课件50张PPT。1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件、必要条件 1.形如“如果p，那么q”的命题2.充分条件与必要条件【思考】
在逻辑推理中p?q，能表达成哪几种说法？
提示：以下5种说法：
①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q.3.用集合知识理解充分条件和必要条件4.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
(2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“x=3”是“x2=9”的必要条件. ( )
(2)“x>0”是“x>1”的充分条件. ( )
(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的. ( )提示：(1)×.因为“x2=9” “x=3”.
(2)×.因为“x>0” “x>1”.
(3)×.不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件.2.x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件？ ( )
A.x+y=0 B.x2+y2>0
C.x-y=0 D.x3+y3≠0【解析】选B.因为xy≠0?x≠0且y≠0?x2>0且y2>0?x2+y2>0，所以“x2+y2>0”是“xy≠0”的必要条件.3.在平面内，下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？ ( )
A.四边形是平行四边形且对角线相等
B.四边形两组对边相等
C.四边形的对角线互相平分
D.四边形的对角线垂直【解析】选A.因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以“四边形是平行四边形且对角线相等”是“四边形是矩形”的充分条件.类型一 充分条件
【典例】1.设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是 ( )
A.x>3 B.x<3
C.x>4 D.x<42.判断下列各题中，p是否是q的充分条件： 世纪金榜导学号
(1)p：a∈Q，q：a∈R.
(2)p：a
(3)p：x>1，q：x2>1.(4)p：(a-2)(a-3)=0，q：a=3.
(5)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.
(6)已知a，b∈R，p：a2+b2=0，q：a=b=0.【思维·引】1.我们平常说充分条件时，一般是“p是q的充分条件”，而这里是“x>3.14成立的充分条件是什么”.这个语序有些类似于英语的“倒装句”应改写为“什么是x>3.14的充分条件”即：什么?“x>3.14”.
2.逐个判断“若p，则q”是否为真命题.【解析】1.选C.因为x>4?x>3.14，所以x>3.14
的一个充分条件是x>4.
2.(1)由于Q R，所以p?q，
所以p是q的充分条件.(2)由于a1；当b>0时， <1，
因此p q，所以p不是q的充分条件.
(3)由x>1可以推出x2>1.因此p?q，
所以p是q的充分条件.(4)设A={a|(a-2)(a-3)=0}，B={3}，则B A.因此
p q，所以p不是q的充分条件.
(5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，
则BC>AC.因此，p?q，所以p是q的充分条件.(6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，
由a2+b2=0，可推出a=b=0，即p?q，
所以p是q的充分条件.【素养·探】
在与充分条件判断有关的问题中，经常利用核心素养
中的逻辑推理，以命题真假判断为背景，理解充分条
件和必要条件.将本例2(2)的条件改为“p：0q：b< ”，如何判断？【解析】当0 ；
当00，b>0时，有b< ；
因此p q，所以p不是q的充分条件.【类题·通】充分条件的判断方法【习练·破】
判断下列各题中，p是否是q的充分条件：
(1)p：x2=y2，q：x=y.
(2)p：一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，
q：b2-4ac≥0.(3)p：整数a能被4整除，q：整数a的个位数字为偶数.
(4)p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.【解析】(1)若x2=y2，则x=y或x=-y，
因此p q，所以p不是q的充分条件.
(2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2-4ac≥0，所以p?q，所以p是q的充分条件.(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，
所以a的个位数字为偶数，
所以p?q，所以p是q的充分条件.
(4)因为(x-1)2+(y-2)2=0?x=1且y=2
?(x-1)(y-2)=0，
所以p?q，所以p是q的充分条件.【加练·固】
判断下列各题中，p是否是q的充分条件：
(1)p：ab>0，q：a>0，b>0.
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等.
(3)p：x为无理数，q：x2为无理数.
(4)p：x=1，q：x2-4x+3=0.【解析】(1)ab>0?a>0，b>0或a<0，b<0 a>0，
b>0，
因此p q，所以p不是q的充分条件.
(2)因为两个三角形相似不一定全等，
因此p q，所以p不是q的充分条件.(3)若x为无理数，则x2不一定为无理数；
例如 为无理数，则( )2=2不为无理数；
因此p q，所以p不是q的充分条件.(4)因为x=1?x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0，
所以x=1是x2-4x+3=0的充分条件，
所以p?q，所以p是q的充分条件.类型二 必要条件
【典例】1.使|x|=x成立的一个必要条件是 ( )
A.x<0 B.x≥0或x≤-1
C.x>0 D.x≤-12.判断下列各题中，q是否是p的必要条件：
世纪金榜导学号
(1)p：|x|=|y|，q：x=y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形.
(3)p：x=1，q：x-1= (4)p：-2≤x≤5，q：-1≤x≤5.
(5)p：a是自然数，q：a是正整数.
(6)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.【思维·引】1.这个语序应改写为( )是|x|=x的必要条件，即：|x|=x?( ).
2.逐个判断“若p，则q”是否为真命题.【解析】1.选B.因为|x|=x?x≥0，
?x≥0或x≤-1，
所以使|x|=x成立的一个必要条件是x≥0或x≤-1.2.(1)若|x|=|y|，
则x=y或x=-y，
因此p q，所以q不是p的必要条件.
(2)直角三角形不一定是等腰三角形.
因此p q，所以q不是p的必要条件.(3)当x=1时，x-1= =0，
所以p?q，所以q是p的必要条件.
(4)设A=[-2，5]，B=[-1，5]，
则B A，所以p q，所以q不是p的必要条件.(5)0是自然数，但是0不是正整数，所以p q，
所以q不是p的必要条件.
(6)等边三角形一定是等腰三角形，
所以p?q，所以q是p的必要条件.【内化·悟】
已知q是p的必要条件，q成立，p是否成立？q不成立，p是否成立？
提示：q成立，p未必会成立.q不成立，p一定不成立.【类题·通】必要条件的判断方法【习练·破】
判断下列各题中，q是否是p的必要条件：
(1)p：a是1的平方根，q：a=1.
(2)p：4x2-mx+9是完全平方式，q：m=12.
(3)p：a是无理数，q：a是无限小数.
(4)p：a与b互为相反数，q：a与b的绝对值相等.【解析】(1)1的平方根是±1，
所以p q，
所以q不是p的必要条件.
(2)因为4x2-mx+9=(2x±3)2，
所以m=±2，所以p q，
所以q不是p的必要条件.(3)因为无理数是无限不循环小数，
所以p?q，
所以q是p的必要条件.(4)若a与b互为相反数，
则a与b的绝对值相等，
所以p?q，
所以q是p的必要条件.【加练·固】
判断下列各题中，q是否是p的必要条件：
(1)p：a+5是无理数，q：a是无理数.
(2)p：三角形两边上的高相等，q：三角形为等腰三角形.
(3)p：(x-a)(x-b)=0，q：x=a.
(4)p：a和b都是偶数，q：a·b是偶数.【解析】(1)若a+5是无理数，
则a+5是无限不循环小数，
所以a是无限不循环小数，
所以a是无理数，
所以p?q，
所以q是p的必要条件.(2)由三角形的面积公式可知，若一个三角形两边上的高相等，
则这两条边相等，这个三角形是等腰三角形，
所以p?q，所以q是p的必要条件.(3)若(x-a)(x-b)=0，
则x=a或x=b.
所以p q，
所以q不是p的必要条件.
(4)两个偶数的乘积仍是偶数.
所以p?q，所以q是p的必要条件.课件62张PPT。第2课时
充 要 条 件 1.充要条件【思考】
符号“?”的含义是什么？
提示：“?”表示“等价”，如“A与B等价”指的是“如果A，那么B”，同时有“如果B，那么A”，或者说“从A推出B”，同时可“从B推出A”.2.充分性、必要性的其他情况【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当
p成立. ( )
(2)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的
充要条件. ( )(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件. ( )提示：(1)√.当p是q的充要条件时，p?q，且q?p，
故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确.
(2)√.若p q或q p，则p不是q的充分条件，
或p不是q的必要条件，故此说法正确.
(3)√.因为p?q，q?r，所以p?r，所以p是r的充
要条件.2.“a+b<0”是“a<0，b<0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a与b异号且负数绝对值大时，也有
a+b<0，所以“a+b<0” “a<0，b<0”，
显然“a<0，b<0”?“a+b<0”，所以“a+b<0”
是“a<0，b<0”的必要不充分条件.3.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是 ( )
A.x<0，y<0 B.x<0，y>0
C.x>0，y>0 D.x>0，y<0
【解析】选B.第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0.类型一 充分条件和必要条件的综合判断
【典例】1.“b2=ac”是“ = 成立”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件2.下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？ 世纪金榜导学号
(1)p：x≠0，q：x+|x|>0.
(2)p：a>0，q：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解.(3)p：ab>0，a，b∈R，q：|a+b|=|a|+|b|.
(4)p：c=0，q：y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点.【思维·引】1.依据等式两边同乘以非零实数，等式仍成立判断.
2.依据“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”的定义判断.【解析】1.选C.b2=ac = ，如b=0，c=0时，b2=ac，而 ， 无意义.但 = ?b2=ac，
所以“b2=ac”是“ = ”的必要不充分条件.2.(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0，如x=-1≠0，
但是x+|x|=0，所以p q，
由x+|x|>0可得x>0，可推出x≠0，所以q?p，
所以p是q的必要不充分条件.(2)当a>0时，关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一
解x=- ，所以p?q，
若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，
推不出a>0，所以q p，
所以p是q的充分不必要条件.(3)当ab>0时，|a+b|=|a|+|b|成立，所以p?q，因为a=0时，也有|a+b|=|a|+|b|，
所以q p，所以p是q的充分不必要条件.(4)当c=0时，函数y=ax2+bx的图象经过原点；
当y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点时，
0=a×02+b×0+c，所以c=0，
所以p?q，所以p是q的充要条件.【内化·悟】
根据充分必要条件的定义和判断方法，你能总结一个记忆口诀吗？
提示：顺向为充(即若p?q，则p是q的充分条件)，逆向为必(即若p?q，则q是p的必要条件).【类题·通】
从命题角度判断p是q的充分必要条件
(1)原理：
判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.(2)方法：
①若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；
③若二者都成立，则p与q互为充要条件.【习练·破】
下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？(1)p：x2=3x+4，q：x= .
(2)p：a是自然数，q：a是正数.
(3)p：a=1，q：a的倒数是其本身.
(4)p：点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等，q：a=1或a=0.【解析】(1)当x=-1时，x2=3x+4成立，但是x=
不成立，所以p q，由x= 两边平方可得
x2=3x+4，所以q?p，所以p是q的必要不充分条件.
(2)0是自然数，但是0不是正数，
所以p q，1.5是正数，但是1.5不是自然数，
所以q p，所以p是q的既不充分也不必要条件.(3)倒数是其本身的数有±1，所以q p，且p?q，
所以p是q的充分不必要条件.(4)当a=1，点P(1，1)到两坐标轴距离相等；
当a=0，点P(2，-2)到两坐标轴距离相等；
当点P(2-a，3a-2)到两坐标轴距离相等时，
|2-a|=|3a-2|，解得a=1或a=0.
所以p?q，所以p是q的充要条件.【加练·固】
下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？(1)p：x=y，q：
(2)p：∠1=∠2，q：∠1与∠2是对顶角.
(3)p：反比例函数y= 的图象在第二、四象限，
q：m<5.
(4)p：a>1，q：a> .【解析】(1)当a=0时，x=y
?x=y，所以p是q的必要不充分条件.
(2)对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，
所以p q，且q?p，所以p是q的必要不充分条件.(3)反比例函数y= 的图象在第二、四象限?
m-5<0?m<5，所以p是q的充要条件.
(4)当a>1时，
所以a> ，所以p?q，
当a=- 时，a> ，所以q p，
所以p是q的充分不必要条件.类型二 充要条件的证明
【典例】已知关于x的方程ax2+bx+c=0(※)，判断a+b+c=0是否是方程(※)有一个根为1的充要条件. 世纪金榜导学号
【思维·引】从充分性和必要性两个方面进行证明.【证明】因为a+b+c=0，
所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0中，
得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程(※)有一个根为1，
所以a+b+c=0?方程(※)有一个根为1，因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.
所以有a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0.
所以方程(※)有一个根为1?a+b+c=0，
从而a+b+c=0?方程(※)有一个根为1，
因此a+b+c=0是方程(※)有一个根为1的充要条件.【素养·探】
在与充要条件的证明有关的问题中，经常利用核心
素养中的逻辑推理，通过命题真假的证明，判断充
分、必要条件，提高分析、推理、论证的能力.
将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一
个负根”，“a+b+c=0”改为“ac<0”，如何判断？【证明】因为ac<0，所以Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0中有两个不等实根，由根与系数关系
可知这两个根的积为 <0，
所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，
所以ac<0?方程(※)有一个正根和一个负根，因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，
由根与系数关系可知这两个根的积为 <0，
所以ac<0.所以方程(※)有一个正根和一个负根?
ac<0，从而ac<0?方程(※)有一个正根和一个负
根，因此ac<0是方程(※)有一个正根和一个负根的
充要条件.【类题·通】
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.【习练·破】
已知x，y都是非零实数，且x>y，判断xy>0是否是
的充要条件.【证明】由xy>0及x>y，得
所以xy>0?
即 <0，
又由x>y，得y-x<0，所以xy>0.
所以 ?xy>0，从而xy>0? ，
所以xy>0是 的充要条件.【加练·固】
求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件.【解析】①当a=0时，解得x=-1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤ .
反之，若a≤ ，则方程至少有一个负的实根.
因此，关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充
要条件是a≤ .类型三 用集合观点解充分条件、必要条件问题
【典例】1.已知p：点M(1-a，2a+6)在第四象限，
q：a<1，则p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件2.已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 世纪金榜导学号【思维·引】1.第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0.依据“小范围”推“大范围”，“大范围”推不出“小范围”判断；
2.先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于m的不等式(组)进行求解.【解析】1.选A.因为点M(1-a，2a+6)在第四象限，
所以 解得a<-3.
因为(-∞，-3) (-∞，1)，
所以p?q，q p，
所以p是q的充分不必要条件.2.p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即[1-m，1+m] [-2，10]，
故有 解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3].【素养·探】
在与用集合观点解充分条件、必要条件问题中，经常
利用核心素养中的直观想象，通过研究充分条件和必
要条件与集合关系，培养借助集合解决问题的能力.
将本例2的“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充
分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.【解析】p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A B.
所以 解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是[9，+∞).【类题·通】
从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件其中p：A={x|p(x)成立}，q：B={x|q(x)成立}.【习练·破】
设p：实数x满足a0)，q：实数x满足2所以q对应的集合是p对应集合的真子集，
所以(2，5] (a，4a)则 得 得 即实数a的取值范围是 【加练·固】
已知p：-1所以p对应的集合是q对应集合的真子集，
所以(-1，3) [k-2，k+5]，
所以
?-2≤k≤1.
所以实数k的取值范围是[-2，1].温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.命题p：(a+b)·(a-b)=0，q：a=b，则p是q的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选B.由命题p：(a+b)·(a-b)=0，
得|a|=|b|，推不出a=b，
由a=b，能推出|a|=|b|，
故p是q的必要条件.
2.设集合M=(0，3]，N=(0，2]，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件.?
【解析】由于NM，所以“a∈N”?“a∈M”，
所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件.
答案：必要
3.已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A?B”的________ 条件.?
【解析】因为A={1，a}，B={1，2，3}，A?B，
所以a∈B且a≠1，所以a=2或3，
所以“a=3”是“A?B”的充分条件.
答案：充分
【新情境·新思维】
有一个圆A，在其内又含有一个圆B.请回答：命题：“若点在B内，则点一定在A内”中，“点在B内”是“点在A内”的什么条件；“点在A内”又是“点在B内”的什么条件.
【解析】如图，因为“点不在A内?点一定不在B内”为真，所以“点在B内”是“点在A内”的充分条件；“点在A内”是“点在B内”的必要条件.
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课堂检测·素养达标
1.“-1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为(-1，6)，
所以“-12.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.“a>b”推不出“a2>b2”，
例如，2>-3，但4<9；“a2>b2”也推不出“a>b”，
例如，9>4，但-3<2.
3.若“x>a”是“x>2”的充分条件，则实数a的取值范围是________.?
【解析】由题意得(a，+∞)?(2，+∞)，所以a≥2.
答案：[2，+∞)
4.函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________.?
【解析】函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k>0，b>0.
答案：k>0，b>0
【新情境·新思维】
在下列电路图中，分别判断闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
【解析】如题图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件.
如题图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件.
如题图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件.
如题图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件.
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课时素养评价
九 充 要 条 件
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.“x>a”是“x>|a|”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当x>a时，
如x=1，a=-1，x=|a|，
所以x>ax>|a|，显然x>|a|?x>a，
“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件.
2.设集合M=(0，3]，N=(0，2]，那么“a∈M”是“a∈N”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件.
3.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列结论正确的
是 ( )
A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件
C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
【解析】选ABD.A正确.Δ=b2-4ac≥0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；
B正确.Δ=b2-4ac=0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；
C错误.Δ=b2-4ac>0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；
D正确.Δ=b2-4ac<0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根.
【加练·固】
设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.本题采用特殊值法：当a=3，b=-1时，a+b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a=-3，b=-1时，ab>0，但a+b<0，故不是必要条件.所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.
4.设全集为U，在下列条件中，是B?A的充要条件的有 ( )
①A∪B=A；
②UA∩B=；
③UA?UB；
④A∪UB=U.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.画出维恩图可知，
B?A?A∪B=A；B?A?(UA)∩B=；B?A?UA?UB；B?A?A∪(UB)=U.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空.
(1)m=1是函数y=为二次函数的_______条件.?
(2)△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的_______条件.?
【解析】(1)当m=1时，函数y=x2为二次函数.反之，当函数y=为二次函数时，m2-4m+5=2，解得m=3或m=1，
所以m=1是函数y=为二次函数的充分不必要条件.
(2)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，
所以△ABC是锐角三角形?∠ABC为锐角，
∠ABC为锐角△ABC是锐角三角形，
所以△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的充分不必要条件.
答案：(1)充分不必要 (2)充分不必要
6.设n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.?
【解析】一元二次方程x2-4x+n=0有实数根?(-4)2-4n≥0?n≤4.
又n∈N+，则n=4时，方程x2-4x+4=0，有整数根2；
n=3时，方程x2-4x+3=0，有整数根1，3；
n=2时，方程x2-4x+2=0，无整数根；
n=1时，方程x2-4x+1=0，无整数根.
所以n=3或n=4.
答案：3或4
三、解答题
7.(16分)下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)？
(1)p：∠C=90°，q：△ABC是直角三角形.
(2)p：a，b至少有一个不为零，q：a2+b2>0.
(3)p：a+1>b，q：a>b.
(4)p：-5x2ym与xny是同类项，q：m+n=3.
【解析】(1)由题意得，p?q，qp，
所以p是q的充分不必要条件.
(2)若a，b至少有一个不为零，则a2，b2至少有一个大于零，所以a2+b2>0，反之由a2+b2>0也可推出a，b至少有一个不为零，所以p?q，所以p是q的充要条件.
(3)p：a+1>b，q：a>b，因为a+1>a，所以q?p，pq，所以p是q的必要不充分条件.
(4)若-5x2ym与xny是同类项，
则m=1，n=2，所以m+n=3，
当m+n=3时，-5x2ym与xny不一定是同类项，
所以p?q，qp，所以p是q的充分不必要条件.
(15分钟·30分)
1.(4分)设P，Q是非空集合，命题甲为P∩Q=P∪Q；命题乙为：P?Q，那么甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.P∩Q=P∪Q?P=Q?P?Q，
当PQ时，P∩Q≠P∪Q，所以P?QP∩Q=P∪Q，
所以甲是乙的充分不必要条件.
2.(4分)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补.
记φ(a，b)=-a-b，那么φ(a，b)=0是a与b互补的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.若φ(a，b)=0，即=a+b，
两边平方得ab=0，
若a=0，则=b，所以b≥0，
若b=0，则=a，所以a≥0，
故具备充分性.
若a≥0，b≥0，ab=0，则不妨设a=0.
φ(a，b)=-a-b=-b=0.故具备必要性.
3.(4分)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是 ( )
A.b=c=0 B.b=0且c≠0
C.b=0 D.b≥0
【解析】选C.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称?-=0?b=0.
4.(4分)已知p：-1【解析】因为q是p的必要不充分条件，所以p?q，qp，
所以(-1，3)(-1，m+1)，所以m+1>3，解得m>2.
答案：(2，+∞)
【加练·固】
已知p：0【解析】因为由2x-3因为p是q充分不必要条件，
所以{0|0所以≥3，解得m≥3.
答案：[3，+∞)
5.(14分)设x，y∈R，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】(1)如果xy≥0，则有xy=0和xy>0两种情况，当xy=0时，不妨设x=0，
则|x+y|=|y|，|x|+|y|=|y|，所以等式成立.
当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x+y|=x+y，|x|+|y|=x+y，所以等式成立.
当x<0，y<0时，|x+y|=-(x+y)，
|x|+|y|=-x-y，所以等式成立.
综上知，xy≥0?|x+y|=|x|+|y|.
(2)若|x+y|=|x|+|y|且x，y∈R，则|x+y|2=(|x|+|y|)2，
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|，
所以|xy|=xy，所以xy≥0.
所以|x+y|=|x|+|y|?xy≥0.
从而xy≥0?|x+y|=|x|+|y|.
因此xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
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课时素养评价
八 充分条件、必要条件
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.“a和b都是奇数”是“a+b是偶数”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.两个奇数的和是偶数，但和为偶数的两个数有可能是两个偶数，不一定是两个奇数，所以“a和b都是奇数”?“a+b是偶数”，“a+b是偶数”“a和b都是奇数”.所以“a和b都是奇数”是“a+b是偶数”的充分条件.
2.已知p：>0，q：xy>0，则p是q的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选C.若>0，则x与y同号，所以xy>0，所以p?q；
若xy>0，则x与y同号，所以>0，所以q?p；
所以p是q的充分条件也是必要条件.
3.aA.a+b<0 B.a-b>0
C.>1 D.<-1
【解析】选A.因为a4.(多选题)有以下说法，其中正确的为 ( )
A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件
D.“x>3”是“x2>4”的充分条件
【解析】选ACD.A正确，由于“m是有理数”?“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；
B不正确.因为“x∈A”“x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确.由于“x=3”?“x2-2x-3=0”，故“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件；D正确.由于“x>3”?“x2>4”，所以“x>3”是“x2>4”的充分条件.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.用“充分”或“必要”填空：
(1)“x≠3”是“|x|≠3”的________ 条件.?
(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的________ 条件.?
【解析】(1)当|x|≠3时，x≠±3，
所以“x≠3”“|x|≠3”，“|x|≠3”?“x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件.
(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”?“这个自然数能被5整除”“这个自然数能被5整除”“这个自然数的个位数字是5”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.
答案：(1)必要 (2)充分
6.若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的________条件.(填“充分”或“必要”)?
【解析】当A∩B={4}时，m2=4，所以m=±2.
所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件.
答案：充分
三、解答题
7.(16分)判断下列各题中，p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件：
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除.
(2)p：x>1，q：x2>1.
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形.
(4)p：A∩B=A，q：UB?UA.
【解析】(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立.即p?q，qp，
所以p是q的充分条件，且p不是q的必要条件.
(2)因为x2>1?x>1或x<-1，所以p?q，且qp.
所以p是q的充分条件，且p不是q的必要条件.
(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即pq，且q?p，
所以p不是q的充分条件，且p是q的必要条件.
(4)画出Venn图(如图)可得.
结合图形可知，A∩B=A?A?B?UB?UA，
反之也成立.所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件.
(15分钟·30分)
1.(4分)若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则 ( )
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，
所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
2.(4分)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【解析】选A.因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲.
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙丙，如图.
综上，有丙?甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
3.(4分)给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a=3，b=-2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中________是a+b>0的充分条件.(填序号) ?
【解析】问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件；对应即为“谁”?a+b>0.
①a>0，b>0?a+b>0；②a<0，b<0a+b>0；
③a=3，b=-2?a+b>0；④a>0，b<0且|a|>|b|?a+b>0.
答案：①③④
4.(4分)条件p：1-x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围为________. ?
【解析】x>1?x>a，令A=(1，+∞)，
B=(a，+∞)，则A?B，所以a≤1.
答案：
5.(14分)已知a，b是实数，求证：a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1，该条件是否是必要条件？证明你的结论.
【解析】若a2-b2=1，
则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2
=a2+b2-2b2=a2-b2=1，
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.
a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件，
证明如下：若a4-b4-2b2=1，则a4-b4-2b2-1=0，
即a4-(b2+1)2=0，
所以(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0，
因为a2+b2+1≠0，所以a2-b2=1，
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.
【加练·固】
已知a，b是实数，且ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件是a+b=1，该条件是否是必要条件？证明你的结论.
【证明】若a+b=1，即b=1-a，
a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.所以a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件，
a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的必要条件，
证明如下：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，
所以a2-ab+b2≠0，故a+b=1.
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