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课堂检测·素养达标
1.如果一次函数f(x)的图象过点(1,0)及点(0,1),则f(3)= ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
【解析】选B.设一次函数的解析式为f(x)=kx+b,其图象过点(1,0),(0,1),所以
解得k=-1,b=1,所以f(x)=-x+1,
所以f(3)=-3+1=-2.
2.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中错误的是 ( )
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D.这天21时的温度是30 ℃
【解析】选C.这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14(℃),故C错误.
3.已知函数f(x)由下表给出,则f(f(3))=________.?
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
【解析】由题设给出的表知,f(3)=4,则f(f(3))=f(4)=1.
答案:1
4.已知函数f(x-1)=2x+1,则f(x+1)=________.?
【解析】由已知得f(x+1)=f(x+2-1)
=2(x+2)+1=2x+5.
答案:2x+5
【新情境·新思维】
如图所示,在平面直角坐标系xOy中,?OABC的顶点A在x轴上,顶点B的坐标为(6,4).若直线l经过点(1,0),且将?OABC分割成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式是 ( )
A.y=x+1 B.y=x+1
C.y=3x-3 D.y=x-1
【解析】选D.设D(1,0),因为直线l经过点D(1,0),且将?OABC分割成面积相等的两部分,所以OD=BE=1,如图所示.
因为顶点B的坐标为(6,4),所以E(5,4),
设直线l的函数解析式是y=kx+b(k≠0),
因为直线过D(1,0),E(5,4),所以
解得
所以直线l的解析式为y=x-1.
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课堂检测·素养达标
1.函数f(x)=的图象是 ( )
【解析】选C.由于f(x)==
所以其图象为C.
2.已知f(x)=则f= ( )
A.2 B.-2
C.3+1 D.-3+1
【解析】选C.因为f(-)=|-|=>0,
所以f=f()=3+1.
3.根据如图所示的函数f(x)的图象,其中x≥0,写出它的解析式为________.?
【解析】当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将点(1,2)代入,求得k=2,所以f(x)=2x,当1
当x≥2时,由图象易得f(x)=3.
所以f(x)=
答案:f(x)=
4.某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是每千米0.5元,如果超过100 km,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与行程数x(km)之间的函数关系式是________.?
【解析】根据行程是否大于100 km来求解析式.
由题意,得当0≤x≤100时,y=0.5x;当x>100时,
y=100×0.5+(x-100)×0.4=10+0.4x.
答案:y=
【新情境·新思维】
某中学要召开学生自管委大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为
( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
【解析】选B.设x=10m+α(0≤α≤9,m,α∈N),
当0≤α≤6时,==m=,
当6<α≤9时,==m+1=+1.
所以各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y=.
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课时素养评价 十九
分 段 函 数
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数f(x)=的值域是 ( )
A.R B.{2,3}
C.(1,+∞) D.(1,2]
【解析】选B.当12.已知函数f(x)=则f(f(1))= ( )
A. B.2 C.4 D.11
【解析】选C.因为1<2,所以f=f(3),
又因为3>2,所以f(3)=3+=4,
故f=4.
【加练·固】设函数f(x)=则f(f(-1))的值为 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选D.由题意得,f(-1)=-(-1)=1,
f(f(-1))=f(1)=12+1=2.
3.设函数f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为 ( )
A.±或4 B.或4
C.-或4 D.±
【解析】选C.由方程f(a)=1可得①,或 ②,解①可得a=-,解②可得a=4,故方程f(a)=1的解是a=-或a=4.
4.(多选题)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=-|x|+1
D.f(x)=|x+1|
【解析】选A、C.结合图象可知,当x≤0时,f(x)=x+1,当x>0时,f(x)=-x+1,
所以f(x)=即f(x)=-|x|+1.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.给定函数f(x)=2x-1,g(x)=-2x+3,x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小值,记为m(x)=min{f(x),g(x)},则m(x)=________,m(x)的最大值是________.?
【解析】因为m(x)取f(x)=2x-1,g(x)=-2x+3两个函数中的较小值,故函数m(x)的图象如图所示:
由图易得m(x)=m(x)的最大值是1.
答案: 1
6.已知分段函数f(x)=则f(2 015)=
________.?
【解析】因为函数f(x)=
所以f(2 015)=f(f(2 021))=f(2 017)
=f(f(2 023))=f(2 019)=2 015.
答案:2 015
三、解答题
7.(16分)已知函数f(x)=
(1)试比较f(f(-3))与f(f(3))的大小.
(2)画出函数的图象.
(3)若f(x)=1,求x的值.
【解析】(1)因为-3<1,
所以f(-3)=-2×(-3)+1=7,
因为7>1,所以f(f(-3))=f(7)=72-2×7=35,
因为3>1,所以f(3)=32-2×3=3,
所以f(f(3))=f(3)=3,
所以f(f(-3))>f(f(3)).
(2)函数图象如图所示:
(3)由函数图象综合判断可知,
当x∈(-∞,1)时,得f(x)=-2x+1=1,解得x=0;
当x∈[1,+∞)时,得f(x)=x2-2x=1,解得x=1+或x=1-(舍去).综上可知,x的值为0或1+.
(15分钟·30分)
1.(4分)新定义函数sgn x=则不等式(x+1)sgn x>2的解集是 ( )
A.{x|x<-3}
B.{x|x>1}
C.{x|-3D.{x|x<-3或x>1}
【解析】选D.①当x>0时,
sgn x=1,不等式的解集为{x|x>1};
②当x=0时,sgn x=0,不等式无解;
③当x<0时,sgn x=-1,不等式的解集为
{x|x<-3},
所以不等式(x+1)sgn x>2的解集为{x|x<-3或x>1}.
2.(4分)如图,在△AOB中,点A(2,1),B(3,0),点E在射线OB上自O开始移动.设OE=x,过E作OB的垂线l,记△AOB在直线l左边部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象是 ( )
【解析】选D.当0≤x≤2时,S=x2,排除B,C;
当23时,S=×3×1=,D符合.
3.(4分)根据统计,一名工人组装第x件产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,则A的值为________. ?
【解析】由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为=15,
因为该工人组装第4件产品用时30分钟>15分钟,
所以4所以=15,解得A=16.
答案:16
4.(4分)已知函数y=f(x)的图象如图所示,其中y轴左侧为一条线段,右侧为一段抛物线,则f(x)的解析式为________. ?
【解析】当-2≤x≤0时,设y=kx+b,代入(-2,0)与(0,2),
得解得
所以y=x+2.
当0代入(3,-1)得a=1.所以y=(x-2)2-2.
所以f(x)=
答案:f(x)=
5.(14分)已知函数f(x)=
(1)求f(-5),f(-),f的值.
(2)若f(a)=3,求实数a的值.
(3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.
【解析】(1)由-5∈(-∞,-2],-∈(-2,2),-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,
f(-)=(-)2+2×(-)
=3-2.f=-+1=-,
而-2<-<2,
所以f=f=+2×=-3=-.
(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不符合题意,舍去.
当-2所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3.
因为1∈(-2,2),-3?(-2,2),
所以a=1符合题意.
当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意.
综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.
(3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1,
即2m-1>3m-5,解得m<4,
又因为m≥2,所以m的取值范围为[2,4).
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课时素养评价 十八
函数的表示法
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列表格中的x与y能构成函数的是 ( )
A.
x
非负数
非正数
y
1
-1
B.
x
有理数
无理数
y
1
-1
C.
x
奇数
偶数
y
1
-1
D.
x
自然数
整数
有理数
y
1
0
-1
【解析】选B、C.选项A中,x=0时,y有2个数值与之对应,D中任一个自然数都有3个数值与之对应.
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数的值域是 ( )
A.[-5,6] B.[2,6] C.[0,6] D.[2,3]
【解析】选C.观察函数y=f(x)的图象上所有的纵坐标,可知此函数的值域是[0,6].
3.函数y=的图象是 ( )
【解析】选C.由题意知,函数可化为y===1-,所以可将函数y=-的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y=的图象.
4.已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则g(f(1))的值为 ( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选C.由y=g(x)的图象及y=f(x)的对应关系表得g(f(1))=g(2)=1.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知函数f=x2+,则f(3)=________.?
【解析】因为f=x2+
=+2,所以f(x)=x2+2,
所以f(3)=32+2=11.
答案:11
【延伸探究】把本题条件改为f=x2+,如何求f(3)?
【解析】因为f=x2+
=-2,所以f(x)=x2-2,
所以f(3)=32-2=7.
6.已知函数p=f(m)的图象如图所示,则
(1)函数p=f(m)的定义域为________.?
(2)p∈________时,只有唯一的m值与之对应.?
【解析】(1)观察函数p=f(m)的图象,可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是-3≤m≤0或1≤m≤4,所以定义域为[-3,0]∪[1,4].
(2)由图象知:p∈(0,2]时,只有唯一的m值与之对应.
答案:(1)[-3,0]∪[1,4] (2)(0,2]
三、解答题(共26分)
7.(12分)画出下列函数的图象:
(1)y=x+1(x≤0).
(2)y=x2-2x(x>1或x<-1).
【解析】(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图(1).
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线.如图(2).
8.(14分)(1)已知f=,求f(x)的解析式.
(2)已知y=f(x)是一次函数,且有f(f(x))=9x+8,求此一次函数的解析式.
【解析】(1)设t=,则x=,由x≠1可得t≠0且t≠1,代入f=,
可得f(t)==,
所以f(x)=(x≠0且x≠1).
(2)设f(x)=ax+b,则f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8,由x的任意性可得
解得或
所以解析式为f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=ax2+bx+c与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是 ( )
【解析】选D.由a的符号排除B、C,又因为A中y轴为抛物线的对称轴,即b=0,也应排除.
【拓展延伸】
1.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象与系数的关系
(1)a决定开口方向及开口大小,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
(2)c决定二次函数与y轴交点的位置.当x=0时,y=c,所以二次函数与y轴有且只有一个交点(0,c).
①当c=0时,抛物线经过原点;
②当c>0时,抛物线与y轴交于正半轴;
③当c<0时,抛物线与y轴交于负半轴.
2.一次函数y=kx+b图象跨越的象限
k>0,b>0时,函数图象经过一、二、三象限;
k>0,b<0时,函数图象经过一、三、四象限;
k<0,b>0时,函数图象经过一、二、四象限;
k<0,b<0时,函数图象经过二、三、四象限.
2.(4分)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是 ( )
A.(0,4] B.
C. D.
【解析】选C.因为y=x2-3x-4=-,所以对称轴为直线x=,当x=时,y=-.
因为x=0时,y=-4,由二次函数图象可知
解得≤m≤3,所以m的取值范围是.
3.(4分)观察下表
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)
5
1
-1
-3
3
5
g(x)
1
4
2
3
-2
-4
则f[g(3)-f(-1)]=________. ?
【解析】由表可知,f(-1)=-1,g(3)=-4,
所以g(3)-f(-1)=-4-(-1)=-3,
所以f[g(3)-f(-1)]=f(-3)=5.
答案:5
4.(4分)若f(2x+1)=4x2+4x,则f(x)的解析式为________. ?
【解析】令2x+1=t,则x=.
所以f(t)=4×+4×=t2-1,
所以f(x)=x2-1.
答案:f(x)=x2-1
5.(14分)已知二次函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=4x,且f(0)=2.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)在区间(-1,2]上,求函数f(x)的值域.
【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(0)=2,所以c=2,
因为f(x+2)-f(x)=4x,
所以a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4x,
整理得4(a-1)x+4a+2b=0
由x的任意性可得
解得a=1,b=-2,
所以f(x)=x2-2x+2.
(2)由(1)知,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
作出函数图象如图所示,
观察图象可知,此函数的值域为[1,5).
【拓展延伸】二次函数解析式的设法
(1)若已知对称轴或顶点坐标,常设配方式f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
(2)若已知f(x)过三点,常设一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(3)若已知f(x)与x轴两交点的横坐标为x1,x2,常设分解式,f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
1.一旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系:
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高,每间房的定价应为 ( )
A.100元 B.90元
C.80元 D.60元
【解析】选C.住房率与每天房价是函数关系,这种关系在题中是用表格的形式表示出来的,而每天的收入=房价×住房率×间数(100),我们也可以列出相应的表格:
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
收入
6 500
6 750
6 800
5 700
从表格很清楚地看到,每间房定价在80元时,每天的收入最高.
2.(1)已知f(x)+2f(-x)=x+1,求f(x)的解析式.
(2)设f(x)是R上的函数,且f(0)=1,并且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x) -y(2x-y+1),求f(x)的解析式.
【解析】(1)因为f(x)+2f(-x)=x+1,
所以f(-x)+2f(x)=-x+1.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)=-x+.
(2)方法一:由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),
设x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
因为f(0)=1,所以f(x)-x(2x-x+1)=1,
即f(x)=x2+x+1.
方法二:令x=0,
得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),
即f(-y)=1-y(-y+1).又令-y=x,代入上式得:f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),
所以f(x)=x2+x+1.
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课件88张PPT。3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法 函数的表示方法【思考】
函数的三种表示方法各自有哪些优缺点?提示:【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用图象法表示. ( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示. ( )
(3)函数y=x2的图象向右平移3个单位可得函数y=(x+3)2的图象. ( )(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线. ( )
提示:(1)×.有些函数是不能画出图象的,
如f(x)=
(2)×.并不是所有的函数都可以用解析式表示.
(3)×.函数y=x2的图象向右平移3个单位可得函数
y=(x-3)2的图象.
(4) ×.有些函数的图象不是一条连续不断的曲线,
如f(x)= 的图象就不是连续的曲线.2.由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于 ( )A.1 B.2
C.4 D.5
【解析】选B.由题表可知,f(1)=4,所以f(f(1))=f(4)=2.3.已知函数f(x+1)=2x+1,则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=2x+1 B.f(x)=2x-1
C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x【解析】选B.因为f(x+1)=2x+1=2(x+1)-1,
所以f(x)=2x-1. 4.若函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为________,值域为________.?【解析】由f(x)的图象可知,-5≤x≤5,-2≤y≤3.
答案:[-5,5] [-2,3]类型一 列表法表示函数
【典例】1.给出函数f(x),g(x)如表,则f(g(x))的值域为 ( )2.下表表示函数y=f(x),则f(x)>x的整数解的集合是________. 世纪金榜导学号?【思维·引】1.根据已知表格求出f(g(1)),f(g(2)),f(g(3)),f(g(4))写出值域.2.观察表格明确自变量和函数值的对应关系,函数值大于自变量的自变量的取值集合即为所求.【解析】1.选C.因为f(g(1))=f(1)=4,
f(g(2))=f(1)=4,f(g(3))=f(3)=2,
f(g(4))=f(3)=2,所以f(g(x))的值域为{4,2}.2.当0x的整数解为{1,2,3}.
当5≤x<10时,f(x)>x的整数解为{5}.
当10≤x<15时,f(x)>x的整数解为?.
当15≤x<20时,f(x)>x的整数解为?.
综上所述,f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}.答案:{1,2,3,5}【内化·悟】
对于列表法表示的函数,求函数值时应注意什么?
提示:应注意认真审题,找到自变量和函数值的对应关系.【类题·通】
巧解用列表法表示的函数问题
(1)读懂表格,明确自变量每个取值所对应的函数值.
(2)用数学符号准确表示,例如本例1中f(1)=4,g(1)=1等.
(3)注意分类与整合思想的灵活应用,例如本例2.【习练·破】
已知函数f(x),g(x)分别由表给出则f(g(1))的值为________;当g(f(x))=2时,
x=________.?【解析】f(g(1))=f(3)=1,因为g(f(x))=2,
所以f(x)=2,所以x=1.
答案:1 1【加练·固】
已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函数对应关系如表:则方程g(f(x))=x的解集为________.?【解析】当x=1时,f(x)=2,g(f(x))=2,不符合题意;
当x=2时,f(x)=3,g(f(x))=1,不符合题意;
当x=3时,f(x)=1,g(f(x))=3,符合题意,
综上,方程g(f(x))=x的解集为{3}.
答案:{3}类型二 函数的图象及应用
【典例】1.某同学骑车上学,离开家不久,发现作业本忘家里了,于是返回家找到作业本再上学,为了赶时间快速行驶.如图中横轴表示出发后的时间,纵轴表示离学校的距离,则较符合该同学走法的图象是 ( )2.作出下列函数的图象,并指出其值域: 世纪金榜导
学号
(1)y=-x+1,x∈Z.
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
(3)y= (-2≤x≤1,且x≠0).【思维·引】
1.将该同学上学的过程分为四个时间段,逐段分析离学校的距离与出发后的时间的关系.2.首先明确函数的定义域,其次明确函数图象的形状,体会定义域对图象的控制作用,处理好端点.第(1)小题是分布在一条直线上的孤立的点;第(2)小题,先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取;第(3)小题,关注x=0时的情况.【解析】1.选D.坐标系中,横轴表示出发后的时间,纵轴表示离学校的距离.据此,将该同学上学的过程分为四个时间段:①第一时间段,该同学从家出发往学校走,随着时间的增长,他到学校的距离越来越小,图象呈现减函数的趋势;②第二时间段,该同学在中途返回家里,随着时间的增长,他到学校的距离越来越大,图象呈现增函数的趋势;
③第三时间段,该同学停在家里找作业本,此时他到学校的距离不变,是一个常数,图象呈现水平的线段;④第四时间段,该同学从家出发,急速往学校行驶,随着时间的增长,他到学校的距离越来越小,而且由于他行驶的速度很快,故图象呈现“直线下降”的锐减趋势.
由以上分析,可知符合题意的图象是D.2.(1)定义域为Z,所以图象为离散的点.图象如图(1)所示.由图可知y=-x+1,x∈Z的值域为Z.
(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x<3),定义域不是R,因此图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图象如图(2)所示.由图可知y=2x2-4x-3(0≤x<3)的值域为[-5,3).(3)用描点法可以作出函数的图象如图(3)所示.由图可
知y= (-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).【内化·悟】
画一次函数、二次函数和反比例函数的图象时,应注意什么?提示:(1)明确函数图象的形状,即一次函数的图象是直线、二次函数的图象是抛物线、反比例函数的图象是双曲线.
(2)作函数图象时应特别注意:顶点、端点、图象与坐标轴的交点等这些特殊点.
(3)作图象时应首先看清函数的定义域.【类题·通】
画函数图象的两种常见方法
(1)描点法:
一般步骤:
①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
(2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.【发散·拓】
关于图象变换的常见结论有哪些?提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.
(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.
(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称.(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象沿y轴对折而成.
(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉x轴下方的图象而成.【延伸·练】
若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为 ( )【解析】选C.y=f(x)的图象向左平移1个单位,可得函数y=f(x+1)的图象,再作关于x轴对称的图象,可得函数y=-f(x+1)的图象.【习练·破】
1.列车从A地出发直达500 km外的B地,途中要经过距A地200 km的C地,假设列车匀速前进5 h后从A地到达B地,则列车与C地之间的距离s关于时间t的函数图象为
( )【解析】选A.当t=0时,y=200.列车的运行速度为
=100 km/h,所以列车到达C地的时间为 =2 (h),
故当t=2时,s=0.2.已知函数f(x)= .
(1)把函数f(x)化为f(x)=a+ 的形式.
(2)用平移变换的方法作出函数f(x)的图象,并说明作
图过程.
(3)若定义域为 ∪(1,+∞),通过观察图象直接写出
函数f(x)的值域.【解析】(1)f(x)= = =1-
=1- .(2)函数y= 的图象向右平移 个单位得函数
y= 的图象,再向上平移1个单位得函数
y=1- 的图象.如图所示:(3)通过观察图象可知,函数f(x)的值域为
(-1,1)∪(3,+∞).【加练·固】
1.“龟兔赛跑”讲述了这样的一个故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.如果用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下列图形与故事情节相吻合的是 ( )【解题指南】乌龟和兔子所跑的路程相同,乌龟所用的时间短,据此可选出答案.【解析】选B.因为兔子先快、后停、又快,故排除C;又兔子比乌龟晚到达终点,因此排除A,D,故选B.2.作出下列函数的图象.
(1)y=x(-2≤x≤2,x∈Z且x≠0).
(2)y=-2x2+4x+1(0角度1 待定系数法求函数解析式
【典例】(1)已知f(x)是一次函数,且满足
2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求f(x)的解析式.
(2)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,
f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式. 世纪金榜导学号【思维·引】
(1)设f(x)=ax+b(a≠0),根据恒成立、对应系数相等列方程组求a,b.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),利用f(0)=1,求出c,再根据恒成立、对应系数相等列方程组求a,b.【解析】(1)设f(x)=ax+b(a≠0),
则2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]
=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21,
所以
所以a=2,b=5,所以f(x)=2x+5.(2)因为f(x)为二次函数,
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(0)=1,得c=1.
又因为f(x-1)-f(x)=4x,
所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x,整理,
得-2ax+a-b=4x,求得a=-2,b=-2,所以f(x)=-2x2-2x+1.【素养·探】
用待定系数法求函数解析式时,经常利用核心素养中的数学运算,首先设出所求函数的一般形式,然后根据题目条件建立等量关系,最后通过解方程组求出待定系数,从而确定函数解析式.本例(2)条件“f(0)=1,
f(x-1)-f(x)=4x”改为“f(1-x)=f(1+x),f(2)=1,f(1)=3,”如何求f(x)?
【解析】由f(1-x)=f(1+x)且f(1)=3,
可设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0),
又因为f(2)=a(2-1)2+3=1,故a=-2,
所以f(x)=-2x2+4x+1.角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式
【典例】已知f( +1)=x-2 ,求f(x).
【思维·引】采用换元法或配凑法求解.【解析】方法一:令t= +1,则t≥1,x=(t-1)2,代入原
式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,则
f(x)=x2-4x+3(x≥1).
方法二:f( +1)=x+2 +1-4 -4+3=( +1)2-
4( +1)+3,因为 +1≥1,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).角度3 方程组法求函数解析式
【典例】已知函数y=f(x)满足f(x)=2f +3x,则
f(x)的解析式为______________. 世纪金榜导学号?【思维·引】
分析已知等式的特点,用 代换等式中的x,构建关于
f(x)和f 的方程组解方程组求出f(x).【解析】由题意知函数y=f(x)满足f(x)=2f +3x,即
f(x)-2f =3x,用 代换等式中的x,
可得f -2f(x)= ,
联立得, 解得f(x)=-x- (x≠0).
答案:f(x)=-x- (x≠0)【类题·通】
函数解析式的求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)解方程组法:已知f(x)与f 或f(-x)之间的关系式,
可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通
过解方程组求出f(x).【习练·破】
1.已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和,且f(2)=3,f(1)=3,则f(x)=________.?【解析】由题意,设f(x)=k1x+ ,
则 解得
所以f(x)=x+ (x≠0).
答案:x+ (x≠0)2.(1)已知函数y=f(x)满足f =x+1.求f(x)的解
析式.
(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且
f(x)=2·f · -1,求f(x)的解析式.【解析】(1)设t= -2,则x= ,
所以f(t)= +1= ,所以f(x)= (x≠-2).
(2)在f(x)=2f · -1中,用 代替x,
得f =2f(x)· -1,由
得f(x)= (x>0).【加练·固】
1.(2019·辽源高一检测)设函数f =x,则f(x)的
表达式为 ( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)= 【解析】选C.令t= ,解得x= ,
代入f =x,可得f = ,
所以f(x)= .2.已知二次函数f(x)的图象经过点(-3,2),顶点是
(-2,3),则函数f(x)的解析式为__________.?【解析】设所求解析式为f(x)=a(x+2)2+3(a≠0),
因为抛物线过点(-3,2),所以2=a+3.
所以a=-1,
所以f(x)=-(x+2)2+3=-x2-4x-1.
答案:f(x)=-x2-4x-1课件71张PPT。第2课时
分 段 函 数 分段函数
如果函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.【思考】
分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同,那么分段函数是一个函数还是几个函数?
提示:分段函数是一个函数,而不是几个.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)分段函数中各段函数的定义域交集是空集,并集是
分段函数的定义域. ( )
(2)f(x)= 是分段函数. ( )
(3)分段函数的图象一定是不连续的. ( )提示:(1)√.由分段函数的定义可知,此说法正确.
(2)×.不是函数,因为当x=0.5时,有两个值1.5和2.5与之对应.
(3)×.分段函数的图象可以是连续的也可以是不连续的.2.函数f(x)=|x-1|的图象是 ( )【解析】选B.因为f(x)=|x-1|=
当x=1时,f(1)=0,可排除A,C.
又x=-1时,f(-1)=2,排除D.3.若f(x)= 则f(f(-2))=________.?【解析】因为-2<0,
所以f(-2)=(-2)×(-3)=6,
所以f(f(-2))=f(6)=6×7=42.
答案:42类型一 分段函数的求值问题
【典例】1.若f(x)= 则f(f(-2))= ( )
A.2 B.3
C.4 D.52.设函数f(x)= 若f(a)>a,则实数a的取值范围是________.?【思维·引】
1.当x<0时,f(x)=-x,当x≥0时,f(x)=x2,先求f(-2),再求f(f(-2)).
2.分a≥0和a<0两种情况讨论.【解析】1.选C.因为-2<0,所以f(-2)=-(-2)=2.
又因为2>0,所以f(f(-2))=f(2)=22=4.2.当a≥0时,由f(a)>a得 -1>a,
解得a<-3,又因为a≥0,所以无解,
当a<0时,由f(a)>a得 >a,解得a<-1.
答案:(-∞,-1)【素养·探】
在分段函数的求值问题中,经常利用核心素养中的数学运算.解题时,通常在理解分段函数对应关系构成的基础上,直接依据对应关系准确求值或分类讨论分别求方程(不等式)的解(集)后求并集.本例2的条件改为f(x)=
f(1-a)=f(1+a),a≠0,求a的值.【解析】(1)当a>0时,1-a<1,1+a>1,则
f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,
f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a,
因为f(1-a)=f(1+a),所以2-a=-1-3a,
所以a=- (舍).(2)当a<0时,1-a>1,1+a<1,则
f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,
f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2,
因为f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,所以a=- .
综上可知a=- .【类题·通】
1.分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论.
(2)然后代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出字母的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.【习练·破】
已知函数y= 若f(a)=10,则a的值是( )
A.3或-3 B.-3或5
C.-3 D.3或-3或5【解析】选B.若a≤0,则f(a)=a2+1=10
所以a=-3(a=3舍去)
若a>0,则f(a)=2a=10
所以a=5,综上可得,a=5或a=-3.【加练·固】
1.已知函数f(x)= 则f(f(5))= ( )
A.0 B.-2
C.-1 D.1【解析】选C.因为5>0,代入函数解析式
f(x)=
得f(5)=3-5=-2,
所以f(f(5))=f(-2),
因为-2<0,代入函数解析式f(x)=
得f(-2)=(-2)2+4×(-2)+3=-1.2.设f(x)= 若f(x)=3,则x= ( )
A.1
B.±
C.
D. 【解析】选D.若 无解;
若 所以x= .
若 无解.
综上可知:x= .类型二 分段函数的表示方法及应用
角度1 分段函数的解析式及其应用【典例】如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】当-1≤x≤0时,设y=kx+b(k≠0),
当x>0时,设y=a(x-2)2-1(a>0),分别列方程(组)计算待定系数.【解析】当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0),
则 解得 所以y=x+1,
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1(a>0),因为图象过点(4,0),所以0=a(4-2)2-1,
解得a= ,所以f(x)=
答案:f(x)= 角度2 分段函数的图象及应用
【典例】已知函数f(x)=
(1)求f 的值. 世纪金榜导学号
(2)画出函数f(x)的图象,观察图象写出此函数的值域.
(3)函数值y取何值时,只有唯一的x值与之对应?【思维·引】
(1)由内到外逐层计算.
(2)先画出完整函数的图象,然后分三段截取函数的图象.
(3)作直线y=m,求出此直线与函数图象有唯一公共点时m的取值范围即为所求.【解析】(1)因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3.
因为-3<0,所以f =f(-3)=-3+4=1.
因为0<1<4,所以f =f(1)=12-2×1=-1,
即f =-1.(2)图象如图所示.观察图象可知此函数的值域为(-∞,8].(3)作直线y=m,观察图象可知,当m∈[-2,-1)∪(4,8]时,直线y=m与函数图象有唯一公共点,所以函数值y取[-2,-1)∪(4,8]内的值时只有唯一的x值与之对应.【类题·通】
1.“先分后合”求分段函数的解析式
首先确定其段数,然后将各段分别求出来,再将它们合在一起,并注意检查每一段的定义域是否有重复的自变量.2.分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,化为分段函数,然后分段作出函数图象.
(2)作分段函数的图象,在作每一段图象时,要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.【习练·破】
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是________.?【解析】因为f(x)的图象由两条线段组成,
所以结合函数图象和一次函数解析式的求法可得
f(x)=
答案:f(x)= 2.已知f(x)=
(1)画出函数f(x)的图象.
(2)求f(x)的定义域和值域.【解析】(1)作出f(x)的图象,如图所示.(2)观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1].【加练·固】
已知函数f(x)=|x-2|(x+1).
(1)作出函数f(x)的图象.
(2)判断直线y=a与y=|x-2|(x+1)的交点的个数.【解析】(1)函数f(x)=|x-2|(x+1),
去绝对值符号得f(x)=
可得f(x)的图象如图所示:(2)要求直线y=a与y=|x-2|(x+1)的交点的个数.作出图象如图:由图象可知.当a<0时,有一个交点;
当a=0时,有两个交点;
当0当a= 时,有两个交点;
当a> 时,有一个交点.综上,当a<0或a> 时,有一个交点;
当a=0或a= 时,有两个交点;
当0【典例】如图,底角∠ABE=45°的直角梯形ABCD,底边
BC长为4 cm,腰长AB为2 cm,当一条垂直于底边BC的
直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把
梯形分成两部分,令BE=x,试写出阴影部分的面积y与x
的函数关系式,并画出函数大致图象.世纪金榜导学号【思维·引】分直线l从点B移动到点A和直线l从点A移动到点D分段讨论.【解析】根据题意得:当直线l从点B移动到点A时,
0当直线l从点A移动到点D时,2y= ×2×2+(x-2)·2,即y=2x-2.所以阴影部分的面积y与x的函数关系式为
y= 函数图象如图所示:【内化·悟】
建立分段函数模型的关键是什么?
提示:关键是认真审题,弄清自变量取不同范围内的值时,函数对应关系有什么不同.找准分段点,逐段确定对应关系.【类题·通】
分段函数应用问题的两个关注点
(1)应用情境
日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数.(2)注意问题
求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理.【习练·破】
某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,
但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱
乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场
地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元,
某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过
30小时.(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式.
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为什么?【解析】(1)由题意f(x)=6x,x∈[12,30],
g(x)= .(2)①12≤x≤20时,6x=90,解得:x=15,
即当12≤x<15时,f(x)f(x)=g(x),当15g(x).②当20g(x),
故当12≤x<15时,选A家俱乐部合算,
当x=15时,两家俱乐部一样合算,当15某地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题:(1)求y关于x的函数关系式.
(2)利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准.
(3)若该用户某月用电62度,则应交电费多少元?若该用户某月交电费105元,则该用户该月用了多少度电?【解析】(1)当0≤x≤100时,设函数关系式为y=kx.
将x=100,y=65代入,得k=0.65.所以y=0.65x.
当x>100时,设函数关系式为y=ax+b.
将x=100,y=65和x=130,y=89代入,得 解得
所以y=0.8x-15.
综上可得y= (2)由(1)知收费标准为:用户月用电量不超过100度时,每度电0.65元;超过100度时,超出的部分,每度电0.80元.(3)当x=62时,y=62×0.65=40.3(元);
当y=105时,
因为0.65×100=65<105,故x>100,
所以105=0.8x-15,x=150.
即若该用户某月用电62度,则应交电费40.3元;若该用户某月交电费105元,则该用户该月用了150度电.