首页
高中语文
高中数学
高中英语
高中物理
高中化学
高中历史
高中道德与法治(政治)
高中地理
高中生物
高中音乐
高中美术
高中体育
高中信息技术
高中通用技术
资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
(新教材)【人教A版】数学必修第一册(课件+课时作业)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
文档属性
名称
(新教材)【人教A版】数学必修第一册(课件+课时作业)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
格式
zip
文件大小
5.9MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2019-09-13 23:01:35
点击下载
文档简介
温馨提示:
此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课堂检测·素养达标
1.不等式3x2-2x+1>0的解集为 ( )
A. B.
C.? D.R
【解析】选D.因为Δ=(-2)2-4×3×1=-8<0,所以抛物线y=3x2-2x+1开口向上,与x轴无交点,故3x2-2x+1>0恒成立,即不等式3x2-2x+1>0的解集为R.
2.若不等式ax2+5x-2>0的解集是,则a的值为 ( )
A.- B.2 C.-2 D.
【解析】选C.因为不等式ax2+5x-2>0的解集为
,
所以,2为方程ax2+5x-2=0的两根,
所以根据根与系数的关系可得
×2=-,所以a=-2.
3.已知0
0的解集为 ( )
A. B.{x|x>a}
C. D.
【解析】选A.方程两根为x1=a,x2=,因为0
a.相应的二次函数图象开口向上,故原不等式的解集为.
4.设集合M={x|x2-x<0},N={x|x2<4},则M与N的关系为________.
【解析】因为M={x|x2-x<0}={x|0
N={x|x2<4}={x|-2
答案:MN
【新情境·新思维】
在R上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2,3),则a+b的值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选C.因为x?y=x(1-y),
所以(x-a)?(x-b)>0
得(x-a)[1-(x-b)]>0,
即(x-a)(x-b-1)<0,
因为不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2,3),
所以x=2和x=3是方程(x-a)(x-b-1)=0的根,即x1=a或x2=1+b,
所以x1+x2=a+b+1=2+3,
所以a+b=4.
关闭Word文档返回原板块
温馨提示:
此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课堂检测·素养达标
1.不等式<0的解集为 ( )
A.{x|x>1} B.{x|x<-2}
C.{x|-2
1或x<-2}
【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,解得-2
2.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,则A∩B等于 ( )
A.{x|-1≤x<0} B.{x|0
C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1}
【解析】选B.因为A={x|-1≤x≤1},
B={x|0
所以A∩B={x|0
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2
(0
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3000≤0,
即x2+50x-30000≥0,
解得x≥150或x≤-200(舍去).
4.不等式x2-2x+1≥0的解集为________.
【解析】x2-2x+1=(x-1)2≥0恒成立.
答案:R
【新情境·新思维】
在R上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x恒成立,则
( )
A.-1
C.-
【解析】选C.依题意得x-a-x2+a2<1恒成立,
即+>0恒成立,
所以a2-a-<0恒成立,解得-
关闭Word文档返回原板块
温馨提示:
此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价 十五
二次函数与一元二次方程、不等式的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列四个不等式中解集为R的是 ( )
A.-x2+x+1≥0 B.x2-2x+>0
C.-2x2+3x-4<0 D.x2+6x+10>0
【解析】选C、D.对于C项,Δ=32-4×8=-23<0.所以-2x2+3x-4<0的解集为R;对于D项,Δ=62-4×10=-4<0.所以x2+6x+10>0的解集为R.
2.关于x的不等式<0的解集为M,若0∈M,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<0 B.m>0
C.m≠0 D.不确定
【解析】选B.因为0∈M,所以<0.所以m>0.
3.不等式<0的解集为 ( )
A.{x|-1
B.{x|1
C.{x|2
D.{x|-1
【解析】选A.原不等式等价于
解得-1
【加练·固】关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则不等式>0的解集为 ( )
A.{x|-1
C.{x|1
【解析】选C.因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),所以a<0,且=1.则不等式>0即<0,解得1
4.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是
( )
A.{x|-2≤x≤2} B.{x|x<2}
C.{x|x<-2} D.{x|-2
【解析】选D.当a=2时,原不等式即为-4<0,恒成立,即a=2满足条件;
当a≠2时,要使不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,
必须
解得-2
综上所述,a的取值范围是-2
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c<0的解集是________,不等式<0的解集是____________.?
【解析】由题图直接可得不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|1
1和2是ax2+bx+c=0的两个根,
所以-=3且=2,
所以b=-3a,c=2a且a>0.
不等式<0等价于(ax+b)(cx+a)<0,
即(x-3)(2x+1)<0,所以-
答案:{x|1
6.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是________.?
【解析】由已知,3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,
化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,
解得x%≥0.2,或x%≤-3.2(舍去).
所以x≥20,即x的最小值为20.
答案:20
三、解答题(共26分)
7.(12分)某单位在对一个长800 m、宽600 m的空地进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围.
【解析】设花坛的宽度为x m,则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥×800×600,整理得x2-700x+60 000≥0,解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,由题意知 x>0,所以0
8.(14分)不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0的解集为R,求m的取值范围.
【解析】当m2-2m-3=0时,即m=3或m=-1.
若m=3,原不等式化为-1<0,恒成立.
原不等式解集为R.
若m=-1,原不等式化为4x-1<0,得x<,原不等式的解集为,不合题意,舍去.
当m2-2m-3≠0时,依题意有
?
?-
综上所述,当-
不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0的解集为R.
(15分钟·30分)
1.(4分)不等式<2的解集为 ( )
A.{x|x≠-2} B.R
C.? D.{x|x<-2或x>2}
【解析】选A.因为x2+x+1=+>0,
所以原不等式可化为x2-2x-2<2(x2+x+1),化简得x2+4x+4>0,
即(x+2)2>0,
所以原不等式的解集为{x|x≠-2}.
2.(4分)设集合P={m|-1
A.P?Q B.Q?P
C.P=Q D.P∩Q=Q
【解析】选A.当m=0时,-4<0对任意实数x∈R恒成立;当m≠0时,由mx2+4mx-4<0对任意实数x∈R恒成立可得.
解得-1
综上所述,Q={m|-1
3.(4分)某地每年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是__________. ?
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
则y=2 400×t%=60(8t-t2).
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
答案:[3,5]
4.(4分)若不等式+m<0的解集为{x|x<3或x>4},则m的值为______. ?
【解析】由+m<0,得<0,即当1+m<0时有(x+m-1)(x+m)>0,其大根为1-m,小根为-m.所以解得m=-3.
答案:-3
5.(14分)当0≤x≤2时,不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2恒成立,试求t的取值范围.
【解析】令y=x2-3x+2,0≤x≤2.
则y=x2-3x+2=-,所以y在[0,2]上取得最小值为-,最大值为2.
若(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2在[0,2]上恒成立,
则即
所以或
所以t的取值范围为-1≤t≤1-.
关闭Word文档返回原板块
温馨提示:
此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价 十四
二次函数与一元二次方程、不等式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4
( )
A.{x|-4
C.{x|-2
【解析】选C.由题意得,M={x|-4
2.(多选题)已知二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2
A.a=-1 B.b=-1
C.a=- D.b=-
【解析】选C、D.由题知a<0且-2,1为方程ax2+bx+1=0的两根,由根与系数的关系可求得
所以a=-,b=-.
3.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是
( )
A.{m|-1
B.{m|-2
C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|m<-1或m>1}
【解析】选C.因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=m2-4>0,解得m>2或m<-2.
4.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解是 ( )
A.x<-n或x>m B.-n
C.x<-m或x>n D.-m
【解析】选B.方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n,因为m+n>0,所以m>-n,结合函数y=(m-x)(n+x)的图象,得原不等式的解是-n
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是________.?
【解析】根据表格求得ax2+bx+c=0的解为x1=-2,x2=3,结合二次函数的图象可知ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}.
答案:{x|x<-2或x>3}
6.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为(1,m),则实数a的值为________,m的值为________.?
【解析】由题意可知1,m是方程ax2-6x+a2=0的两个根且a>0,所以解得
答案:2 2
三、解答题(共26分)
7.(12分)解不等式-1
【解析】原不等式可化为
即即
所以
如图,结合数轴,可得原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0
8.(14分)已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集为, z求不等式qx2+px+1>0的解集.
【解析】因为x2+px+q<0的解集为,
所以x1=-与x2=是方程x2+px+q=0的两个实数根,由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2+px+1>0即为-x2+x+1>0,整理得x2-x-6<0,解得-2
0的解集为{x|-2
(15分钟·30分)
1.(4分)若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的取值范围是 ( )
A.{a|0
C.{a|0
【解析】选D.当a=0时,满足条件.当a≠0时,由得0
所以0≤a≤4.
2.(4分)已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根,则+的最大值为 ( )
A.18 B.19 C. D.不存在
【解析】选A.由方程有两个实数根得,Δ≥0,
即(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0.
解得-4≤k≤-,
又+=(x1+x2)2-2x1x2=-(k+5)2+19,
所以当k=-4时,+有最大值,最大值为18.
3.(4分)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=________. ?
【解析】由x2-2ax-8a2<0,
得(x+2a)(x-4a)<0,因为a>0,则4a>-2a,
所以不等式的解集为(-2a,4a),
即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,
得4a-(-2a)=15,解得a=.
答案:
4.(4分)若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则a的值为________. ?
【解析】若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,如图所示,
则x2-2ax+a=-1有两个相等的实根,所以Δ=4a2-4(a+1)=0,解得a=.
答案:
5.(14分)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B.
(1)A∪B.
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.
【解析】(1)解不等式x2-2x-3<0,
得A={x|-1
解不等式x2+4x-5<0,
得B={x|-5
所以A∪B={x|-5
(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5
解得
所以2x2+x-15<0,
所以不等式解集为.
1.已知不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则y=a2+b2-2b的取值范围是________. ?
【解析】因为不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,
所以a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0,
所以b2≤4a2.
所以y=a2+b2-2b≥+b2-2b=-≥-.
所以y=a2+b2-2b的取值范围是.
答案:
2.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1
0的解集为________. ?
【解析】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1
所以1,2是方程ax2+bx+c=0(a<0)的两根,
则1+2=-,1×2=,即有b=-3a,c=2a,不等式c(2x+1)2+b(2x+1)+a>0即为2a(2x+1)2-3a(2x+1)+a>0,即2(2x+1)2-3(2x+1)+1<0,
即有<2x+1<1,解得-
所以解集为.
答案:
关闭Word文档返回原板块
课件59张PPT。2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式是:
ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).【思考】
(1)不等式x2+ >0是一元二次不等式吗?
提示:不是,一元二次不等式一定为整式不等式.
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗?
提示:不可以,若a=0,就不是二次不等式了.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【思考】
仔细观察上表,回答下列问题
(1)有人说:当Δ>0时,表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗?
提示:x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.(2)当Δ=0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0
(a>0)的解集分别是什么?
提示:R,{x|x=x1}【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( )
(2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+
bx+c>0的解集为R. ( )(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等式f(x)>0的解集不可能为{x|x1
(4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )提示:(1)×.当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2)×.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根.则不等ax2
+bx+c>0的解集为?.
(3)×.当二次项系数小于0时,不等式f(x)>0的解集为{x|x1
A.? B.R
C.{x|x≠1} D.{x|x>1或x<-1}
【解析】选B.因为2x≤x2+1,所以x2-2x+1≥0,所以(x-1)2≥0,所以x∈R.3.不等式(2x-5)(x+3)<0 的解集为______.?
【解析】方程(2x-5)(x+3) =0的两根为x1= ,x2=-3,
函数y=(2x-5)(x+3) 的图象与x轴的交点坐标为(-3,0)
和 ,所以不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为
.
答案: 类型一 解一元二次不等式
【典例】解下列不等式.
(1)3x2-5x-2<0
(2)-3x2+6x≤2
(3)4x2-12x+9>0
(4)-x2+6x-10>0【思维·引】结合二次函数的图象及一元二次方程求解.
【解析】(1)Δ=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,因此方程
3x2-5x-2=0有两个不相等的实数根,解得x1=- ,x2=2,
作出函数y=3x2-5x-2的图象,如图1,结合图象可得原不
等式的解集为 .(2)方程3x2-6x+2=0中,Δ=12>0,所以方程3x2-6x+2=0
有两个不相等的实数根,解得 ,作
出函数y=3x2-6x+2的图象,如图2,结合图象可得原不等式
的解集为 .(3)方程4x2-12x+9=0中,因为Δ=0,所以方程4x2-12x
+9=0有两个相等的实数根,解得x1=x2= ,作出函数
y=4x2-12x+9的图象,如图3,结合图象可得原不等式
的解集为 .(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,在方程x2-6x+10=0中,因为Δ<0,所以方程x2-6x+10=0无实数根,所以原不等式的解集为?.【素养·探】
本例考查解一元二次不等式,同时考查逻辑推理与直观想象的核心素养.
若把本例(2)改为“0≤x2-x-2≤4”,该如何求解?
【思维·引】可以转化为由两个不等式组成的不等式组,再求两个不等式解集的交集.【解析】原不等式可以化为 由①,得x≥2
或x≤-1.由②,得-2≤x≤3.
所以不等式组的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3},
所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3}.【类题·通】
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零.
(2)计算相应的判别式.
(3)当Δ>0时,求出相应的一元二次方程的两根.
(4)根据一元二次不等式解集的结构,写出其解集.【习练·破】
1.(2019·天津高考)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为________.【解析】3x2+x-2<0,即(x+1)(3x-2)<0,即-1
故x的取值范围是
答案:2.解不等式:(1)2x2-3x-2<0.(2)x2-2x+2>0.【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=- ,x2=2.
因为函数是开口向上的抛物线,如图(1),所以不等式的
解集是 .(2)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线,如图(2),所以原不等式的解集为R.【加练·固】
不等式组 的解集为______.?
【解析】由 得
所以0
答案:{x|0
【典例】若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集. 世纪金榜导学号
【思维·引】结合三个“二次”之间的关系求解.【解析】因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可得, 所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0,即x2-2x-15≥0,解得x≤-3或x≥5,
故所求不等式的解集为{x|x≤-3或x≥5}.【内化·悟】
1.一元二次不等式解集与一元二次方程之间有何关系?
提示:一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根.2.不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4}与不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|-3≤x≤4}中,引起解集不同的原因是什么?
提示:a值的正负不同.【类题·通】
给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+
bx+c=0的两实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系.(1)如果不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|d
a<0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=- ,
d·e= ;若解集为{x|x
e},则说明a>0,x1=d,x2=e
分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=- ,d·e= .(2)如果不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|d
a>0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=- ,
d·e= ;若解集为{x|x
e},则说明a<0,x1=d,x2=e
分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=- ,d·e= .【习练·破】
若不等式ax2+bx+c≥0的解集是 ,
求不等式cx2+bx+a<0的解集.【解析】由ax2+bx+c≥0的解集是 知a<0,
又 ×2= <0,则c>0.又- ,2为方程ax2+bx+c=0的两
个根,所以 .
所以 ,所以 .
所以不等式变为 <0,即2ax2+5ax-3a>0.又因为a<0,所以2x2+5x-3<0.所求不等式的解集为
.类型三 解含参数的一元二次不等式
角度1 对“Δ”进行讨论
【典例】解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0. 世纪金榜导学号【思维·引】按照求一元二次不等式的解集的方法求解,由于判别式中含有参数a,因此应注意对判别式进行讨论.【解析】因为Δ=4a2-8,所以Δ<0,即-
不等式对应的方程无实根.又二次函数y=x2-2ax+2的图
象开口向上,所以原不等式的解集为?.
当Δ=0时,即a=± 时,原不等式对应的方程有两个相
等实根.当a= 时,原不等式的解集为{x|x= };
当a=- 时,原不等式的解集为{x|x=- }.当Δ>0,即
a> 或a<- 时,原不等式对应的方程有两个不等实
数,分别为x1=a- ,x2=a+ ,且x1
等式的解集为{x|a- ≤x≤a+ }.综上所述,
当-
当a= 时,原不等式的解集为{x|x= };
当a=- 时,原不等式的解集为{x|x=- };
当a> 或a<- 时,
原不等式的解集为{x|a- ≤x≤a+ }.角度2 对“解的大小”进行讨论
【典例】解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
【思维·引】由于对应的一元二次方程有解,但解的大小不确定,故需要对解的大小进行讨论.【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.
①当a>0时,x1>x2,
不等式的解集为{x|-a
②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;③当a<0时,x1
综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a
当a=0时,原不等式的解集为?;
当a<0时,原不等式的解集为{x|2a
【典例】解关于x的不等式a(x2+1)≥2x. 世纪金榜导学号
【思维·引】由于a为二次项的系数,需要对a是否为0讨论,同时由于a的值不确定,还需要对对应方程的两根的大小进行讨论.【解析】原不等式可化为ax2-2x+a≥0.
(1)当a=0时,不等式化为-2x≥0,解得x≤0.
(2)当a>0时,Δ=4-4a2=4(1-a2).
①0
0,此时方程ax2-2x+a=0有两个不相等的
实数根,x1= ,x2= ,所以此时x≤
或x≥ .②a=1时,不等式化为x2-2x+1≥0,此时x∈R.
③a>1时,Δ<0,也有x∈R.
(3)当a<0时,Δ=4-4a2=4(1-a2).
①-1
0,此时方程ax2-2x+a=0有两个不相等
的实数根,x1= ,x2= ,所以此时 ≤x≤ .②a=-1时不等式化为-x2-2x-1≥0解得x=-1.
③a<-1时,Δ<0,有x∈?.
综上可知:当a<-1时,不等式的解集为?.
当a=-1时,不等式的解集为{x|x=-1}.
当-1
.当a=0时,不等式的解集为{x|x≤0}.
当0
.当a≥1时,不等式的解
集为R.【内化·悟】
解含参数的一元二次不等式的关键是什么?
提示:结合二次项系数和Δ值求解不等式的解集.【类题·通】
解含参数的一元二次不等式的步骤【习练·破】
解关于x的不等式ax2-x>0.
【解析】(1)当a=0时不等式为-x>0,所以x<0,
(2)当a≠0时,方程ax2-x=0的两根为0与 ;
①当a>0时, >0,所以x> 或x<0;
②当a<0时, <0,所以
0,不等式的解集为 ;
当a=0时,不等式的解集为{x|x<0};
当a<0时,不等式的解集为 .【加练·固】
解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).
【解析】原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,
化简为(x+1)(ax-2)≥0.
当a=0时,x≤-1;当a>0时,x≥ 或x≤-1;当-2
当a=-2时,x=-1;当a<-2时,-1≤x≤ .
综上所述,
当a>0时,解集为 ;
当a=0时,解集为 ;当-2
当a=-2时,解集为{x|x=-1};
当a<-2时,解集为 .课件38张PPT。第2课时
二次函数与一元二次方程、不等式的应用 类型一 解简单的分式不等式
【典例】1.不等式 >0的解集是________.?
2.已知关于x的不等式 >0的解集是 ,
则a=________.?
3.解不等式 ≤2.【思维·引】先把分式不等式转化为整式不等式后再
求解.
【解析】1.因为 >0,所以(x-2)(x+4)<0,故-4
答案:{x|-4
0等价于(ax-1)(x+1)>0,
由题意得a>0,且-1和 是方程(ax-1)(x+1)=0的两个根,
所以 =0,所以a=2.
答案:23.移项得 -2≤0,
左边通分并化简得 ,可转化为
所以x<2或x≥5,
所以原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.【内化·悟】
1.解分式不等式的思想方法是什么?
提示:转化思想.
2.解分式不等式要注意什么?
提示:分母不为零.【类题·通】
解分式不等式的关注点
1.解分式不等式的基本思想是转化为整式不等式,根据
是实数运算的符号法则,分式不等式经过同解变形可化
为四种类型,解题思路如下:
(1) >0?f(x)g(x)>0.(2) <0?f(x)g(x)<0.
(3) ≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或
f(x)=0.
(4) ≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或
f(x)=0.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.【习练·破】
不等式 ≥0的解集为 ( )【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(2x+1)>0或x-1=0,
解得x<- 或x>1或x=1,
所以原不等式的解集为 .类型二 一元二次不等式的实际应用
【典例】某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购 a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式.
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】由题意,构建函数关系或不等式解决问题.
【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收
购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%).依题
意:y=200a(1+2x%)(10-x)%= a(100+2x)(10-x)(0
<10).(2)原计划税收为200a·10%=20a(万元).
依题意得: a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%
化简得,x2+40x-84≤0,所以-42≤x≤2.
又因为0
{x|0
解决实际应用问题的一般步骤是什么?
提示:审题,建模,解模,检验作答.【类题·通】
解不等式应用题的四步骤
(1)审:认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)设:引进数学符号,用不等式表示不等关系.
(3)求:解不等式.
(4)答:回答实际问题.特别提醒:确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.【习练·破】
某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄
水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供
水,t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?
最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?【解析】(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则
y=400+60t-120 (0≤t≤24).
令x= ,则t= ,
所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12),
所以当x=6,即t=6时,ymin=40,
即从供水开始到第6小时时,蓄水池水量最少,只有40吨.(2)由已知400+10x2-120x<80,
得x2-12x+32<0,解得4
即4< <8, ,
所以每天约有8小时供水紧张.【加练·固】
有一批净水机原销售价为每台800元,在甲、乙两
家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一
台单价为780元,买两台每台单价都为760元,依次类推,
每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低
不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单
位需购买一批此类净水机,问去哪家商场购买花费较少?【解析】设该单位需购买x台净水机,在甲、乙两商场
的购货款的差价为y元,则因为去甲商场购买共花费
(800-20x)x,据题意,800-20x≥440,所以1≤x≤18,去
乙商场购买共花费600x,x∈N*,
所以y= (x∈N*)= (x∈N*)
得 故若买少于10台,去乙商场花
费较少;若买10台,去甲、乙商场花费一样;若买超过10
台,去甲商场花费较少.类型三 不等式的恒成立问题
角度1 在R上恒成立问题
【典例】若对于一切实数x,不等式mx2-mx-1<0恒成立,求m的取值范围. 世纪金榜导学号
【思维·引】转化为二次项系数符号与判别式符号来解决.【解析】要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0, ?-4
所以-4
本例主要考查不等式的恒成立问题,突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.
本例若把不等式改为“mx2-mx+1>0”,则m的取值范围为________.?【解析】要使mx2-mx+1>0恒成立,
若m=0,显然1>0,满足题意;
若m≠0,则 ?0
答案:{m|0≤m<4}角度2 在给定区间上的恒成立问题
【典例】若x∈{x|1
【思维·引】转化为二次函数问题,结合图象解决.【解析】设y=x2+mx+4,图象开口向上,
因为当x∈{x|1
需满足x=1与x=2时的函数值同时小于或等于0,即
解得m≤-5.【类题·通】
一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法
1.在R上恒成立问题
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立?
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立? 2.在给定区间上的恒成立问题
(1)a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.【习练·破】
已知不等式mx2-2x+m-2<0.若对于任意的实数x不等式恒成立,求m的取值范围.【解析】当m=0时,-2x-2<0,显然对任意x不能恒成立;当m≠0时,
由二次函数的图象可知有
解得m<1- ,故m的取值范围是{m|m<1- }【加练·固】
若不等式x2-2x+m<0对任意x∈{x|1≤x≤2}恒成立,求m的取值范围.【解析】如图,令f(x)=x2-2x+m,f(x)<0对任意x∈{x|1
≤x≤2}恒成立,
需满足 解得m<0.
点击下载
同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
点击下载
VIP下载