课件62张PPT。1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词 1.命题2.全称量词与全称量词命题
(1)全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“?”表示.(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
(3)符号表示：“对集合M中的所有元素x，r(x)”.可简记为：?x∈M，r(x).【思考】
常见的全称量词还有哪些？
提示：常见的全称量词还有“一切”“全部”“任给”“凡是”等.3.存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“?”表示.(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
(3)符号表示：“存在集合M中的元素x，s(x)”.可简记为：?x∈M，s(x).s【思考】
常见的存在量词还有哪些？
提示：常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”等.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题. ( )
(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. ( )
(3)全称量词命题一定含有全称量词. ( )提示：(1)√.全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”.
(2)√.存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”.(3)×.有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”即“所有正数都大于0”，故说法是错误的.2.下列命题中是存在量词命题的是 ( )
A.?x∈R，x2≥0
B.?x∈R，x2<0
C.平行四边形的对边不平行
D.矩形的任一组对边都不相等【解析】选B.A，C，D是全称量词命题，B是存在量词命题.3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的
是 ( )
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在实数x，平方为8
C.所有菱形的四条边都相等
D.存在一个实数x0使不等式 -3x0+6<0成立【解析】选C.A是全称量词命题但是假命题，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题且是真命题.类型一 判断命题的真假
【典例】1.能说明命题“对于任何实数a，|a|>-a”是假命题的一个反例可以是 ( )
A.a=-2 B.a= C.a=1 D.a= 2.判断下列命题的真假：
(1)如果a是无理数，b是无理数，则a+b是无理数.
(2)三角形的内角和都是180°.
(3)相似三角形必全等.(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
(5)过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(6)圆内接四边形的对角互补.【思维·引】
1.举反例说明一个命题是假命题，就是所举例子满足命题题设，而不满足结论.
2.依据有关知识逐项判断，同时要注意用举反例的方法说明一个命题是假命题.【解析】1.选A.说明命题“对于任何实数a，|a|>-a”是假命题的一个反例可以是a=-2，当a=-2时，|a|=-a.2.(1)是假命题，若a= ，b=2- ，它们都是无理数，但a+b=2是有理数.
(2)是真命题，这是三角形的内角和定理.
(3)是假命题，相似三角形不一定全等.(4)是真命题，菱形的对角线互相垂直.
(5)是真命题，过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(6)是真命题，圆内接四边形的对角互补.【内化·悟】
以前学过的哪些知识是真命题？
提示：以前学过的公理和定理、公式等都是真命题.【类题·通】
判断一个命题真假的方法
(1)判断一个命题是真命题，可从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明.
(2)判断一个命题是假命题，首先分清原命题的条件与结论，然后举反例说明这个命题是假命题，就是所举例子满足命题条件，而不满足结论.【习练·破】
判断下列命题的真假：
(1)一个角的补角必大于这个角.
(2)一个有理数必有两个平方根.
(3)直径所对的圆周角是直角.
(4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
(5)等式两边都加同一个数，结果仍是等式.【解析】(1)是假命题，例如设这个角是90°，它的补角是90°，而90°=90°.
(2)是假命题，例如有理数-1没有平方根.
(3)是真命题，这是关于圆周角的结论.(4)是假命题，两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等.
(5)是真命题，这是等式的性质.【加练·固】判断下列命题的真假：
(1)全等的三角形必相似.
(2)同角或等角的补角相等.
(3)互为相反数的两个数相加得0.
(4)若ab=0，则a+b=0.【解析】(1)是真命题，全等的三角形对应角相等，可推出相似.
(2)是真命题，互补的两个角和为180°，
由此可推出同角或等角的补角相等.(3)是真命题，由相反数的定义可知此命题是真命题.
(4)是假命题，若a=0，b=4，ab=0，但a+b≠0.类型二 全称量词命题与存在量词命题及其真假判断
【典例】1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)对任意的n∈Z，2n+1是奇数.
(2)有些三角形不是等腰三角形.
(3)有的实数是无限不循环小数.
(4)所有的正方形都是矩形.2.判断下列命题的真假：
(1)存在有理数x，使x2-2=0.
(2)?x∈Z，使3x+4=5.
(3)?x∈R，使x2+x+1>0.
(4)凸多边形的外角和等于360°.【思维·引】
1.有全称量词的是全称量词命题，有存在量词的是存在量词命题，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断.2.对于存在量词命题，若存在一个元素x满足s(x)，是真命题，否则是假命题.对于全称量词命题，若存在一个元素x不满足r(x)，是假命题，要证明全称量词命题是真命题，就必须证明每一个元素x满足r(x).【解析】1.(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.
(3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题.
(4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题.2.(1)方程x2-2=0无有理数根，所以该命题是假命题.
(2)由于3x+4=5成立时，x= ?Z，
因而不存在x∈Z，使3x+4=5.
所以此命题是假命题.(3)对于任意的x∈R，x2+x+1= >0恒成立，
所以此命题是真命题.
(4)凸多边形的外角和等于360°是真命题.【内化·悟】
判断全称量词命题真假时，真命题容易判断还是假命题容易判断？存在量词命题呢？
提示：判断全称量词命题为假比判断其为真容易，只需一个反例即可；判断存在量词命题为真比判断其为假容易，只需一个特例.【类题·通】
1.判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路2.全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
(1)全称量词命题的真假判断.
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M
中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题
是假命题，只要能举出集合M中的一个x=x0，使得p(x0)
不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)存在量词命题的真假判断.
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x=x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题.【习练·破】
指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假.(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点.
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数.
(3)?x，y∈Z，使3x-4y=20.
(4)任何数的0次方都等于1.【解析】(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题.
(2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题.(3)存在量词命题.取x=0，y=-5时，3×0-4×(-5)=20成立，所以该命题是真命题.
(4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题.【加练·固】
指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假.
(1)?x∈Q，x2=3.
(2)钝角三角形有的高在三角形外部.
(3)对任意的a，b∈R，都有a2+b2-2a-2b+2<0.【解析】(1)存在量词命题.由于使x2=3成立的实数只
有± ，且它们都不是有理数，因此没有任何一个
有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题.(2)存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题.
(3)全称量词命题.a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0，所以该命题是假命题.类型三 全称量词命题与存在量词命题的应用
【典例】1.已知命题p：“?x∈R，关于x的一元二次
方程x2-2 x+m=0有实数根”是真命题，则实数m的取
值范围是 ( )
A.(-∞，3) B.(3，+∞)
C.(-∞，3] D.[3，+∞)2.已知命题p：“?x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________ . 世纪金榜导学号?【思维·引】
1.由题意可知对应的方程有实数解，即Δ≥0.
2.根据x2≥0确定实数m的取值范围.【解析】1.选C.因为关于x的一元二次方程
x2-2 x+m=0有实数根，
所以Δ=(-2 )2-4m≥0，
解得m≤3，
所以实数m的取值范围是(-∞，3].2.当x∈R时，x2≥0，若“?x∈R，mx2≥0”是真命题，须有m≥0.
答案：[0，+∞)【素养·探】
在与全称量词命题与存在量词命题的应用有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过研究全称量词命题和存在量词命题的意义，推理得到参数的取值范围.将本例1的方程改为“x2+2x+2=m”，求实数m的取值范围.【解析】依题意，方程x2+2x+2-m=0有实数解，
所以Δ=4-4(2-m)≥0，解得m≥1，
所以m的取值范围是[1，+∞).【类题·通】
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围.(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决.【习练·破】
已知命题p：“?x≥3，使得2x-1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________ .?【解析】因为当x≥3时，2x-1≥5，
所以若“?x≥3，使得2x-1≥m”是真命题，则m≤5.
答案：(-∞，5]温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.下列选项中，可以用来证明命题“若|a-1|>1，则a>2”是假命题的反例
是 ( )
A.a=2 B.a=-1 C.a=0 D.a=1
【解析】选B.可以用来证明命题“若|a-1|>1，则a>2”是假命题的反例可以是a=-1，
因为a=-1时|a-1|>1成立，但是a>2不成立.
2.下列命题中是真命题的是 ( )
A.?x∈R，x2+1<0 B.?x∈Z，3x+1是整数
C.?x∈R，|x|>3 D.?x∈Q，x2∈Z
【解析】选B.A是假命题.因为?x∈R，x2+1>1；
B是真命题.当x=1时，3x+1=4是整数；
C是假命题.如x=2时，|x|<3；
D是假命题.如x=，x2?Z.
3.下列命题中，是全称量词命题的有________，是存在量词命题的有________.(填序号)?
①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？
【解析】④为存在量词命题，①②③为全称量词命题，而⑤不是命题.
答案：①②③ ④
4.已知命题p：“?x<0，mx≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________ .?
【解析】因为“?x<0，mx≥0”是真命题，
所以关于x的不等式mx≥0有负实数解，
所以m≤0.
答案：(-∞，0]
【新情境·新思维】
用符号“?”与“?”表示下面含有量词的命题，并判断真假.
(1)不等式x2-x+≥0对一切实数x都成立.
(2)存在实数x，使得=.
【解析】(1)?x∈R，x2-x+≥0恒成立.
x2-x+=≥0，故该命题为真命题.
(2)?x∈R，使得=.
因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，
所以≤<.
故该命题是假命题.
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课时素养评价
六 命题与量词
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.下列命题是假命题的是 ( )
A.三角形的内心到这个三角形三边的距离相等
B.有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C.直角坐标系中，点(a，b)关于原点成中心对称的点的坐标为(-b，-a)
D.有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形
【解析】选C.A.三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，是真命题，故此选项不符合题意；
B.有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故此选项不符合题意；C.直角坐标系中，点(a，b)关于原点成中心对称的点的坐标为(-a，-b)，故是假命题，故此选项符合题意；D.有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形，是真命题，故此选项不符合题意.
2.(多选题)下列命题中是真命题的是 ( )
A.?x∈R，2x2-3x+4>0
B.?x∈{1，-1，0}，2x+1>0
C.?x∈N，使≤x
D.?x∈N*，使x为29的约数
【解析】选A、C、D.对于A，这是全称量词命题，由于Δ=(-3)2-4×2×4<0，
所以2x2-3x+4>0恒成立，故A为真命题；
对于B，这是全称量词命题，由于当x=-1时，2x+1>0不成立，故B为假命题；
对于C，这是存在量词命题，当x=0时，有≤x成立，故C为真命题；
对于D，这是存在量词命题，当x=1时，x为29的约数成立，所以D为真命题.
3.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是 ( )
A.?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
B.?a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
C.?a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
D.?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.A、B不是全称量词命题，故排除；
等式a2+b2+2ab=(a+b)2对全体实数都成立.
4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 ( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
【解析】选B.选项A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；
选项B中x=0时，x2=0，所以B既是存在量词命题又是真命题；
选项C中因为+(-)=0，所以C是假命题；
选项D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.下列命题：①偶数都可以被2整除；②任何一个实数乘以0都等于0；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填上所有满足要求的序号).?
【解析】①是全称量词命题；②是全称量词命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题；④是存在量词命题；⑤是存在量词命题.
答案：①② ③④⑤
6.下列全称量词命题中是真命题的为________.(填序号)?
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2+b2≥2ab；
③角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
④?x∈R，y∈R，都有x2+|y|>0.
【解析】①②③为真命题；当x=y=0时，x2+|y|=0，④为假命题.
答案：①②③
三、解答题
7.(16分)指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假.
(1)存在一个实数，使等式x2+x+8=0成立.
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交.
(3)?x∈R，<0.
(4)存在实数x，=-x.
【解析】(1)存在量词命题.
因为x2+x+8=+>0，
所以该命题为假命题.
(2)全称量词命题，如函数y=x2+1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题.
(3)存在量词命题.非负数有算术平方根，且仍为非负数，所以该命题为假命题.
(4)存在量词命题.当x≤0时，=-x，所以该命题为真命题.
(15分钟·30分)
1.(4分)设非空集合P，Q满足，P∩Q=Q且P≠Q，则下列命题是假命题的
是 ( )
A.?x∈Q，有x∈P B.?x∈P，有x?Q
C.?x?Q，有x∈P D.?x?Q，有x?P
【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q，
所以QP，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有元素集合Q中是没有的，所以A，B，C正确，D错误.
2.(4分)已知?x∈[0，2]，m>x，?x∈[0，2]，n>x，那么m，n的取值范围分别是 ( )
A.m∈(0，+∞)，n∈(0，+∞)
B.m∈(0，+∞)，n∈(2，+∞)
C.m∈(2，+∞)，n∈(0，+∞)
D.m∈(2，+∞)，n∈(2，+∞)
【解析】选C.由?x∈[0，2]，m>x，可得m>2；由?x∈[0，2]，n>x，可得n>0.
3.(4分)下列命题中是真命题的为________.(填序号)?
①菱形的每一条对角线平分一组对角.
②?x1，x2∈R，且x1③?x∈Z，x2的个位数不是2.
④方程2x+4y=3的所有解都不是整数解.
【解析】①真命题.由菱形的性质可知，该命题是真命题.
②假命题.如-2<-1，但是(-2)2>(-1)2.
③真命题.?x∈Z，x2的个位数有可能是0，1，4，5，6，9.
④真命题.当x，y∈Z时，左边是偶数，右边3是奇数，不可能相等.
答案：①③④
4.(4分)已知命题p：“?x∈R，(a-3)x+1=0”是真命题，则实数a的取值集合是________ .?
【解析】因为“?x∈R，(a-3)x+1=0”是真命题，所以关于x的方程(a-3)x+1=0有实数解，
所以a-3≠0，即a≠3，
所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠3}.
答案：{a∈R|a≠3}
5.(14分)若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围.
【解析】若x>0，由|x|>ax得a<=1，
若x<0，由|x|>ax得a>=-1，
若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，
则实数a的取值范围是(-1，1).
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