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课堂检测·素养达标
1.下列图形中,不能确定y是x的函数的是 ( )
【解析】选D.任作一条垂直于x轴的直线x=a,移动直线,根据函数的定义可知,此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D不满足要求,因此不表示函数关系.
2.设函数f(x)=ax+b,若f(1)=-2,f(-1)=0,则 ( )
A.a=1,b=-1 B.a=-1,b=-1
C.a=-1,b=1 D.a=1,b=1
【解析】选B.由已知得
解得a=-1,b=-1.
3.用区间表示数集{x|x≤2或x>3}为________.?
【解析】{x|x≤2或x>3}用区间表示为(-∞,2]∪(3,+∞).
答案:(-∞,2]∪(3,+∞)
4.若f(x)=,且f(a)=2,则a=________.?
【解析】因为f(x)=且f(a)=2,所以=2,即2a2-5a+2=0,(2a-1)(a-2)=0,解得a=或a=2.
答案:或2
【新情境·新思维】
若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为同族函数.那么与函数y=x2,x∈{-1,0,1,2}为同族函数的个数有 ( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【解析】选D.由题意知同族函数是只有定义域不同的函数,函数解析式为y=x2,值域为{0,1,4}时,定义域中,0是肯定有的,正负1,至少含一个,正负2,至少含一个.它的定义域可以是{0,1,2},{0,1,-2},{0,-1,2},{0,-1,-2},{0,1,-2,2},
{0,-1,-2,2},{0,1,-1,-2},{0,1,-1,2,-2},共有8种不同的情况,所以D选项是正确的.
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课堂检测·素养达标
1.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )
A.y=x+1和y=
B.y=和y=()2
C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2
D.f(x)=和g(x)=
【解析】选D.只有D是同一个函数,A与B中定义域不同,C中对应法则不同.
2.已知函数y=f(x)的定义域是[-1,1],则y=f(2x-1)的定义域是 ( )
A.[-3,1] B.[-1,1]
C.[-1,0] D.[0,1]
【解析】选D.因为函数y=f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1,
所以y=f(2x-1)的定义域是[0,1].
3.下列函数中,值域为[1,+∞)的是 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
【解析】选C.A.y=的值域为[0,+∞);B.y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞);
C.y=的值域为[1,+∞);D.y=的值域为(0,+∞).
4.已知全集U={x∈Z|-2
【解析】由题意知?UA={0,2},所以此时函数f(x)=-x2的定义域为{0,2},则值域为{0,-4}.
答案:{0,-4}
【新情境·新思维】
规定符号*表示一种运算,即a*b=+a+b(a,b为正实数)且1*k=3,
(1)求正整数k;
(2)求函数y=k*x的值域.
【解析】(1)由已知得,1*k=+1+k=3,解得=1或=-2(舍去),所以k=1.
(2)y=k*x=+1+x=+(x>0),
令t=,t>0,则y=+在(0,+∞)上是增函数,故y>+=1,
所以函数的值域为(1,+∞).
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课时素养评价 十七
函数概念的综合应用
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列四组函数中,表示同一个函数的是 ( )
A.f(x)=|x|,g(x)=()2
B.f(x)=2x,g(x)=
C.f(x)=x,g(x)=
D.f(x)=1-x2,g(t)=(1+t)(1-t)
【解析】选C、D.函数f(x)=|x|的定义域为R,g(x)=()2的定义域为[0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;函数f(x)=2x的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠0},定义域不同,不是同一个函数;f(x)=x,g(x)==x,两函数为同一个函数;D.定义域和解析式都相同,是同一个函数.
【加练·固】已知函数y=f(x)与函数y=+是同一个函数,则函数y=f(x)的定义域是 ( )
A.[-3,1] B.(-3,1)
C.(-3,+∞) D.(-∞,1]
【解析】选A.由于y=f(x)与y=+是同一个函数,故二者定义域相同,所以y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤1}.故写成区间形式为[-3,1].
2.已知函数f(x)=x2+2x(-2≤x≤1且x∈Z),则f(x)的值域是 ( )
A.[0,3] B.{-1,0,3}
C.{0,1,3} D.[-1,3]
【解析】选B.求出函数的定义域,然后求解对应的函数值即可.函数f(x)=x2+2x(-2≤x≤1且x∈Z),所以x=-2,-1,0,1;对应的函数值分别为:0,-1,0,3;所以函数的值域为:{-1,0,3}.
3.下列函数中,值域为(0,+∞)的是 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=x2+x+1
【解析】选B.A选项中y的值可以取0;C选项中,y可以取负值;对D选项y=x2+x+1=+,故其值域为,只有B选项的值域是(0,+∞).
4.若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R,则a的取值范围是
( )
A.a=-1或a=3 B.a=-1
C.a=3 D.a不存在
【解析】选B.由得a=-1.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=(x∈[3,6])的值域为________.?
【解析】由3≤x≤6得1≤x-2≤4,
所以1≤≤4,所以函数f(x)=
(x∈[3,6])的值域为[1,4].
答案:[1,4]
6.已知函数f(3x-2)的定义域是[-2,0),则函数f(x)的定义域是________;若函数g(x)的定义域是(-2,4],则g(-2x+2)的定义域是________.?
【解析】因为f(3x-2)的定义域是{x|-2≤x<0},
所以f(3x-2)中的x满足-2≤x<0.
所以-8≤3x-2<-2.
所以f(x)的定义域是{x|-8≤x<-2}.
因为g(x)的定义域是(-2,4],所以-2所以g(-2x+2)中,-2<-2x+2≤4,
即-1≤x<2.
所以g(-2x+2)的定义域是{x|-1≤x<2}.
答案:{x|-8≤x<-2} {x|-1≤x<2}
【加练·固】已知函数f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f+f的定义域是________.?
【解析】由题意得
所以所以x∈.
答案:
三、解答题
7.(16分)已知f(x)=2x-1,g(x)=.
(1)求f(x+1),g,f(g(x)).
(2)写出函数f(x)与g(x)的定义域和值域.
【解析】(1)f(x)=2x-1,g(x)=,
可得f(x+1)=2(x+1)-1=2x+1;
g==;f(g(x))=2g(x)-1=-=.
(2)由一次函数的性质可得,函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),值域为(-∞,+∞);由x2≥0,1+x2≥1,0<≤1,可得函数g(x)的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,1].
(15分钟·30分)
1.(4分)下列函数中,与函数y=是同一个函数的是 ( )
A.x B.-x
C.- D.x2
【解析】选B.根据题意,由-2x3≥0得,x≤0,函数y=的定义域是(-∞,0],
所以y==|x|=-x.
2.(4分)若函数f(x)满足f(x)-2f(2-x)=-x2+8x-8,则f(1)的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.令x=1,f(1)-2f(1)=-1+8-8=-1,则f(1)=1.
3.(4分)设函数f(x)=2x+3的值域是[-1,5],则其定义域为________. ?
【解析】由-1≤2x+3≤5,解得-2≤x≤1,
即函数的定义域为[-2,1].
答案:[-2,1]
【加练·固】已知集合A是函数f(x)=的定义域,集合B是其值域,则A∪B的子集个数为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.16
【解析】选C.由可得x2=1,解得x=±1,所以A={-1,1},于是f(x)=0,所以B={0},所以A∪B={0,-1,1},该集合有8个子集.
4.(4分)若函数f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是________. ?
【解析】由
解得
所以所以g(x)=的定义域是.
答案:
5.(14分)求下列函数的值域
(1)y=2+3.
(2)y=x2-2x+3,x∈{-2,-1,0,1,2,3}.
(3)y=.
(4)y=x-.
【解析】(1)因为≥0,
所以2+3≥3.
故y=2+3的值域为[3,+∞).
(2)当x=-2,-1,0,1,2,3时,
y=11,6,3,2,3,6.
故函数的值域为{2,3,6,11}.
(3)y==2+.
因为≠0,
所以y≠2.
故函数的值域为{y|y∈R且y≠2}.
(4)设t=,则t≥0,且x=-t2+,代入原式得y=-t2-t+=-(t+1)2+1.
因为t≥0,
所以y≤.
故函数的值域为.
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课时素养评价 十六
函数的概念
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)设f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果集合B={1},那么集合A可能是 ( )
A.{1} B.{-1}
C.{-1,1} D.{-1,0}
【解析】选A、B、C.A、B、C都符合题意.
若集合A={-1,0},则0∈A,但02=0?B.
2.函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.[-1,2)∪(2,+∞) B.(-1,+∞)
C.[-1,2) D.[-1,+∞)
【解析】选A.要使函数f(x)有意义,需满足解得x∈[-1,2)∪(2,
+∞).
【加练·固】已知集合A={x|x≥4},g(x)=的定义域为B,若A∩B=?,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,4) B.(3,+∞)
C.(-∞,3) D.(-∞,3]
【解析】选D.g(x)的定义域B={x|x由于A∩B=?,画数轴
易得a+1≤4,即a≤3.
3.设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出以下四个图形,其中能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.图象(1)中,集合M内(1,2]的元素在集合N内没有对应元素,所以图象(1)不能表示集合M到集合N的函数关系;图象(2)中,集合M内的任意元素在集合N中都有唯一确定的对应元素,所以图象(2)能表示集合M到集合N的函数关系;图象(3)中,集合M内的任意元素在集合N中都有唯一确定的对应元素,所以图象(3)能表示集合M到集合N的函数关系;图象(4)中,集合M内的元素在集合N中对应的元素不唯一,所以图象(4)不能表示集合M到集合N的函数关系.所以能表示集合M到集合N的函数关系的是(2)、(3).
4.设f(x)=|x-1|-|x|,则f等于( )
A.- B.0 C.1 D.
【解析】选C.f=f=f(0)=|0-1|-|0|=1.
【加练·固】已知函数f(x)=,则f= ( )
A. B. C.a D.3a
【解析】选D.f=3a.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.(2a,3a-1]为一确定的区间,则a的取值范围是________.?
【解析】由题意3a-1>2a,得a>1.
答案:(1,+∞)
6.已知函数f(x)=,g(x)=f(x-3),则g(x)=________,函数g(x)的定义域是________.(用区间表示)?
【解析】因为f(x)=,
所以g(x)=f(x-3)=,
由求得x≥3且x≠4,
所以函数g(x)的定义域是[3,4)∪(4,+∞).
答案: [3,4)∪(4,+∞)
【加练·固】已知等腰△ABC的周长为10,底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10-2x,则此函数的定义域为________.?
【解析】△ABC的底边长显然大于0,即y=10-2x>0,所以x<5,又两边之和大于第三边,所以2x>10-2x,所以x>,所以此函数的定义域为.
答案:
三、解答题
7.(16分)已知函数f(x)=-.
(1)求函数f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.
【解析】(1)根据题意知x-1≠0且x+5≥0,
所以x≥-5且x≠1,即函数f(x)的定义域为[-5,1)∪(1,+∞).
(2)f(-1)=-5.f(12)=-.
(15分钟·30分)
1.(4分)给定的下列四个式子中,能确定y是x的函数的是
( )
A.x2+y2=1
B.|x-1|+=0
C.+=1
D.y=+
【解析】选C.A.由x2+y2=1,得y=±,不满足函数的定义,所以A不是函数.B.由|x-1|+=0得,|x-1|=0,=0,所以x=1,y=±1,所以B不是函数.C.由+=1,得y=(1-)2+1,满足函数的定义,所以C是函数.D.要使函数y=+有意义,则解得此时不等式组无解,所以D不是函数.
2.(4分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是 ( )
A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x
【解析】选C.f(x)=x+1.
因为f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,
所以f(2x)≠2f(x),即f(x)=x+1不满足f(2x)=2f(x).
3.(4分)设函数y=f(x)对任意正实数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),已知f(8)=3,则f()=________. ?
【解析】因为f(x·y)=f(x)+f(y),
所以令x=y=,得f(2)=f()+f(),
令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2),
令x=2,y=4,得f(8)=f(2)+f(4),
所以f(8)=3f(2)=6f(),又f(8)=3,
所以f()=.
答案:
4.(4分)若函数f(x)=的定义域为R,则m的取值范围为________. ?
【解析】要使原函数有意义,则mx2+x+3≠0,由于函数的定义域是R,故mx2+x+3≠0对一切实数x恒成立.当m=0时,x+3≠0,即x≠-3,与f(x)的定义域为R矛盾,所以m=0不合题意.
当m≠0时,有Δ=12-12m<0,解得m>.
综上可知,m的取值范围是.
答案:
5.(14分)已知函数f(x)=.
(1)化简f+f(x).
(2)求f+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值.
【解析】(1)f+f(x)=+
=+==.
(2)f+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
=+
++f(1)=+++=.
【加练·固】已知f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),若g(f(x))=x2+x+1,求a的值.
【解析】因为f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),
所以g(f(x))=g(2x+a)=[(2x+a)2+3]
=x2+ax+(a2+3).又g(f(x))=x2+x+1,所以x2+ax+(a2+3)=x2+x+1,解得a=1.
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课件81张PPT。第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
第1课时 函数的概念1.函数的概念【思考】
(1)对应关系f一定是解析式吗?
提示:不一定.对应关系f可以是解析式、图象、表格,或文字描述等形式.(2)f(x)与f(a)有何区别与联系?
提示:f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.2.区间及有关概念
(1)一般区间的表示.
设a,b∈R,且a(1)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗?
提示:不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.(2)“∞”是数吗?以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端可以是中括号吗?
提示:“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”.
( )
(2)根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y. ( )(3)在函数的定义中,集合B是函数的值域. ( )
(4)在研究函数时,除用符号f(x)外,还可用g(x),F(x),
G(x)等来表示函数. ( )提示:(1)×.f(x)是一个符号,“y=f(x)”是“y是x的函数”的数学表示.
(2)×.根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一的y与之对应.(3)×.在函数的定义中,函数的值域是集合B的子集.
(4)√.同一个题中,为了区别不同的函数,常采用g(x),
F(x),G(x)等来表示函数.2.若f(x)= 则f(3)=________.?【解析】f(3)=
答案: 3.用区间表示函数f(x)= 的定义域是________.?【解析】由题意得x-1>0,所以x>1定义域为(1,+∞)
答案:(1,+∞)类型一 函数关系的判断
【典例】1.设集合P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤x≤2},则图中能表示P到Q的函数的是 ( )A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4)
C.(1)(4) D.(3)2.在下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x
的函数的是 ( )
①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系f:x→y=
②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x;③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25;
④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2;
⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=
x+y;
⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.A.①⑤⑥ B.②④⑤⑥
C.②③④ D.①②③⑤【思维·引】
1.在x轴上区间[0,2]内作与x轴垂直的直线,此直线与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B是否为非空数集,再判断非空数集A中任取一个数,在非空数集B中是否有唯一的数与之对应.【解析】1.选C.根据函数的定义,在定义域内的任何一个x值,都唯一对应一个y值,故(1)、(4)正确;(2)中定义域内的1对应了2个函数值,(3)中定义域(1,2]内的x值,没有对应的y值,故(2)、(3)错误.2.选D.①在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应,所以不能确定y是x的函数.②在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.⑤A不是数集,所以不能确定y是x的函数.④⑥显然满足函数的特征,y是x的函数.【内化·悟】
理解函数的概念,需要把握哪几个要点?提示:(1)集合A,B是非空数集;(2)强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三性只要有一个不满足,便不能构成函数.【类题·通】
1.判断一个对应是否是函数的方法2.根据图形判断对应是否为函数的步骤
(1)任做一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.如图所示:【习练·破】
1.如图可作为函数y=f(x)的图象的是 ( )【解析】选D.观察图象可知,A,B,C中任取一个x的值,y有可能有多个值与之对应,所以不是函数图象.D中图象是函数图象.2.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},在下列A到B的四种对应关系中,存在函数关系的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.根据函数的定义可知,集合A中每一个实数在B中都有唯一确定的实数与之对应,其中①③均满足函数的定义.类型二 求函数的定义域
【典例】1.设全集为R,函数f(x)= 的定义域为
M,则?RM= ( )
A.{x|x≥2或x=-1} B.{x|x<2且x≠-1}
C.{x|x≥2} D.{x|x>2或x=-1}2.若将长为a的铁丝折成矩形,则矩形面积y关于一边长x的解析式为________,此函数的定义域为________. 世纪金榜导学号?3.求下列函数的定义域. 世纪金榜导学号
(1)f(x)=
(2)y= 【思维·引】
1.依据分式的分母不为0,二次根式的被开方数大于或等于0,零的零次方无意义,列不等式(组)求定义域.2.先用a和x表示另外一条边,然后根据两条边长都大于0,列不等式组求定义域.
3.(1)依据分式的分母不为0,列不等式求定义域.
(2)依据分式的分母不为0,二次根式的被开方数大于或等于0,列不等式组求定义域.【解析】1.选A.由 解得x<2且x≠-1,
所以M={x|x<2且x≠-1},
所以?RM={x|x≥2或x=-1}.2.已知矩形的一边长为x,则另一边长为 (a-2x),
所以y=x· (a-2x)=-x2+ ax,
由 得0所以定义域为{x|x≠-1}.(2)因为 得x2=1且x≠1,即x=-1,
所以定义域为{-1}.【内化·悟】
若函数的对应关系是表格或图象形式,如何求函数的定义域?
提示:表格形式下直接看自变量这一行的取值构成的集合;图象形式下,观察图象上所有点的横坐标构成的集合.【类题·通】
已知函数的解析式,求函数的定义域
(1)本质:求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围.(2)常见题型
①如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
②如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.③如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
④y=x0要求x≠0.⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).
⑥对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.【习练·破】
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的定义域为________.?【解析】观察函数的图象,图象上所有点的横坐标构成的集合为(0,1)∪(1,2],即为定义域.
答案:(0,1)∪(1,2]2.求下列函数的定义域:【解析】(1)
所以函数的定义域为 (2) ?x=1.所以函数的定义域为{1}.
(3)
所以函数的定义域为{x|x≤1,且x≠0}.(4) 解得x>-1,且x≠1.
所以函数的定义域为{x|x>-1,且x≠1}.【加练·固】
求下列函数的定义域.【解析】(1)要使函数有意义,需满足
得x>-2且x≠3.
所以所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,需满足
所以x>0且x≠1,
所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞).类型三 函数的对应关系的应用
角度1 求值问题
【典例】1.已知f(3x+1)=4x+3,则f(4)= ( )
A.6 B.7 C.8 D.92.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f(f(3))的值为________.?【思维·引】
1.注意到f(4)=f(3×1+1)就可以利用f(3x+1)=4x+3求f(4).
2.根据图象确定自变量x=1和x=3时,对应的函数值即可求f(f(3)).【解析】1.选B.由3x+1=4,得x=1,所以f(4)=f(3×1+1)
=4×1+3=7.
2.据图象知,f(3)=1,f(f(3))=f(1)=2.
答案:2角度2 求解析式问题
【典例】已知函数f(x)= g(x)= 世纪金
榜导学号
(1)求f(3),f(4),f(g(3))及f(g(4))的值.
(2)求f(g(x)),并证明f(x)+f(g(x))是常数.【思维·引】
(1)依据函数解析式求f(3),f(4),计算f(g(3))及f(g(4))时,由内到外逐步计算.
(2)求f(g(x))可将g(x)整体代入f(x)的解析式.【解析】(1)f(3)= f(4)=
(2)因为f(x)= 则
所以f(x)+f(g(x))= 【素养·探】
在解答与函数的对应关系的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象,利用函数的对应关系,求函数值或求形如f(g(x))的函数的对应关系.
将本例的条件不变,求g(f(x)).【解析】g(f(x))= 【类题·通】
函数求值的方法及关注点
(1)方法:
①求f(a):已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值.②求f(g(a)):已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
(2)关注点:用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则函数无意义.【习练·破】
1.若f(x)=ax2- a为正实数,且f(f( ))=- ,则
a=________.?【解析】因为f( )=a·( )2- =2a- ,
所以f(f( ))=a·(2a- )2- =- ,
所以a·(2a- )2=0.又因为a为正实数,
所以2a- =0,所以a=
答案: 2.设f(x)=2x2+2,g(x)=
(1)求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a≠-2),g(f(2)).
(2)求g(f(x)).【解析】(1)因为f(x)=2x2+2,
所以f(2)=2×22+2=10,
f(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20.
因为g(x)= 所以g(a)+g(0)=
g(f(2))=g(10)=
(2)g(f(x))= 【加练·固】
若f(x)= (x≠-1),求f(0),f(1),f(1-a)(a≠2),
f(f(2))的值.【解析】f(0)= f(1)=
f(1-a)= (a≠2),
f(f(2))= 课件82张PPT。第2课时
函数概念的综合应用1.同一个函数【思考】
函数有定义域、对应关系和值域三要素,为什么判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系?提示:由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所以判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系即可.2.常见函数的定义域和值域【思考】
求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域时为什么分a>0和a<0两种情况?提示:当a>0时,二次函数的图象是开口向上的抛物线,
观察图象得值域为
当a<0时,二次函数的图象是开口向下的抛物线,观察图
象得值域为 【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)f(x)= 与g(x)=x是同一个函数. ( )
(2)若两个函数的定义域与值域都相同,则这两个函数
是同一个函数. ( )(3)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一个函数. ( )提示:(1)×.f(x)= 与g(x)=x的定义域不相同,所以
不是同一个函数.
(2)×.例如f(x)= 与g(x)= 的定义域与值域相同,
但这两个函数不是同一个函数.(3)√.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域都是R,对应关系完全一致,所以这两个函数是同一个函数.2.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )
A.y= 与y=x+3
B.y= -1与y=x-1
C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)
D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z【解析】选C.选项A中两函数的定义域不同;选项B,D中两函数的对应关系不同.3.若函数y=x2-3x的定义域为{-1,0,2,3},则其值域为
( )
A.{-2,0,4} B.{-2,0,2,4}
D.{y|0≤y≤3}【解析】选A.依题意,当x=-1时,y=4;当x=0时,y=0;当x=2时,y=-2;当x=3时,y=0.
所以函数y=x2-3x的值域为{-2,0,4}.类型一 判断两个函数是否为同一个函数
【典例】1.若函数f(x)=( )2与g(x)=x(x∈D)是同一
个函数,则D是 ( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]2.判断下列各组中的两个函数是同一个函数的为
世纪金榜导学号( )
(1)y1= y2=x-5;
(2) (3)f(x)=x,g(x)=
(4)f(x)= F(x)=
(5)f1(x)= f2(x)=2x-5.
A.(1)、(2) B.(2)、(3)
C.(4) D.(3)、(5)【思维·引】
1.根据同一个函数的定义域相同求集合D.
2.先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.【解析】1.选C.函数f(x)的定义域为[0,+∞),
即D=[0,+∞).2.选C.对于(1),两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数;
对于(2),两个函数的定义域不同,如当x=-1时函数y1无意义,但y2有意义,所以不是同一个函数;对于(3),g(x)= =|x|,两个函数的对应关系不同,所
以不是同一个函数;
对于(4),f(x)=
所以两个函数定义域相同,对应关系相同,是同一个函
数.对于(5)两个函数的定义域不同,所以不是同一个函
数.【内化·悟】
解答与函数有关的问题时,为了准确把握函数的特征,首先要求什么?
提示:解答与函数有关的问题时,要遵循定义域优先的原则.因为定义域不同,就是不同的函数,忽视这一点,就犯了偷换概念的错误.【类题·通】
判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤.(2)两个注意点.
①在化简解析式时,必须是等价变形;
②与用哪个字母表示无关.【习练·破】
下列各组函数中,是同一个函数的是 ( )
①y=2x+1与y=
②y= 与y=x0;③y= 与y=x-1;
④y=3x2+2x+1与u=3v2+1+2v;
⑤y=
A.①②③ B.①②④
C.②④ D.①④⑤【解析】选C.对于①,y= =|2x+1|,
与y=2x+1对应关系不同,不合题意;对于②,y= =1
(x≠0),y=x0=1(x≠0),是同一个函数;对于③,y=
=x-1(x≠0),而y=x-1中x∈R,定义域不同,不合题意;对
于④,y=3x2+2x+1与u=3v2+1+2v,定义域均为R,且对应关系相同,是同一个函数;对于⑤,y= (x≠-1),y=
(x≠±1)定义域不同,不合题意;综上可知②④
符合题意.【加练·固】
判断下列各组函数是否是同一个函数,并说明理由.
(1)f(x)=2x+1(x∈R),g(x)=2x+1(x∈N*).
(2)f(x)=x2,g(x)=
(3)y= y=x-1.【解析】(1)对应关系一致,但定义域不同,因而不是同
一个函数.
(2)定义域相同,但对应关系不一致,因而不是同一个函
数.
(3)y= =|x-1|,与函数y=x-1的对应关系不
一致,所以两个函数不是同一个函数.类型二 抽象函数的定义域和函数值
角度1 抽象函数的定义域
【典例】(1)设函数f(x)= ,则f(x+1)=_______,
f(x+1)的定义域是________.?(2)已知函数y=f(2x-3)的定义域是[-2,3],求函数y=f(x+2)的定义域. 世纪金榜导学号【思维·引】(1)用x+1代换f(x)= 中的x即可.
(2)由函数y=f(2x-3)的定义域,先求函数y=f(x)的定义
域,再求函数y=f(x+2)的定义域.【解析】(1)因为f(x)= ,所以f(x+1)= ,由
x+1≥0可得,x≥-1,故f(x+1)的定义域是[-1,+∞).
答案: [-1,+∞)(2)因为x∈[-2,3],所以2x-3∈[-7,3],
即函数y=f(x)的定义域为[-7,3],
令-7≤x+2≤3,解得-9≤x≤1,
所以函数y=f(x+2)的定义域为[-9,1].角度2 抽象函数的函数值
【典例】设函数f(x)满足对任意的m,n∈N*,都有f(m+
n)=f(m)·f(n),且f(1)=2,则 =
世纪金榜导学号( )
A.2 018 B.2 019 C.4 036 D.4 038【思维·引】令n=1,计算 由此计算所求式的
值.【解析】选C.因为f(m+n)=f(m)·f(n),
令n=1,则f(m+1)=f(m)·f(1).
所以 =f(1),所以 =f(1).
所以 =2 018f(1)
=4 036.【素养·探】
在解与抽象函数有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象,通过研究抽象函数的定义域和求值问题,探究函数的内涵.本例条件“m,n∈N*”改为“m,n∈R”,条件“f(m+n)
=f(m)·f(n)”改为“f(m+n)=f(m)+f(n)”,
若f(-3)=2,求f(2).【解析】令m=n=0,则
f(0+0)=f(0)+f(0),求得f(0)=0,
令x=3,y=-3,则f(0)=f(3)+f(-3),
又f(-3)=2,所以f(3)=-2.
f(3)=f(1)+f(2),f(2)=f(1)+f(1),
所以f(2)= f(3)=- 【类题·通】
1.抽象函数及其求值
(1)未给出具体解析式的函数称为抽象函数.
(2)计算抽象函数的函数值,首先要观察已知和未知的联系,给变量赋予恰当的数值或代数式,然后经过恰当的元素和推理加以解决.2.抽象函数的定义域
函数y=f(g(x))的定义域由y=f(t)与t=g(x)的定义域共同决定:
(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A,则函数f(g(x))的定义域由g(x) ∈A解出.(2)若已知函数f(g(x))的定义域为数集A,则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域.
【习练·破】
1.已知函数y=f(n),满足f(1)=1,且f(n)=nf(n+1),
n∈N+,则f(5)=________.?【解析】因为f(n)=nf(n+1),n∈N+,
所以f(n+1)=
又f(1)=1,所以f(2)= =1,f(3)=
f(4)= = f(5)=
答案: 2.(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求f(x2+1)的定
义域.
(2)已知f( )的定义域为[0,3],求f(x)的定义域.【解析】(1)因为函数f(x2+1)中的x2+1相当于函数f(x)中的x,所以0≤x2+1≤1,
所以-1≤x2≤0,所以x=0,
所以f(x2+1)的定义域为{0}.(2)因为f( )的定义域为[0,3],
所以0≤x≤3,所以1≤ ≤2,所以f(x)的定义域为
[1,2].【加练·固】
已知y=f(2x+1)的定义域为[1,2].
(1)求f(x)的定义域.
(2)求f(2x-1)的定义域.【解析】(1)由于y=f(2x+1)的定义域为[1,2],
所以1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5,
所以函数f(x)的定义域为[3,5].
(2)由(1)可知,3≤2x-1≤5,所以2≤x≤3,
所以函数f(2x-1)的定义域为[2,3].类型三 求函数的值域
【典例】试求下列函数的定义域与值域:
(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}.
(2)f(x)=(x-1)2+1.
(3)f(x)=
(4)f(x)= 世纪金榜导学号【思维·引】
(1)定义域可直接看出,分别计算f(-1),f(0),f(1),
f(2),f(3),写出值域;
(2)整式型函数的定义域为R,由(x-1)2≥0求出值域;(3)分式型函数的定义域由分母不为零求出,先分离常
数再求值域;
(4)二次根式型函数的定义域由被开方数大于等于零,
求出定义域,令t= 用换元法求值域.【解析】(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},则f(-1)
=[(-1)-1]2+1=5,同理可得f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,
f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.
(2)函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|y≥1}.(3)函数的定义域是{x|x≠1},y= 所以
函数的值域为{y|y≠5}.(4)要使函数有意义,需x+1≥0,即x≥-1,
故函数的定义域是{x|x≥-1}.
设t= 则x=t2-1(t≥0),
于是g(t)=t2-1-t= 又因为t≥0,故g(t)≥
所以函数的值域是 【素养·探】
在求函数值域的问题中,经常利用核心素养中的数学运
算,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求出
值域.
把本例(4)的函数改为f(x)=3x- 求值域.【解析】令t= (t≥0),则x=t2-2,
换元可得函数的解析式:g(t)=3(t2-2)-t
又因为t≥0,故g(t)≥- .
所以函数的值域是 【类题·通】
求函数值域的常用方法
(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察法得到.
(2)配方法:是求“二次函数”类值域的基本方法.(3)换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定
的函数,从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+
(其中a,b,c,d为常数,且ac≠0)型的函数常用
换元法.(4)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.【发散·拓】
对于形如y= 的函数,还可以用判别式法
求值域,即把已知函数转化为关于变量的二次方程,再
利用方程有解则判别式非负,从而求得原函数值域.【延伸·练】
求函数y= 的值域.【解析】由函数的表达式可知,定义域是R,
由y= 得yx2-x+y=0,
当y=0时,x=0,所以y可以为0;
当y≠0时,Δ=1-4y2≥0,
所以- ≤y≤ (y≠0),综上可得,所求函数的值域为 【习练·破】
求下列函数的值域
(1)f(x)=
(2)f(x)=
(3)f(x)=x+ 【解析】(1)f(x)= 的定义域为R,
x2+x+1=
所以
所以f(x)= 的值域为 (2)f(x)=
因为0≤4-(x-1)2≤4,
所以0≤ ≤2,
所以2≤4- ≤4,
所以函数f(x)=4- 的值域为 (3)令t= (t≥0),
则x=1-t2,换元
可得函数的解析式:g(t)=1-t2+4t=-(t-2)2+5,
又因为t≥0,故g(t)≤5,
所以函数的值域是(-∞,5].【加练·固】
求下列函数的值域.
(1)y=
(2)y=
(3)y=3x2-x+2.【解析】(1)方法一:由x2≥0及4-x2≥0,
观察得 ∈[0,2],
故此函数的值域为[0,2].方法二:由 x2≥0得-x2≤0,得4-x2≤4,
所以0≤ ≤2,
故此函数的值域为[0,2].(2)
因为
所以y≠
所以函数的值域为 (3)函数y=3x2-x+2=
值域为