课件81张PPT。第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集 合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的概念 1.元素与集合的概念
(1)集合：(2)元素：(3)集合的元素具有的三个特点：【思考】
(1)集合中的“对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？
提示：集合中的“对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.(2)根据集合的元素的“确定性”判断，“很瘦的人”能构成集合吗？为什么？
提示：“很瘦的人”不能构成集合.因为它没有确定的标准.如果给定一个集合A，一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了.2.元素与集合的关系【思考】
元素与集合之间有第三种关系吗？
提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有
“a∈A”与“a?A”这两种关系.3.空集【思考】
对于任意元素a，a与空集?的关系是什么？
提示：由空集的定义可知，a??.4.两个集合相等5.集合的分类(2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集.6.常见的数集及表示符号【思考】
N与N+(或N*)有何区别？
提示：N+是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N+(或N*)多一个元素0.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素. ( )
(2)好听的歌能组成一个集合. ( )
(3)高一(1)班所有姓氏构成的集合. ( ) (4)把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成集合有6个. ( )提示：(1)×.集合中的元素是互不相同的.
(2)×.好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合.
(3)√.高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合.
(4)×.因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合.2.已知a∈R，且a?Q，则a可以为 ( )
A. B. C.-2 D.- 【解析】选A. 是无理数，所以 ?Q， ∈R.3.已知集合A含有三个元素0，1，x-2，则实数x不能取的值是________.?【解析】根据集合中元素的互异性可知：
x-2≠0且x-2≠1，所以实数x不能取的值是2，3.
答案：2，3类型一 元素与集合的相关概念
【典例】1.以下元素的全体不能够构成集合的是( )
A.中国古代四大发明
B.周长为10 cm的三角形C.方程x2-1=0的实数解
D.地球上的小河流2.集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a=________.?
世纪金榜导学号【思维·引】
1.若一组元素是确定的，则这组元素可以构成集合.
2.根据相等集合的元素相同，列方程求a的值.【解析】1.选D.在A中，中国古代四大发明具有确定
性，能构成集合，故A能构成集合；在B中，周长为
10 cm的三角形具有确定性，能构成集合，故B能构成
集合；在C中，方程x2-1=0的实数解为±1，能构成集合，故C能构成集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合，故D不能构成集合.2.由题意，得a2=4，a=±2.
答案：±2【内化·悟】
1.判断一组对象能否组成集合的关键是什么？
提示：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.2.两个相等集合的元素有什么特点？
提示：其中一个集合的任意一个元素，在另一个集合中都可以找到相同的元素.【类题·通】
1.一组对象能构成集合的两个条件
(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.
(2)任何两个对象都是不同的.2.集合相等的注意点
若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.【习练·破】
1.下列判断正确的个数为 ( )
(1)所有的等腰三角形构成一个集合.
(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合.
(3)质数的全体构成一个集合.(4)由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合.
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.(1)正确.(2)正确，若 =a，则a2=1，
所以a=±1，构成的集合为{1，-1}.(3)正确，任何一
个质数都在此集合中，不是质数的都不在.(4)不正
确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，
4，6}，含有4个元素.【解析】选A.由题意知a+b=0，所以 =-1，
所以a=-1，b=1，所以a+2b=1.【加练·固】
1.对于以下说法：①绝对值非常小的全体实数构成一
个集合；
②长方体的全体构成一个集合；③全体无实数根的一
元二次方程构成一个集合；④0，0.5， ， 组成
的集合含有4个元素.其中正确的是 ( )A.①②④
B.②③
C.③④
D.②④【解析】选B.①中的元素不能确定，④中的集合含有
3个元素，②③中的元素是确定的，所以②③能构成集合.2.下列所给的对象能构成集合的是________.
(1)2018年布宜诺斯艾利斯青奥会上中国队获得的金牌.
(2)无限接近零的数.
(3)方程x2-2x-3=0的所有解.
(4)平面直角坐标系中，第一象限内的所有点.【解析】(1)能.因为中国队获得的金牌是确定的.
(2)不能.因为“无限接近”标准不明确，不具有确定性，不能构成集合.(3)能.因为方程x2-2x-3=0的解为x=3或x=-1，是确定的数，所以可以组成集合，集合中有两个元素-1和3.
(4)能.因为第一象限内的点是确定的点.
综上，能构成集合的是(1)(3)(4).
答案：(1)(3)(4)类型二 元素与集合的关系
【典例】1.下列结论中，不正确的是 ( )
A.若a∈N，则-a?N
B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q
D.若a∈R，则a3∈R2.由不超过5的实数组成集合A，a= + ，则( )
世纪金榜导学号
A.a∈A B.a2∈A
C. ?A D.a+1?A【思维·引】
1.根据常见数集的表示方法和-a，a2，|a|，a3的意义
逐个判断.
2.a，a2， ，a+1与5比较大小，即可确定答案.【解析】1.选A.A中a=0时，显然不成立.2.选A.a= + =4<5，
所以a∈A.
a+1< +1=5，
所以a+1∈A，a2=( )2+2 × +( )2=5+2 >5，
所以a2?A，
所以 ∈A.【内化·悟】
研究元素与集合的关系的关键是什么？
提示：(1)明确集合是由怎样的元素组成.(2)对于各种数集要熟练掌握.(3)构成集合的元素特征较为隐蔽时，要注意利用相关知识进行分析.【类题·通】
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法.
①使用前提：集合中的元素是直接给出的；
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法.
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.【习练·破】
1.给出下列关系：① ∈R；② ?Q；③|-3|?N；
④|- |∈Q；⑤0?N.其中正确的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B. 是实数； 是无理数；|-3|=3是自
然数；|- |= 是无理数；0是自然数.故①②正
确，③④⑤不正确.2.已知集合A是由形如m+ n(其中m，n∈Z)的数组
成的，判断 是不是集合A中的元素？【解析】是.因为 =2+ ，此时m=2，n=1，
满足集合A中数的构成形式.所以 是集合A中的元
素.【加练·固】
1.已知A中元素x满足x=3k-1，k∈Z，则下列表示正确的是 ( )
A.-1?A B.-11∈A
C.3k2-1∈A D.-34?A【解析】选C.k=0时，x=-1，所以-1∈A，所以A错误；
令-11=3k-1，k=- ?Z，所以-11?A，所以B错误；
令-34=3k-1，k=-11，所以-34∈A，所以D错误.
因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2-1∈A，所以C正确.2.集合A中的元素x满足 ∈N，x∈N，则集合A中的
元素为________.? 【解析】由 ∈N，x∈N知x≥0， >0，
且x≠3，故0≤x<3.又x∈N，故x=0，1，2.
当x=0时， =2∈N，当x=1时， =3∈N，当x=2时， =6∈N.
故集合A中的元素为0，1，2.
答案：0，1，2类型三 集合中元素的特点
【典例】已知集合A含有两个元素a-3和2a-1，
世纪金榜导学号
(1)若-3∈A，试求实数a的值.
(2)若a∈A，试求实数a的值.【思维·引】
(1)先根据-3∈A 列方程求a，然后检验集合中元素的互异性.
(2)先根据a∈A列方程求a，然后检验集合中元素的互异性.【解析】(1)因为-3∈A， 所以a-3=-3或2a-1=-3.
若a-3=-3，则a=0.
此时集合A含有两个元素-3，-1，符合题意.
若2a-1=-3，则a=-1.
此时集合A含有两个元素-4，-3，符合题意.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或-1.(2)因为a∈A，所以a-3=a或2a-1=a.
当a-3=a时，有-3=0，不成立.
当2a-1=a时，有a=1，此时A中有两个元素-2，1，符合题意.综上知a=1.【素养·探】
在与集合中元素的特点有关的问题中，经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理，通过研究集合中元素的特点以及元素与集合的关系，抽象出集合中元素满足的条件，进而求出有关未知数的值.将本例的条件改为“集合A中含有三个元素x-2，2x2+5x，12，且-3∈A”，求x的值.【解析】因为-3∈A，所以x-2=-3或2x2+5x=-3，
所以x=-1或x=- .当x=-1时，x-2=-3，2x2+5x=-3，集合A不满足元素的
互异性，所以x=-1舍去.
当x=- 时，经检验，符合题意.综上知x=- .【类题·通】
根据集合中元素的特点求值的三个步骤 【发散·拓】
集合中元素的特点的主要作用是什么？提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这种对象具有确定性时才能构成集合.
(2)无序性的主要作用是与集合相等相映证.当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，只要元素完全一致即可.(3)互异性的主要作用是做题后进行检验.特别是题中含有参数(字母)，求出参数的值后一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性.【延伸·练】
数集A满足条件：若a∈A，则 ∈A(a≠1).
若 ∈A，求集合中的其他元素.【解析】因为 ∈A，所以 =2∈A，
所以 =-3∈A，所以 =- ∈A，
所以 ∈A.故当 ∈A时，
集合中的其他元素为2，-3，- .【习练·破】
集合P由1，m，m2-3m-1三个元素组成，若3∈P且
-1?P，则实数m=________.?【解析】由题意，分两种情况：
(1)若m=3，则m2-3m-1=-1，不满足题意.
(2)若m2-3m-1=3，则m=4或m=-1，
m=-1不满足题意，应舍去.
故m=4.
答案：4【加练·固】
设集合M中含有三个元素3，x，x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件.
(2)若-2∈M，求实数x的值.【解析】(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2-2x，x2-2x≠3.
解得x≠-1，x≠0且x≠3.(2)因为-2∈M，所以x=-2或x2-2x=-2.
若x2-2x=-2，则x2-2x+2=0.
因为Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0.
方程无解.所以x=-2.课件73张PPT。第2课时
集合的表示方法 1.列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法.【思考】
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.
例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合.2.描述法
(1)特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.(2)特征性质描述法(简称为描述法)：
集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.
(3)集合{x|p(x)}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.【思考】
{(x，y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢？提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.3.区间及其表示
(1)一般区间的表示.
设a，b∈R，且a(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.(2)“∞”是数吗？以“-∞”或“+∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.
所以“-∞”或“+∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式x >1的解集可以用列举法表示. ( )
(2){x∈Z|x=2k，k∈Z}与{x∈Z|x=2k，k∈N}是相等的集合. ( )
(3)集合{(1，2)}和{1，2}是相等的集合. ( )(4)集合{x|11的解集中有无限多个元素，无法一一列出，不能用列举法表示.
(2)×.{x∈Z|x=2k，k∈Z }表示所有偶数构成的集合，{x∈Z| x =2k，k ∈N } 表示所有非负偶数构成的集合，两个集合是不相等的.(3)×.集合{(1，2)}中只有一个元素为(1，2)，而{1，2}中有两个元素1和2，所以这两个集合不相等.
(4)×.集合{x|1A.{0，1，2，3，4} B. {0，1，2，3，4，5}
C.{1，2，3，4} D.{1，2，3，4，5} 【解析】选D.集合{x∈N*|x-3≤2}={x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数，则{x∈N*|x-3≤2}
={x∈N*|x≤5}={1，2，3，4，5}.3.第一象限的点组成的集合可以表示为 ( )
A.{(x，y)|xy>0} B.{(x，y)|xy≥0}
C.{(x，y)|x>0且y>0} D.{(x，y)|x>0或y>0}【解析】选C. 第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为
{(x，y)|x>0且y>0}.类型一 列举法表示集合
【典例】用列举法表示下列集合：
世纪金榜导学号
(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合.
(2) “Welcome”中的所有字母构成的集合.(3) 2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
(4)函数y=2x-1的图象与坐标轴交点组成的集合.【思维·引】
先明确集合中的元素是什么，然后把元素一一列举出来(注意不重复)，并用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”.【解析】(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1和2，因此可以用列举法表示为{1，2}.
(2)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}.(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可
以用列举法表示为{北京，张家口}.
(4)函数y=2x-1的图象与x轴的交点为 ，与y轴的
交点为(0，-1)，因此可以用列举法表示为
. 【内化·悟】
1.对于数集与平面直角坐标系内的点集，用列举法表示时有什么区别？
提示：数集中的元素直接表示出来即可，点集中的元素要用有序数对的形式表示.2.对于含较多元素或无限个元素的集合，能用列举法表示吗？
提示：如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.如正整数集{1，2，3，4，…}，就不能写成{2，1，4，3，…}.【类题·通】
1.用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次.
(3)用花括号括起来.2.在用列举法表示集合时的关注点
(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本题(4)是点集，而非数集.集合的所有元素用有序数对表示，并用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”.(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，
{1，1，2}为错误表示.又如集合{1，2，3，4}与
{2，1，4，3}表示同一集合.【习练·破】
用列举法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的
集合.
(2)式子 (a≠0，b≠0)的所有值组成的集合.【解析】(1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为{3，5，7}.
(2)因为a≠0，b≠0，
所以a与b可能同号也可能异号，
所以①当a>0，b>0时， =2；②当a<0，b<0时， =-2；
③当a>0，b<0或a<0，b>0时， =0.
故所有的值组成的集合为{-2，0，2}.【加练·固】
用列举法表示下列集合：
(1)已知集合P={x|x=2n，0≤n≤2，且n∈N}.
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.(3)x2-4的一次因式组成的集合.
(4)由方程组 的解所组成的集合.【解析】(1)用列举法表示为P={0，2，4}.
(2)用列举法表示为{6，9，12}.
(3)用列举法表示为{x+2，x-2}.
(4)用列举法表示为{(1，2)}.类型二 描述法表示集合
【典例】若集合A={x|mx2+2x+m=0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________ . 世纪金榜导学号?【思维·引】
转化为关于x的方程mx2+2x+m=0只有一个实数根，求出m的值.【解析】当m=0时，方程mx2+2x+m=0为2x=0，解得x=0，A={0}；
当m≠0时，若集合A只有一个元素，
则一元二次方程mx2+2x+m=0有相等实根，
所以判别式Δ=22-4m2=0，解得m=±1；综上，当m=0或m=±1时，集合A只有一个元素.
所以m的值组成的集合B={-1，0，1}.
答案：{-1，0，1}【素养·探】
在用描述法表示集合有关的问题中，经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理，通过研究集合中元素具有的共同特征，抽象出方程、不等式、函数等有关问题，并选用恰当的方法进行解答.将本例的条件改为“A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}”，若A中元素至多只有一个，求m的取值集合.【解析】①当m=0时，原方程为-2x+3=0，x= ，
符合题意.
②当m≠0时，方程mx2-2x+3=0为一元二次方程，由
Δ=4-12m≤0，得m≥ ，即当m≥ 时，方程
mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根，符合题意.
由①②知m=0或m≥ .【类题·通】
1.描述法表示集合的两个步骤2.用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，
{x∈Z|x=2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x=2k，k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0}，也可写成
{x|x2-2x+1=0}.【习练·破】
1.已知集合M={x|x=7n+2，n∈N}，则2 018_____M，
2 019________M.(填“∈”或“?”)?【解析】因为2 018=7×288+2，2 019=7×288+3，
所以2 018∈M，2019?M.
答案：∈ ?2.用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集.
(2)被5除余2的正整数集合.
(3)坐标平面内坐标轴上的点集.
(4)坐标平面内不在第一、三象限的点的集合.【解析】(1){x|x=2n，n∈N+}.
(2){x|x=5n+2，n∈N}.
(3){(x，y)|xy=0}.
(4){(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}.【加练·固】
已知集合A={x|x2+px+q=x}，B={x|(x-1)2+p(x-1)
+q=x+3}，当A={2}时，集合B= ( )
A.{1} B.{1，2} C.{2，5} D.{1，5}【解析】选D.由A={x|x2+px+q=x}={2}知
22+2p+q=2，且Δ=(p-1)2-4q=0.
计算得出，p=-3，q=4.
则(x-1)2+p(x-1)+q=x+3
可化为(x-1)2-3(x-1)+4=x+3；即(x-1)2-4(x-1)=0；
则x-1=0或x-1=4，
计算得出，x=1或x=5.
所以集合B={1，5}.类型三 用区间表示集合及集合表示方法的综合应用
【典例】1.用区间表示下列集合：
(1)3x-4<0的所有解组成的集A=________ .?
(2)2x+6≥0所有解组成的集合B=________.?2.用适当的方法表示下列集合.
(1)36与60的公约数组成的集合.
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合.
(3)不等式x-2>6的解的集合.
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.【思维·引】
1.求出不等式的解集，选择恰当的区间形式表示.
2.选择适当的表示方法的原则是列举法通常用于表示元素个数较少的集合，描述法通常用于表示元素具有明显共同特征的集合.【解析】1.(1)因为3x-4<0，所以3x<4，所以x< ，
所以A= .
(2)因为2x+6≥0，所以2x≥-6，所以x≥-3，所以
B=[-3，+∞).
答案：(1) (2)[-3，+∞)2.(1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}.
(2){x|x=2n+1且x<1 000，n∈N}.
(3)(8，+∞).
(4){1，2，3，4，5，6}.【类题·通】
1.解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.2.方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质.
(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用.【习练·破】
用适当的方法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数.
(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合.(3)不等式组 的解集.【解析】(1){x|x=5n，n∈Z}.
(2){(x，y)|-1≤x≤ ，- ≤y≤1，且xy≥0}.(3)由 得
所以不等式组 的解集为[1，3).【加练·固】
用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间.
(1)-2-3. (6)x≥-4.【解析】(1)(-2，5).(2)(-3，4].(3)[2，5).(4)(-∞，4].(5)(-3，+∞).(6)[-4，+∞).温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课堂检测·素养达标
1.下列对象能构成集合的是 ( )
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2018年诺贝尔和平奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生.
A.①②④ B.②⑤ C.③④⑤ D.②③④
【解析】选D.由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合.
2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( )
A.∈M B.0?M
C.1∈M D.-∈M
【解析】选D.>1，故A错；-2<0<1，故B错；1?M，故C错；-2<-<1，故D正确.
3.下列说法中：
①集合N与集合N+是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素.
其中正确的有________(填序号).?
【解析】因为集合N+表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确.
答案：②④
4.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A=B，则实数x=________，y=________.?
【解析】由题意得，
或
即或
又当x=y=0时，不满足集合元素的互异性，
所以x=1，y=0.
答案：1 0
【新情境·新思维】
若集合A具有以下性质：
①0∈A，1∈A； ②若x∈A，y∈A，则x-y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“好集”.
求证：有理数集Q是“好集”.
【证明】因为0∈Q，1∈Q，对任意的x，y∈Q，
有x-y∈Q，且x≠0时，∈Q.所以有理数集Q是“好集”.
关闭Word文档返回原板块
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课堂检测·素养达标
1.下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( )
A.{x|x=2 019} B.{y|(y-2 019)2=0}
C.{x=2 019} D.{2 019}
【解析】选C.选项A，B，D中都只有一个元素“2 019”，故它们都是相同的集合；而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式x=2 019，而不是实数2 019，故此集合与其他三个集合不同.
2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 ( )
A.{x|-3B.{x|-3C.{x|-3D.{x|-3【解析】选D.选项A表示的是所有大于-3且小于11的有理数；选项B表示的是所有大于-3且小于11的实数；选项C表示的集合中不含有-2这个偶数.
3.用列举法表示集合正确的是 ( )
A.(-1，1)，(0，0)
B.{(-1，1)，(0，0)}
C. {x=-1或0，y=1或0}
D.{-1，0，1}
【解析】选B.解方程组得或所以已知集合可用列举法表示为{(-1，1)，(0，0)}.
4.已知集合A={-1，0，1}，集合B={y|y=|x|，x∈A}，则B=________.?
【解析】因为x∈A，所以当x=-1时，y=|x|=1，
当x=0时，y=|x|=0，当x=1时，y=|x|=1.
所以B={0，1}.
答案：{0，1}
5.用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集.
(1)由方程x2+x-2=0的根组成的集合.
(2)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.
(3)不等式3x+4≥x的解集.
【解析】(1)因为方程x2+x-2=0的两根为x1=-2，x2=1，
所以由方程x2+x-2=0的根组成的集合为{-2，1}.有限集.
(2)用描述法表示该集合为M={(x，y)|y=-x+4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}.有限集.
(3)由3x+4≥x得2x≥-4，所以x≥-2，所以不等式3x+4≥x的解集是[-2，+∞).无限集.
【新情境·新思维】
当x∈A时，若x-1?A且x+1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A={0，1，2，3，5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________.?
【解析】由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x-1，也没有x+1，因此只需逐一排查A中的元素即可.0有
1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A={0，1，2，3，5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}.
答案：{5}
关闭Word文档返回原板块
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价
一 集合的概念
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.下列各项中，不可以组成集合的是 ( )
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近于0的数 D.不等于0的偶数
【解析】选C. “接近于0”的标准是不确定的，故不能构成集合.
2.(多选题)下列表述正确的是 ( )
A.0∈N B.∈Z C.∈Z D.π?Q
【解析】选A、D.因为N，Z，Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数，不是整数，不是整数，π不是有理数，所以0∈N和π?Q正确.
3.a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是 ( )
A.矩形 B.平行四边形
C.菱形 D.梯形
【解析】选D.由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.
【加练·固】
若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】选D.根据集合的性质可知，a≠b≠c，
所以△ABC一定不是等腰三角形.
4.“booknote”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选B.根据集合元素的互异性可知，booknote中的不同字母共有“b，o，k，n，t，e”6个，故该集合的元素个数为6.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a+b_______A，ab_______A.(填“∈”或“?”)?
【解析】因为a∈A，b∈B，所以a是偶数，b是奇数，所以a+b是奇数，ab是偶数，故a+b?A，ab∈A.
答案：? ∈
6.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有________个元素.?
【解析】由x2-5x+6=0，
解得x=2或x=3.
由x2-x-2=0，解得x=2或x=-1.
根据集合中元素的互异性可知，共有3个元素.
答案：3
三、解答题(共26分)
7.(12分)设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值.
【解析】因为a∈A且3a∈A，
所以解得a<2.
又a∈N，所以a=0或1.
8.(14分)若集合A是由元素-1，3组成的集合，集合B是由方程x2+ax+b=0的解组成的集合，且A=B，求实数a，b.
【解析】因为A=B，
所以-1，3是方程x2+ax+b=0的解.
则解得
(15分钟·30分)
1.(4分)已知集合A中有三个元素2，4，6.且当a∈A时有6-a∈A，那么
a为 ( )
A.2 B.2或4 C.4 D.0
【解析】选B.由集合中元素a∈A时，6-a∈A，则集合中的两元素之和为6，故a=2或4.
2.(4分)若由a2，2 019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以
是 ( )
A.0 B.2 019
C.1 D.0或2 019
【解析】 选C.若集合M中有两个元素，
则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.
3.(4分)用符号“∈”或“?”填空：
(1)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B，1+________B.?
(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C.?
(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x，y)的集合，则-1________D，
(-1，1)________D.?
【解析】(1)因为2=>，
所以2?B；
因为(1+)2=3+2<3+2×4=11，
所以1+<，所以1+∈B.
(2)因为n是正整数，所以n2+1≠3，所以3?C；
当n=2时，n2+1=5，所以5∈C.
(3)因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，
则-1是数，所以-1?D；
又(-1)2=1，所以(-1，1)∈D.
答案：(1)? ∈ (2)? ∈ (3)? ∈
4.(4分)由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合，最多含________个元素. ?
【解析】当x>0时，x=|x|=，-=-x<0，此时集合共有2个元素，当x=0时，x=|x|==-=-x=0，此时集合共有1个元素，
当x<0时，=|x|=-=-x，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素.
答案：2
5.(14分)写出由方程x2-(a+1)x+a=0的解组成的集合A中的元素.
【解析】由方程x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0，得x=a或x=1.
(1)当a=1时，方程有两个相同的解x=1，则集合A中只有一个元素1.
(2)当a≠1时，方程有两个解1和a，即集合A中有两个元素1和a.
【加练·固】
设P，Q为两个数集，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，求P+Q中元素的个数.
【解析】当a=0时，由b∈Q可得a+b的值为1，2，6；
当a=2时，由b∈Q可得a+b的值为3，4，8；
当a=5时，由b∈Q可得a+b的值为6，7，11.
由集合元素的互异性可知，P+Q中的元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个.
1.已知集合M中的元素m都满足条件m=a+b，a，b∈Q，则下列元素中属于集合M的元素个数是 ( )
①m=1+π ②m=
③m= ④m=+
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①m=1+π，π?Q，
故m?M；
②m==2+?M；
③m==1-∈M；
④m=+=?M.
2.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1?A，
(1)若3∈A，求A.
(2)证明：若a∈A，则1-∈A.
【解析】(1)因为3∈A，所以=-∈A，
所以=∈A，
所以=3∈A，
所以A=.
(2)因为a∈A，所以∈A，
所以==1-∈A.
【加练·固】
定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”.试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明.
【解析】①数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而=1.5?N；3∈Z，-2∈Z，而=-1.5?Z，故N，Z不是闭集.
②数集Q，R是“闭集”.
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，
所以Q是闭集，同理R也是闭集.
关闭Word文档返回原板块
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时素养评价
二 集合的表示方法
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 ( )
A.{x=-1，x=5} B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0} D.{-1，5}
【解析】选D.根据题意，解x2-4x-5=0可得x=-1或5，用列举法表示可得
{-1，5}.
2.集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x，y)|y=x2+1}(A，B中x∈R，y∈R).关于元素与集合关系的判断都正确的是 ( )
A.2∈A，且2∈B
B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C.2∈A，且(3，10)∈B
D.(3，10)∈A，且2∈B
【解析】选C.集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对.集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以选项A错.选项C经验证正确.
【加练·固】
下列集合的表示，正确的是 ( )
A.{2，3}≠{3，2}
B.{(x，y)|x+y=1}={y|x+y=1}
C.{x|x>1}={y|y>1}
D.{(1，2)}={(2，1)}
【解析】选C.{2，3}={3，2}，故A不正确；
{(x，y)|x+y=1}中的元素为点(x，y)，{y|x+y=1}中的元素为实数y，{(x，y)|x+y=1}≠{y|x+y=1}，故B不正确；{(1，2)}中的元素为点(1，2)，而{(2，1)}中的元素为点(2，1)，{(1，2)}≠{(2，1)}，故D不正确.
3.(多选题)方程组的解集可表示为 ( )
A.{(x，y)| B.{(x，y)|
C.(1，2) D.{(2，1)}
【解析】选A、B、D.方程组只有一个解，解为，
所以方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，所以A，B，D都符合题意.
4.下列说法中正确的是 ( )
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程x2(x+1)=0的所有解的集合可表示为{0，0，-1}；
④集合{x|4A.只有①和④ B.只有②和③
C.只有② D.只有②和④
【解析】选C.①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误.根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举.
【误区警示】解本题时注意集合与元素的区别，集合中元素的互异性和无序性，列举法与描述法表示一个集合的区别.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.小于3.14的自然数集可表示为________，小于3.14的有理数集可表示为________.?
【解析】小于3.14的自然数集可表示为{0，1，2，3}，小于3.14的有理数集可表示为{x∈Q|x<3.14}.
答案：{0，1，2，3} {x∈Q|x<3.14}
6.已知集合A={x|2x+a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是________.(用区间表示)?
【解析】因为1?A，所以2+a≤0，所以a≤-2.
答案：(-∞，-2]
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.在平面直角坐标系中，点P(m-1，m+2)在第二象限，求实数m的取值构成的集合B.
【解析】根据题意，得：
解得-28.用描述法表示下列集合：
(1){0，2，4，6，8}.
(2){3，9，27，81，…}.
(3).
(4)到两坐标轴距离相等的点.
【解析】(1){x∈N|0≤x<10，且x是偶数}.
(2){x|x=3n，n∈N*}.
(3).
(4){(x，y)|x±y=0}.
【加练·固】
用描述法表示下列集合：(1){3，6，9，12，…}.
(2).
(3)数轴上与原点的距离小于或等于2的点的集合.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的集合.
【解析】(1)表示的都是被3整除的正整数.表示为{x|x=3n，n∈N*}.
(2)先统一形式，，，，，…找出规律，集合表示为.
(3)数轴上的点与实数对应，集合为{x||x|≤2}.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的特点是横坐标与纵坐标正负相同，即乘积大于零.所以集合表示为{(x，y)|xy>0}.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知P={x|2A.6C.5【解析】选B.P={x|22.(5分)集合A={1，-3，5，-7，9，-11，…}，用描述法表示正确的是( )
①{x|x=2n±1，n∈N}；
②{x|x=(-1)n(2n-1)，n∈N}；
③{x|x=(-1)n(2n+1)，n∈N}.
A.③ B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】选A.取n=0，1，2验证各表达式，可知①②不符合，③正确.
3.(5分)用列举法表示集合A={∈Z|x∈N}=________. ?
【解题指南】根据x∈N，且∈Z，让x从0取值，看是否满足∈Z，这样找出A的所有元素即可.
【解析】根据x∈N，且∈Z可得：
x=0时，=-3；x=1时，=-6；
x=3时，=6；x=4时，=3；
x=5时，=2；x=8时，=1；
所以A={-3，-6，6，3，2，1}.
答案：{-3，-6，6，3，2，1}
4.(5分)若集合A={x|ax2+1=0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是________.(用区间表示)?
【解析】由题意得，关于x的方程ax2+1=0没有实数根，(1)当a=0时，原方程可化为1=0，没有实数根，符合题意.
(2)当a≠0时，由x2=-无实根，得a>0.
综上所述，实数a的取值范围是[0，+∞).
答案：[0，+∞)
【加练·固】
已知集合{b}={x∈R|ax2-4x+1=0，a，b∈R}，则a+b= ( )
A. 0或1 B.
C. D.或
【解析】选D.因为集合{b}为单元素集，所以集合{x∈R|ax2-4x+1=0，a，b∈R}也只有一个元素b，
所以方程ax2-4x+1=0只有一个解，
①当a=0时，方程只有一个解x=，
即b=，满足题意，此时a+b=0+=；
②当a≠0时，则Δ=42-4a=0，解得a=4，
方程只有一个解x=，满足题意，此时
a+b=4+=.
综上所述，a+b=或.
5.(10分)用适当的方法表示下列对象构成的集合：
(1)绝对值不大于2的所有整数.
(2)方程组的解.
(3)函数y=图象上的所有点.
【解析】(1)因为|x|≤2，且x∈Z，所以x的值为
-2，-1，0，1，2.所以绝对值不大于2的所有整数组成的集合为
{-2，-1，0，1，2}.
(2)解方程组得
故用列举法表示方程组的解为{(0，1)}.
(3)函数y=图象上的点可以用坐标(x，y)表示，其满足的条件是y=，
所以用描述法表示为.
1.两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________. ?
【解析】设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得：x>5-3，x>2；x<5+3，x<8，所以x的取值范围为：2用描述法表示为{x|2答案：{3，4，5，6，7} {x|2【加练·固】
集合{x|x为一条边长为2，一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为________.?
【解析】当2为底边时，30°角可以是顶角或底角，有两种情形；当2为腰长时，30°角也可以是顶角或底角，也有两种情形，故集合中有4个元素.
答案：4
2.已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}.
求证：(1)3∈A.
(2)偶数4k-2(k∈Z)不属于A.
【证明】(1)因为3=22-12，所以3∈A.
(2)设4k-2∈A，则存在m∈Z，n∈Z，使4k-2=m2-n2=(m+n)(m-n)成立，
①当m，n同奇或同偶时， m-n，m+n均为偶数，
所以(m+n)(m-n)为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾.
②当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
所以(m+n)(m-n)为奇数，与4k-2是偶数矛盾.
综上4k-2?A.
关闭Word文档返回原板块
