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课堂检测·素养达标
1.下列说法正确的是 ( )
A.某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”
B.小明的身高x,小华的身高y,则小明比小华矮表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
【解析】选C.对于A,x应满足x≤2000,故A错;对于B,x,y应满足x
2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则 ( )
A.a>b B.a【解析】选C.a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x)
=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
所以a≥b.
3.用不等式表示下面的不等关系:
(1)a与b的积是非负数:________;
(2)m与n的和大于p:________;
(3)某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间:________.
答案:(1)ab≥0 (2)m+n>p (3)16≤t≤18
4.若x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则x与y的大小关系是______.
【解析】x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,所以x答案:x【新情境·新思维】
设a,b∈R,定义运算“”和“”如下:ab=ab=若mn≥2,pq≤2,则 ( )
A.mn≥4且p+q≤4 B.m+n≥4且pq≤4
C.mn≤4且p+q≥4 D.m+n≤4且pq≤4
【解析】选A.结合定义及mn≥2可得
或
即n≥m≥2或m>n≥2,所以mn≥4;
结合定义及pq≤2可得或
即q所以p+q≤4.
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课堂检测·素养达标
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小是 ( )
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
【解析】选C.令a=5,b=-2满足a+b>0,所以a>-b>b>-a.
2.若a>b>0,cA.> B.<
C.> D.<
【解析】选D.因为c-d>0,即得>>0,又a>b>0,得>,从而有<.
3.已知:a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是 ( )
A.若a>b,c>b,则a>c
B.若a>-b,则c-aC.若a>b,c
D.若a2>b2,则-a<-b
【解析】选B.选项A,若a=4,b=2,c=5,显然不成立;选项C不满足倒数不等式的条件,如a>b>0,c<0b>0时才可以.否则如a=-1,b=0时不成立.
4.若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为______.
【解析】因为-1≤b≤2,所以-2≤-b≤1,又1≤a≤5,
所以-1≤a-b≤6.
答案:[-1,6]
【新情境·新思维】
有外表一样,质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d已知a+b=c+d,
a+d>b+c,a+cA.d>b>a>c B.b>c>d>a
C.d>b>c>a D.c>a>d>b
【解析】选A.因为a+b=c+d,a+d>b+c,
所以2a>2c,即a>c.
因此b所以a综上可得:c关闭Word文档返回原板块
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课时素养评价 十
不等关系与比较大小
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.若x≠2且y≠-1,则M=x2+y2-4x+2y与-5的大小关系是 ( )
A.M>-5 B.M<-5
C.M=-5 D.不能确定
【解析】选A.因为x2+y2-4x+2y-(-5)=(x-2)2+(y+1)2,又x≠2且y≠-1,
所以(x-2)2+(y+1)2>0,故M>-5.
2.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示就是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以x≥95,y>380,z>45.
3.下列命题中,正确的是 ( )
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ac>bc,则a>b
C.若<,则aD.若a>b,c>d,则a-c>b-d
【解析】选C.A:取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;B:当c<0时,ac>bc?a0,所以a4.(多选题)已知三个不等式:①ab>0,②>,③bc>ad.则下列结论正确的是
( )
A.①③?② B.①②?③
C.②③?① D.B选项错误
【解析】选A、B、C.不等式②作等价变形>?>0,由ab>0,bc>ad可得②成立,即①③?②;若ab>0,>0,则bc>ad,故①②?③;若 bc>ad,>0则 ab>0,故②③?①.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足的条件为________.?
【解析】若x>y,则x-y=a2b2+5-(2ab-a2-4a)=a2b2-2ab+a2+4a+5=(ab-1)2+(a+2)2>0,所以ab≠1或a≠-2.
答案:ab≠1或a≠-2
6.一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为________;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为________.?
【解析】原来每天行驶x km,现在每天行驶(x+19) km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”,写成不等式为8(x+19)>2 200.
若每天行驶(x-12) km,则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9.
答案:8(x+19)>2 200 >9
【加练·固】用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组为______.?
【解析】依题意得,第二次钉子没有全部进入木板,第三次全部进入木板,
所以(k∈N*).
答案:(k∈N*)
三、解答题(共26分)
7.(12分)某厂使用两种零件A,B组配甲、乙两种产品,该厂每月最多生产甲产品2 500件,乙产品1 200件,组装一件甲产品,需要4个A零件,2个B零件;一件乙产品需要6个A零件,8个B零件.某个月,该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000个.请写出满足上述所有不等关系的不等式.
【解析】设这个月生产x件甲产品,y件乙产品,
则:即
8.(14分)(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小.
(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
【解析】(1)-===
=.
因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.所以>0,即>.
(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为≥0,
所以+≥>0,
所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,
所以2x2+5x+3>x2+4x+2.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知x>y>z,且x+y+z=0,则下列不等式中成立的是 ( )
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
【解析】选C.因为x>y>z,x+y+z=0,
所以3x>x+y+z=0,3z所以x>0,z<0.由得xy>xz.
2.(4分)已知a1,a2∈(1,+∞),设P=+,Q=+1,则P与Q的大小关系为 ( )
A.P>Q B.PC.P=Q D.不确定
【解析】选B.P-Q=-
=-=
=,
因为a1,a2∈(1,+∞),
所以a1-1>0,1-a2<0,a1a2>0,
所以P-Q=<0,
所以P3.(4分)下列各组代数式的关系正确的是______.(填序号) ?
①x2+5x+6<2x2+5x+9;
②(x-3)2<(x-2)(x-4);
③当x>1时,x3>x2-x+1;
④x2+y2+1>2(x+y-1).
【解析】 ①2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
即x2+5x+6<2x2+5x+9;
②(x-2)(x-4)-(x-3)2
=x2-6x+8-(x2-6x+9)=-1<0,
即(x-2)(x-4)<(x-3)2;
③当x>1时,x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)>0,即x3>x2-x+1;
④x2+y2+1-2(x+y-1)=(x2-2x+1)+(y2-2y+1)+1=(x-1)2+(y-1)2+1>0,
即x2+y2+1>2(x+y-1).
答案: ①③④
4.(4分)甲、乙两工厂2015年元月份产值相同,甲厂的产值逐月增加,且每月增加的产值相等,乙厂的产值也逐月增加,且每月增长的百分率相等,已知2016年元月份两厂的产值相等,则2015年7月份产值高的工厂是________厂.(填“甲”或“乙”) ?
【解析】设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a,乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x,由题意得1+12a=1×(1+x)12 ①,7月份甲的产值为1+6a,7月份乙的产值为1×(1+x)6,由①知(1+x)6=,即7月份乙的产值为,因为(1+6a)2-()2=36a2>0,所以1+6a>,即7月份甲的产值大于乙的产值.
答案:甲
5.(14分)若a≥1,比较-与-的大小.
【解析】因为(-)-(-)
=-
=
=<0,
所以-<-.
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课时素养评价 十一
不等式的性质
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.下列命题中正确的是 ( )
A.若ac>bc,则a>b B.若a2>b2,则a>b
C.若 >,则a>b D.若<,则a>b
【解析】选C.对于A,c>0时,结论成立,故A不正确;对于B,a=-2,b=-1,满足a2>b2,但a2.(多选题)已知<<0,给出下列四个结论:
①a|b|;④ab其中正确结论的序号是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选B、D.因为<<0,所以b0,所以a+b|b|不成立;④ab-b2= b(a-b),因为b0,即ab-b2=b(a-b)<0,所以ab3.若α,β满足-<α<β <,则2α-β的取值范围是 ( )
A.-π<2α-β <0
B.-π<2α-β <π
C.-<2α-β <
D.0<2α-β <π
【解析】选C.因为-<α<,所以-π<2α<π,又-<β <,所以-<-β <,所以-<2α-β <.又α-β <0,α<,所以2α-β <,故-<2α-β <.
4.已知a>b>c,则++的值 ( )
A.为正数 B.为非正数
C.为非负数 D.不确定
【解析】选A.因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以>0,>0, <,所以+>0,所以++>0,所以++的值为正数.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知c>a>b>0,则__?.(填“>”“<”或“=”)
【解析】因为c>a,所以c-a>0,又因为a>b,所以>.
答案:>
6.某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:
产品种类
每件需要人员数
每件产值/万元
A类
7.5
B类
6
今制定计划欲使总产值最高,则应开发A类电子器件________件,能使总产值最高为________万元.?
【解析】设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件,则+≤20,解得x≤20.由题意得总产值:y=7.5x+6(50-x)=300+1.5x ≤330(万元)
当且仅当x=20时,y取最大值330.
答案:20 330
三、解答题
7.(16分)已知a≠1且a∈R,试比较与1+a的大小.
【解析】因为-(1+a)=,
①当a=0时,=0,所以=1+a.
②当a<1,且a≠0时,>0,所以>1+a.
③当a>1时,<0,所以<1+a.
【加练·固】已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的取值范围.
【解析】设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,则有解得
所以3a-2b=(a+b)+(a-b).
因为≤(a+b)≤,-≤(a-b)≤,
所以-2≤3a-2b≤10,即3a-2b的范围是[-2,10].
(15分钟·30分)
1.(4分)若a>0>b>-a,c(1)ad>bc;(2)+<0;(3)a-c>b-d;
(4)a(d-c)>b(d-c).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.因为a>0>b,c所以ad<0,bc>0,所以ad因为a>0>b>-a,所以a>-b>0.
因为c-d>0,
所以a(-c)>(-b)(-d),所以ac+bd<0,
所以+=<0,
所以(2)正确.因为c所以-c>-d.因为a>b,
所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d,
所以(3)正确.因为a>b,d-c>0,
所以a(d-c)>b(d-c),(4)正确.
2.(4分)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
【解析】选A.c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,
所以c≥b,已知两式作差得2b=2+2a2,
即b=1+a2,
所以b-a=1+a2-a=+>0,
所以1+a2>a,所以b=1+a2>a,所以c≥b>a.
3.(4分)若A=+3与B=+2,则A______B(用“>”“<”“≥”“≤”或“=”填空). ?
【解析】A-B=+3-=+≥>0,所以A>B.
答案:>
4.(4分)三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,则的取值范围是________. ?
【解析】两个不等式同时除以a,得
将②×(-1)得
两式相加,得1-≤-1≤2-,
解得≤≤.
答案:
5.(14分)有三个实数m,a,b(a≠b),如果在a2(m-b)+m2b中,把a和b互换,所得的代数式的值比原式的值小,那么关系式a【解析】不妨设P=a2(m-b)+m2b,
Q=b2(m-a)+m2a.
由题意知Q(a-b)m2+(b2-a2)m+ab(a-b)<0.
所以(a-b)(m-a)(m-b)<0.(*)
若ab或m关闭Word文档返回原板块
课件41张PPT。第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与比较大小 1.不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点.
(1)不等符号<,>,≤,≥或≠.
(2)所表示的关系是不等关系.【思考】
(1)不等号“≤,≥”的读法分别是什么?
提示:“≤”读作小于或者等于,“≥”读作大于或者等于.(2)不等式“a≤b”的含义是什么?只有当“a提示:不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“a(1)在比较两实数a,b大小的依据中,a,b两数是任意实数吗?
提示:是.
(2)若“b-a>0”,则a,b的大小关系是怎样的?
提示:b>a.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( )
(2)若x2=0,则x≥0. ( )
(3)若x-1≤0,则x<1. ( )(4)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a2或x=2,即x不小于2.
(2)√. 若x2=0,则x=0,所以x≥0成立.
(3)×. 若x-1≤0,则x<1或者x=1,即x≤1.
(4)√.任意两数之间,有且只有a>b,a=b,a( )
A.T<40 B.T>40
C.T≤40 D.T≥40
【解析】选C.“限重40吨”是不超过40吨的意思.3.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为________.?
【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,所以x-2<0,x-1
<0,所以x2+2-3x>0,所以x2+2>3x.
答案:x2+2>3x类型一 利用不等式(组)表示不等关系
【典例】1.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,使汽车速度v不超过40 km/h ,用不等关系表示速度的限制为________.?2.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.【思维·引】读懂题意,找出不等关系,并用不等式(组)表示出来.
【解析】1.“不超过”即“小于或等于”,所以v≤
40 km/h.
答案:v≤40 km/h2.由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所
以0这时菜园的另一条边长为 (m).
因此菜园面积S= ,
依题意有S≥110,即 ≥110,故该题中的不等关系可用不等式组表示为【内化·悟】
利用不等式(组)表示不等关系问题的解题“切入点”是什么?
提示:找出题目中描述不等关系的语句,分析清楚所关联的量,用不等号连接起来.【类题·通】
1.将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意,找准不等式所关联的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换【习练·破】
某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,且有9名驾驶员,此车队每天至少需要运360t矿石至冶炼厂,已知甲型卡车每天可往返6次,乙型卡车每天可往返8次,试写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,
则 即 【加练·固】
某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法,增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就可能相应减少10件,若把提价后商品的售价设为x元,怎样用不等式表示每天的利润不低于300元?【解析】提价后商品的售价为x元,
则销售量减少 件,
因此每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元,
则“每天的利润不低于300元”可用不等式表示为
(x-8)[100-10(x-10)]≥300.类型二 作差法比较大小
【典例】比较下列各式的大小:
(1)当x≤1时,比较3x3与3x2-x+1的大小.
(2)当x,y,z∈R时,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小. 世纪金榜导学号【思维·引】利用作差法比较,先作差、化简,再判断差的符号.
【解析】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)
=3x2(x-1)+(x-1)
=(3x2+1)(x-1).因为x≤1,所以x-1≤0,而3x2+1>0.
所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.
(2) 因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,
当且仅当x=y= 且z=1时取到等号.【素养·探】
本例考查作差法比较大小,突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.
本例(1)中,若把条件“x≤1”去掉,试比较所给两式的大小.【解析】去掉条件“x≤1”后需对差的符号进行讨论.
显然3x2+1>0,所以
当x<1时,(3x2+1)(x-1)<0,所以3x3<3x2-x+1;
当x=1时,(3x2+1)(x-1)=0,所以3x3=3x2-x+1;
当x>1时,(3x2+1)(x-1)>0,所以3x3>3x2-x+1.【类题·通】
作差法比较大小的步骤【发散·拓】中间值法比较大小
如果所给式子作差后无法因式分解,不能判断差的符号,可尝试中间值法比较大小.利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值,通过它们的有界性来寻找中间值作媒介,以达到传递的目的.【延伸·练】已知x∈R,试比较2x2-3x+3与 的大
小.
【解析】因为2x2-3x+3= ≥ >1,
2x+2-x=( )2+2≥2,
所以 ≤1,
所以2x2-3x+3> .【习练·破】
已知x,y∈R,P=2x2-xy+1,Q=2x- ,试比较P,Q的大小.
【解析】因为P-Q=2x2-xy+1- =x2-xy+ +x2-2x
+1= +(x-1)2≥0,
所以P≥Q.【加练·固】
比较下列各组中两个代数式的大小:
(1)x2+3与2x.
(2)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.【解析】(1)(x2+3)-2x=x2-2x+3
=(x-1)2+2≥2>0,
所以x2+3>2x.
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b),因为a>0,b>0,且a≠b,
所以(a-b)2>0,a+b>0.
所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,
即a3+b3>a2b+ab2.类型 比较大小在实际问题中的应用
【实际情境】
某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队
说:“如果领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”,
乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两
车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数,比
较两车队的收费哪家更优惠.【转化模板】
1. —由题意可得甲、乙两车队收费与乘车人数的表
达式,要比较哪个车队收费更优惠,可依据作差法模型
解决.
2. —设该单位职工有n人(n∈N*),一张全票价为x元,
坐甲车队的车需花y1元,坐乙车队的车需花y2元.3. —当n取不同的正整数值时,比较y1与y2的大小.
4. —由题意,y1=x+ x·(n-1)= x+ nx,y2= nx.
因为y1-y2= x+ nx- nx= x- nx= x ,
当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1当n<5时,y1>y2.5. —当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多
于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.课件47张PPT。第2课时
不等式的性质 不等式的性质
性质1 a>b?b性质2 a>b,b>c?a>c;(传递性)
性质3 a>b?a+c>b+c;(同加保序性)
推论:a+b>c?a>c-b;(移项法则)性质4 a>b,c>0?ac>bc,(乘正保序性)a>b,c<0?ac
性质5 a>b,c>d?a+c>b+d;(同向相加保序性)
性质6 a>b>0,c>d>0?ac>bd;(正数同向相乘保序性)
性质7 a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2);(非负乘方保序性)【思考】
(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则?
提示:移项法则.(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数,不改变不等号的方向,对吗?为什么?
提示:不对.要看两边同乘以的数的符号,同乘以正数,不改变不等号的方向,但是同乘以负数时,要改变不等号的方向.
(3)使用性质6,7时,要注意什么条件?
提示:各个数均为正数.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若a>b,则ac2>bc2. ( )
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的. ( )
(3)设a,b∈R,且a>b,则a3>b3. ( )
(4)若a+c>b+d,则a>b,c>d. ( )提示:(1)×. 由不等式的性质,ac2>bc2?a>b;反之,c=
0时,a>b ac2>bc2.
(2)×.相乘需要看是否 而相加与正、负和零均
无关系.
(3)√.符合不等式的可乘方性.(4)×.取a=4,c=5,b=6,d=2,满足a+c>b+d,但不满足a>b,故此说法错误.2.设bA.a-c>b-d B.ac>bd
C.a+c>b+d D.a+d>b+c
【解析】选C.因为bA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
【解析】选B.因为xa2;不等号两边同时乘x,则x2>ax,故x2>ax>a2.类型一 利用不等式的性质判断命题真假
【典例】下列命题中一定正确的是 ( )
A.aB.若a>b,b≠0,则 >1
C.若a>b,且a+c>b+d,则c>d
D.若a>b且ac>bd,则c>d【思维·引】利用不等式的性质和特殊值检验求解.
【解析】选A.对于A项,因为 < ,所以 - <0,
即 <0,又a0,所以ab<0;对于B项,当
a>0,b<0时,有 <0<1,故B项错;对于C项,当a=10,b=3
时,虽有10+1>3+2,但1<2,故C项错;对于D项,当a=-1,
b=-2时,有(-1)×(-1)>(-2)×7,但-1<7,故D项错.【类题·通】
运用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能随意捏造性质.(2)解有关不等式选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.【发散·拓】倒数的性质
(1)若a>b>0,则 .
(2)若0>a>b,则 .
即:a>b,ab>0? .【延伸·练】对于实数a,b,c,下列不等式中成立的是
( )
A.若a>b,则
B.若a>b>0,则
C.若aD.若a>b, ,则a>0,b<0【解析】选D.当a>0>b时, ,故A不成立;
当a>b>0,有 ,故B不成立;
? ,
故C不成立; ?ab<0,
因为a>b,所以a>0且b<0,故D成立.【习练·破】
若a>b>c,则下列不等式成立的是 ( )
A. B.
C.ac>bc D.acb>c,
所以a-c>b-c>0.
所以 .【加练·固】
设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A. B.
C.a2>2b D.a>b2【解析】选D.A错,例如a=2,b=- 时, = , =-2,
此时, ;
B错,例如a=2,b= 时, = , =2,
此时, ;
C错,例如a= ,b= 时,a2= ,2b= ,
此时a2<2b;由a>1,b2<1得a>b2.类型二 利用不等式的性质证明不等式
角度1 基本性质法
【典例】已知a>b>0,c 世纪金榜导学号
【思维·引】可以利用不等式的性质进行证明,也可以
作差进行证明.【证明】(方法一)因为c-d>0,因为a>b>0,
所以a-c>b-d>0, 所以0< ,又因为e<0,所以
.
(方法二) ,
因为a>b>0,c-d>0,所以a-c>0,b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,所以 >0,所以
.【素养·探】
本题主要考查不等式的基本性质,同时考查了逻辑推理
的核心素养.
题目中条件不变,求证改为 ,请证明.【证明】因为c-d>0,因为a>b>0,所以a-
c>b-d>0,所以(a-c)2>(b-d)2>0,所以0< ,
又e<0,所以 . 角度2 作差法
【典例】若a<0,b<0,p= ,q=a+b.
求证:p≤q. 世纪金榜导学号
【思维·引】利用作差法证明.【证明】p-q= -a-b
= =(b2-a2)·
= .
因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,故p=q;
若a≠b,则p-q<0,故p1.利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,再者利用性质时要注意性质适用的前提条件.2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样,变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.【习练·破】
已知a,b,c∈R,求证:
a2+b2+c2≥ab+bc+ca.【证明】因为2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)
=a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac
=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,又a,b,c∈R,
所以(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(a-c)2≥0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0.当且仅当a=b=c时,取“=”,所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),
即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.【加练·固】
已知a,b,x,y∈(0,+∞)且 ,x>y,求证:
.【证明】 .
因为 且a,b∈(0,+∞),所以b>a>0,
又因为x>y>0,所以bx>ay>0,
所以 >0,所以 .类型三 利用不等式的性质求范围
【典例】已知-1(1)求x-y的取值范围.
(2)求3x+2y的取值范围.
【思维·引】(1)由y的范围可推出-y的范围,进而将x-y转化为x+(-y)来求范围.
(2)先求3x范围,再求2y范围,最后求3x+2y的范围.【解析】(1)因为-1所以-3<-y<-2,
所以-4(2)由-1所以1<3x+2y<18.【素养·探】
本题主要考查不等式的性质,突出考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
若将本例条件改为-1则
所以
即3x+2y= (x+y)+ (x-y),
又因为-1所以- < (x+y)+ (x-y)< ,
即- <3x+2y< ,所以3x+2y的取值范围为 .【类题·通】
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.【习练·破】
已知12【解析】因为15所以-36<-b<-15,
所以12-36因为15所以 ,
即 .【加练·固】
已知- ≤α<β≤ ,试求 的取值范围.【解析】因为 .
所以 ,
所以 ,
所以 .又α<β,
所以 <0,所以 <0.