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课堂检测·素养达标
1.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为( )
A.13立方米 B.14立方米
C.18立方米 D.26立方米
【解析】选A.设职工用水量为x立方米,水费为y元,
则y=,
(1)若x≤10,则mx=16m,解得x=16(舍),
(2)若x>10,则10m+2m(x-10)=16m,解得x=13.
2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是 ( )
A.310元 B.300元
C.290元 D.280元
【解析】选B.设函数模型为y=kx+b,
将(1,800),(2,1 300)代入得
所以所以y=500x+300.令x=0时y=300.
3.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是________万元.?
【解析】L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000=-Q2+30Q-2 000=-(Q-300)2+2 500,
当Q=300时,L(Q)的最大值为2 500万元.
答案:2 500
4.一件商品成本为20元,售价为40元时每天能卖出500件.若售价每提高1元,每天销量就减少10件,问商家定价为________元时,每天的利润最大.?
【解析】设商家定价为x元时,每天的利润为f(x)元.
则f(x)=(x-20)[500-10(x-40)]
=-10(x-55)2+12 250.
可得x=55时,函数f(x)取得最大值,
因此商家定价为55元时,每天的利润最大.
答案:55
【新情境·新思维】
“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概.当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时,t秒后的高度x米可由x=at-5t2确定.已知射出2秒后箭离地面高100米,则弓箭能达到的最大高度为________.?
【解析】由x=at-5t2且t=2时,x=100,解得a=60.
所以x=60t-5t2.由x=-5t2+60t=-5(t-6)2+180,
知当t=6时,x取得最大值为180,
即弓箭能达到的最大高度为180米.
答案:180米
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课时素养评价 二十五
函数的应用(一)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则下列结论中正确的是 ( )
A.x>22%
B.x<22%
C.x=22%
D.x的大小由第一年产量确定
【解析】选B.由题意设第一年产量为a,则第三年产量为a(1+44%)=a(1+x)2,所以x=0.2.
2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=x∈N,其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为 ( )
A.15 B.40 C.25 D.130
【解析】选C.若4x=60,则x=15>10,不符合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不符合题意.故拟录用人数为25人.
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数:m=162-3x,若要每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为 ( )
A.30元 B.42元
C.54元 D.越高越好
【解析】选B.设当每件商品的售价为x元时,每天获得的销售利润为y元.
由题意得,y=m(x-30)=(x-30)(162-3x).
上式配方得y=-3(x-42)2+432.
所以当x=42时,利润最大.
4.(多选题)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法正确的是 ( )
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
【解析】选B、D.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装实惠,故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.某商人将彩电先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚144元,那么每台彩电原价是______元,实际售价为______元.?
【解析】设每台彩电原价是x元,由题意可得(1+40%)x·0.8-x=144,解得x=1 200.实际售价为1 200+144=1 344(元).
答案:1 200 1 344
6.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大,每辆车的月租金应该定为________.?
【解析】设每辆车的月租金定为x元,
则租赁公司的月收益为f(x)
=(100-)(x-150)-×50,
整理得f(x)=-+162x-21 000
=-(x-4 050)2+307 050,
所以当x=4 050时f(x)最大,
最大值为f(4 050)=307 050,
即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为
307 050元.
答案:4 050元
三、解答题(共26分)
7.(12分)某市出租车的计价标准是:3 km以内(含3 km)10元;超出3 km但不超过18 km的部分1元/km;超出18 km的部分2元/km.
(1)如果某人乘车行驶了20 km,他要付多少车费?某人乘车行驶了x km,他要付多少车费?
(2)如果某人付了22元的车费,他乘车坐了多远?某人付了10+x(x>0)元的车费,他乘车坐了多远?
【解析】(1)乘车行驶了20 km,付费分三部分:前3 km付费10(元),3 km到18 km付费(18-3)×1=15(元),18 km到20 km付费(20-18)×2=4(元),故总付费10+15+4=29(元).
设付车费y元,当0当3当x>18时,车费y=25+2(x-18)=2x-11,
故y=
(2)付出22元的车费,说明此人乘车行驶的路程大于3 km,且小于18 km.
前3 km付费10元,余下的12元乘车行驶了12 km,故此人乘车行驶了15 km.
即付出22元的车费,此人乘车行驶了15 km.
设乘车行驶了y km,某人付了10+x(x>0)元的车费,故当0当x>15时,y=18+=x+.
所以y=
8.(14分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高,经济效益好的特点,研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定条件下,每条鱼的平均生长速度V(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:条/立方米)的函数,当0(1)当0(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)f(x)=x·V(x)可以达到最大?并求出最大值.
【解析】(1)由题意:当0当4故函数V(x)=
(2)依题意并由(1)得
f(x)=
当0当4=-(x-10)2+12.5,f(x)max=f(10)=12.5.
所以当0当养殖密度为10条/立方米时,
鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为12.5
千克/立方米.
(15分钟·30分)
1.(4分)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y应分别为 ( )
A.15,12 B.12,15
C.15,20 D.15,24
【解析】选A.由题图知x,y满足关系式=,即y=24-x,矩形的面积S=xy=x=-(x-15)2+180,故x=15,y=12时S取最大值.
2.(4分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)所组成的有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上;该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示,且Q与t满足一次函数关系,那么在这30天中第几天日交易额最大 ( )
第t天
4
10
16
22
Q/万股
36
30
24
18
A.10 B.15 C.20 D.25
【解析】选B.当0则由题意可知其图象过点(0,2),(20,6),
所以,
解得b=2,a=,
所以P=t+2;
同理可得当20≤t≤30时,P=-t+8,
综上可得,P=,
由题意可设Q=kt+m,把(4,36),(10,30)代入可得,解得k=-1,m=40,
所以Q=-t+40;
所以y=P·Q
=,
当0当20≤t≤30时,t=20时,ymax=120万元,
综上可得,第15日的交易额最大为125万元.
3.(4分)生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=x2- 75x,若每台机器售价为25万元,则该厂获利润最大时生产的机器台数为________台. ?
【解析】设该厂获利润为g(x),则g(x)=25x-y=25x-(x2-75x)=-x2+100x=-(x-50)2 +2 500,当x=50时,g(x)有最大值2 500万元.
答案:50
4.(4分)为了在“十一”黄金周期间降价促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过200元,则不予优惠;②如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过500元,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为________元. ?
【解析】依题意,价值为x元和实际付款数f(x)之间的函数关系式为
f(x)=
当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x=470.所以两次共购得价值为470+168=638(元)的商品,所以500×0.9+(638-500)×0.7=546.6(元),故若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.
答案:546.6
5.(14分)如图,用长为12米的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架窗户,若半圆半径为x米.
(1)求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域.
(2)求半圆的半径是多长时窗户透光的面积最大?
【解析】(1)由题意可知:下部为矩形且一边长AB=2x米,另一边长AD=米.
所以f(x)=+2x·
=-x2+12x,
由得0所以函数的定义域为.
(2)因为x∈且函数y=f(x)图象开口向下,
所以当x=时,函数取得最大值.
所以当半圆的半径x=时,窗户透光的面积最大.
【加练·固】某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(x)表示学生注意力指标,该小组发现f(x)随时间x(分钟)的变化规律(f(x)越大,表明学生的注意力越集中)如下:
f(x)=(a>0,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:
(1)求a的值.
(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由.
(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?
【解析】(1)由题意得,当x=5时,f(x)=140,
即100·-60=140,解得,a=4.
(2)f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,
由于f(5)>f(35),
故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中.
(3)①当0≤x≤10时,
由(1)知,f(x)≥140的解集为[5,10],
②当10140,成立;
③当20故20故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持-5=分钟.
1.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年.?
【解析】由题意知,第一年产量为y1=×1×2×3=3;
以后各年产量分别为
yn=f(n)-f(n-1)
=n(n+1)(2n+1)-n(n-1)(2n-1)
=3n2(n∈N*),
令3n2≤150,得1≤n≤5?1≤n≤7,
故生产期限最长为7年.
答案:7
2.近年来“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2.设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司在甲、乙两个城市的总收益.
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?最大收益是多少?
【解析】(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益
f(50)=3-6+×70+2
=43.5(万元).
(2)由题知,甲城市投资x万元,
乙城市投资(120-x)万元,
所以f(x)=3-6+(120-x)+2
=-x+3+26,
依题意得
解得40≤x≤80.
所以f(x)=-x+3+26(40≤x≤80),
令t=,则t∈[2,4],
所以y=-t2+3t+26
=-(t-6)2+44.
当t=6,即x=72万元时,y的最大值为44万元.
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.
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课件77张PPT。3.4
函数的应用(一) 1.一次函数模型
形如y=kx+b的函数为一次函数模型,其中k≠0.2.二次函数模型
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:y= (a≠0).
(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
3.幂函数型模型
(1)解析式:y=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1).
(2)单调性:其增长情况由xα中的 α的取值而定.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有采集的数据都适合函数模型的解析式. ( )
(2)实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解析式唯一确定. ( )(3)利用函数模型得到数据后,要用该数据解释需要解决的实际问题. ( )
提示:(1)×.只要大部分数据适合就可以.
(2)×.由解析式、自变量的实际意义共同确定.
(3)√.建立数学模型是为解决实际问题服务的,得出的数据要能解释实际问题.2.某商品进货价格为30元,按40元一个销售,能卖40个;若销售价格每涨1元,销量减少1个,要获得最大利润,此商品的售价应是 ( )
A.55 B.50 C.56 D.48【解析】选A.设售价为x元,总利润为W元,则W=(x-30)·[40-1×(x-40)]=-x2+110x-2400=-(x-55)2+625,所以x=55时,获得最大利润为625元.3.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,其中甲在公园休息的时间是10 min,那么y=f(x)的解析式为________.?
解析】由题图知所求函数是一个分段函数,且各段均是直线,可用待定系数法求得
y=f(x)= 答案:y=f(x)= 类型一 一次函数模型
【典例】李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度,每度0.4元,超过30度时,超过部分按每度0.5元.方案二:不收管理费,每度0.48元.
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系.
(2)小李家九月份按方案一交费34元,问小李家该月用电多少度?
(3)小李家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好? 世纪金榜导学号【思维·引】利用两个方案的解析式解决相应的问题.【解析】(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.4x;
当x>30时,L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5
=0.5x-1,所以L(x)=
(2)当0≤x≤30时,L(x)≤L(30)=14,
故小李家九月份用电超过30度,
由0.5x-1=34得x=70,故小李家该月用电70度.(3)方案二收费E(x)=0.48x,x≥0,
令L(x)当0≤x≤30时,2+0.4x<0.48x,解得25当x>30时,0.5x-1<0.48x,解得30综上可得:小李家月用电量在(25,50)时,选择方案一比选择方案二更好.【内化·悟】
怎样求一次函数的解析式?
提示:设出一次函数的解析式f(x)=kx+b(k≠0),利用条件求出系数k,b.将系数k,b代入函数解析式,即为要求的一次函数的解析式.【类题·通】
用一次函数模型解决实际问题的注意点
(1)一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下是本着“问什么,设什么,列什么”这一处理的原则,求解过程也较简单.(2)用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象的
应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式.对于
一次函数y=ax+b(a≠0),当a>0时为增函数,当a<0时为
减函数,另外,要结合题目理解(0,b)和 这些特殊
点的实际意义.【习练·破】
已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数,表达式为________.?【解析】由题意得A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,需要2.5小时,以50千米/时的速度返回A地,需要3小时;
所以当0≤t≤2.5时,x=60 t,
当2.5当3.5答案:x= 【加练·固】
为响应绿色出行号召,越来越多市民选择租用共享单车出行.已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式,如图描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系,根据图象回答下列问题:(1)求手机支付金额y1(元)与骑行时间x(时)的函数关系式.
(2)李老师经常骑行共享单车,请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算.【解析】(1)设手机支付金额y1(元)与骑行时间x(时)的函数关系式为y1=kx+b,
把(0.5,0),(1,0.5)代入关系式得
解得 所以y1=x-0.5.(2)会员卡支付金额y2(元)与骑行时间x(时)的函数关系式y2=0.75x,两关系式联立组成方程组
解得
分类讨论:①x<2时,选择手机支付比较合算;
②x=2时,两者一样;
③x>2时,选择会员卡支付比较合算.类型二 二次函数模型
【典例】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在
国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.
上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购
了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价
格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式.
(2)李经理如果想获得利润22 500元,需将这批香菇存放多少天后出售?
(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少? 世纪金榜导学号【思维·引】(1)销售金额=售价×销售量.
(2)表示出利润=销售总金额-收购成本-各种费用,再求存放时间.
(3)对利润的表达式配方求最值.【解析】(1)由题意y与x之间的函数关系式为
y=(10+0.5x)(2 000-6x)
=-3x2+940x+20 000(1≤x≤110,且x为整数).(2)由题意,令-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=
22 500,
解方程得:x1=50,x2=150(不合题意,舍去),
故需将这批香菇存放50天后出售.
(3)设利润为w,由题意得
w=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x
=-3(x-100)2+30 000,
因为a=-3<0,所以抛物线开口方向向下,
所以x=100时,w最大=30 000,所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润,最大利润是30 000元.
【内化·悟】
求二次函数模型的最值需要关注哪些方面?
提示:需要关注以下三个方面:(1)函数的开口方向;
(2)对称轴;(3)自变量的取值范围.【类题·通】
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法:根据实际问题建立二次函数模型后,求出函数的解析式,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值.(2)注意点:利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
【习练·破】
(2019·南平高一检测)某工厂生产甲、乙两种产品
所得利润分别为P和Q(万元),它们与投入资金m(万元)
的关系有如下公式:P= m+60,Q=70+6 ,今将200万元
资金投入生产甲、乙两种产品,并要求对甲、乙两种产
品的投入资金都不低于25万元.(1)设对乙种产品投入资金x(万元),求总利润y(万元)关于x的函数关系式及其定义域.
(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大,并求出最大总利润.【解析】(1)根据题意,对乙种产品投入资金x万元,对
甲种产品投入资金(200-x)万元,
那么y= (200-x)+60+70+6
=- x+6 +230,
由 解得25≤x≤175,
所以函数的定义域为[25,175].(2)令t= ,则 y=- t2+6t+230
=- (t-6)2+248,
因为x∈[25,175],所以t∈[5,5 ],
当t∈[5,6)时函数单调递增,
当t∈[6,5 ]时函数单调递减,
所以当t=6时,即x=36时,ymax=248,当甲种产品投入资金164万元,乙种产品投入资金36万元时,总利润最大,最大总利润为248万元.
【加练·固】
某公司试销某种纪念品,每件按30元销售,可获利50%,设每件纪念品的成本为a元.
(1)试求a的值.(2)公司在试销过程中进行了市场调查,发现销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y=-10x+800.设每天销售利润为W(元),求每天销售利润W(元)与每件售价x(元)之间的函数解析式;当每件售价为多少时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?【解析】(1)因为按30元销售,可获利50%,
所以a(1+50%)=30,解得a=20.
(2)因为销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y=
-10x+800,则每天销售利润W(元)与每件售价x(元)满足W=(-10x+800)(x-20)=-10x2+1 000x-16 000=-10(x-50)2+9 000,故当x=50时,W取最大值9 000,
即每件售价为50元时,每天获得的利润最大,最大利润是9 000元.类型三 分段函数模型
角度1 最大值问题
【典例】某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构
对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为
12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机
构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人时,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x人,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元.
(1)写出y与x(x>0,x∈N*)之间的函数关系式.
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利润. 世纪金榜导学号【思维·引】(1)以30为分界分段列函数关系式.
(2)分段求最大值,取其中最大的即为最大利润.【解析】(1)参加培训的员工人数为x人,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元,
当1≤x≤30且x∈N时,y=850,
当30=1 150-10x,
所以y= (2)当1≤x≤30且x∈N时,Q=850x-12 000,Qmax= 850
×30-12 000=13 500(元),
当30轴为x= =57.5,
故当x=57或58时,Qmax=21 060元,所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21 060元.
【素养·探】
在解决实际问题时,常常用到核心素养中的数学建模,根据题意建立恰当的数学模型,再对数学模型进行处理,从而解决实际问题.本例中,若公司有临时紧急事务,最多只能安排40人参加培训,则培训机构可获得的最大利润是多少?【解析】当1≤x≤30且x∈N时,Q=850x-12 000,
Qmax=850×30-12 000=13 500(元),
当30所以Q(x)在区间（30，40]上是增函数,所以当x=40时,取得最大值Qmax=18 000元;
所以当公司参加培训的员工为40人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为18 000元.角度2 最小值问题
【典例】经市场调查,某商品在过去的20天内的价格
f(t)(单位:元)与销售量g(t)(单位:件)均为时间t(单
位:天)的函数,且价格满足f(t)=20- |t-10|,销售量
满足g(t)=80-2t,其中0≤t≤20,t∈N.(1)请写出该商品的日销售额y(单位:元)与时间t(单位:天)的函数解析式.
(2)求该商品的日销售额的最小值.【思维·引】(1)去绝对值符号,分段求解析式.
(2)分段求最小值,取其中最小值,即为商品日销售额的最小值.【解析】(1)y=f(t)g(t)= (80-2t)
=
(2)当0≤t<10,t∈N时,其对称轴t=5∈[0,10),
当t=0时,y取最小值且ymin=1 200;
当10≤t≤20,t∈N时,其对称轴t=45,所以当t=20时,y取最小值且ymin=600,
综上所述,在第20天,日销售额y取最小值600元.
【类题·通】
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后求函数值范围的并集.
【习练·破】 乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果,他俩商定:乔经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A,但包含端点C).已知老陈种植水果的成本是2 800元/吨,那么乔经理的采购量为________时,老陈在这次买卖中所获的利润W最大.?【解析】根据图象可知,当0当20因为B(20,8 000),C(40,4 000)在图象上,
则有
解得
所以y=-200x+12 000,综上可得,y=
①当0因为W=5 200x在(0,20]上是单调递增函数,
所以当x=20时,W取得最大值为104 000;②当20所以当x=23时,W取得最大值为105 800元.
综合①②,由于105 800>104 000,
所以当x=23时,W取得最大值为105 800,故乔经理的采购量为23吨时,老陈在这次买卖中所获的利润W最大.
答案:23吨
类型四 物理中的分段函数问题
【物理情境】
一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图,假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 020 km,试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数和时间之间的变化关系.【转化模板】
