(新教材)【人教A版】数学必修第一册(课件+课时作业)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

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名称 (新教材)【人教A版】数学必修第一册(课件+课时作业)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
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文件大小 5.9MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2019-09-13 23:01:35

文档简介

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课堂检测·素养达标
1.不等式3x2-2x+1>0的解集为 (  )
A.       B.
C.? D.R
【解析】选D.因为Δ=(-2)2-4×3×1=-8<0,所以抛物线y=3x2-2x+1开口向上,与x轴无交点,故3x2-2x+1>0恒成立,即不等式3x2-2x+1>0的解集为R.
2.若不等式ax2+5x-2>0的解集是,则a的值为 (  )
A.-   B.2   C.-2   D.
【解析】选C.因为不等式ax2+5x-2>0的解集为
,
所以,2为方程ax2+5x-2=0的两根,
所以根据根与系数的关系可得
×2=-,所以a=-2.
3.已知00的解集为 (  )
A.      B.{x|x>a}
C. D.
【解析】选A.方程两根为x1=a,x2=,因为0a.相应的二次函数图象开口向上,故原不等式的解集为.
4.设集合M={x|x2-x<0},N={x|x2<4},则M与N的关系为________.
【解析】因为M={x|x2-x<0}={x|0N={x|x2<4}={x|-2答案:MN
【新情境·新思维】
在R上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2,3),则a+b的值为 (  )
A.1   B.2   C.4   D.8
【解析】选C.因为x?y=x(1-y),
所以(x-a)?(x-b)>0
得(x-a)[1-(x-b)]>0,
即(x-a)(x-b-1)<0,
因为不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2,3),
所以x=2和x=3是方程(x-a)(x-b-1)=0的根,即x1=a或x2=1+b,
所以x1+x2=a+b+1=2+3,
所以a+b=4.
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课堂检测·素养达标
1.不等式<0的解集为 (  )
A.{x|x>1}       B.{x|x<-2}
C.{x|-21或x<-2}
【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,解得-22.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,则A∩B等于 (  )
A.{x|-1≤x<0} B.{x|0C.{x|0≤x<2}  D.{x|0≤x≤1}
【解析】选B.因为A={x|-1≤x≤1},
B={x|0所以A∩B={x|03.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2
(0A.100台  B.120台
C.150台  D.180台
【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3000≤0,
即x2+50x-30000≥0,
解得x≥150或x≤-200(舍去).
4.不等式x2-2x+1≥0的解集为________.
【解析】x2-2x+1=(x-1)2≥0恒成立.
答案:R
【新情境·新思维】
在R上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x恒成立,则
(  )
A.-1C.-【解析】选C.依题意得x-a-x2+a2<1恒成立,
即+>0恒成立,
所以a2-a-<0恒成立,解得-关闭Word文档返回原板块
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课时素养评价 十五
 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列四个不等式中解集为R的是 (  )
A.-x2+x+1≥0     B.x2-2x+>0
C.-2x2+3x-4<0 D.x2+6x+10>0
【解析】选C、D.对于C项,Δ=32-4×8=-23<0.所以-2x2+3x-4<0的解集为R;对于D项,Δ=62-4×10=-4<0.所以x2+6x+10>0的解集为R.
2.关于x的不等式<0的解集为M,若0∈M,则实数m的取值范围是 (  )
A.m<0 B.m>0
C.m≠0 D.不确定
【解析】选B.因为0∈M,所以<0.所以m>0.
3.不等式<0的解集为 (  )
A.{x|-1B.{x|1C.{x|2D.{x|-1【解析】选A.原不等式等价于
解得-1【加练·固】关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则不等式>0的解集为 (  )
A.{x|-1C.{x|1【解析】选C.因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),所以a<0,且=1.则不等式>0即<0,解得14.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是
(  )
A.{x|-2≤x≤2} B.{x|x<2}
C.{x|x<-2} D.{x|-2【解析】选D.当a=2时,原不等式即为-4<0,恒成立,即a=2满足条件;
当a≠2时,要使不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,
必须
解得-2综上所述,a的取值范围是-2二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c<0的解集是________,不等式<0的解集是____________.?
【解析】由题图直接可得不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|11和2是ax2+bx+c=0的两个根,
所以-=3且=2,
所以b=-3a,c=2a且a>0.
不等式<0等价于(ax+b)(cx+a)<0,
即(x-3)(2x+1)<0,所以-答案:{x|16.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是________.?
【解析】由已知,3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,
化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,
解得x%≥0.2,或x%≤-3.2(舍去).
所以x≥20,即x的最小值为20.
答案:20
三、解答题(共26分)
7.(12分)某单位在对一个长800 m、宽600 m的空地进行绿化时,是这样想的:中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围.
【解析】设花坛的宽度为x m,则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥×800×600,整理得x2-700x+60 000≥0,解不等式得x≥600(舍去)或x≤100,由题意知 x>0,所以08.(14分)不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0的解集为R,求m的取值范围.
【解析】当m2-2m-3=0时,即m=3或m=-1.
若m=3,原不等式化为-1<0,恒成立.
原不等式解集为R.
若m=-1,原不等式化为4x-1<0,得x<,原不等式的解集为,不合题意,舍去.
当m2-2m-3≠0时,依题意有
?
?-综上所述,当-不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0的解集为R.
(15分钟·30分)
1.(4分)不等式<2的解集为 (  )
A.{x|x≠-2}  B.R
C.?    D.{x|x<-2或x>2}
【解析】选A.因为x2+x+1=+>0,
所以原不等式可化为x2-2x-2<2(x2+x+1),化简得x2+4x+4>0,
即(x+2)2>0,
所以原不等式的解集为{x|x≠-2}.
2.(4分)设集合P={m|-1A.P?Q B.Q?P
C.P=Q D.P∩Q=Q
【解析】选A.当m=0时,-4<0对任意实数x∈R恒成立;当m≠0时,由mx2+4mx-4<0对任意实数x∈R恒成立可得.
解得-1综上所述,Q={m|-13.(4分)某地每年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是__________. ?
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
则y=2 400×t%=60(8t-t2).
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
答案:[3,5]
4.(4分)若不等式+m<0的解集为{x|x<3或x>4},则m的值为______. ?
【解析】由+m<0,得<0,即当1+m<0时有(x+m-1)(x+m)>0,其大根为1-m,小根为-m.所以解得m=-3.
答案:-3
5.(14分)当0≤x≤2时,不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2恒成立,试求t的取值范围.
【解析】令y=x2-3x+2,0≤x≤2.
则y=x2-3x+2=-,所以y在[0,2]上取得最小值为-,最大值为2.
若(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2在[0,2]上恒成立,
则即
所以或
所以t的取值范围为-1≤t≤1-.
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课时素养评价 十四
 二次函数与一元二次方程、不等式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4( )
A.{x|-4C.{x|-2【解析】选C.由题意得,M={x|-42.(多选题)已知二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2A.a=-1 B.b=-1
C.a=- D.b=-
【解析】选C、D.由题知a<0且-2,1为方程ax2+bx+1=0的两根,由根与系数的关系可求得
所以a=-,b=-.
3.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是
(  )
A.{m|-1B.{m|-2C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|m<-1或m>1}
【解析】选C.因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=m2-4>0,解得m>2或m<-2.
4.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解是 (  )
A.x<-n或x>m B.-nC.x<-m或x>n D.-m【解析】选B.方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n,因为m+n>0,所以m>-n,结合函数y=(m-x)(n+x)的图象,得原不等式的解是-n二、填空题(每小题4分,共8分)
5.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是________.?
【解析】根据表格求得ax2+bx+c=0的解为x1=-2,x2=3,结合二次函数的图象可知ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}.
答案:{x|x<-2或x>3}
6.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为(1,m),则实数a的值为________,m的值为________.?
【解析】由题意可知1,m是方程ax2-6x+a2=0的两个根且a>0,所以解得
答案:2 2
三、解答题(共26分)
7.(12分)解不等式-1【解析】原不等式可化为
即即
所以
如图,结合数轴,可得原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或08.(14分)已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集为, z求不等式qx2+px+1>0的解集.
【解析】因为x2+px+q<0的解集为,
所以x1=-与x2=是方程x2+px+q=0的两个实数根,由根与系数的关系得
解得
所以不等式qx2+px+1>0即为-x2+x+1>0,整理得x2-x-6<0,解得-20的解集为{x|-2 (15分钟·30分)
1.(4分)若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的取值范围是 (  )
A.{a|0C.{a|0【解析】选D.当a=0时,满足条件.当a≠0时,由得0所以0≤a≤4.
2.(4分)已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根,则+的最大值为 (  )
A.18    B.19    C.    D.不存在
【解析】选A.由方程有两个实数根得,Δ≥0,
即(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0.
解得-4≤k≤-,
又+=(x1+x2)2-2x1x2=-(k+5)2+19,
所以当k=-4时,+有最大值,最大值为18.
3.(4分)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=________. ?
【解析】由x2-2ax-8a2<0,
得(x+2a)(x-4a)<0,因为a>0,则4a>-2a,
所以不等式的解集为(-2a,4a),
即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,
得4a-(-2a)=15,解得a=.
答案:
4.(4分)若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则a的值为________. ?
【解析】若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,如图所示,
则x2-2ax+a=-1有两个相等的实根,所以Δ=4a2-4(a+1)=0,解得a=.
答案:
5.(14分)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B.
(1)A∪B.
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.
【解析】(1)解不等式x2-2x-3<0,
得A={x|-1解不等式x2+4x-5<0,
得B={x|-5所以A∪B={x|-5(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5解得
所以2x2+x-15<0,
所以不等式解集为.
1.已知不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则y=a2+b2-2b的取值范围是________. ?
【解析】因为不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,
所以a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0,
所以b2≤4a2.
所以y=a2+b2-2b≥+b2-2b=-≥-.
所以y=a2+b2-2b的取值范围是.
答案:
2.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|10的解集为________. ?
【解析】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1所以1,2是方程ax2+bx+c=0(a<0)的两根,
则1+2=-,1×2=,即有b=-3a,c=2a,不等式c(2x+1)2+b(2x+1)+a>0即为2a(2x+1)2-3a(2x+1)+a>0,即2(2x+1)2-3(2x+1)+1<0,
即有<2x+1<1,解得-所以解集为.
答案:
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课件59张PPT。2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式是:
ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).【思考】
(1)不等式x2+ >0是一元二次不等式吗?
提示:不是,一元二次不等式一定为整式不等式.
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗?
提示:不可以,若a=0,就不是二次不等式了.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【思考】
仔细观察上表,回答下列问题
(1)有人说:当Δ>0时,表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗?
提示:x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.(2)当Δ=0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0
(a>0)的解集分别是什么?
提示:R,{x|x=x1}【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式. (  )
(2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+
bx+c>0的解集为R. (  )(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等式f(x)>0的解集不可能为{x|x1(4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. (  )提示:(1)×.当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2)×.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根.则不等ax2
+bx+c>0的解集为?.
(3)×.当二次项系数小于0时,不等式f(x)>0的解集为{x|x1A.?         B.R
C.{x|x≠1} D.{x|x>1或x<-1}
【解析】选B.因为2x≤x2+1,所以x2-2x+1≥0,所以(x-1)2≥0,所以x∈R.3.不等式(2x-5)(x+3)<0 的解集为______.?
【解析】方程(2x-5)(x+3) =0的两根为x1= ,x2=-3,
函数y=(2x-5)(x+3) 的图象与x轴的交点坐标为(-3,0)
和 ,所以不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为
.
答案: 类型一 解一元二次不等式
【典例】解下列不等式.
(1)3x2-5x-2<0
(2)-3x2+6x≤2
(3)4x2-12x+9>0
(4)-x2+6x-10>0【思维·引】结合二次函数的图象及一元二次方程求解.
【解析】(1)Δ=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,因此方程
3x2-5x-2=0有两个不相等的实数根,解得x1=- ,x2=2,
作出函数y=3x2-5x-2的图象,如图1,结合图象可得原不
等式的解集为 .(2)方程3x2-6x+2=0中,Δ=12>0,所以方程3x2-6x+2=0
有两个不相等的实数根,解得 ,作
出函数y=3x2-6x+2的图象,如图2,结合图象可得原不等式
的解集为 .(3)方程4x2-12x+9=0中,因为Δ=0,所以方程4x2-12x
+9=0有两个相等的实数根,解得x1=x2= ,作出函数
y=4x2-12x+9的图象,如图3,结合图象可得原不等式
的解集为 .(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,在方程x2-6x+10=0中,因为Δ<0,所以方程x2-6x+10=0无实数根,所以原不等式的解集为?.【素养·探】
本例考查解一元二次不等式,同时考查逻辑推理与直观想象的核心素养.
若把本例(2)改为“0≤x2-x-2≤4”,该如何求解?
【思维·引】可以转化为由两个不等式组成的不等式组,再求两个不等式解集的交集.【解析】原不等式可以化为 由①,得x≥2
或x≤-1.由②,得-2≤x≤3.
所以不等式组的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3},
所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3}.【类题·通】
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零.
(2)计算相应的判别式.
(3)当Δ>0时,求出相应的一元二次方程的两根.
(4)根据一元二次不等式解集的结构,写出其解集.【习练·破】
1.(2019·天津高考)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为________.【解析】3x2+x-2<0,即(x+1)(3x-2)<0,即-1故x的取值范围是
答案:2.解不等式:(1)2x2-3x-2<0.(2)x2-2x+2>0.【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=- ,x2=2.
因为函数是开口向上的抛物线,如图(1),所以不等式的
解集是 .(2)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线,如图(2),所以原不等式的解集为R.【加练·固】
   不等式组 的解集为______.?
【解析】由 得
所以0答案:{x|0【典例】若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集. 世纪金榜导学号
【思维·引】结合三个“二次”之间的关系求解.【解析】因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可得, 所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0,即x2-2x-15≥0,解得x≤-3或x≥5,
故所求不等式的解集为{x|x≤-3或x≥5}.【内化·悟】
1.一元二次不等式解集与一元二次方程之间有何关系?
提示:一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根.2.不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4}与不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|-3≤x≤4}中,引起解集不同的原因是什么?
提示:a值的正负不同.【类题·通】
给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+
bx+c=0的两实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系.(1)如果不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|da<0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=- ,
d·e= ;若解集为{x|xe},则说明a>0,x1=d,x2=e
分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=- ,d·e= .(2)如果不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|da>0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=- ,
d·e= ;若解集为{x|xe},则说明a<0,x1=d,x2=e
分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=- ,d·e= .【习练·破】
若不等式ax2+bx+c≥0的解集是 ,
求不等式cx2+bx+a<0的解集.【解析】由ax2+bx+c≥0的解集是 知a<0,
又 ×2= <0,则c>0.又- ,2为方程ax2+bx+c=0的两
个根,所以 .
所以 ,所以 .
所以不等式变为 <0,即2ax2+5ax-3a>0.又因为a<0,所以2x2+5x-3<0.所求不等式的解集为
.类型三 解含参数的一元二次不等式
角度1 对“Δ”进行讨论
【典例】解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0. 世纪金榜导学号【思维·引】按照求一元二次不等式的解集的方法求解,由于判别式中含有参数a,因此应注意对判别式进行讨论.【解析】因为Δ=4a2-8,所以Δ<0,即- 不等式对应的方程无实根.又二次函数y=x2-2ax+2的图
象开口向上,所以原不等式的解集为?.
当Δ=0时,即a=± 时,原不等式对应的方程有两个相
等实根.当a= 时,原不等式的解集为{x|x= };
当a=- 时,原不等式的解集为{x|x=- }.当Δ>0,即
a> 或a<- 时,原不等式对应的方程有两个不等实
数,分别为x1=a- ,x2=a+ ,且x1等式的解集为{x|a- ≤x≤a+ }.综上所述,
当- 当a= 时,原不等式的解集为{x|x= };
当a=- 时,原不等式的解集为{x|x=- };
当a> 或a<- 时,
原不等式的解集为{x|a- ≤x≤a+ }.角度2 对“解的大小”进行讨论
【典例】解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
【思维·引】由于对应的一元二次方程有解,但解的大小不确定,故需要对解的大小进行讨论.【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.
①当a>0时,x1>x2,
不等式的解集为{x|-a②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;③当a<0时,x1综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a当a=0时,原不等式的解集为?;
当a<0时,原不等式的解集为{x|2a【典例】解关于x的不等式a(x2+1)≥2x. 世纪金榜导学号
【思维·引】由于a为二次项的系数,需要对a是否为0讨论,同时由于a的值不确定,还需要对对应方程的两根的大小进行讨论.【解析】原不等式可化为ax2-2x+a≥0.
(1)当a=0时,不等式化为-2x≥0,解得x≤0.
(2)当a>0时,Δ=4-4a2=4(1-a2).
①00,此时方程ax2-2x+a=0有两个不相等的
实数根,x1= ,x2= ,所以此时x≤
或x≥ .②a=1时,不等式化为x2-2x+1≥0,此时x∈R.
③a>1时,Δ<0,也有x∈R.
(3)当a<0时,Δ=4-4a2=4(1-a2).
①-10,此时方程ax2-2x+a=0有两个不相等
的实数根,x1= ,x2= ,所以此时 ≤x≤ .②a=-1时不等式化为-x2-2x-1≥0解得x=-1.
③a<-1时,Δ<0,有x∈?.
综上可知:当a<-1时,不等式的解集为?.
当a=-1时,不等式的解集为{x|x=-1}.
当-1 .当a=0时,不等式的解集为{x|x≤0}.
当0 .当a≥1时,不等式的解
集为R.【内化·悟】
解含参数的一元二次不等式的关键是什么?
提示:结合二次项系数和Δ值求解不等式的解集.【类题·通】
解含参数的一元二次不等式的步骤【习练·破】
解关于x的不等式ax2-x>0.
【解析】(1)当a=0时不等式为-x>0,所以x<0,
(2)当a≠0时,方程ax2-x=0的两根为0与 ;
①当a>0时, >0,所以x> 或x<0;
②当a<0时, <0,所以 0,不等式的解集为 ;
当a=0时,不等式的解集为{x|x<0};
当a<0时,不等式的解集为 .【加练·固】
   解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).
【解析】原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,
化简为(x+1)(ax-2)≥0.
当a=0时,x≤-1;当a>0时,x≥ 或x≤-1;当-2当a=-2时,x=-1;当a<-2时,-1≤x≤ .
综上所述,
当a>0时,解集为 ;
当a=0时,解集为 ;当-2当a=-2时,解集为{x|x=-1};
当a<-2时,解集为 .课件38张PPT。第2课时
二次函数与一元二次方程、不等式的应用  类型一 解简单的分式不等式
【典例】1.不等式 >0的解集是________.?
2.已知关于x的不等式 >0的解集是 ,
则a=________.?
3.解不等式 ≤2.【思维·引】先把分式不等式转化为整式不等式后再
求解.
【解析】1.因为 >0,所以(x-2)(x+4)<0,故-4答案:{x|-40等价于(ax-1)(x+1)>0,
由题意得a>0,且-1和 是方程(ax-1)(x+1)=0的两个根,
所以 =0,所以a=2.
答案:23.移项得 -2≤0,
左边通分并化简得 ,可转化为
所以x<2或x≥5,
所以原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.【内化·悟】
1.解分式不等式的思想方法是什么?
提示:转化思想.
2.解分式不等式要注意什么?
提示:分母不为零.【类题·通】
解分式不等式的关注点
1.解分式不等式的基本思想是转化为整式不等式,根据
是实数运算的符号法则,分式不等式经过同解变形可化
为四种类型,解题思路如下:
(1) >0?f(x)g(x)>0.(2) <0?f(x)g(x)<0.
(3) ≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或
f(x)=0.
(4) ≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或
f(x)=0.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.【习练·破】
不等式 ≥0的解集为 (  )【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(2x+1)>0或x-1=0,
解得x<- 或x>1或x=1,
所以原不等式的解集为 .类型二 一元二次不等式的实际应用
【典例】某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购 a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式.
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】由题意,构建函数关系或不等式解决问题.
【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收
购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%).依题
意:y=200a(1+2x%)(10-x)%= a(100+2x)(10-x)(0<10).(2)原计划税收为200a·10%=20a(万元).
依题意得: a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%
化简得,x2+40x-84≤0,所以-42≤x≤2.
又因为0{x|0解决实际应用问题的一般步骤是什么?
提示:审题,建模,解模,检验作答.【类题·通】
解不等式应用题的四步骤
(1)审:认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)设:引进数学符号,用不等式表示不等关系.
(3)求:解不等式.
(4)答:回答实际问题.特别提醒:确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.【习练·破】
某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄
水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供
水,t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?
最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?【解析】(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则
y=400+60t-120 (0≤t≤24).
令x= ,则t= ,
所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12),
所以当x=6,即t=6时,ymin=40,
即从供水开始到第6小时时,蓄水池水量最少,只有40吨.(2)由已知400+10x2-120x<80,
得x2-12x+32<0,解得4即4< <8, ,
所以每天约有8小时供水紧张.【加练·固】
   有一批净水机原销售价为每台800元,在甲、乙两
家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一
台单价为780元,买两台每台单价都为760元,依次类推,
每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低
不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单
位需购买一批此类净水机,问去哪家商场购买花费较少?【解析】设该单位需购买x台净水机,在甲、乙两商场
的购货款的差价为y元,则因为去甲商场购买共花费
(800-20x)x,据题意,800-20x≥440,所以1≤x≤18,去
乙商场购买共花费600x,x∈N*,
所以y= (x∈N*)= (x∈N*)
得 故若买少于10台,去乙商场花
费较少;若买10台,去甲、乙商场花费一样;若买超过10
台,去甲商场花费较少.类型三 不等式的恒成立问题
角度1 在R上恒成立问题
【典例】若对于一切实数x,不等式mx2-mx-1<0恒成立,求m的取值范围. 世纪金榜导学号
【思维·引】转化为二次项系数符号与判别式符号来解决.【解析】要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0, ?-4所以-4本例主要考查不等式的恒成立问题,突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.
本例若把不等式改为“mx2-mx+1>0”,则m的取值范围为________.?【解析】要使mx2-mx+1>0恒成立,
若m=0,显然1>0,满足题意;
若m≠0,则 ?0答案:{m|0≤m<4}角度2 在给定区间上的恒成立问题
【典例】若x∈{x|1【思维·引】转化为二次函数问题,结合图象解决.【解析】设y=x2+mx+4,图象开口向上,
因为当x∈{x|1需满足x=1与x=2时的函数值同时小于或等于0,即
解得m≤-5.【类题·通】
一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法
1.在R上恒成立问题
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立?
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立? 2.在给定区间上的恒成立问题
(1)a>0时,ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时小于0.
(2)a<0时,ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y=ax2+bx+c在x=α,x=β时的函数值同时大于0.【习练·破】
已知不等式mx2-2x+m-2<0.若对于任意的实数x不等式恒成立,求m的取值范围.【解析】当m=0时,-2x-2<0,显然对任意x不能恒成立;当m≠0时,
由二次函数的图象可知有
解得m<1- ,故m的取值范围是{m|m<1- }【加练·固】
   若不等式x2-2x+m<0对任意x∈{x|1≤x≤2}恒成立,求m的取值范围.【解析】如图,令f(x)=x2-2x+m,f(x)<0对任意x∈{x|1
≤x≤2}恒成立,
需满足 解得m<0.