课件81张PPT。1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集、并集 1.交集【思考】
当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？
提示：当集合A，B无公共元素时，A与B有交集，它们的交集是空集.2.并集【思考】
(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？如何用维恩图表示？提示：“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.用维恩图表示如图所示.(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？提示：不一定等于.A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和.3.交集与并集的运算性质【思考】
对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B 与A有什么关系？?
提示：(A∩B)?A，A?(A∪B).【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集. ( )
(2)若A∩B=?，则A，B均为空集. ( )(3)A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素.
( )
(4)若x∈A∩B，则x∈A∪B. ( )提示：(1)√.根据交集的定义可知此说法正确.
(2)×.当A∩B=?时，A，B可以为?，也可以不为?，如A={1，2}，B={3，4}，A∩B=?.(3)×.求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性.所以A，B中分别有3个元素，则A∪B中的元素个数可能是3，4，5，6个.
(4)√.因为(A∩B)?(A∪B).2.已知集合M={-1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=
( )
A.{0，1} B.{-1，0，2}
C.{-1，0，1，2} D.{-1，0，1}【解析】选C.M∪N={-1，0，1，2}.3.设集合M=(-3，2)，N=[1，3]，则M∩N= ( )
A.[1，2) B.[1，2]
C.(2，3] D.[2，3]【解析】选A.因为M=(-3，2)且N=[1，3]，
所以M∩N=[1，2).类型一 交集概念及其应用
【典例】1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B= ( )
A.{0，2} B.{1，2}
C.{0} D.{-2，-1，0，1，2}2.已知A={x|x≤-2或x>5}，B={x|1
3.集合A=[-2，5]，集合B =[m+1，2m-1]，世纪金榜导学号
(1)若B?A，求实数m的取值范围.
(2)若A∩B≠?，求实数m的取值范围.【思维·引】1.找集合A，B的公共元素，写出A∩B.
2.在数轴上表示集合A，B，观察图形，根据交集的定义写出A∩B.3.(1)分当B=?和B≠?两种情况讨论.
(2)先求出A∩B=?时实数m的取值范围，再写出A∩B≠?时实数m的取值范围.【解析】1.选A.A∩B={0，2}.2.将集合A和B在数轴上表示出来.根据交集的定义，图中阴影部分即为所求，所以A∩B=(5，7].
答案：(5，7]3.(1)当B=?时，B?A，此时m+1>2m-1，
解得m<2，
当B≠?时，为使B?A，m需满足解得2≤m≤3，
综上知实数m的取值范围为(-∞，3].(2)先求A∩B=?，当B=?时由(1)知m<2，当B≠?时，为
使A∩B=?，m需满足
或 ，解得m>4，
综上知当m<2或m>4时A∩B=?，
所以若A∩B≠?，实数m的取值范围是[2，4].【内化·悟】
画数轴求两个集合的交集时，要注意哪些问题？
提示：(1)两个集合的交集是表示两个集合的图形所覆盖的公共范围.(2)注意端点处的“实”与“虚”.【类题·通】
1.求集合A∩B的步骤
(1)要清楚集合A，B的元素是什么.
(2)把所求交集用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式.(3)把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(相同元素只写一个).2.求集合A∩B的常用方法
(1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.(2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集.
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意“实”“虚”点.【习练·破】
1.已知集合P=(-∞，0)，Q=(-∞，1]，则P∩Q=________.?【解析】因为P=(-∞，0)，Q=(-∞，1]，
故P∩Q=(-∞，0).
答案：(-∞，0)2.已知集合A={a2，a+1，-3}，B={a-3，2a-1，a2+1}，若A∩B={-3}，求实数a的值.【解析】因为A∩B={-3}，所以-3∈B.
而a2+1≠-3，所以a-3=-3或2a-1=-3.(1)当a-3=-3时，a=0.
A={0，1，-3}，B={-3，-1，1}，于是A∩B={-3，1}，这样与A∩B={-3}矛盾；
(2)当2a-1=-3时，a=-1，符合A∩B={-3}，综上知a=-1.【加练·固】
已知集合M=(-∞，a]，N=(-2，0)，若M∩N=?，则a的取值范围为 ( )
A.(0，+∞) B.[0，+∞)
C.(-∞，-2) D.(-∞，-2]【解析】选D.画数轴可知，当M∩N=?时，a的取值范围是(-∞，-2].类型二 并集概念及其应用
【典例】1.设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2-2x=0，x∈R}，则M∪N= ( )
A.{0} B.{0，2}
C.{-2，0} D.{-2，0，2}2.已知集合M={x|-35}，则M∪N= ( )
A.{x|x<-5或x>-3} B.{x|-5C.{x|-35}3.设S={x|x<-1或x>5}，T={x|a世纪金榜导学号
A.-3C.a≤-3或a>-1 D.a<-3或a>-1【思维·引】1.列举法表示集合M，N，根据并集的定义写出M∪N.
2.在数轴上表示集合M，N，观察图形根据并集的定义写出M∪N.
3.在数轴上表示集合S，T，观察图形并根据S∪T=R列出不等式组，求解得实数a应满足的条件.【解析】1.选D.M={x|x2+2x=0，x∈R}={0，-2}，N={x|x2-2x=0，x∈R}={0，2}，故M∪N={-2，0，2}.2.选A.在数轴上表示集合M，N，如图所示， 则M∪N={x|x<-5或x>-3}.3.选A.在数轴上表示集合S，T如图所示.因为S∪T=R，由数轴可得
解得-31.用数轴如何表示下列集合？
(1){x|xb}.
(3){x|xb(ab}(3){x|xb(a提示：(1)两个集合的并集是表示两个集合的图形所覆盖的全部范围.
(2)注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示，当端点在集合中时，应用“实心点”表示.【类题·通】
求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助维恩图写并集.
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；
②借助数轴，求出并集.(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集.
提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个.【习练·破】
1.满足条件{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4【解析】选D.因为{1，2}∪M={1，2，3}，
所以3∈M，则满足条件的M可以是{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，共有4个.2.若集合A=(-∞，1]，B=[0，+∞)，则A∪B=_______.?【解析】如图所以A∪B=R.
答案：R【加练·固】
点集A={(x，y)|x<0}，B={(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限.类型三 集合交、并运算的性质及综合应用
【典例】已知A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}.
世纪金榜导学号
(1)若A∩B=?，求实数a的取值范围.
(2)若A∪B=B，求实数a的取值范围.【思维·引】(1)根据A∩B=?列不等式组，求实数a的取值范围.
(2)由A∪B=B，推出A?B，列不等式求实数a的取值范围.【解析】(1)因为A∩B=?，所以
解得-1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[-1，2].(2)因为A∪B=B，所以A?B，
所以a>5或a+3<-1，
即a的取值范围为a>5或a<-4，
所以实数a的取值范围是(-∞，-4)∪(5，+∞).【素养·探】
交集、并集运算性质的应用问题中，经常利用核心素养中的直观想象，常利用维恩图或数轴直观展示，根据集合运算结果分析集合之间的关系并列出不等式(组)，求参数的值或范围.本例中若将条件改为A={x|-3(1)当B=?，即k+1>2k-1时，k<2，满足B?A；(2)当B≠?时，要使B?A，只需
解得2≤k≤ .综合(1)(2)可知k的取值范围是【类题·通】
1.集合运算常用的性质
(1)A∪B=B?A?B.(2)A∩B=A?A?B.
(3)A∩B=A∪B?A=B.2.利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解.(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=?的情况，否则易漏解.【习练·破】
1.(2018·天津高考)设集合A={1，2，3，4}，B={-1，0，2，3}，C={x∈R|-1≤x<2}，则(A∪B)∩C=( )
A.{-1，1} B.{0，1}
C.{-1，0，1} D.{2，3，4}【解析】选C.因为集合A={1，2，3，4}，
B={-1，0，2，3}，A∪B={-1，0，1，2，3，4}，
所以(A∪B)∩C={-1，0，1}.2. 集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-2x+a-1=0}，A∩B=B，求a的取值范围.【解析】由题意，得A={1，2}，因为A∩B=B，
当B=?时，(-2)2-4(a-1)<0，解得a>2；
当1∈B时，1-2+a-1=0，
解得a=2，且此时B={1}，符合题意；当2∈B时，4-4+a-1=0，
解得a=1，此时B={0，2}，不合题意；
当1∈B且2∈B时，此时a无解.综上所述，a的取值范围是[2，+∞).课件90张PPT。第2课时
补集及综合应用 1.全集的概念及符号表示
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.全集通常用U表示.2.补集及其性质
(1)定义(2)性质：【思考】
?UA，A，U三者之间有什么关系？
提示：A?U，?UA?U，A∪(?UA)=U，A∩(?UA)=?.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)?UU=?，?U ?=U. ( )
(2)若A?B?U，则?UA??UB. ( )
(3)若x∈U，则x∈A或x∈?UA，二者必居其一. ( ) 提示：
(1)√.由集合补集的定义可知两个等式都成立.
(2)√.画出维恩图可知，此说法正确.(3)√.根据补集的定义可知，此说法正确.2.设集合U=R，M={x|x>2或x<0}，则?UM= ( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|0C.{x|x<0或x>2} D.{x|x≤0或x≥2}【解析】选A.如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM={x|0≤x≤2}.3.已知全集U={x|-5【解析】易知U={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，
A={0，1，2}，故?UA={-4，-3，-2，-1，3，4}.
答案：{-4，-3，-2，-1，3，4}类型一 补集的运算
【典例】1.(2018·浙江高考)已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则?UA= ( )
A.? B.{1，3}
C.{2，4，5} D.{1，2，3，4，5}2.若集合A=[-1，1)，当S分别取下列集合时，求?SA.
(1)S=R.(2)S=(-∞，2].(3)S=[-4，1].【思维·引】
1.根据补集的定义直接写出.
2.画数轴表示集合S和集合A，观察数轴结合补集的定义求出?SA.【解析】1.选C.因为全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，所以?UA={2，4，5}.2.(1)把集合A表示在数轴上如图所示.由图知?SA=(-∞，-1)∪[1，+∞).(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示.由图易知?SA=(-∞，-1)∪[1，2].(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示.由图知?SA=[-4，-1)∪{1}.【内化·悟】
借助数轴求集合的补集时要关注什么问题？
提示：(1)注意全集是什么.(2)端点的画法及取到与否.【类题·通】
求集合补集的依据及处理技巧
(1)依据：集合补集的定义.
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助维恩图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.
【习练·破】
1.若全集U={0，1，2，3}且?UA ={2}，则集合A的真子集共有 ( )
A.3个 B.5个 C.7个 D.8个【解析】选C.因为U={0，1，2，3}且?UA={2}，
所以A={0，1，3}，所以集合A的真子集共有7个.2.已知全集U=[-3，+∞)，集合A=(-3，4]，则?UA=________.?【解析】借助数轴得?UA={-3}∪(4，+∞).
答案：{-3}∪(4，+∞)【加练·固】
已知全集为U，集合A={1，3，5，7}， ?UA={2，4，6}，?UB={1，4，6}，求集合B.【解析】
方法一：因为A={1，3，5，7}， ?UA={2，4，6}，
所以U={1，2，3，4，5，6，7}.
又?UB={1，4，6}，所以B={2，3，5，7}.方法二：满足题意的维恩图如图所示.由图可知B={2，3，5，7}.类型二 集合交、并、补的综合运算
角度1 借助维恩图进行集合的基本运算
【典例】1.如图所示，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩?IS D.(M∩P)∪?IS2.若设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，4，5}.世纪金榜导学号
(1)计算?UA，?UB，A∪B，A∩B.
(2)计算(?UA)∪(?UB)，(?UA)∩(?UB)，?U(A∪B)，?U(A∩B).【思维·引】
1.根据交、并、补集的定义，逐个检验.
2.进行集合的交、并、补混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算.【解析】1.选C.阴影部分是M与P的公共部分，且在S的外部.2.(1)因为U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，
B={2，4，5}，
所以?UA={3，4}，?UB={1，3}，
A∪B={1，2，4，5}，A∩B={2，5}.
(2)(?UA)∪(?UB)={1，3，4}，(?UA)∩(?UB)={3}，
?U(A∪B)={3}，?U(A∩B)={1，3，4}.【素养·探】
在集合交、并、补的综合运算问题中，经常利用核心素养中的直观想象，利用维恩图和数轴描述、分析集合的运算问题.
在本例2(2)的基础上，猜测一个一般性的结论，并利用维恩图证明.【解析】由此可猜测：(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)；
(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B).
证明如下：
用维恩图表示(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)，有用维恩图表示(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)有：角度2 借助数轴进行集合的基本运算
【典例】1.(2018·天津高考)设全集为R，集合A={x|0A.{x|0C.{x|1≤x<2} D.{x|01.先计算?RB，再计算A∩(?RB).
2.画数轴，先计算A∩B，?UA，?UB，再计算(?UA)∪B，A∩(?UB).【解析】1.选B.因为集合B={x|x≥1}，
所以?RB={x|x<1}，所以A∩(?RB)={x|0所以?UA=(-∞，-2]∪[3，4]，
?UB=(-∞，-3)∪(2，4].
A∩B=(-2，2]，
所以(?UA)∪B=(-∞，2]∪[3，4]，
A∩(?UB)=(2，3). 【类题·通】
求集合交、并、补运算的方法【习练·破】
1.全集U={x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A={1，9}，A∩B={3}，(?UA)∩(?UB)={4，6，7}，求集合A，B.【解析】方法一：根据题意作出维恩图如图所示. 由图可知A={1，3，9}，B={2，3，5，8}. 方法二：因为(?UB)∩A={1，9}，
(?UA)∩(?UB)={4，6，7}，所以?UB={1，4，6，7，9}.
又因为U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以B={2，3，5，8}.
因为(?UB)∩A={1，9}，A∩B={3}，所以A={1，3，9}. 2.已知全集U=[-1，4]，A=[-1，1]，B=(0，3]，求?UA，(?UB)∩A.【解析】因为U=[-1，4]，A=[-1，1]，
B=(0，3]，结合数轴(如图).可知?UA=(1，4]，
?UB=(3，4]∪[-1，0].结合数轴(如图).可知(?UB)∩A=[-1，0].【加练·固】已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=
{x|-1所以A∩B={x|-13}.
又P=所以(?UB)∪P= .
又?UP=
所以(A∩B)∩(?UP)
={x|-1【典例】1.已知全集U={2，0，3-a2}，P={2，a2-a-2}，
且?UP={-1}，则实数a的值为________.2.已知集合A=[2，+∞)，B=[-1，5]. 世纪金榜导学号
(1)求(?RA)∩B.
(2)若D=[1-a，1+a]，且D∪(?RB)=?RB，求实数a的取值范围.【思维·引】1.由?UP={-1}得，-1∈U，且-1?P，0∈P，列方程求a的值.
2.(1)先计算?RA，再计算(?RA)∩B.
(2)由D∪(?RB)=?RB，确定D与?RB的关系.【解析】1.因为?UP={-1}，所以-1∈U，且-1?P，0∈P.
所以 解得a=2.
经检验，a=2符合题意，故实数a的值为2.
答案：22.(1)因为集合A=[2，+∞)，B=[-1，5].
所以?RA=(-∞，2)，(?RA)∩B=[-1，2).
(2)因为D=[1-a，1+a]且D∪(?RB)=?RB，
?RB=(-∞，-1)∪(5，+∞)，所以D??RB，
当D=?时，1-a>1+a，解得a<0，成立；当D≠?时， 或 ，无解.
综上，实数a的取值范围是(-∞，0).【内化·悟】
对于含有参数的交、并、补问题，依据题目条件求出参数值后，还要注意什么问题？
提示：需将参数值代回检验，舍去不符合题意的参数值.【类题·通】
由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般借助数轴分析法求解.【发散·拓】补集思想的应用
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.【延伸·练】
已知集合A={x|x2+ax+1=0}，B={x|x2+2x-a=0}，C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围. 【解析】假设三个方程均无实根，则有
即 解得- 三个方程至少有一个方程有实根，即三个集合至少有
一个集合不是空集.
则a的取值范围为【习练·破】
已知集合A=(-∞，a)，B=(-∞，1)∪(3，+∞).
若A∩(?RB)=?，求实数a的取值范围.【解析】?RB=[1，3]，利用数轴画出集合A与?RB，如图.因为A∩(?RB)=?，所以应满足a≤1，故a的取值范围是(-∞，1].【加练·固】
已知全集U=[-6，5]，M=(-3，2]，N=(0，2).
(1)求M∩(?UN).
(2)若C=[a，2a-1]且C?(?UM)，求a的取值范围.【解析】(1)全集U=[-6，5]，
M=(-3，2]，
N=(0，2)，
所以?UN=[-6，0]∪[2，5]，
所以M∩(?UN)=(-3，0]∪{2}.(2)因为C=[a，2a-1]，?UM=[-6，-3]∪(2，5]，且C?(?UM)，
当C=?时，a>2a-1，解得a<1；
当C≠?且C?(?UM)时， 或
解得2综上所述：a的取值范围是(-∞，1)∪(2，3].类型四 集合的基本运算在实际问题中的应用
【生活情境】
某校随机抽取50名学生调查对A，B两事件的态度，有
如下结果：赞成A的人数是这50名学生的 ，其余的
不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另
外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的 多1人.你能说出对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗？
【转化模板】
1. ——由题意，A和B都赞成对应交集、A和B都不赞
成对应并集的补集，所以可建立集合模型求解.
2. ——设50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全
体为集合A，赞成B的学生全体为集合B.3. ——已知全集U中有50个元素，集合A中的元素个
数是全集的 ，集合B中的元素比集合A中的元素多
3个，集合A∪B相对于全集U的补集的元素个数比集合
A∩B的元素的个数的 多1人.求集合A和集合B元素的
个数.4. ——设对A，B都赞成的学生人数为x.已知赞成A
的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33， 记
50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，
赞成B的学生全体为集合B.用维恩图表示如图所示.已知对A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为 +1，
赞成A而不赞成B的人数为30-x，
赞成B而不赞成A的人数为33-x.
依题意(30-x)+(33-x)+x+ =50，解得x=21.5. ——对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有
8人.温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B= ( )
A.(-1，+∞) B.(-∞，2)
C.(-1，2) D.?
【解析】选C.结合数轴可得A∩B=(-1，2).
2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是 ( )
A.N?M B.M∪N=M
C.M∩N=N D.M∩N={2}
【解析】选D.因为-2∈N，但-2?M，所以A，B，C三个选项均不对.
3.若集合A={x|-24}，则集合A∪B等于 ( )
A.{x|x≤3或x>4} B.{x|-1C.{x|3≤x<4} D.{x|-2≤x<-1}
【解析】选A.直接在数轴上标出A，B的区间，如图所示，A∪B={x|x≤3或x>4}.
4.若集合A={x|3≤x<7}，B={x|2【解析】由集合A={x|3≤x<7}，B={x|2得到A∪B={x|2由集合B={x|2则C∩B={x|2答案：{x|2【新情境·新思维】
设M=[m，m+]，N=[n-，n]都是[0，1]的子集，如果b-a叫做集合[a，b]的长度，则集合M∩N的长度的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.根据题意，M的长度为m+-m=，N的长度为n-=，当集合M∩N的长度取最小值时，有以下两种情况：
(1)m=0，n=1，如图1所示：
(2)m+=1，n-=0，即m=，n=，如图2所示：
观察图形可知，集合M∩N的长度的最小值为+-1=.
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课堂检测·素养达标
1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，则B∩?UA= ( )
A.{1，6} B.{1，7}
C.{6，7} D.{1，6，7}
【解析】选C.由已知得?UA={1，6，7}，所以B∩?UA={6，7}.
2.已知全集U=R，集合A={x|1≤2x+1<9}，则?UA等于 ( )
A.{x|x<0或x>4} B.{x|x≤0或x>4}
C.{x|x≤0或x≥4} D.{x|x<0或x≥4}
【解析】选D.因为U=R，A={x|0≤x<4}，
所以?UA={x|x<0或x≥4}.
3.如图阴影部分表示的集合是 ( )
A.A∩(?UB) B.(?UA)∩B
C.?U(A∩B) D.?U(A∪B)
【解析】选A.由维恩图可知，阴影部分在集合B外，同时在集合A内，应是A∩(?UB).
4.已知全集U=[1，5]，A=[1，a)，若?UA=[2，5]，则a=________.?
【解析】因为A=[1，a)，?UA=[2，5]，
所以A∪(?UA)=U=[1，5]，且A∩(?UA)=?，
所以a=2.
答案：2
【新情境·新思维】
A.(X∪Y)∪(?UZ) B.(X∩Y)∪(?UZ)
C.[(?UX)∪(?UY)]∩Z D.(?UX)∪[(?UY)∪Z]
【解析】选D. 根据运算“”的定义可得，
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课时素养评价
五 补集及综合应用
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.设全集U=R，则下列集合运算结果为R的是 ( )
A.Z∪(UN) B.N∩(UN)
C.U(U) D.UQ
【解析】选A. Z∪(UN)=R，N∩(UN)= ，
U(U)=，UQ表示无理数构成的集合.
2.(多选题)设全集为U，则图中的阴影部分可以表示为 ( )
A.U(A∪B) B.(UA)∩(UB)
C.U(A∩B) D.A∪(UB)
【解析】选A、B.阴影部分的元素是由不属于集合A且不属于集合B的元素构成，
即元素x∈U但x?A，x?B，
即x∈(UA)∩(UB)，
即x∈(U(A∪B)).
3.已知集合A，B均为全集U={1，2，3，4}的子集，且U(A∪B)={4}，B={1，2}，则A∩(UB)= ( )
A.{3} B.{4} C.{3，4} D.
【解析】选A.由U={1，2，3，4}，且U(A∪B)={4}，知A∪B={1，2，3}，
又B={1，2}，
所以A中一定有元素3，没有元素4，
所以A∩(UB)={3}.
4.已知集合P=(0，+∞)，Q=(-1，1)，那么(RP) ∩Q= ( )
A.(-1，+∞) B.(0，1)
C.(-1，0] D.(-1，1)
【解析】选C.因为P=(0，+∞)，
所以RP=(-∞，0]，
因为Q=(-1，1)，
所以(RP)∩Q=(-1，0].
【加练·固】
已知全集U=R，集合A=(-∞，-1)∪(4，+∞)，B=[-2，3]，那么阴影部分表示的集合为 ( )
A.[-2，4] B.(-∞，3]∪[4，+∞)
C.[-2，-1] D.[-1，3]
【解析】选D.由题意得，阴影部分所表示的集合为(UA)∩B=[-1，4]∩
[-2，3]=[-1，3].
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知全集U={x∈N*|x≤9}，(UA)∩B={1，6}，A∩(UB)={2，3}，(UA)∩(UB)={4，5，7，8}，则A=________，B=________.?
【解析】因为全集U={x∈N*|x≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
(UA)∩B={1，6}，A∩(UB)={2，3}，(UA)∩(UB)={4，5，7，8}，
所以作出维恩图，得：
由维恩图得：A={2，3，9}，B={1，6，9}.
答案：{2，3，9} {1，6，9}
6.已知集合A=(-∞，a)，B=(1，2)，A∪(RB)=R，则实数a的取值范围是________.?
【解析】因为RB=(-∞，1]∪[2，+∞)，
又A=(-∞，a)，观察RB，A在数轴上所表示的区间，如图所示.可知当a≥2时，A∪(RB)=R.
答案：[2，+∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.设全集U={x∈Z|0≤x≤10}，A={1，2，4，5，9}，B={4，6，7，8，10}，
C={3，5，7}.
求A∪B，(A∩B)∩C，(UA)∩(UB).
【解析】A∪B={1，2，4，5，6，7，8，9，10}；
(A∩B)∩C=；(UA)∩(UB)={0，3}.
8.已知集合A={x|x<-3或x>2}，B={x|-4≤x-2<2}，
(1)求A∩B ，(RA)∪(RB ).
(2)若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合A的真子集，求实数k的取值范围.
【解析】(1)因为B={x|-4≤x-2<2}={x|-2≤x<4}，且A={x|x<-3或x>2}，
所以RA={x|-3≤x≤2}，RB={x|x<-2或x≥4}，所以A∩B ={x|2(RA)∪(RB ) ={x|x≤2或x≥4}.
(2)当M=时，则2k-1>2k+1，无解，
因为集合M是集合A的真子集，
所以2k+1<-3或2k-1>2，
解得k<-2或k>，
所以实数k的取值范围是.
(15分钟·30分)
1.(5分)设U=R，N={x|-2A.-1C.-1【解析】选D.因为UN是UM的真子集，
所以M是N的真子集，
所以a-1≥-2且a+1≤2，
解得-1≤a≤1.
2.(5分)设U={1，2，3，4，5}，若A∩B={2}，(UA)∩B={4}，(UA)∩(UB)=
{1，5}，则下列结论正确的是 ( )
A.3?A且3?B B.3∈A且3?B
C.3?A且3∈B D.3∈A且3∈B
【解析】选B.因为U={1，2，3，4，5} ，若A∩B={2}，(UA)∩B={4}，
(UA)∩(UB)={1，5}，所以画出维恩图：
所以A={2，3}，B={2，4}，
则3∈A且3?B.
3.(5分)设集合P={x|x=3k+1，k∈Z}，Q={x|x=3k-1，k∈Z}，则Z(P∪Q)
=________.?
【解析】P={x|x=3k+1，k∈Z}，表示被3除余数为1的整数构成的集合，
Q={x|x=3k-1，k∈Z}={x|x=3n+2，n∈Z}，表示被3除余数为2的整数构成的集合，
故P∪Q表示被3除余数为1或余数为2的整数构成的集合，Z(P∪Q)={x|x=3k，k∈Z}.
答案：{x|x=3k，k∈Z}
4.(5分)下列命题之中，U为全集时，下列说法正确的是________.(填序号) ?
(1)若A∩B=，则(UA)∪(UB)=U；
(2)若A∩B=，则A=或B=；
(3)若A∪B=U，则(UA)∩(UB)= ；
(4)若A∪B=，则A=B=.
【解析】(1)对，因为(UA)∪(UB)=U(A∩B)，而A∩B=，所以(UA)∪(UB)
=U(A∩B)=U.
(2)错，A∩B=，集合A，B不一定要为空集，只需两个集合无公共元素即可.
(3)对，因为(UA)∩(UB)=U(A∪B)，而A∪B=U，所以(UA)∩(UB)=U(A∪B)= .
(4)对，A∪B=，即集合A，B均无元素.
综上(1)(3)(4)对.
答案：(1)(3)(4)
5.(10分)已知全集U={1，2，3，4，5}，A={x|x2-5x+m=0}，B={x|x2+nx+12=0}，且(UA)∪B={1，3，4，5}，求m+n的值.
【解析】因为U={1，2，3，4，5}，(UA)∪B={1，3，4，5}，
所以2∈A，又A={x|x2-5x+m=0}，
所以2是关于x的方程x2-5x+m=0的一个根，
得m=6且A={2，3}，所以UA={1，4，5}.
而(UA)∪B={1，3，4，5}，
所以3∈B，又B={x|x2+nx+12=0}，
所以3一定是关于x的方程x2+nx+12=0的一个根，
所以n=-7且B={3，4}，所以m+n=-1.
1.已知全集U，M，N是U的非空子集，且UM?N，则必有 ( )
A.M?UN B.MUN
C.UM=UN D.M?N
【解析】选A.依据题意画出维恩图，
观察可知，M?UN.
2.已知全集U=R，集合A={x|x≤-a-1}，B={x|x>a+2}，C={x|x<0或x≥4}都是U的子集，若U(A∪B)?C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)-a-1-，
所以U(A∪B)=(-a-1，a+2].
为使U(A∪B)?C成立，
所以a+2<0，
解得a<-2，
或-a-1≥4，
解得a≤-5，
而此时a>-，所以无解.
(2)-a-1≥a+2时，
得：a≤-，
所以U(A∪B)= ，
显然U(A∪B)?C成立，
综上知，a的取值范围是.
【加练·固】
已知全集U=R，集合A=(2，9)，B=[-2，5].
(1)求A∩B，B∪(UA).
(2)已知集合C=[a，a+2]，若C?(UB)，求实数a的取值范围.
【解析】(1)全集U=R，集合A=(2，9)，
B=[-2，5].
则UA=(-∞，2]∪[9，+∞)，
那么A∩B=(2，5]，
B∪(UA)=(-∞，5]∪[9，+∞).
(2)集合C=[a，a+2]，
B=[-2，5].
则UB=(-∞，-2)∪(5，+∞)，
因为C?(UB)，
所以需满足：a+2<-2或a>5，
故得：a<-4或a>5，
所以实数a的取值范围是(-∞，-4)∪(5，+∞).
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课时素养评价
四 交集、并集
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )
A.{0} B.{1}
C.{1，2} D.{0，1，2}
【解析】选C.因为A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，所以A∩B={1，2}.
2.已知集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B= ( )
A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥2}
C.{x|2≤x<4} D.{x|2≤x≤3}
【解析】选B.因为A={x|2≤x<4}，B={x|x≥3}，所以A∪B={x|x≥2}.
3.(多选题)已知集合A={x|x2=x}，集合B中有两个元素，且满足A∪B=
{0，1，2}，则集合B可以是 ( )
A.{0，1} B.{0，2} C.{0，3} D.{1，2}
【解析】选B、D.因为A={0，1}，集合B中有两个元素，且满足A∪B=
{0，1，2}，则B中一定有元素2，
所以集合B可以是{0，2}或{1，2}.
【加练·固】
设集合A={a，b}，B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B等于 ( )
A.{1，2，5} B.{1，2}
C.{1，5} D.{2，5}
【解析】选A.因为A∩B={2}，
所以2∈A，且2∈B，
所以a+1=2， 所以a=1，
所以b=2.
所以A={1，2}，B={2，5}，
所以A∪B={1，2，5}.
4.已知集合A=[-1，2)，B=(-∞，a)，若A∩B≠，则实数a的取值范围
为 ( )
A.(-1，2] B.(-1，+∞)
C.(-2，+∞) D.[2，+∞)
【解析】选B.因为A=[-1，2)，B=(-∞，a)，A∩B≠?，画出数轴表示两个集合如图：
观察图形可知a的取值范围是(-1，+∞).
【加练·固】
已知A=[1，+∞)，B=，若A∩B≠，则实数a的取值范围是( )
A.[1，+∞) B.
C. D.(1，+∞)
【解析】选A.A=[1，+∞)，B=，
且A∩B≠，
所以2a-1≥1，
所以a的取值范围是[1，+∞).
【误区警示】解答本题容易出现2a-1>1，解得a>1的错误.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知U=R，集合A=[-3，3]，B=[2，+∞)，则A∩B=________，A∪B=________.?
【解析】A∩B=[2，3]，A∪B=[-3，+∞).
答案：[2，3] [-3，+∞)
6.已知集合M={(x，y)|x+y=3}，N={(x，y)|x-y=5}，则M∩N等于________.?
【解析】解得
所以M∩N={(4，-1)}.
答案：{(4，-1)}
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知集合A={x|x2-px-2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，若A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，求p+q+r的值.
【解析】因为A∩B={-2}，
所以-2∈A，代入x2-px-2=0.
解得p=-1，
所以A={-2，1}，
由A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，
得B={-2，5}.
所以-2，5是方程x2+qx+r=0的两个根，
由根与系数的关系可得-q=-2+5，r=(-2)×5.
所以q=-3，r=-10，
所以p+q+r =-14.
8.已知A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+8=2}，C={x|x2+2x-8=0}，
若(A∩B)，且A∩C=，求a的值.
【解析】A={x|x2-ax+a2-19=0}，
B={2，3}，C={-4，2}.
因为(A∩B)，
所以A∩B≠，
又A∩C=，
那么3∈A，故9-3a+a2-19=0.
即a2-3a-10=0.
所以a=-2或a=5.
当a=-2时A={x|x2+2x-15=0}={3，-5}，符合题意.
当a=5时A={x|x2-5x+6=0}={2，3}，
不符合A∩C=.
综上知，a=-2.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中所有元素的和为 ( )
A.14 B.22 C.32 D.34
【解析】选B.集合A中元素满足x=3n+2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14，即A∩B={8，14}，8+14=22.
2.(5分)若集合A={0，1，2，x}，B={1，x2}，A∪B=A，则满足条件的实数
x有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.因为A∪B=A，所以B?A.
因为A={0，1，2，x}，B={1，x2}，
所以x2=0或x2=2或x2=x，
解得x=0或或-或1.
经检验，当x=或-时满足题意.
3.(5分)若集合M={x|-2【解析】由y=x2+1≥1，
化简集合N={y|y≥1}，
又因为M={x|-2所以M∩N=[1，3).
答案：[1，3)
【加练·固】
已知集合P={y|y=x+1，x≥0}，Q={y|y=5-x2，x∈R}，则P∪Q=________. ?
【解析】因为P={y|y=x+1，x≥0}={y|y≥1}，Q={y|y=5-x2，x∈R}={y|y≤5}，所以P∪Q=R.
答案：R
4.(5分)集合A={x|2k【解析】在数轴上表示集合A，B，如图
所以A∩B={x|2答案：{x|25.(10分)若集合A={x|x2+5x-6=0}，B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}.
(1)若m=0，写出A∪B的子集.
(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围.
【解析】A={-6，1}.
(1)根据题意，m=0时，B={1，-3}，
A∪B={-6，-3，1}；
所以A∪B的子集为：，{-6}，{-3}，{1}，
{-6，-3}，{-6，1}，{-3，1}，{-6，-3，1}.
(2)由已知得B?A，对于集合B，Δ=4(m+1)2-4(m2-3)=8m+16.
当m<-2时，B=，成立.
当m=-2时，B={1}?A，成立.
当m>-2时，又B?A，所以B={-6，1}；
所以?m无解，
综上所述：m的取值范围是m≤-2.
1.设A={x|1≤x≤4}，B={x|x>t}，若A∩B只有一个子集，则t的取值范围是________. ?
【解析】若A∩B只有一个子集，则必然为空集，即A∩B=?.由A={x|1≤x≤4}，B={x|x>t}，则t≥4.
答案：[4，+∞)
【加练·固】
设集合A={2，3，4，5}，B={4，5，6，7}，则满足S?A且S∩B≠的集合的S个数为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】选C.集合A的子集有，{2}，{3}，{4}，{5}，{2，3}，{2，4}，
{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，{2，4，5}，{2，3，5}，
{2，3，4}，{2，3，4，5}，共16个；
又S∩B≠， B={4，5，6，7}，所以S只能为{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，
{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，{2，4，5}，{2，3，5}，{2，3，4}，
{2，3，4，5}，共12个.
2.已知集合A={x|-2(1)若A∪B=A，求实数m的取值范围.
(2)若A∩B={x|a【解析】(1)因为A∪B=A，
则B?A，集合B有两种情况：
当B=时，则m满足2m-1≥m+3
解得m≥4；
当B≠时，
则m满足
解得-≤m<4.
综上m的取值范围是m≥-.
(2)因为A={x|-2①当A∩B=B时，
则m满足
解得m=1，
②当A∩B={x|2m-1则m满足
此时满足条件的m不存在.
③当A∩B={x|-2则m满足
解得m=-2，
综上，m的值为-2或1.
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