课件46张PPT。1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.命题的否定
(1)定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“﹁p”，读作“非p”或“p的否定”.
(2)结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然.2.存在量词命题的否定3.全称量词命题的否定【思考】
用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)命题﹁p的否定是p. ( )
(2)?x∈M，p(x)与?x∈M，﹁p(x)的真假性
相反. ( )(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定. ( )提示：(1)√.命题p与﹁p互为否定.
(2)√.存在量词命题p与其否定﹁p一真一假.
(3)×.尽管存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”.2.设命题p：?x∈(-1，1)，|x|<1，则﹁p为 ( )
A.?x∈(-1，1)，|x|<1
B.?x∈(-1，1)，|x|≥1
C.?x∈(-1，1)，|x|≥1
D.?x?(-1，1)，|x|≥1【解析】选B.命题p是全称量词命题，其否定﹁p为?x∈(-1，1)，|x|≥1.3.设命题p：有些三角形是直角三角形，则﹁p为________ .?
【解析】命题p是存在量词命题，﹁p为任意三角形不是直角三角形.
答案：任意三角形不是直角三角形类型一 存在量词命题的否定
【典例】1.命题p：?x>0，x+ =2，则﹁p为 ( )
A.?x>0，x+ =2 B.?x>0，x+ ≠2
C.?x≤0，x+ =2 D.?x≤0，x+ ≠22.已知命题p：存在k∈R，使得函数y=(k-3)x+k的图象不经过定点M，若命题p是假命题，则点M的坐标为________.?3.写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：有些实数的绝对值是正数.
(2)q：某些平行四边形是菱形.
(3)r：?x∈R，x2+1<0.
(4)s：?x，y∈Z，使得 x+y=3.【思维·引】1.一方面要改变量词，另一方面要否定结论.
2.依据原命题和其否定一真一假解答.
3.找准量词和结论，分别进行改变和否定.【解析】1.选B.该命题的否定﹁p：?x>0，x+ ≠2.
2.因为命题p是假命题，所以﹁p是真命题，即任意
k∈R，使得函数y=(k-3)x+k的图象经过定点M，易知
点M的坐标为(-1，3).
答案：(-1，3)3.(1)﹁p：“所有实数的绝对值都不是正数”，由p是真命题可知﹁p是假命题.
(2)﹁q：“每一个平行四边形都不是菱形”.由q是真命题可知﹁q是假命题.(3)﹁r：“?x∈R，x2+1≥0”.因为?x∈R，x2≥0，
所以x2+1≥0”，所以﹁r是真命题.
(4)﹁s：“?x，y∈Z， x+y≠3”，由s是真命题
可知﹁s是假命题.【内化·悟】
写出存在量词命题的否定后，如何检验是否正确？
提示：一方面检查是否改写了量词和否定了结论，另一方面可以依据原命题和其否定一真一假检验.【类题·通】
1.对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词.
(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.2.存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可. 【习练·破】
写出这些命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：某些梯形的对角线互相平分.
(2)q：存在一个x∈R，使 =0.
(3)r：在同圆中，有的等弧所对的圆周角不相等.
(4)s：存在k∈R，函数y=kx+b随x的值增大而减小.【解析】(1)﹁p：任意一个梯形的对角线都不互相
平分.由p是真命题可知﹁p是假命题.
(2) ﹁q：任意x∈R，使 ≠0，由q是假命题可知
﹁q是真命题.(3) ﹁r：在同圆中，任意等弧所对的圆周角相等.由r是假命题可知﹁r为真命题.
(4) ﹁s：任意k∈R，函数y=kx+b随x的值增大而增大或不变.当k<0时，函数y=kx+b随x的值增大而减小，所以s是真命题，﹁s是假命题.【加练·固】
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定.
(1)有一个奇数不能被3整除.
(2)?x∈Z，x2与3的和不等于0.
(3)有些三角形的三个内角都为60°.
(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解析】(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除.
(2)是全称量词命题，否定为：?x∈Z，x2与3的和等于0.
(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.类型二 全称量词命题的否定
【典例】1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.
若命题p：?x∈A，2x∈B，则 ( )
A.﹁p：?x∈A，2x?B B. ﹁p：?x?A，2x?B
C. ﹁p：?x?A，2x∈B D. ﹁p：?x∈A，2x?B2.写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假： 世纪金榜导学号
(1)p：对所有正数x， >x+1.
(2)q：任何一个实数除以1，仍等于这个数.
(3)r：所有被5整除的整数都是奇数.
(4)s：任意两个等边三角形都相似.【思维·引】1.命题p中的量词是“?”，命题的结论是“2x∈B”，改量词，否定结论即可.
2.全称量词改为存在量词，同时否定结论即可.【解析】1.选D.命题p的否定为﹁p：?x∈A，2x?B.
2.(1)﹁p：存在正数x， ≤x+1.例如当x=0时，
(2)﹁q：存在一个实数除以1，不等于这个数.由q是
真命题可知﹁q是假命题.(3)﹁r：存在一个被5整除的整数不是奇数. 例如10是能被5整除的整数且不是奇数，所以﹁r是真命题.
(4)﹁s：存在两个等边三角形，它们不相似.由s是真命题可知﹁s是假命题.【素养·探】
在全称量词命题的否定问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，依据全称量词命题的否定是存在量词命题解题，训练推理、论证的能力.将本例1中命题p改为“?x?A，2x∈B”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】将量词“?”换为“?”，结论否定即可，即其否定为：?x?A，2x?B”. 【类题·通】
1.对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词.
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.2.全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可.【发散·拓】
常见的词语的否定有哪些？【延伸·练】已知全集U=R，A?U，B?U，如果命题
p： ∈A∪B，则命题﹁p是________.?【解析】因为p： ∈A∪B，
所以﹁p： ?A且 ?B，
即﹁p： ∈(?UA)∩(?UB).
答案： ∈(?UA)∩(?UB)【习练·破】
写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：?x∈{-2，-1，0，1，2}，|x-2|≥2.
(2)q：?x∈R，x3+1≠0.
(3)r：所有分数都是有理数.
(4)s：每一个四边形的四个顶点共圆.【解析】(1) ﹁p：?x∈{-2，-1，0，1，2}，|x-2|<2.
例如当x=2时，|x-2|=0<2，﹁p是真命题.
(2)﹁q：?x∈R，x3+1=0.例如当x=-1时，x3+1=0，
所以﹁q是真命题.(3)﹁r：存在一个分数不是有理数.由r是真命题可知﹁r是假命题.
(4)﹁s：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.例如两组对角分别为30°和150°的菱形的四个顶点不共圆，所以﹁s是真命题.【加练·固】
写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：被8整除的数能被4整除.
(2)q：所有二次函数的图象关于y轴对称.
(3)r：实数都能写成小数形式.
(4)s：方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.【解析】(1)﹁p：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.由p是真命题可知﹁p是假命题.
(2)﹁q：存在一个二次函数，它的图象不关于y轴对称.例如二次函数y=x2+x的图象不关于y轴对称，所以﹁q是真命题.(3)﹁r：存在一个实数不能写成小数形式.由r是真命题可知﹁r是假命题.
(4)﹁s：方程x2-8x-10=0至少有一个根是奇数.方程x2-8x-10=0的两个根都是无理数，不是奇数，所以s是真命题，﹁s是假命题.温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.命题“负数的平方是正数”的否定是 ( )
A.负数的平方不是正数
B.有些负数的平方是正数
C.所有负数的平方不是正数
D.有些负数的平方不是正数
【解析】选D.该命题的否定：有些负数的平方不是正数.
2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 ( )
A.?x∈R，|x|>0 B.?x∈R，|x|>0
C.?x∈R，|x|≤0 D.?x∈R，|x|≤0
【解析】选C.由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，而命题的否定只否定结论.
3.命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________.?
【解析】该命题的否定：所有三角形的中线不相等.
答案：所有三角形的中线不相等
4.“?x>0，x2+1>|x+1|”的否定是________.?
【解析】根据含有量词的命题的否定的规则，可写出：?x>0，使x2+1≤|x+1|.
答案：?x>0，使x2+1≤|x+1|
【新情境·新思维】
设集合A={1，2，4，6，8，10，12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：?n∈A，n<12.
(2)q：?n∈{x|x是奇数}，n∈A.
【解析】(1)p：?n∈A，n≥12.因为当n=12时，p成立，所以p是真命题.
(2)q：?n∈{x|x是奇数}，n?A.q是假命题.
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课时素养评价
七 全称量词命题与存在量词命题的否定
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.命题“?x∈R，x2=x”的否定是 ( )
A.?x∈R，x2≠x B.?x∈R，x2=x
C.?x?R，x2≠x D.?x∈R，x2≠x
【解析】选D.该命题的否定：?x∈R，x2≠x.
2.已知命题p：?x，y∈Z，x2+y2=2015，则p为 ( )
A.?x，y∈Z，x2+y2≠2015
B.?x，y∈Z，x2+y2≠2015
C.?x，y∈Z，x2+y2=2015
D.不存在x，y∈Z，x2+y2=2015
【解析】选A.含有存在量词的命题的否定，只需将存在量词改为全称量词，再将结论否定即可.所以p为?x，y∈Z，x2+y2≠2015.
3.设命题p：?x∈Q，x2∈Q，则 ( )
A.p为真命题
B.p：?x∈Q，x2?Q
C.p：?x?Q，x2∈Q
D.p：?x∈Q，x2?Q
【解析】选D.因为命题p为真命题，所以命题p的否定为假命题，p：?x∈Q，x2?Q.
4.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是 ( )
A.p：所有四边形的内角和都是360°
B.q：?x∈R，x2+2x+2≤0
C.r：?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D.s：对所有实数a，都有|a|>0
【解析】选B、D.A.p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题.
B.q：?x∈R，x2+2x+2>0，真命题，这是由于?x∈R，x2+2x+2=(x +1)2+1≥1>0恒成立.
C.r：?x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题.
D.s：存在实数a，使|a|≤0，真命题.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.命题“?x>-1，x2+x-2019>0”的否定是________.?
【解析】已知命题是存在量词命题，其否定为“?x>-1，x2+x-2019≤0”.
答案：?x>-1，x2+x-2019≤0
【加练·固】
若命题p：?x∈R，<0，则p：________.?
【解析】p：?x∈R，使>0或x-2=0.
答案：?x∈R，使>0或x-2=0
6.命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为________ ，此命题的否定是______________，是________命题(填“真”或“假”).?
【解析】此命题用符号表示为?x，y∈R，x+y>1，此命题的否定是?x，y∈R，x+y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题.
答案：?x，y∈R，x+y>1 ?x，y∈R，x+y≤1 假
三、解答题
7.(16分)写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)任何有理数都是实数.
(2)存在一个实数a，能使a2+1=0成立.
【解析】(1)该命题的否定：至少有一个有理数不是实数.因为原命题是真命题，所以其否定是假命题.
(2)该命题的否定：任意一个实数a，不能使a2+1=0成立.因为a2=-1在实数范围内不成立，所以原命题是假命题，所以其否定是真命题.
【加练·固】
写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：?x∈R，x2-x+≥0.
(2)p：所有的正方形都是菱形.
(3)p：至少有一个实数x，使x3+1=0.
【解析】(1)是全称量词命题，p：?x∈R，x2-x+<0.因为对于任意的x，x2-x+=≥0，所以p为假命题.
(2)是全称量词命题，p：存在一个正方形不是菱形.正方形是特殊的菱形，所以p为假命题.
(3)是存在量词命题，p：?x∈R，x3+1≠0.因为x=-1时，x3+1=0，所以p为假命题.
(15分钟·30分)
1.(4分)?m，n∈Z，使得m2=n2+1 998的否定是 ( )
A.?m，n∈Z，使得m2=n2+1 998
B.?m，n∈Z，使得m2≠n2+1 998
C.?m，n∈Z，使得m2≠n2+1 998
D.以上都不对
【解析】选C.这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：
?m，n∈Z，有m2≠n2+1 998.
2.(4分)已知命题p：?x∈(1，3)，x-a≥0；若p是真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞，1) B.(3，+∞)
C.(-∞，3] D.[3，+∞)
【解析】选D.p是真命题，所以p是假命题，所以?x∈(1，3)，x-a≥0无解，所以当13.(4分)已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则q为________.?
【解析】q为存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.
答案：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆
4.(4分)已知命题p：?x>0，x+a-1=0，若p为假命题，则a的取值范围是________. ?
【解析】因为p为假命题，所以命题p的否定：?x>0，x+a-1≠0是真命题，所以x≠1-a，所以1-a≤0，所以a≥1.
答案：[1，+∞)
5.(14分)命题p是“对任意实数x，有x-a>0或x-b≤0”，其中a，b是常数.
(1)写出命题p的否定.
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
【解析】(1)命题p的否定：存在实数x，有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真，则需要使不等式组的解集不为空集.
通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b关闭Word文档返回原板块
