课件79张PPT。1.1.2 集合的基本关系 1.维恩图
用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合的示意图.
2.子集和真子集【思考】
(1)任意两个集合之间是否有包含关系？
提示：不一定，如集合A={1，3}，B={2，3}，这两个集合就没有包含关系.(2)符号“∈”与“?”有什么区别？提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，-1?N.
②“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1，2，3}?{3，2，1}.
③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“?”的两边均为集合.3.关于子集和真子集的结论
(1)空集是任意一个集合A的子集，即??A.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C.
(3)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C.4.集合相等与子集的关系
(1)如果A?B且B?A，则A=B.
(2)如果A=B，则A?B且B?A.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何集合至少有两个子集. ( )
(2){0，1，2}?{2，0，1}. ( )
(3)若A?B，且A≠B，则A B. ( )
(4)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}. ( )提示：(1)×.?只有一个子集.
(2)√.{0，1，2}={2，0，1}，所以{0，1，2}?
{2，0，1}.
(3)√.若A?B，且A≠B，则A B.
(4)×.?也是集合{0，1}的子集.2.下列图形中，表示M?N的是( )【解析】选C.根据题意可知，M中的任意一个元素都是N中的元素，故C正确.3.已知集合A={-1，3，m}，B={3，4}，若B?A，则实数m=_______?
【解析】因为B?A，B={3，4}，A={-1，3，m}，比较A，B中的元素可知m=4.
答案：4类型一 集合间关系的判断
【典例】1.下列各个关系式中，正确的是 ( )
A.?={0} B. ∈Q
C.{3，5}≠{5，3} D.{1}?{x|x2=x}2.已知集合A={x|x<-2或x>0}，B={x|0
A.A=B B.A B
C.B A D.A?B3.判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A={x|x是12的约数}，B={x|x是36的约数}；
(2)A={x|x2-x=0}，B={x∈R|x2+1=0}；
(3)A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是四边形}，D={x|x是正方形}；(4)M= ，N= .【思维·引】
1.先确定是元素与集合的关系还是集合与集合的关系，然后根据集合中元素的特征逐项判断.
2.画出数轴，观察数轴判断集合A与B的关系.
3.首先确定集合由哪些元素构成，然后判断集合之间的关系.【解析】1.选D.因为? {0}， ?Q，
{3，5}={5，3}，
所以A，B，C错误，{x|x2=x}={0，1}，
所以{1}?{x|x2=x}成立2.选C.由数轴知B A.3.(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之
不成立，所以A B.
(2)因为A={x|x2-x=0}={0，1}，B={x∈R|x2+1=0}=?，
所以B A.(3)由图形的特点可画出维恩图如图所示，从而C A B D.(4)方法一：对于集合M，其组成元素是 ，分子部
分表示所有的整数；对于集合N，其组成元素是
+n= ，分子部分表示所有的奇数.由真子集的概
念知，N M.方法二：用列举法表示集合如下：
M=
N=
所以N M.【内化·悟】
1.区别属于关系和包含关系的关键是什么？
提示：关键是结合具体情境识别集合还是元素.2.当集合中元素有无限多个时，常用哪些方法判断集合之间的关系？提示：常用的方法有以下两种：
(1)画数轴，
(2)适当变形寻找联系，例如：对于集合
A= B= ，
将集合A变为A= 不难观察出A B.【类题·通】
1.集合间基本关系判定的两种方法和一个关键2.证明集合相等的两种方法
(1)用两个集合相等的定义，证明两个集合 A，B中的元素全部相同，即可证明A=B.
(2)证明A?B，同时B?A ，推出A=B.【习练·破】
1.已知集合A={x|x=3k，k∈Z}，B={x|x=6k，k∈Z}，
则A与B之间最适合的关系是 ( )
A.A?B B.A?B
C.A B D.A B【解析】选D.因为A中元素是3的整数倍，而B中元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集.2.已知集合U，S，T，F之间的关系如图所示，下列关系中错误的有________.(只填序号)?①S U； ②F T；
③S T； ④S F；
⑤F U.【解析】根据子集、真子集的定义，
由维恩图的关系，可以看出S U，S T，F U正确，
②④错误.
答案：②④【加练·固】
1.已知集合A=
B=
则集合A，B的关系为________.?【解析】由集合A得：A=
由集合B得：B=
因为2n+1，n∈Z和2n+3，n∈Z都表示所有奇数，
所以A=B.
答案：A=B2.已知集合A={x|x=3n-2，n∈Z}，B={y|y=3k+1，k∈Z}，证明：A=B.【证明】(1)设任意x0∈A，则x0=3n0-2，
且n0∈Z，3n0-2=3(n0-1)+1，
因为n0∈Z，
所以n0-1∈Z，
所以x0∈B，故A?B.(2)设任意y0∈B，则有y0=3k0+1，
且k0∈Z，3k0+1=3(k0+1)-2，
因为k0∈Z，所以k0+1∈Z，
所以y0∈A，故B?A.
综上可得A=B.类型二 元素个数有限的集合的子集问题
【典例】1.满足{2019}?A {2019，2020，2021}
的集合A的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.42.已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出A的所有子集. 世纪金榜导学号【思维·引】
1.依据子集和真子集的定义确定集合A中的元素，写出满足条件的集合.
2.先确定集合A由哪些元素构成，然后按元素个数分类写出A的所有子集.
【解析】1.选C.满足{2019}?A {2019，2020，2021}
的集合A可以是：A={2019}，{2019，2020}，{2019，
2021}，因此满足条件的集合A的个数为3.2.因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，所以
A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
所以A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，
{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，
{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.【内化·悟】
求集合的子集时，为了做到不重不漏，常采用什么方法？
提示：对于含有n个元素的集合A，按元素个数由0到n，依次列出集合A的子集.【类题·通】
求解有限集合的子集的三个关键点
(1)确定所求集合.
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出.(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
另外，一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有
2n个，真子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个.【习练·破】
满足条件{x|x2-1=0}?A {-1，0，1，2，5}的集合A
的个数为 ( )
A.7 B.6 C.8 D.5【解析】选A.因为{x|x2-1=0}={-1，1}，所以{-1，
1}?A {-1，0，1，2，5}，所以集合A可以是{-1，
1}，{-1，1，0}，{-1，1，2}，{-1，1，5}，{-1，
1，0，2}，{-1，1，0，5}，{-1，1，2，5}，共7个.【加练·固】
已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0，
x∈R}的子集的个数为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.不确定【解析】选C.方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，
所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M有2个元素，所以集合M有22=4个子集.类型三 由集合间的关系求参数的值或取值范围
角度1 由集合相等求参数
【典例】已知集合A={2，x，y}，B={2x，2，y2}，
且A=B，求x，y的值.【思维·引】
根据A=B列方程组，解方程求出x，y，检验集合中元素的互异性，求出x，y的值.【解析】因为A=B，所以集合A与集合B中的元素相同，所以 或
解得 或 或 验证得，当x=0，y=0时，A={2，0，0}这与集合元素的
互异性相矛盾，舍去.所以x，y的取值为
或 角度2 由集合之间的包含关系求参数
【典例】已知集合A=[-2，5]，B=[m-6，2m-1]，若B?A，求实数m的取值范围. 世纪金榜导学号【解析】
(1)当B=?时，有m-6>2m-1，
则m<-5，此时B?A成立.(2)当B≠?时，B?A，此时满足
解得 此不等式组的解集为?.由(1)(2)知，
实数m的取值范围是(-∞，-5).【素养·探】
由集合间的关系求参数问题中，经常利用核心素养中的直观想象，常利用数轴直观展示集合之间的关系，并列出不等式(组)，求参数的值或范围.
本例中若将“A=[-2，5]”改为“A={x|x<-2或x>5}”，其余条件不变，求实数m的取值范围.【解析】(1)当B=?时，m-6>2m-1，
则m<-5，此时满足条件B?A.(2)当B≠?时，B?A，
则 或
解得-5≤m<- 或m>11.
综合(1)、(2)知，实数m的取值范围是
{m|m<- 或m>11}.【类题·通】
1.由集合相等求参数取值的方法
从集合相等的含义出发，转化为元素间的关系，一是利用分类讨论的方法建立方程组求参数的值，二是利用元素相同，则元素的和与积分别相同，建立方程组求参数的值.需要注意的是解方程组后要代入检验，对
不符合题意的参数的值要舍去.2.由集合之间的包含关系求参数的两类问题
(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合之间的关系，可转化为解方程(组)求解，此时要注意集合中元素的互异性.(2)若集合中的元素有无限多个，无法一一列举(如不等式的解集)，常借助于数轴转化为不等式(组)求解，此时要注意端点值能否取到.3.由集合之间的包含关系求参数的一个关注点
空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含参数的问题时，要注意讨论A=?和A≠?两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面.【习练·破】
1.已知集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且B?A，则a=________.【解析】因为B?A，所以a2-a+1=3或a2-a+1=a.
①由a2-a+1=3得a2-a-2=0，解得a=-1或a=2，当a=-1时，A={1，3，-1}，B={1，3}，满足B?A，当a=2时，A={1，3，2}，B={1，3}，满足B?A.②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0，解得a=1，
当a=1时，A={1，3，1}，不满足集合元素的互异性.
综上，若B?A，则a=-1或a=2.
答案：-1或22.已知集合A={x，xy，x-y}，B={0，|x|，y}且A=B，求实数x与y的值.【解析】由已知A=B={0，|x|，y}，所以0∈A.
若x=0，则A={0，0，-y}，不满足元素的互异性；
若xy=0，即y=0，则B={0，|x|，0}，也不满足元素的互异性.
所以只有x-y=0，即y=x.所以A={x，xy，x-y}={x，x2，0}，B={0，|x|，x}.
所以x2=|x|，所以x=0(舍)或x=1或x=-1.
当x=1时，A=B={1，1，0}，不满足元素的互异性，故x≠1.
当x=-1时，A=B={-1，1，0}，满足题意.所以x=y=-1即为所求.【加练·固】
1.已知集合A=(-3，4)，B=[m-1，m+1)，且B A.求实
数m的取值范围.【解析】因为B A，画出数轴，观察可知
解得-2综上，实数m的取值范围为(-2，3].2.已知集合A={1，3，x2}，B={1，x+2}，是否存在实数x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说明理由.【解析】存在.当x+2=3，即x=1时，
A={1，3，1}不满足元素的互异性，所以x=1(舍).
当x+2=x2，即x=2或x=-1.
若x=2时，A={1，3，4}，B={1，4}，满足B?A.若x=-1时，A={1，3，1}不满足元素的互异性.
综上，存在x=2使得B?A.
此时，A={1，3，4}，B={1，4}.温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.下列集合中，结果是空集的是 ( )
A.{x∈R|x2-1=0} B.{x|x>6或x<1}
C.{(x，y)|x2+y2=0} D.{x|x>6且x<1}
【解析】选D.{x∈R|x2-1=0} = {-1，1}，{(x，y)|x2+y2=0} = {(0，0)} ，{x|x>6或x<1} 不是空集；x>6且x<1的实数是不存在的，所以{x|x>6且x<1}=?.
2.如果集合A={x|x≤}，a=，那么 ( )
A.a?A B.{a}A C.{a}∈A D.a?A
【解析】选B.因为a=<，所以a∈A，A错误.由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知，C，D错，B正确.
3.已知集合A=(-∞，3)，集合B=(-∞，m)且A?B，则实数m的取值集合是________.?
【解析】将集合A在数轴上表示出来，如图所示，
要满足A?B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.
答案：[3，+∞)
【新情境·新思维】
设A是非空集合，对于k∈A，如果∈A，那么称集合A为“和谐集”，在集合M=的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为________.?
【解 析 】由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素-1，1，和3，和2，所以共有和谐集的集合的个数为15个.
答案：15
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课时素养评价
三 集合的基本关系
(20分钟·45分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)已知集合A={x|x2-9=0}，则下列式子表示正确的有 ( )
A.3∈A B.{-3}∈A
C.?A D.{3，-3}?A
【解析】选A、C、D.根据题意，集合A={x|x2-9=0}={-3，3}，依次分析4个式子：
对于A，3∈A，3是集合A的元素，正确；对于B，{3}∈A，{3}是集合，有{3}?A，错误；
对于C，?A，空集是任何集合的子集，正确；对于D，{3，-3}?A，任何集合都是其本身的子集，正确.
2.下列四个集合中，是空集的是 ( )
A.{x|x+3=3}
B.{(x，y)|y2=-x2，x，y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2-x+1=0，x∈R}
【解析】选D.因为x2-x+1=0，没有实根，所以集合{x|x2-x+1=0，x∈R}=?.
3.已知集合M?{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【解析】选D.M可以是，{4}，{7}，{8}，{4，7}，{7，8}，共6个.
4.集合P={x|y=x2}，集合Q={y|y=x2}，则P与Q的关系为 ( )
A.P?Q B.Q?P
C.P=Q D.以上都不正确
【解析】选B.因为P={x|y=x2}=R，Q={y|y=x2}={y|y≥0}，所以Q?P.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5.若{1，2}={x|x2+bx+c=0}，则b=________，c=________.?
【解析】依题意知，1，2是方程x2+bx+c=0的两根，所以解得
答案：-3 2
6.已知集合M={x|x=1+a2，a∈N*}，P={x|x=a2-4a+5，a∈N*}，那么M________P.(填“”“”或“=”)?
【解题指南】判断两集合关系的关键是看集合中的元素满足的特征.
【解析】对于任意的x∈P，有x=a2-4a+5=(a-2)2+1，因为a∈N*，所以(a-2)2∈N，则MP.
答案：
7.已知集合A={1，2，m3}，B={1，m}，B?A，则m=________.?
【解析】由B?A得m∈A，所以m=m3或m=2，所以m=2或m=-1或m=1或m=0，
又由集合中元素的互异性知m≠1.
所以m=0或2或-1.
答案：0或2或-1
三、解答题
8.(10分)设集合A={x|-1≤x+1≤6}，B={x|m-1【解析】化简集合A得A={x|-2≤x≤5}.
(1)当m-1≥2m+1，即m≤-2时，B=?A.
(2)当m>-2时，B={x|m-1因此，要B?A，则只要
?-1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围是{m|-1≤m≤2或m≤-2}.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知集合M=，N=，则集合M，N的关系是 ( )
A.M?N B.MN
C.N?M D.NM
【解析】选B.设n=2m或2m+1，m∈Z，则有
N=
=.
又因为M=，所以MN.
2.(5分)已知集合P={x|y=}，集合Q={y|y=}，则P与Q的关系
是 ( )
A.P=Q B.P?Q
C.P?Q D.P∩Q=
【解析】选C.P={x|y=}=[-1，+∞)，
Q={y|y=}=[0，+∞)，所以P?Q.
3.(5分)已知{x|x2-x+a=0}，则实数a的取值范围是________.?
【解题指南】解答本题的关键是对{x|x2-x+a=0}的理解，其实质说明集合{x|x2-x+a=0}是非空集合.
【解析】因为{x|x2-x+a=0}，
所以方程x2-x+a=0有实根，
所以Δ=(-1)2-4a≥0，a≤.
答案：
4.(5分)已知，若A={x|x<-1或x>5}，B={x|a≤x【解析】因为A={x|x<-1或x>5}，B={x|a≤x5，
解得a≤-5或a>5.
答案：a≤-5或a>5
【加练·固】
若{x∈Z|2x-a=0}{x|-1【解析】由题意可知，-1<<3，所以-20，2，4.
答案：{0，2，4}
5.(10分)已知集合A={a，a-1}，B={2，y}，C={x|1(1)若A=B，求y的值.
(2)若A?C，求a的取值范围.
【解题指南】(1)由题意结合集合相等的定义分类讨论可得y的值.
(2)由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得a的范围.
【解析】(1)若a=2，则A={1，2}，所以y=1.
若a-1=2，则a=3，A={2，3}，所以y=3，
综上，y的值为1或3.
(2)因为C={x|2所以
解得3所以a的取值范围是(3，5).
【加练·固】
设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若A=B，求实数a的值.
【解析】由题意得A={0，-4}.
若A=B，则B={0，-4}， 故0，-4是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，
即
解得a=1.
1.设集合M={x|x=2k-1，k∈Z}，N={x|x=4k±1，k∈Z}，则 ( )
A.M=N B.MN
C.NM D.N?M
【解析】选A.方法一：(列举法)
因为集合M={x|x=2k-1，k∈Z}，所以其中的元素是奇数且M={…，-3，-1，1，3，…}.
因为集合N={x|x=4k±1，k∈Z}，所以其中的元素也是奇数且N={…，-3，-1，1，3，…}.
所以它们之间的关系为M=N.
方法二：(特征性质法)当k为偶数，即k=2n，n∈Z时，x=4n-1，n∈Z，
当k为奇数，即k=2n+1，n∈Z时，
x=4n+1，n∈Z，所以集合M=N.
2.已知集合P={x∈R|x2+b=0}，Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4，存在集合M使得PMQ，求这样的集合M.
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.
【解析】(1)当b=4时，方程x2+4=0无实根，
所以P=，又Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-4，-1，1}，所以PQ.
由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{-4}，{-1}，{1}，{-4，-1}，{-4，1}，{-1，1}.
(2)当P=时，P是Q的一个子集，此时b>0.
当P≠时，因为Q={-4，-1，1}，若P?Q，则b=-1.
综上，满足条件的b的取值范围是∪{-1}.
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