温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课堂检测·素养达标
1.若x2+y2=4,则xy的最大值是 ( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选C.xy≤=2,当且仅当x=y时取“=”.
2.设a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 ( )
A.a-b<0 B.0<<1
C.< D.ab>a+b
【解析】选C.因为a>b>0,由基本不等式知<一定成立.
3.对于任意正数a,b,A是a,b的算术平均数,G是a,b的几何平均数,则A与G的大小关系是________.
【解析】A=≥=G,所以A≥G.
答案:A≥G
4.已知x>0,y>0,且xy=100,则x+y的最小值为________.
【解析】x+y≥2=20,当且仅当x=y=10时取“=”.
答案:20
【新情境·新思维】
定义一个新的量:向量,用符号a表示,也可以用形如点的坐标的方法表示,如向量a=(x,y),定义向量a=(x,y)的长度|a|=,两个向量a=(x1,y1),
b=(x2,y2)可以进行加法运算,其和仍是一个向量,法则为:a+b=(x1+x2,y1+y2).已知a=(x-1,1),b=,则|a+b|的最小值是( )
A.1 B. C. D.2
【解析】选B.由题意知a+b=,所以|a+b|=≥(当且仅当x2=1时,等号成立).
关闭Word文档返回原板块
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课堂检测·素养达标
1.已知2a+b=1,a>0,b>0,则+的最小值是 ( )
A.2 B.3-2
C.3+2 D.3+
【解析】选C.+=+=3+≥3+2,当且仅当=,且2a+b=1,即a=,b=-1时取等号.
2.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.≤ B.+≤1
C.≥2 D.a2+b2≥8
【解析】选D.4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,≥,A,C不成立;+==≥1,B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8.
3.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_______.
【解析】设矩形的一边为xm,面积为ym2
则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,
所以y=x(10-x)≤=25,
当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25.
答案:25m2
4.已知x>0,y>0且+=1,则x+y的最小值为________.
【解析】因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)=3++≥3+2(当且仅当y=x时取等号),
所以当x=+1,y=2+时,x+y的最小值为3+2.
答案:3+2
【新情境·新思维】
已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为 ( )
A.9 B.12 C.18 D.24
【解析】选B.由+≥
得m≤(a+3b)=++6.
因为a>0,b>0,所以++6≥2+6=12,
所以m≤12,所以m的最大值为12.
关闭Word文档返回原板块
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价 十三
基本不等式的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知a>0,b>0,a+b=2,则对于+ ( )
A.取得最值时a= B.最大值是5
C. 取得最值时b= D.最小值是
【解析】选A、D.因为a+b=2,令y=+=+=+++2≥+
2=,当且仅当=且a+b=2,即a=,b=时,取“=”.
2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则 ( )
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,
所以1+x≤1+,故x≤.
3.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为 ( )
A.8 B.4 C.2 D.0
【解析】选A.由x+2y-xy=0,得+=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8.
4.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为对任意x>0,≤a恒成立,所以对x∈(0,+∞),a≥,
又因为x∈(0,+∞),所以=≤=,
当且仅当x=1时等号成立,所以a≥.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知一次函数y=-x+1的图象分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值是________,取得最大值时a的值为________.?
【解析】因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由题意得a=2-2b,ab=(2-2b)b= 2(1-b)·b≤2·=.
当且仅当1-b=b,即b=时等号成立,此时a=1,因此当b=,a=1时,ab的最大值为.
答案: 1
6.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是________.?
【解析】设每次购买该种货物x吨,则需要购买次,则一年的总运费为×2=(万元),一年的总存储费用为x万元,所以一年的总运费与总存储费用为+x≥2=40(万元),当且仅当=x,即x=20时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.
答案:20
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8.
(2)≥9.
【证明】(1)因为a+b=1,a>0,b>0,
所以++=2.
所以+=+=2++≥2+2=4,
所以++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).
(2)方法一:因为a>0,b>0,a+b=1,
所以1+=1+=2+,
同理1+=2+,
所以=
=5+2≥5+4=9.
所以≥9(当且仅当a=b=时等号成立).
方法二:=1+++,
由(1)知,++≥8,
故=1+++≥9.当且仅当a=b=时取等号 .
8.(14分)如图,某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
【解析】设矩形的一边长为 x米,则另一边长为米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为米.
由得4
所以其面积S=(x-4)·=808-≤808-2=808-160=648(平方米).
当且仅当2x=,即x=40∈(4,400)时等号成立.
因此当矩形温室的两边长分别为40米,20米时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是 648平方米.
(15分钟·30分)
1.(4分)某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5 g的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金 ( )
A.大于10 g B.小于10 g
C.大于等于10 g D.小于等于10 g
【解析】选A.设两臂长分别为a,b,两次放入的黄金数是x,y,依题意有ax=5b, by=5a,所以xy=25.因为≥,所以x+y≥10,又a≠b,所以x≠y.所以x+y>10.即两次所得黄金数大于10 g.
2.(4分)已知正实数m,n满足m+n=1,且使+取得最小值.若x=,y=是方程y=xα的解,则α= ( )
A.-1 B. C.2 D.3
【解析】选B.+=(m+n)=1+++16=17++≥17+2 =25当且仅当=,且m+n=1,即m=,n=时,上式取等号,即+取得最小值时,m=,n=,所以=,得α=.
3.(4分)如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是________dm2. ?
【解析】设阴影部分的高为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是y dm2.
由题意,得y=(x+4)-72=8+
2≥8+2×2=56(dm2).
当且仅当x=,即x=12 dm时等号成立.
答案:56
4.(4分)设a+b=2,b>0,则+取最小值时,a的值为________. ?
【解析】因为a+b=2,所以+=+=+=++≥+
2=+1,当且仅当=时等号成立.又a+b=2,b>0,所以当b=-2a,a=-2或b=2a,a=时,+取得最小值.
答案:-2或
5. (14分)已知正数a,b,x,y满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.
【解析】x+y=(x+y)=a+++b=10++.因为x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2=18,即=4.又a+b=10,所以或
1.若a>0,b>0,且a+b=1,则的最小值是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【解析】选A.=+1
=+1=+1≥+1=9.
所以当a=b=时,原式取最小值9.
2.某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
【解析】(1)设每件定价为x元,依题意得
x≥25×8,
整理得x2-65x+1 000≤0,解得25≤x≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解,因为+x≥2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a≥10.2.
所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
关闭Word文档返回原板块
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价 十二
基本不等式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.如图所示,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中错误的是 ( )
A.(a+b)2≥4ab
B.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合
C.(a-b)2≤4ab
D.(a+b)2>(a-b)2
【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和.即有(a+b)2≥4ab;正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2,结合图形可知(a+b)2>(a-b)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.
2.不等式a2+b2≥2|ab|成立时,实数a,b一定是 ( )
A.正数 B.非负数
C.实数 D.不存在
【解析】选C.原不等式可变形为a2+b2-2|ab|=|a|2+|b|2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,对任意实数都成立.
3.(多选题)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有 ( )
A.ab>1 B.ab<1
C.<1 D.>1
【解析】选B、D.因为ab≤,a≠b,所以ab<1,又1== <,所以>1,所以ab<1<.
4.已知0A. B. C. D.
【解析】选A.因为00,则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤3×=,当且仅当x=1-x,即x=时取等号.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知当x=3时,代数式4x+(x>0,a>0)取得最小值,则a=________.?
【解析】4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时等号成立,所以=3,即a=36.
答案:36
6.下列不等式的证明过程:
①若a,b∈R,则+≥2=2.
②若x,y∈R,则|x+|=|x|+≥2.
③若a,b∈R,ab<0,则+=
-≤-2=-2.
其中正确的序号是________.?
【解析】①ab>0时成立,ab<0时不成立.
②当x>0,y<0时,≠|x|+.
③正确.
答案:③
三、解答题(共26分)
7.(12分)(1)x>0时,求x++2的最小值.
(2)0【解析】(1)因为x>0,所以x++2≥2+2=8,当且仅当x=,即x=3时等号成立.即x++2的最小值是8.
(2)因为00,所以2x(5-2x)≤=,当且仅当2x=5-2x,即x=时等号成立,即2x(5-2x)的最大值为.
8.(14分)求t=x+的取值范围.
【解析】当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=即x=1时,“=”成立,所以x+≥2.当x<0时,x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=,即x=-1时,“=”成立.所以x+≤-2.故t=x+的取值范围为{t|t≤-2或t≥2}.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知m=a+(a>2),n=4-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是 ( )
A.m>n B.m【解析】选A.因为a>2,所以a-2>0.
又因为m=a+=(a-2)++2,
所以m≥2+2=4.
由b≠0得b2≠0,
所以4-b2<4,即n<4.所以m>n.
2.(4分)已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b= ( )
A.-3 B.2 C.3 D.8
【解析】选C. 令y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,
所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.
3.(4分)已知x>0,y>0,且满足+=1,则xy的最大值为________,取得最大值时y的值为________. ?
【解析】因为x>0,y>0且1=+≥2,所以xy≤3.当且仅当==即x=,y=2时取等号.
答案:3 2
4.(4分)设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于________. ?
【解析】因为a>0,b>0,所以原不等式可化为:
k≥-(a+b),
所以k≥--2.
因为+≥2,所以--2的最大值为-4.
所以k≥-4,即k的最小值为-4.
答案:-4
5. (14分)设x>-1,求的最小值.
【解析】因为x>-1,所以x+1>0,设x+1=t>0,则x=t-1,于是有:
==
=t++5≥2+5=9.
当且仅当t=,即t=2时取等号,此时x=1.
所以当x=1时,取得最小值是9.
关闭Word文档返回原板块
课件40张PPT。2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式 1.重要不等式与基本不等式【思考】
(1)基本不等式中的a,b只能是具体的某个数吗?
提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式.
(2)基本不等式成立的条件“a,b>0”能省略吗?请举例
说明.
提示:不能,如 是不成立的.(3)若a≠b,基本不等式会怎样?
提示:若a≠b, (a,b>0)中的等号不成立.2.基本不等式与最值
已知x,y都正数,则
(1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值 .
(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值
.【思考】
通过以上结论可以得出,利用基本不等式求最值要注意哪几方面?
提示:求最值时,要注意三个条件,即“一正”,“二定”,“三相等”.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与 成立的条件是相
同的. ( )
(2)当a>0,b>0时,a+b≥2 .( )
(3)当a>0,b>0时,ab≤ .( )
(4)函数y=x+ 的最小值是2. ( )提示:(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;
不等式 成立的条件是a>0,b>0.
(2)√.基本不等式的变形公式.
(3)√.基本不等式的变形公式.
(4)×.当x<0时,x+ 是负数.2.下列不等式正确的是 ( )
【解析】选C.因为a2>0,所以a2+ ≥2成立.3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.?
【解析】当a2+1=2a,即(a-1)2=0时“=”成立,此时a=1.
答案:a=1类型一 对基本不等式的理解
【典例】1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立
的是 ( )
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2
C. D. 2.不等式a+1≥2 (a>0)中等号成立的条件是 ( )
世纪金榜导学号
A.a=0 B.a=
C.a=1 D.a=2【思维·引】利用基本不等式时需注意使用条件.
【解析】1.选D. 对于A项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所
以A项错;对于B,C,条件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b
都小于0时,B,C错误;对于D项,因为ab>0,所以
所以 .2.选C.因为a>0,根据基本不等式 ,当且仅当
a=b时等号成立,故a+1≥2 中当且仅当a=1时等号成
立.【内化·悟】
1.使用基本不等式的前提条件是什么?
提示:a>0,b>0.
2.基本不等式中,等号成立的条件是什么?
提示:a=b.【类题·通】
在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.
一正,a,b均为正数;
二定,不等式一边为定值;
三相等,不等式中的等号能取到,即a=b有解.【习练·破】
设0同样由0 ,综上, .【加练·固】
已知正数0a2+b2,其中最大的一个是 ( )
A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b【解析】选D.因为a,b∈(0,1),a≠b,所以a+b>2 ,
a2+b2>2ab,所以,最大的只能是a2+b2与a+b之一.而a2+b2
-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又01<0,因此a2+b2【典例】1.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为
( )
A.80 B.77 C.81 D.82
2.当x>1时, 的最小值为________. 世纪金榜导
学号?【思维·引】根据已知条件,直接利用基本不等式求最
值.
【解析】1.选C.因为x>0,y>0,所以 ,即xy≤
=81,
当且仅当x=y=9时,(xy)max=81.2.令 ,
因为x-1>0,所以t≥ +2=8,当且仅当x-1=
,即x=4时,t取最小值为8.
答案:8【内化·悟】
能利用基本不等式求最值的题目的原型是什么样的?
提示:一般条件中有“和为定值”或“积为定值”,要求的结论是“积的最大值”或“和的最小值”.【类题·通】
当a>0,b>0时,
1.若a+b=p(和为定值),则当a=b时,积ab有最大值 ,
可以用基本不等式 求得.
2.若ab=S(积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值 ,
可以用基本不等式a+b≥2 求得.
3.不论哪种情况都要注意等号取得的条件.【习练·破】
已知m,n>0,且m+n=16.求 mn的最大值.
【解析】因为m,n>0且m+n=16,所以由基本不等式可得
mn≤ =64,当且仅当m=n=8时,mn取到最大值
64.所以 mn的最大值为32.【加练·固】
已知a>0,b>0,则 +2 的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.5【解析】选C.因为a>0,b>0,
所以 ,
当且仅当 即a=b=1时,等号成立.类型三 间接利用基本不等式求最值
角度1 “不正”问题
【典例】已知x<0,则3x+ 的最大值为________.
世纪金榜导学号?
【思维·引】变形为各项均大于0后利用基本不等式求
最值.【解析】因为x<0,所以-x>0.
则 ,当且仅当
=-3x,即x=-2时,3x+ 取得最大值为-12.
答案:-12【内化·悟】
使用基本不等式的前提条件必须是所给的式子均大于0吗?
提示:当所给式子均小于0,也可以利用基本不等式求最值,但是要注意不等号方向的变化.角度2 “不定”问题
【典例】1.已知x>2,求x+ 的最小值. 世纪金榜导
学号
2.已知0【思维·引】先对式子变形,凑定值后再利用基本不等
式求最值.【解析】1.因为x>2,所以x-2>0,所以 = x-2+
≥ +2=4,所以当且仅当x-2=
(x>2),即x=3时,x+ 的最小值为4.2.因为00,所以 x(1-2x)
,
当且仅当2x=1-2x ,
即x= 时, x(1-2x)的最大值为 .【素养·探】
本例考查利用基本不等式求最值,突出考查了逻辑推理
与数学运算的核心素养.
若把本例1改为:已知x< ,
试求4x-2+ 的最大值.【解析】因为x< ,所以4x-5<0,5-4x>0.
所以4x-5+3+ = ≤
=1.
当且仅当5-4x= 时等号成立,又5-4x>0,
所以5-4x=1,x=1.所以当x=1时,4x-2+ 的最大值是1.【类题·通】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.【习练·破】
已知x>0,求2-x- 的最大值.
【解析】因为x>0,所以x+ ≥4,
所以2-x- =2- ≤2-4=-2,
所以当且仅当x= (x>0),
即x=2时,2-x- 的最大值是-2.课件31张PPT。第2课时
基本不等式的应用 类型一 “常数代换法” 求最值
【典例】若点A(1,1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则
的最小值为________. 世纪金榜导学号?
【思维·引】由已知条件得到m,n的关系,构造基本不
等式求最值.【解析】因为A(1,1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以
m+n=1,而 ≥2+2=4,当且
仅当m=n= 时,取“=”,所以 的最小值为4.
答案:4【内化·悟】
“常数代换法”适合什么样的问题求解?
提示:有条件的求最值问题.【类题·通】
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.【习练·破】
已知x ,y均为正数,且 ,求x +y的最小值.
【解析】x+y=(x+y) ≥10+
=16,
当且仅当 ,即x=4,y=12时取等号,
所以x+y的最小值为16.【加练·固】
若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是
( )
A. B. C.5 D.6【解析】选C.由x+3y=5xy
可得 ,
所以3x+4y=(3x+4y)·
,当且仅当x=1,y= 时取等号,
故3x+4y的最小值是5.类型二 利用基本不等式证明不等式
【典例】1.已知a>0,b>0,c>0,求证: ≥a+b+c.
2.已知a,b,c均大于0,且a+b+c=1,求证: ≥9.
世纪金榜导学号【思维·引】1.转化为证明 ≥2(a+b+c),
利用基本不等式分步证明.
2.将“1”换为a+b+c,转化成积为常数的特点,利用基
本不等式证明.【证明】1.因为a>0,b>0,c>0,所以 ≥2c.
同理: ,
≥2(a+b+c).
故 ≥a+b+c(当且仅当 ,即a=b=c
时等号成立).2.因为a,b,c均大于0,且a+b+c=1,所以
= ≥
3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c= 时,等号成立.【内化·悟】
利用基本不等式证明不等式的关键是什么?
提示:观察所求不等式的特点,逐步转化到可利用基本不等式进行证明.【类题·通】
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.【习练·破】
1.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
【证明】因为a,b,c都是正数,
所以a+b≥2 >0,b+c≥2 >0,c+a≥2 >0,所以
(a+b)(b+c)(c+a)≥2 ·2 ·2 =8abc,即
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,当且仅当a=b=c时等号成立.2.设a>0,b>0,a+b=1,
求证: .【证明】因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,
所以1=a+b≥2 , ≤ ,所以ab≤ 即 ≥4.
因为 ,
.【加练·固】
已知a,b,c为正数,
求证: .【证明】左边
.
因为a,b,c为正数,
所以 (当且仅当a=b时取“=”);
(当且仅当a=c时取“=”);
(当且仅当b=c时取“=”).从而 ≥6(当且仅当a=b=c时取等
号).
所以 -3≥3,
即 .类型三 基本不等式的实际应用
【典例】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130
千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假
设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油 升,
司机的工资是每小时14元. 世纪金榜导学号(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.【思维·引】由题意列出总费用y关于x的表达式,利用
基本不等式求最值.
【解析】(1)设所用时间为t= (h),
y= ×6× +14× ,x∈[50,100].
所以,这次行车总费用y关于x的表达式是
y= ,x∈[50,100].(2)y= ,
当且仅当 ,
即x= 时,等号成立.
又 <50,所以当x=50时,
这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=
×50= 元.【类题·通】
应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法.
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在题目要求的范围内,求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.【习练·破】
如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有36 m长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?【解析】设每间虎笼长x m,宽y m,
则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S,则S=xy.
由于2x+3y≥ ,
所以 ≤18,得xy≤ ,即Smax= ,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由 解得 故每间虎笼长为4.5 m,宽
为3 m时,可使每间虎笼面积最大.