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课堂检测·素养达标
1.下面给出的几个函数中,是幂函数的为 ( )
A.y= B.y=10x
C.y=2x-3 D.y=
【解析】选D.幂函数的解析式是:y=xα.
2.幂函数y=kxa过点(4,2),则k-a的值为 ( )
A.-1 B. C.1 D.
【解析】选B.因为幂函数y=kxa过点(4,2),
所以2=k×4a,且k=1,解得k=1,a=,
所以k-a=1-=.
3.若幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则f=________.?
【解析】设幂函数f(x)=xn,则4n=2,解得,n=,
即有f(x)=,故f=.
答案:
4.已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,),且3m=f(9),则m的值为________.?
【解析】设幂函数f(x)=xα(α为常数),由题意得=3α,解得α=,所以f(x)=,
所以f(9)==3,所以3m=3,m=1.
答案:1
【新情境·新思维】
为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是________.?
【解析】由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,
则y=,由=3,得x=9,即明文是9.
答案:9
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课时素养评价 二十四
幂 函 数
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为
( )
A.-1 B.3
C.-1或3 D.1或-3
【解析】选B.幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-2m-2=1,
解得m=3或m=-1;又m2+m-1>0,
所以m=3时满足条件,则实数m的值为3.
【加练·固】已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+∞)上单调递减,则m的值为
( )
A.-1 B.2
C.-1或2 D.-2
【解析】选A.幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+∞)上单调递减,
所以解得
所以m的值为-1.
2.已知幂函数f(x)=xa的图象经过点P(-2,4),则下列不等关系正确的是
( )
A.f(-1)
C.f(4)>f(-5) D.f(6)>f(-6)
【解析】选A.幂函数f(x)=xa的图象经过点P(-2,4),所以(-2)a=4,
解得a=2,所以f(x)=x2;
所以f(-1)3.(多选题)已知幂函数f(x)=xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则下列说法正确的是 ( )
A.f(-2)>f(1)
B.f(-2)C.f(-2)=f(-1)
D.若|a|>|b|>0,则f(a)【解析】选B、D.幂函数f(x)=xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则n=-2,则f(x)=,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,所以若|a|>|b|>0,
则f(a)4.在下列四个图形中，y＝的图象大致是（）
【解析】选D.函数y＝的定义域为(0，＋∞)，是减函数.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知点在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)的表达式是________.?
【解析】设幂函数y=f(x)=xα,α∈R;
把点的坐标代入解析式,
得=,解得α=3,
所以幂函数y=f(x)的表达式为f(x)=x3.
答案:f(x)=x3
6.已知幂函数f(x)=xa的图象过点,则函数g(x)=(x-1)f(x)在区间上的最小值是________,最大值为________.?
【解析】由幂函数f(x)=xa的图象过点,
可得2a=,解得a=-1,
即有f(x)=,
函数g(x)=(x-1)f(x)==1-在区间上单调递增,
则g(x)的最小值为g=1-2=-1,
g(x)的最大值为g(2)=1-=.
答案:-1
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,m)和(2,8).
(1)求m的值.
(2)求函数g(x)=在区间[-1,2]上的值域.
【解析】(1)设幂函数y=f(x)=xα,α为实数,其图象过点(4,m)和(2,8),
所以2α=8,解得α=3,
所以f(x)=x3,
所以m=f(4)=43=64,
即m的值是64.
(2)由题意知,x∈[-1,2]时,
f(x)=x3∈[-1,8],
所以g(x)=∈,
所以g(x)的值域是.
8.(14分)已知幂函数f(x)= (m∈N*)的图象关于原点对称,且在R上是增函数.
(1)求f(x)的表达式.
(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.
【解析】(1)幂函数f(x)= (m∈N*)的图象关于原点对称,且在R上是增函数,可得9-3m>0,解得m<3,m∈N*,
可得m=1,2,
若m=1,则f(x)=x6的图象不关于原点对称,舍去;
若m=2,则f(x)=x3的图象关于原点对称,且在R上是增函数,成立,
则f(x)=x3.
(2)由(1)可得奇函数f(x)在R上是增函数,
f(a+1)+f(3a-4)<0,
可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a),
即为a+1<4-3a,
解得a<.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知幂函数y=f(x)的图象过点(,2),且f(m-2)>1,则m的取值范围是( )
A.m<1或m>3 B.1C.m<3 D.m>3
【解析】选D.设幂函数f(x)=xα,由它的图象过点(,2),可得()α=2,
解得α=3,所以f(x)=x3;
再根据f(m-2)>1,得(m-2)3>1,
解得m>3,所以m的取值范围是m>3.
2.(4分)已知f(x+1)=,则函数f(x)的大致图象是 ( )
【解析】选A.令t=x+1,所以x=t-1,所以f(t)=,所以f(x)=(x≥1)的图象由幂函数y=的图象向右平移1个单位可得.
3.(4分)函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值 ( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
【解析】选A.对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,>0,则f(x)在(0,
+∞)上单调递增,所以m2+2m-5>0,①
又f(x)为幂函数,所以m2-m-1=1,②
由①,②得m=2,所以f(x)=x3,
又a+b>0,所以a>-b,
所以a3>(-b)3,
所以f(a)+f(b)>0.
4.(4分)函数f(x)=x3,若f(a-2)+f(4+3a)<0,则实数a的取值范围为________.?
【解析】因为f(x)=x3,所以f(x)为奇函数,
因为f(a-2)+f(4+3a)<0,
所以f(4+3a)<-f(a-2)=f(2-a),
又f(x)为增函数,
所以4+3a<2-a,
所以a<-.
答案:
5.(14分)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意,m2-5m+7=1,
解得m=2或3,
因为f(x)是偶函数,故f(x)=x2.
(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,
g(x)的对称轴是x=,
若g(x)在[1,3]上不是单调函数,
则1<<3,解得:2【加练·固】已知幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4).
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)设函数h(x)=4f(x)-kx-8在[5,8]上是单调函数,求实数k的取值范围.
【解析】(1)幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4),
所以f(2)=2a=4,所以a=2,所以f(x)=x2.
(2)函数h(x)=4f(x)-kx-8,
所以h(x)=4x2-kx-8,对称轴为x=;
当h(x)在[5,8]上单调递增,≤5,
解得k≤40;
当h(x)在[5,8]上单调递减,≥8,k≥64;
所以k的取值范围为(-∞,40]∪[64,+∞).
1.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值为 ( )
A.-3 B.- C.3 D.
【解析】选D.设f(x)=xα(α为常数),
因为满足=3,所以=3,所以α=log23,
所以f(x)=,则f==.
2.已知幂函数g(x)过点,且f(x)=x2+ag(x).
(1)求g(x)的解析式.
(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
【解析】(1)设幂函数的解析式g(x)=xα.
因为幂函数g(x)过点,
所以2α=,解得:α=-1,所以g(x)=.
(2)由(1)得:f(x)=x2+.
①当a=0时,f(x)=x2.此函数的定义域为R,因为?x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),可知f(x)为偶函数.
②当a≠0时,
f(x)=x2+的定义域为{x|x≠0},?x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0},
但是f(-x)=(-x)2+
=x2-≠x2+=f(x),
且f(-x)=(-x)2+
=x2-≠-=-f(x),
所以f(x)是非奇非偶函数.
综上,a=0时,f(x)为偶函数,a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.
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课件44张PPT。3.3
幂 函 数1.幂函数的概念
函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.【思考】
(1)幂函数的解析式有什么特征?
提示:①系数为1;②底数x为自变量;③幂指数为常数.(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么?
提示:①自变量不同,幂函数的自变量为底数,指数函数的自变量为指数;
②底数不同,幂函数的底数是变量x,指数函数的底数是常数a.2.幂函数的图象及性质
(1)五个幂函数的图象:(2)幂函数的性质【思考】
当α>0时,幂函数y=xα的图象在第一象限内有什么共同特征?
提示:图象都是从左向右逐渐上升.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现. ( )
(2)当α<0时,幂函数在R上是减函数. ( )
(3)当α=0时,幂函数的图象是一条直线. ( )提示:(1)×.幂函数的图象不能出现在第四象限.
(2)×.当α=-1时,函数y= 在(-∞,0),(0,+∞)上是
减函数,在R上不是减函数.
(3)×.函数y=x0的定义域为{x|x≠0},图象是去除了一
个点的直线.2.下列函数为幂函数的是 ( )
A.y=x2 B.y=-x2 C.y=2x D.y=2x2
【解析】选A.根据幂函数的定义知,y=x2是幂函数,y=
-x2不是幂函数,y=2x是指数函数,不是幂函数,y=2x2不是幂函数.3.如果幂函数f(x)=xα的图象经过点 ,则α=( )
A.-2 B.2 C. D.
【解析】选A.幂函数f(x)=xα的图象经过点 则3α
= ,解得α=-2.类型一 幂函数的概念
【典例】1.已知幂函数f(x)=xa的图象过点 ,则式
子4a的值为 ( )
A.1 B.2 C. D.
2.已知函数f(x)=(3-m)x2m-5是幂函数,则f =________.?【思维·引】1.代入点的坐标,求出a的值后代入求值.
2.根据幂函数解析式的特征求出m,确定解析式后求值.【解析】1.选B.因为幂函数f(x)=xa的图象过点 ,
所以 ,解得:a= ,故4a=2.
2.函数f(x)=(3-m)x2m-5是幂函数,
则3-m=1,解得m=2,所以f(x)=x-1,
所以f(x)= ,所以 =2.
答案:2【内化·悟】
若一个函数是幂函数,应怎样设函数的解析式?
提示:设函数f(x)=xα(α∈R).【类题·通】
求幂函数解析式的依据和常用方法
(1)依据:若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.(2)常用方法:设幂函数解析式为f(x)=xα,依据条件求出α.
【习练·破】
1.若幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上单调递增,则实数m= ( )
A.4 B.-1 C.2 D.-1或4【解析】选A.幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上单调递增,所以m2-3m-3=1,
并且m>0,解得m=4.
2.已知幂函数f(x)=xa(a为常数)的图象经过点(2, ),
则f(9)=________.?【解析】设函数f(x)=xa,
由题意f(2)=2a= ,
所以a= ,所以f(x)= ,
所以f(9)= =3.
答案:3【加练·固】
已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b= ( )
A.2 B.1 C. D.0
【解析】选A.因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.类型二 幂函数的图象及应用
【典例】1.如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的
图象,已知n分别取±1, ,2四个值,相应的曲线C1,C2,
C3,C4对应的n依次为 ( )A.-1, ,1,2 B.2,1, ,-1
C. ,-1,2, D.2, ,-1, 2.已知幂函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q),在下列函数图象中,不是函数y=f(x)的图象是 ( )【思维·引】1.根据各个函数的图象特征选取.
2.根据幂函数图象所在的象限判断.【解析】1.选B.函数y=x-1在第一象限内单调递减,对
应的图象为C4;y=x对应的图象为一条过原点的直线,对
应的图象为C2;y=x2对应的图象为抛物线,对应的图象
应为C1;
y= 在第一象限内的图象是C3;
所以与曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为2,1, ,-1.2.选C.函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q)为幂函数,图象不过第四象限,所以C中函数图象不是函数y=f(x)的图象.【内化·悟】
在第一象限内,幂函数的图象有什么特征?
提示:当α>0时,图象从左向右逐渐上升,随着指数增大,图象上升越快,当α<0时,图象从左向右逐渐下降.【类题·通】
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂
函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= 或y=x3)
来判断.【习练·破】
如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc,在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.aC.ba<0,b>1,0【典例】已知 则 ( )
世纪金榜导学号
A.bC.b调性比较大小.
【解析】选C.因为
由幂函数y= 的单调性,所以b 利用幂函数的单调性比较大小时,常用到核心素养中的数学建模,要比较的式子的特征,选取恰当的幂函数模型进行比较.
将本例条件改为b=3,试比较三个数的大小?【解析】因为
由幂函数y= 的单调性,得a 比较幂值大小的方法
比较幂值的大小,关键是构造适当的函数:
(1)若指数相同,底数不同,则考虑幂函数;(2)若指数与底数都不同,则考虑借助中间量,这个中间量的底数与所比较数的一个底数相同,指数与另一个数的指数相同,那么这个数就介于所比较的两数之间,进而比较大小.【习练·破】
比较下列各组数的大小：【解析】 (1)因为幂函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递
增，又 ，所以
（2）因为
又函数y＝ 在(0，＋∞)上是减函数，且 所以
所以
答案：（1）> （2）<