
(2)根据题意,f(x)在[2,+∞)上单调递增.
证明:?x1,x2∈[2,+∞),且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=-
=(x1+x2)(x1-x2)+
=(x1-x2),
又由x1>x2≥2;则x1-x2>0,x1x2>4,
<1,x1+x2->0,则f(x1)>f(x2);
故f(x)在[2,+∞)上单调递增.
8.(14分)已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)试求出f(x)的表达式.
(2)求出f(x)的值域.
【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),则b-2=0,解得:b=2,即f(x)=x+2;
由于f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2;
y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
设y=ax2+2,过点(-1,1),则a+2=1,
解得a=-1,所以y=-x2+2,
可见当-1则f(x)=
(2)当x≤-1时,f(x)=x+2≤1;
当-1当x≥1时,f(x)=-x+2≤1;
函数的值域为(-∞,2].
(15分钟·30分)
1.(4分)设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若x1<0,且x1+x2>0,则 ( )
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定
【解析】选A.因为f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0)上单调递增,因为x1<0,且x1+x2>0,所以0>x1>-x2,所以f(x1)>f(-x2),又f(x1)= f(-x1),
所以f(-x1)>f(-x2).
2.(4分)函数f(x)是一个偶函数,g(x)是一个奇函数,且f(x)+g(x)=,则f(x)=
( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.由题知f(x)+g(x)=①
以-x代x,①式得f(-x)+g(-x)=,即f(x)-g(x)=②
①+②得f(x)=.
3.(4分)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x) =2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035)=________. ?
【解析】因为f(x+2)=f(x),
且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,
所以f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=…=f(4 034)=0,
f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=…=f(4 035)
=2-1=1,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035)
=2 018×0+2 018×1=2 018.
答案:2 018
【加练·固】
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x) +f(2),f(1)=4,则f(3)+f(10)的值为________.?
【解析】由f(x+4)=f(x)+f(2),
令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2),
又f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),
所以f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),又f(1)=4,
所以f(3)+f(10)=f(-1)+f(2)
=f(1)+f(2)=4+0=4.
答案:4
4.(4分)已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(2)=0,则不等式>0的解集为______. ?
【解析】根据题意,偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上递增,又由f(2)=0,则在(0,2)上,f(x)<0,在(2,+∞)上,f(x)>0,
又由f(x)为偶函数,则在(-∞,-2)上,
f(x)>0,在(-2,0)上,f(x)<0,
>0?f(x)(x-1)>0?或解得:-22,
即不等式的解集为(-2,1)∪(2,+∞).
答案:(-2,1)∪(2,+∞)
5.(14分)已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
试判断f(x)的奇偶性.
【解析】当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),
此时,f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时f(x)为非奇非偶函数.
1.设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数,若x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则
( )
A.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0
B.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0
C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0
D.f(x1)+f(x2)>f(x3)
【解题指南】利用函数单调性和奇偶性,分别推出f(x1)+f(x2)<0,f(x2)+f(x3)<0, f(x1)+f(x3)<0,相加即可得结论.
【解析】选A.因为x1+x2>0,所以x1>-x2,
因为f(x)是定义在R上的减函数,
所以f(x1)所以f(x1)<-f(x2),即f(x1)+f(x2)<0,
同理由x2+x3>0推出f(x2)+f(x3)<0,
由x3+x1>0推出f(x1)+f(x3)<0,
将所得三个不等式相加,可得2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)<0,
所以f(x1)+f(x2)+f(x3)<0.
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=-x2-2x.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.
【解析】(1)当x<0时,-x>0,
又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-(-x2+2x)
=x2-2x,
所以f(x)=
(2)因为f(m-1)+f(m2+t)<0,
所以f(m-1)<-f(m2+t),
又f(x)是奇函数,所以f(m-1)又因为f(x)为R上的减函数,
所以m-1>-t-m2恒成立,
所以t>-m2-m+1=-+恒成立,
所以t>,即实数t的取值范围为.
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课时素养评价 二十二
函数奇偶性的概念
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)的值是 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
【解析】选A.函数f(x)=x3+2x的定义域为R,
因为?x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=-x3-2x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,
则f(a)+f(-a)=0.
2.(多选题)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为 ( )
A.y=-x B.y=-x2
C.y= D.y=-x|x|
【解析】选A、D.A项,函数y=-x是奇函数又是减函数;B项,y=-x2是偶函数,故B项错误;C项,函数y=是奇函数,但是y=在(-∞,0)或(0,+∞)上单调递减,在定义域上不具有单调性,故C项错误;D项,函数y=-x|x|可化为
y=
其图象如图:
故y=-x|x|既是奇函数又是减函数,故D项正确.
3.奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-2,则f(6)+f(-3)的值为 ( )
A.10 B.-10 C.9 D.15
【解析】选A.根据题意,得f(6)=8,f(3)=-2,又由函数f(x)为奇函数,则f(-3)=-f(3)=2,则f(6)+f(-3)=10.
4.若函数f(x)=为奇函数,则a= ( )
A. B. C. D.1
【解题指南】利用奇函数的定义得到f(-1)=-f(1),列出方程求出a.
【解析】选A.因为f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1),
所以=-,
所以1+a=3(1-a),解得a=.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知f(x),g(x)都是定义域内的非奇非偶函数,而f(x)·g(x)是偶函数,写出满足条件的一组函数,f(x)=________;g(x)=________.?
【解析】f(x)=x+1,g(x)=x-1,则f(x),g(x)都是定义域内的非奇非偶函数,
而f(x)·g(x)=x2-1是偶函数.
答案:x+1 x-1(答案不唯一)
【加练·固】已知函数f(x)=ax3+bx+2,且f(π)=1,则f(-π)=________.?
【解析】根据题意,设g(x)=f(x)-2=ax3+bx,
则g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-(ax3+bx)
=-g(x),则g(x)为奇函数,
则g(π)+g(-π)=[f(π)-2]+[f(-π)-2]=0,则有f(-π)=3.
答案:3
6.已知y=f(x)是偶函数,且f(x)=g(x)-2x,g(3)=3,则g(-3)=________.?
【解析】因为y=f(x)是偶函数,
且f(x)=g(x)-2x,所以f(-3)=g(-3)+6,f(3)=g(3)-6,又f(-3)=f(3),g(3)=3,
则g(-3)=-9.
答案:-9
三、解答题
7.(16分)已知函数f(x)=mx+,且f(1)=3.
(1)求m的值.
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
【解析】(1)由题意知,f(1)=m+1=3,
所以m=2.
(2)由(1)知,f(x)=2x+,此函数的定义域为{x|x≠0}.
因为?x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0}且f(-x)=2(-x)+=-=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知函数f(x)=g(x)+|x|,对任意的x∈R,总有f(-x)=-f(x),且g(-1)=1,则g(1)= ( )
A.-1 B.-3 C.3 D.1
【解析】选B.根据题意,函数f(x)=g(x)+|x|,
对任意的x∈R总有f(-x)=-f(x),
则有f(-1)=-f(1),即f(-1)+f(1)=0,
则有g(-1)+|-1|+g(1)+|1|=0,
又由g(-1)=1,则g(1)=-3.
2.(4分)函数f(x)=ax3+2bx+a-b是奇函数,且其定义域为[3a-4,a],则f(a)=
( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选B.因为奇函数的定义域为[3a-4,a],
所以3a-4+a=0,得4a=4,a=1,
则f(x)=x3+2bx+1-b,
又f(0)=0,得f(0)=1-b=0,则b=1,
即f(x)=x3+2x,则f(a)=f(1)=1+2=3.
3.(4分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-c,则f(-2)=________.?
【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数,
且x≥0时,f(x)=2x-c,
所以f(0)=1-c=0,所以c=1,
又由当x≥0时,f(x)=2x-1,所以f(2)=3,
又由函数为奇函数,则f(-2)=-f(2)=-3.
答案:-3
4.(4分)若函数f(x)=是奇函数,则实数m=________. ?
【解析】f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
即=-,
所以-x-2m+1=-x+2m-1,
所以-2m+1=2m-1,所以m=.
答案:
5.(14分)已知函数f(x)=为偶函数.
(1)求实数a的值.
(2)当x∈(m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为[2-3m,2-3n],求m,n的值.
【解析】(1)根据题意,函数f(x)为偶函数,
则有f(-x)=f(x),
即=,
解得a=-1.
(2)由(1)的结论,f(x)==
=1-,当x>0时,f(x)为增函数,
则有
即m,n是方程2-3x=1-x2的两个根,
又由<,则m>n,
则m=,n=.
【加练·固】
(2019·和平区高一检测)已知f(x)=为奇函数.
(1)求f(-3)的值.
(2)求实数a的值.
【解析】(1)根据题意,f(x)=,则f(3)=0,又由函数f(x)为奇函数,
则f(-3)=-f(3)=0.
(2)由(1)的结论,
f(-3)==0,
解得a=3.
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课件65张PPT。3.2.2 奇 偶 性
第1课时 函数奇偶性的概念 1.函数的奇偶性【思考】
(1)如果定义域内存在x0,满足f(-x0)=f(x0),函数f(x)是偶函数吗?
提示:不一定,必须对于定义域内的任意一个x都成立.(2)函数的奇偶性定义中,对于定义域内任意的x,满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),那么奇、偶函数的定义域有什么特征?
提示:奇、偶函数的定义域关于原点对称.2.图象特征
(1)偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇函数的图象关于原点对称.【思考】
如果奇函数在x=0处有定义,则其图象有什么特征?
提示:图象过原点,即f(0)=0.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)奇函数的图象一定过原点. ( )
(2)若对于定义域内的任意一个x,都有f(x)+f(-x)=0,则函数f(x)是奇函数. ( )(3)若函数f(x)的图象关于y轴对称,则该函数是偶函数,若关于原点对称,则该函数是奇函数. ( )
提示:(1)×.不一定,如函数f(x)= .
(2)√.若f(x)+f(-x)=0,则f(-x)=-f(x).
(3)√.由奇函数、偶函数图象的特征可知正确.2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( )【解析】选B.B选项的图象关于y轴对称,是偶函数,其余选项都不具有奇偶性.3.若f(x)为R上的奇函数且f(2)=3,则f(-2)= ________.?
【解析】因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=-3.
答案:-3类型一 函数奇偶性的判断
【典例】1.函数f(x)= -2x的图象关于 ( )
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称2.判断下列函数的奇偶性: 世纪金榜导学号
(1)f(x)=2-|x|.
(2)f(x)=
(3)f(x)= .
(4)f(x)= 【思维·引】1.先判断函数的奇偶性,再判断图象的对称性.
2.根据函数奇偶性的定义判断.【解析】1.选C.函数的定义域{x|x≠0},
因为?x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},
且f(-x)= +2x= =-f(x),
所以f(x)为奇函数,故图象关于坐标原点对称.2.(1)函数f(x)的定义域为R,因为?x∈R,都有-x∈R且f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{-1,1},因为?x∈{-1,1},都有-x∈{-1,1},且f(x)=0,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1},因为?x=-1∈ 但-x=1?{x|x≠1},
所以f(x)是非奇非偶函数.
(4)方法一:作出函数f(x)的图象如图此函数的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.
方法二:f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),
因为?x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有-x∈(-∞,0) ∪(0,+∞).
当x>0时,-x<0,
f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);当x<0时,-x>0,
f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x) =f(x),f(x)为偶函数.
【内化·悟】
函数具有奇偶性的前提是什么?
提示:函数的定义域D应满足?x∈D都有-x∈D.【类题·通】
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法: (2)图象法:【发散·拓】
奇偶函数的运算
如果两个函数具有奇偶性,且有共同的定义域,则两个函数加、减、乘、除后,得到的函数的奇偶性有以下规律:偶±偶=偶、奇±奇=奇、偶×偶=偶、偶×奇=奇、奇×奇=偶,相除时类似于相乘的情况.【延伸·练】
已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且它们都恒不为0,则f(x)·g(x)的奇偶性为 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.不能确定【解析】选A.F(x)=f(x)·g(x),
则F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x),故为奇函数.
【习练·破】
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x2(x2+2).
(2)f(x)= 【解析】(1)函数f(x)=x2(x2+2)的定义域为R,
因为?x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),
所以f(x)=x2(x2+2)为偶函数.
(2)函数f(x)= 的定义域为(-1,1),
因为?x∈(-1,1),都有-x∈(-1,1),且f(-x)=
所以f(x)= 为奇函数.【加练·固】
函数f(x)= +x2的图象关于 ( )
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称【解析】选A.f(x)的定义域为{x|x≠0},
因为?x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},
又f(-x)= +(-x)2= +x2=f(x).
所以f(x)是偶函数,
所以其图象关于y轴对称.类型二 奇偶函数图象的应用
【典例】1.如图给出了奇函数f(x)的局部图象,那么f(1)等于 ( )
A.-4 B.-2
C.2 D.42.设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],且f(3)=0,当x∈ [0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集是________. 世纪金榜导学号?
【思维·引】
1.借助奇函数的对称性,找到f(1)与f(-1)的关系.
2.应用偶函数图象的对称性解不等式.【解析】1.选B.由函数的图象可得f(-1)=2,
又由函数为奇函数,则f(1)=-f(-1)=-2.
2.因为f(x)为偶函数,且由图象可得在(0,3)上,
f(x)<0,在(3,5]上,f(x)>0,
则在[-5,-3)上,f(x)>0,在(-3,0)上,f(x)<0,xf(x)<0? 或 所以-5≤x<-3或0即不等式的解集为[-5,-3)∪(0,3).
答案:[-5,-3)∪(0,3)
【内化·悟】
怎样作具有奇偶性的函数的图象?
提示:先判断函数的奇偶性,作函数在y轴右侧的图象,根据奇偶性得到函数在y轴左侧的图象.【类题·通】
1.巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0] (或[0,+∞))上对应的函数图象.2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略
(1)类型:利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.
(2)策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据图象直接观察.【习练·破】
已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出函数y=f(x)的完整图象.
(2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间.(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.【解析】(1)由题意作出函数图象如图:(2)据图可知,单调增区间为(-1,0),(1,+∞).
(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪ (0,2).【加练·固】
定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象.
(2)解不等式xf(x)>0.【解析】(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点
(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图:(2)xf(x)>0即图象上的点的横坐标、纵坐标同号,结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).类型三 利用函数奇偶性求值
角度1 利用奇偶性求参数值
【典例】已知函数f(x)=x3+(a+1)x2的图象关于原点中心对称,则a= 世纪金榜导学号( )
A.1 B.-1 C.-2 D.2【思维·引】根据图象,先判断奇偶性,再根据定义求值.
【解析】选B.因为函数图象关于原点中心对称,
所以函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),
得-x3+(a+1)x2=-x3-(a+1)x2,
即(a+1)x2=0,即a+1=0,得a=-1.【素养·探】
在利用奇偶性的过程中,需要用到核心素养中的逻辑推理,将奇偶性转化为相应的等式,通过逻辑推理、计算求参数的值.
若将本例中的条件改为函数f(x)=ax2+(a-1)x+2是偶函数,试求a的值.【解析】若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
即a(-x)2-(a-1)x+2=ax2+(a-1)x+2,
即(a-1)x=0对于x∈R恒成立,则a-1=0,a=1.角度2 利用奇偶性求函数值
【典例】1.已知函数f(x)=ax3+bx-2,f(2 018)=3,则f(-2 018)= ( )
A.-7 B.-5 C.-3 D.-22.(2019·龙岩高一检测)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x+1,则f(1) +g(1)= ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3【思维·引】1.利用f(2 018)=3求出要求式子的值,再代入f(-2 018)求值.
2.利用奇偶函数的定义构造f(x)+g(x)后求值.【解析】1.选A.因为f(2 018)=3,所以f(2 018)
=2 0183a+2 018b-2=3,所以2 0183a+2 018b=5,
所以f(-2 018)=-2 0183a-2 018b-2=-5-2=-7.2.选B.由f(x)-g(x)=x3+x+1,
将所有x替换成-x,得f(-x)-g(-x)
=-x3-x+1,根据f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),得f(x)+g(x)=-x3-x+1,
再令x=1,计算得f(1)+g(1)=-1.【类题·通】
1.利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.2.利用奇偶性求函数值的思路
(1)已知f(a)求f(-a):判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数,利用奇偶性找出f(a)与f(-a)的关系即可.(2)已知两个函数的奇偶性,求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值,可用-x替换x后使用奇偶性变形,进而与原函数联立,解方程组即可.【习练·破】
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>1时,
f(x)= -1,则f(-2)= ( )
A. B. C.0 D. 【解析】选B.根据题意,当x>1时,f(x)= -1,
则f(2)= -1= ,又由函数f(x)为奇函数,
则f(-2)=-f(2)= .2.已知函数f(x)=ax2+bx+c(-2a-3≤x≤1)是偶函数,则a=________,b=________.?【解析】因为f(x)是偶函数,所以其定义域关于原点对称.
所以-2a-3=-1.所以a=-1.
所以f(x)=-x2+bx+c.
因为f(-x)=f(x),所以-(-x)2+b(-x)+c=-x2+bx+c.
所以-b=b,所以b=0.
答案:-1 0
课件42张PPT。第2课时
函数奇偶性的应用 类型一 利用奇偶性求函数的解析式
【典例】已知f(x)是定义在R上的奇函数,x>0时,f(x) =x2-2x-3,求f(x)的解析式. 世纪金榜导学号【思维·引】利用奇偶性分别求出当x=0,x<0时的解析式.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,若x<0,则-x>0,
则f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3,
又由函数f(x)为奇函数,
则f(x)=-f(-x)=-x2-2x+3,故f(x)=-x2-2x+3,
所以函数f(x)=
【内化·悟】
对于奇函数,怎样处理在x=0处的解析式?
提示:考查在x=0处是否有意义,如果有,则f(0)=0.【类题·通】
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).【习练·破】
f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x(1+x3),则当x<0时,f(x)为 ( )
A.x(1+x3) B.-x(1-x3)
C.x(1-x3) D.-x(1+x3)【解析】选C.根据题意,x<0,则-x>0,
则f(-x)=(-x)[1+(-x)3]=-x(1-x3),
又由函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x(1-x3).【加练·固】
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x) =x2-x+1.
(1)求f(0)的值.
(2)求f(x)在R上的解析式.【解析】(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数,
则f(-x)=-f(x),令x=0得f(-0)=-f(0),
即f(0)=0.(2)当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1,
又由函数f(x)为奇函数,
则f(x)=-f(-x)=-x2-x-1,又由f(0)=0,
则f(x)=
类型二 奇偶性与单调性关系的应用
角度1 比较大小
【典例】定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2 ∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则 ( )
世纪金榜导学号A.f(3)C.f(-2)则f(-2)=f(2),函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,
则函数f(x)在[0,+∞)上是单调递减的,
则f(3)又由f(-2)=f(2),则f(3) 在奇偶性与单调性关系的应用中,常用到核心素养中的逻辑推理,综合奇偶性、单调性转化比较.
将本例的条件改为x1,x2∈(-∞,0),试比较f(3),f(-2), f(1)的大小.【解析】函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0) (x1≠x2),有 <0,
则函数f(x)在(-∞,0)上是单调递减的,
因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,则f(3)>f(2)>f(1),
又由f(-2)=f(2),所以f(3)>f(-2)>f(1).角度2 解不等式
【典例】已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足条件f(2x+1)A.(-3,2) B.(-2,3)
C.(-2,2) D.[-3,2]【思维·引】利用奇偶性得出函数在R上的单调性,再确定2x+1的范围,从而求x的范围.【解析】选A.因为函数f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)上单调递增,则在(-∞,0)上是单调递减的,
f(2x+1)即-5<2x+1<5,解得:-3即x的取值范围为(-3,2).【类题·通】
1.奇偶性与单调性的关系
(1)奇函数在对称区间上的单调性相同.
(2)偶函数在对称区间上的单调性相反.2.奇偶性与单调性的应用
(1)奇函数在y轴两侧连续的区间上,由f(a),f(b)的关系,利用单调性可直接得到a,b的大小关系.
(2)偶函数在y轴两侧连续的区间上,由f(a),f(b)的关系,应考虑|a|,|b|的关系.【习练·破】
已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当
x∈[0,2]时,f(x)是单调递减的,如果不等式f(1-m)
A. B.[1,2]
C.(-∞,0) D.(-∞,1)【解析】选A.根据题意,函数f(x)是定义在区间[-2,2]
上的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)是单调递减的,
则f(1-m)解得-1≤m< ,则m的取值范围为 .【加练·固】
已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单
调递增.若实数a满足f(a)>f( ),则a的取值范围
是( )
【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的偶函数,
且在区间(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单
调递减,所以由f(a)>f(- ),
得f(|a|)>f( ),即|a|< ,则- 所以a的取值范围是( , ).类型三 奇偶性与单调性的综合应用
【典例】已知奇函数f(x)= 的定义域为R,f(1)=
. 世纪金榜导学号
(1)求实数a,b的值.
(2)证明函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增.
(3)已知0(2)利用单调性的定义证明.
(3)利用奇偶性转化不等式,利用单调性解不等式.【解析】(1)根据题意,奇函数f(x)= 的定义域为R,
则有f(0)= =0,则b=0,
又由f(1)= ,则有f(1)= ,解得a=1,
则a=1,b=0.(2)由(1)的结论,a=1,b=0,则f(x)= ,
设-1
又由-10,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)则函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增.(3)0f(t)+f(t-1)<0?f(t)<-f(t-1)=f(1-t),
又由函数f(x)为奇函数且在区间(-1,1)上单调递增,
则有t<1-t,解得t< ,
又由0奇函数的性质在解不等式f(t)+f(t-1)<0中的作用是什么?
提示:不等式变为f(t)<-f(t-1)后,利用-f(t-1)=f(1-t),才能使用单调性解不等式.【类题·通】
奇偶性、单调性的综合应用
利用奇偶性可以求值以及式子、性质的转化,利用单调性主要解决不等式的转化,在综合性题目中要熟悉奇偶性、单调性的应用技巧,熟练应用.【习练·破】
已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1) +f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域.
(2)若f(x)为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式g(x)≤0的解集.【解析】(1)由题意可知
所以 解得 故函数g(x)的定义域为 .(2)由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因为f(x)为奇函数,所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2,2)上是减函数,
所以 解得 所以不等式g(x)≤0的解集为 【加练·固】
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)
=1+ .
(1)求f(2)的值.
(2)用定义法判断y=f(x)在区间(-∞,0)上的单调性.
(3)求x>0时,f(x)的解析式.【解析】(1)根据题意,由函数f(x)为奇函数,
当x<0时,f(x)=1+ ,
则f(2)=-f(-2)=
(2)根据题意,当x<0时,f(x)=1+ ,
在(-∞,0)上任取x1,x2,且x1又由x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0,
可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
由定义可知,函数y=f(x)在区间(-∞,0]上单调递减.(3)当x>0时,-x<0,则f(-x)=1- ,
由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x),
所以f(x)=-1+ .