课件63张PPT。3.1.2 函数的单调性
第1课时 函数的单调性1.函数单调性的定义
设函数y=f(x)的定义域为D，且I?D，如果对任意x1，x2∈I，当x1
函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？
提示：不能，不能用特殊代替一般.2．函数的单调性与单调区间
函数y=f（x）在区间I上是增函数或减函数，则函数在区间I上具有单调性，区间I叫函数的单调区间，分别称为单调递增区间或单调递减区间.【思考】
区间I一定是函数的定义域吗？
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数f(x)=2x2，若f(-1) ( )
(3)函数f(x)在定义域或其某一个子区间上一定有严格
的单调性. ( )提示：(1)×.函数f(x)=2x2在(0，+∞)上是增函数.
(2)×.函数f(x)= 的单调递减区间为(-∞，0)，
(0，+∞)，不能用“并”表示.
(3)×.常数函数不具有严格的单调性.2.如图是函数y=f(x)的图像，则函数f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-1，0)
B.(1，+∞)
C.(-1，0)∪(1，+∞)
D.(-1，0)，(1，+∞)【解析】选D.若函数单调递减，则对应图像为下降的，由图像知，函数在(-1，0)，(1，+∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(-1，0)，(1，+∞).3.若y=f(x)是定义在(-∞，+∞)上是减函数，且f(x)
所以由f(x)得x>2x-2，所以x<2，
所以x的取值范围为(-∞，2).
答案：(-∞，2)类型一 利用图像求函数的单调区间
【典例】1.如图是定义在区间[-2，2]的函数y=f(x)，则f(x)的单调递减区间是________.?2.函数f(x)=x|x|-2x的单调递增区间为________.?【思维·引】
1.图像从左到右下降的区间为单调递减区间.
2.分情况去掉绝对值，作出图像确定单调递增区间.【解析】1.由图像可以看出f(x)的单调递减区间是
[-1，1].
答案：[-1，1]2.x≥0时，f(x)=x2-2x，对称轴为x=1，开口向上，在(1，+∞)单调递增，x<0时f(x)=-x2-2x，对称轴x=
-1，开口向下，在(-∞，-1)单调递增，
所以函数的单调递增区间是(-∞，-1)和(1，+∞).
答案：(-∞，-1)和(1，+∞)【内化·悟】
怎样求函数的单调区间？
提示：作出函数的图像，利用图像的上升、下降确定单调区间.【类题·通】
图像法求函数单调区间的步骤
①作图：作出函数的图像；
②结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间.【习练·破】
函数f(x)=|x+2|的单调递增区间是________.?【解析】f(x)=|x+2|=
所以x≥-2时，f(x)=x+2单调递增，
所以f(x)的单调递增区间为[-2，+∞).
答案：[-2，+∞)【加练·固】
画出函数y=|x|(x-2)的图像，并指出函数的单调区间.【解析】y=|x|(x-2)=
函数的图像如图所示.由函数的图像知：函数的单调递增区间为(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为(0，1).
类型二 利用定义证明函数的单调性
【典例】1.下列函数中，在R上是增函数的是 ( )
A.y=|x| B.y=x
C.y=x2 D.y= 2.证明函数f(x)=x- 在(0，+∞)上是增函数.
世纪金榜导学号【思维·引】1.考查当x增大时，函数值y的变化.
2.利用单调性的定义证明.【解析】1.选B.根据题意，依次分析选项：
对于A选项，y=|x|= 在R上不是增函数，不
符合题意；对于B选项，y=x，为正比例函数，在R上是增函数，符
合题意；
对于C选项，y=x2，为二次函数，在R上不是增函数，
不符合题意；
对于D选项，y= ，为反比例函数，在R上不是增函
数，不符合题意.2.任取x1，x2∈(0，+∞)且x1那么f(x1)-f(x2)= 因为x1，x2∈(0，+∞)，
所以x1x2>0，所以1+ >0，
又x1-x2<0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.【内化·悟】
如果函数是增函数，x与y的关系是什么？减函数呢？
提示：如果函数是增函数，当x增大时，y增大；
如果函数是减函数，当x增大时，y减小.【类题·通】
利用定义证明函数单调性的步骤【习练·破】
已知函数f(x)= (m<0)，证明在(-∞，2)上是增
函数.【证明】任取x1，x2∈(-∞，2)且x1那么f(x1)-f(x2)=
由x1故f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在(-∞，2)上单调递增.【加练·固】
证明：函数f(x)= 在(-∞，1)上是减函数.【证明】任取x1，x2∈(-∞，1)且x1则f(x1)-f(x2)=
因为x10，
又x1-x2<0，所以x2-x1>0，故f(x1)-f(x2)>0，即
f(x1)>f(x2)，故f(x)在(-∞，1)上单调递减.类型三 函数单调性的简单应用
角度1 利用单调性解函数不等式
【典例】已知函数f(x)的定义域为[-2，2]，且f(x)在区间[-2，2]上是增函数，f(1-m)所以 解得-1≤m≤2，
因为f(x)是增函数，所以1-m所以m>0.5，所以0.5答案：0.5 单调性的应用时，常常用到核心素养中的逻辑思维，利用单调性转化不等式，从而求出变量的范围.
本例的条件若改为“减函数”，试求m的取值范围.【解析】因为f(x)的定义域为[-2，2]，
所以 解得-1≤m≤2，
因为f(x)是减函数，所以1-m>m，
所以m<0.5，所以-1≤m<0.5.
答案：-1≤m<0.5角度2 分段函数的单调性
【典例】若函数f(x)=
在R上为增函数，则实数b的取值范围为 ( )
世纪金榜导学号
A.[1，2] B.
C.(1，2] D. 【思维·引】分别考虑x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围.【解析】选A.因为函数f(x)=
在R上为增函数，所以 解得1≤b≤2.【类题·通】
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法
(1)由函数解析式求参数(2)分段函数的单调性
首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则界点左侧值大于等于右侧值.【发散·拓】
关于“对勾”函数f(x)=x+ (a>0)的单调性.
函数y=x+ (a>0)的图像如图所示：则函数y=x+ 的单调增区间是(-∞，- ]和[ ，
+∞)，单调减区间是(- ，0)和(0， ).【延伸·练】(2019·银川高一检测)函数f(x)=x+
(x>0)的单调减区间是 ( )
A.(2，+∞) B.(0，2)
C.( ，+∞) D.(0， )【解析】选D.函数f(x)=x+ (x>0)，根据对勾函数图
像及性质可知，函数f(x)=x+ (x>0)在( ，+∞)单
调递增，函数f(x)在(0， )单调递减.【习练·破】
1.函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在[1，+∞)上单调递增，
则k的取值范围是 ( )
A.(0，+∞) B.
C. D. 【解析】选D.当k=0时，f(x)=-2x-5在R上单调递减，
不符合题意，当k≠0时，因为函数f(x)=kx2+(3k-2)x
-5在[1，+∞)上单调递增，所以 解得：
k≥ 综上所述，k的取值范围是 .2.若函数f(x)= 是(-∞，+∞)上的减
函数，则实数a的取值范围是________.?【解析】由题意，因为f(x)在R上是减函数，
x<0时f(x)=x2-ax+1，其过定点(0，1)，
且x<0时是减函数，所以对称轴x= ≥0，①又因为x≥0时，f(x)=-x+3a，是减函数，且在R上是减
函数，所以3a≤1，②
由①②得0≤a≤
答案： 【加练·固】
已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若函数f(x)的图像过点(1，4)和(2，5)，求f(x)的解析式.
(2)若函数f(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)的图像过点(1，4)和(2，5)，
所以 解得
所以f(x)=x2-2x+5.(2)函数f(x)的对称轴方程为x= 要使函数f(x)在
区间[1，2]上不单调，则1< <2，解得-4 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课堂检测·素养达标
1.下面关于函数f(x)=1-的说法正确的是 ( )
A.在定义域上是增函数
B.在(-∞，0)上是增函数
C.在定义域上是减函数
D.在(-∞，0)上是减函数
【解析】选B.根据题意，f(x)=1-，其定义域为{x|x≠0}，则函数f(x)在(-∞，0)和(0，+∞)上是增函数，分析选项知：A，C，D错误.
2.如图中是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是 ( )
A.函数在区间[-5，-3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[-5，5]上没有单调性
【解析】选C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接.如0<5，但f(0)>f(5).
3.函数y=在(0，+∞)上是增函数，则k的范围是 ( )
A.k≥0 B.k≤0 C.k>0 D.k<0
【解析】选D.k>0时，由y=的图像可知，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上是减函数；当k<0时，由y=的图像可知，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上是增函数.
4.函数f(x)=-+1的单调递减区间为________.?
【解析】函数f(x)=-+1的图像开口向下，对称轴为直线x=-2，在对称轴右侧函数单调递减，所以函数f(x)=-+1的单调递减区间为.
答案：
【新情境·新思维】
定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0，则有 ( )
A.f(-2)C.f(3)【解析】选A.因为对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有
(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0，
当x1即f(x1)当x1>x2时，x1-x2>0，则f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是在R上的增函数，
所以f(-2)关闭Word文档返回原板块
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课堂检测·素养达标
1.函数f(x)的图像如图，则其最大值、最小值点分别为 ( )
A.f，- B.f(0)，f
C.f，f(0) D.f(0)，
【解析】选D.观察函数图像，f(x)最大值、最小值点分别为f(0)，.
2.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈[0，2])有最小值-2，则f(x)的最大值为
( )
A.4 B.6 C.1 D.2
【解析】选B.f(x)=x2+2x+a(x∈[0，2])为增函数，所以最小值为f(0)=a=-2，最大值f(2)=8+a=6.
3.函数f(x)=的最小值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选B.当x>-1时，f(x)=x2的最小值为f(0)=0；当x≤-1时，f(x)=-x递减，可得f(x)≥1，综上可得函数f(x)的最小值为0.
4.函数f(x)=在[1，b](b>1)上的最小值是，则b=_______.?
【解析】因为f(x)在[1，b]上是减函数，
所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)==，所以b=4.
答案：4
【新情境·新思维】
设函数f(x)=x+(a>0)，当0≤x≤1的最小值为g(a)，则g(a)的最大值为 ( )
A.a B. C.2 D.1
【解析】选D.当01时，a->0，f(x)递增，在[0，1]上的最小值为f(0)=(a>1)，因此 g(a)=
可得g(a)的最大值为1.
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课时素养评价
二十三 函数的最大值、最小值
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5，5)上的最大值、最小值点分别为 ( )
A.42，- B.无最大值，-
C.42，- D.无最大值，-
【解析】选B.f(x)=x2+3x+2=-，
因为-5<-<5，
所以无最大值，f(x)min=f=-，故最小值点为-.
2.已知：f(x)=-，则 ( )
A.f(x)max=，f(x)无最小值
B.f(x)min=1，f(x)无最大值
C.f(x)max=1，f(x)min=-1
D.f(x)max=1，f(x)min=0
【解析】选C.f(x)=-的定义域为[0，1]，因为f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max=1，f(x)min=-1.
3.函数f(x)=的最大值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为t=1-x(1-x)=+≥，
所以04.(多选题)设c<0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的
是 ( )
A.f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)
B.在[a，b]上有最小值f(a)
C.f(x)-c在[a，b]上有最小值f(b)-c
D.cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
【解析】选C，D.A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；
B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；
C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)-c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)-c，C正确；
D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c<0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.函数y=f(x)的定义域为[-4，6]，且在区间[-4，-2]上递减，在区间[-2，6]上递增，且f(-4)【解析】因为函数y=f(x)在区间[-4，-2]上递减，在区间[-2，6]上递增，所以f(x)的最小值是f(-2)，又因为f(-4)答案：f(-2) f(6)
6.当0≤x≤2时，a<-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是________.?
【解析】a<-x2+2x恒成立，即a小于函数f(x)=-x2+2x，x∈[0，2]的最小值，而f(x)=-x2+2x，x∈[0，2]的最小值为0，所以a<0.
答案：(-∞，0)
三、解答题(共26分)
7.(12分)利用函数的平均变化率证明函数y=在区间[0，5]上是减函数.
【解析】设0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则f(x2)-f(x1)=-=，
所以=，
又由0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则x1+2>0，x2+2>0，所以<0，
则函数y=在[0，5]上是减函数，
则函数f(x)在区间[0，5]上的最小值为f(5)=，最大值为f(0)=.
8.(14分)求函数f(x)=在区间[1，2]上的最大值和最小值.
【解题指南】先证明函数y=在区间[1，2]上的单调性，然后求最大值和最小值.
【解析】任取x1，x2∈[1，2]，且x1所以f(x2)-f(x1)=-==，
因为1≤x1即6<3(x1+x2)<12，
所以=，
又1 (15分钟·30分)
1.(4分)函数f(x)=9-ax2(a>0)在[0，3]上的最大值为 ( )
A.9 B.9(1-a)
C.9-a D.9-a2
【解析】选A.因为a>0，
所以f(x)=9-ax2(a>0)开口向下，以y轴为对称轴，
所以f(x)=9-ax2(a>0)在[0，3]上单调递减，
所以x=0时，f(x)最大值为9.
2.(4分)已知y=ax+1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值
是 ( )
A.2 B.-2 C.±2 D.0
【解析】选C.①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；
②当a>0时，y=ax+1在[1，2]上递增，
则(2a+1)-(a+1)=2，解得a=2；
③当a<0时，y=ax+1在[1，2]上递减，
则(a+1)-(2a+1)=2，解得a=-2.
综上，得a=±2.
3.(4分)函数f(x)=-3x在区间上的最大值为________. ?
【解析】因为y=在区间上是减函数，y=-3x在区间上是减函数，所以函数f(x)=-3x在区间上是减函数，所以f(x)max=f(2)=-3×2=-4.
答案：-4
4.(4分)函数f(x)=(x>0)的值域为________. ?
【解析】f(x)==≤=1，
当且仅当x==1时取等号.
又f(x)>0，所以0故函数f(x)的值域为(0，1].
答案：(0，1]
5.(14分)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2，x∈[-2，3]时，求函数f(x)的值域.
(2)若函数f(x)在[-1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
【解析】(1)当a=2时f(x)=x2+3x-3=-，对称轴为x=-<3，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以f≤y≤f(3)，
f(3)=15，f=-，所以该函数的值域为.
(2)函数f(x)=x2+(2a-1)x-3的对称轴是：x=-a.
当-a>1时，函数f(x)在[-1，3]上的最大值为f(-1)=-2a-1=1，所以a=-1；
当-a≤1时，函数f(x)在[-1，3]上的最大值为f(3)=6a+3=1，所以a=-；
所以实数a的值a=-或a=-1.
1.已知x>1，则函数f(x)=2x+的最小值为________. ?
【解析】根据题意f(x)=2x+=2(x-1)++2，
又由x>1，即x-1>0，
则f(x)≥2=2+2，
即函数f(x)的最小值为2+2.
答案：2+2
2.(2019·通州高一检测)已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R)，设f(x)在[-1，1]上的最大值为g(a)，
(1)求g(a)的表达式.
(2)是否存在实数m，n，使得g(a)的定义域为[m，n]，值域为[5m，5n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1)因为函数f(x)图像的对称轴为x=-，
所以当-≤0，即a≥0时，
g(a)=f(x)max=f(1)=a2+a+2；
当->0，即a<0时，g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.
所以g(a)=
(2)假设存在符合题意的实数m，n，则由(1)可知，函数g(a)的图像如图所示，
故g(a)≥2，又g(a)∈[5m，5n]，所以0又g(a)在(0，+∞)上是增函数，
所以
所以m，n是方程x2+x+2=5x，即x2-4x+2=0的两根，
解得m=2-，n=2+.
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课时素养评价
二十二 函数的单调性
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的2分，有选错的得0分)
1.(多选题)下列四个函数中，在(-∞，0]上为减函数的是 ( )
A.f(x)=x2-2x B.f(x)=2x2
C.f(x)=x+1 D.f(x)=
【解析】选AB.在A中，f(x)=x2-2x的减区间为(-∞，1]，故A正确；在B中，f(x)=2x2的减区间为(-∞，0]，故B正确；
在C中，f(x)=x+1在R上是增函数，故C错误；
在D中，f(x)=中，x≠0，故D错误.
2.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且f(2)=3，则满足f(2x-3)<3的x的取值范围是 ( )
A. B.
C.(-∞，3) D.
【解析】选D.由题意，f(2x-3)因为f(x)在[0，+∞)上是增函数，
则0<2x-3<2，解得3.设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是 ( )
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
【解析】选D.根据题意，依次分析选项：
对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)=x，则y=-=-，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，
则对于任意的x1，x2∈R，
设x10，则y=-f(x)在R上为减函数，D正确.
4.可推得函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是 ( )
A.a=0 B.
C. D.
【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，2]上，开口向上，对称轴x=-=，
要使f(x)在区间[1，2]上为增函数，则
若a<0，图像开口向下，要求>2，显然不可能，
所以函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.函数f(x)=x2-3|x|+2的单调减区间是________，最小值为________.?
【解析】化简函数为：f(x)=
当x>0时，函数在区间为减函数，在区间上为增函数，作出图像如图所示，
由图像不难得出，函数的单调减区间为和；
最小值为f=-+2=-.
答案：和 -
6.已知函数y=f(x)是定义在区间(-2，2)上的减函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是________.?
【解析】由题意得：
解得-答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=，
(1)画出f(x)的图像.
(2)写出f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)函数f(x)=
的图像如图所示：
(2)f(x)的单调递增区间为[-1，0]，[2，5].
8.(14分)已知函数f(x)=ax+(a，b是常数)，满足f(1)=3，f(2)=.
(1)求a，b的值.
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并用定义证明.
【解析】(1)因为f(1)=3，f(2)=，
所以解得：
故a=2，b=1.
(2)由(1)得f(x)=2x+，任取x1，x2∈且x1那么f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-
=(x1-x2)，
因为0所以x1x2<，2-<0，
又x1-x2<0，
故f(x1)-f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
故f(x)在递减.
(15分钟·30分)
1.(4分)设函数f(x)在(-∞，+∞)上为减函数，则 ( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2+a)【解析】选D.因为a2+1-a=+>0，所以a2+1>a，又因为函数f(x)在
(-∞，+∞)上为减函数，所以f(a2+1)2.(4分)若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围
是 ( )
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.(-∞，1) D.(-∞，1]
【解析】选B.因为函数f(x)=2|x-a|+3=
所以函数f(x)=2|x-a|+3在区间[a，+∞)上是增函数.在(-∞，a)上是减函数，又f(x)在[1，+∞)上不单调，
所以a>1，所以a的取值范围是(1，+∞).
3.(4分)已知函数y=-x2+4ax在区间[-1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是________. ?
【解析】根据题意，函数y=-x2+4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x=2a，若其在区间[-1，2]上单调递减，则2a≤-1，所以a≤-，即a的取值范围为.
答案：
4.(4分)f(x)=在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________. ?
【解析】因为f(x)为R上的减函数，所以x≤1时，f(x)递减，即a-4<0①，x>1时，f(x)递减，即a>0②，且(a-4)×1+5≥2a③，联立①②③解得，0答案：(0，1]
5.(14分)已知函数f(x)=，且f(1)=3，f (2)=.
(1)求a，b的值，写出f(x)的表达式.
(2)判断f(x)在区间[1，+∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明.
【解析】(1)由??则f(x)=.
(2)任设1≤x1=-=(x1-x2)·，
因为x1又因为x1≥1，x2>1，
所以x1x2>1，2x1x2>2>1，
即2x1x2-1>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)故f(x)在[1，+∞)上是增函数.
1.已知函数f(x)=的增区间为[-1，+∞)，则实数a的取值范围是________. ?
【解析】当x<0时，f(x)=x2+2x-3的对称轴为x=-1，
当-1≤x<0时，函数f(x)为增函数，
当x≥0时，f(x)为增函数，要使函数在[-1，+∞)上是增函数，则满足
f(0)=0+a≥-3，即a≥-3.
答案：[-3，+∞)
2.已知函数f(x)=mx++(m，n是常数)，且f(1)=2，f(2)=.
(1)求m，n的值.
(2)当x∈[1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明.
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立，求实数x的取值范围.
【解析】(1)因为f(1)=m++=2，
f(2)=2m++=， 所以
(2)设1≤x1则f(x1)-f(x2)=x1++-
=(x1-x2)
= (x1-x2).
因为1≤x1所以x1-x2<0，x1x2>1，
所以2x1x2>1，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[1，+∞)上单调递增.
(3)因为1+2x2≥1，x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，
所以 只需1+2x2>x2-2x+4，
所以x2+2x-3>0，所以x<-3或x>1.
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课件72张PPT。第2课时
函数的最大值、最小值1.函数的最值【思考】
最值点是点吗？
提示：不是，是实数值，是函数取得最值时的自变量x的值.2.直线的斜率
(1)直线斜率的定义
平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当x1≠x2时，称 为直线的斜率，记作
②当x1=x2时，称直线的斜率不存在.(2)直线的斜率与函数单调性的关系
①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0.
②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.3.函数的平均变化率
(1)平均变化率的定义：若I是函数y=f(x)的定义域的
子集，对任意x1，x2∈I，且x1≠x2，
记y1=f(x1)，y2=f(x2)，
称 为函数在区间[x1，x2](x1[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率.(2)函数的平均变化率与函数的单调性【思考】
(1)为什么函数图像上任何两点确定的直线的斜率一定存在？提示：函数是定义在数集A上，因为集合元素的互异性，定义域内的任何两个自变量都不相等，即不会出现x1=x2的情况，因此函数图像上任何两点确定的直线的斜率一定存在.
(2)函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变换趋势是什么？
提示：函数图像从左向右逐渐上升.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何函数都有最大值、最小值. ( )
(2)一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的.
( )(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率. ( )提示：(1)×.如函数y= 既没有最大值，也没有最小
值.
(2)×.函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可
以有多个最值点.
(3)×.过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因
为根据函数的定义，一定有x1≠x2.2.过函数图像上两点A(-1，3)，B(2，3)的斜率
=________.?
【解析】
答案：03.函数f(x)=-2x+1，x∈[1，2]的最大值为________，最大值点为________.?
【解析】函数f(x)=-2x+1为减函数，故最大值为f(1)=-1，最大值点为1.
答案：-1 1类型一 利用函数的图像求最值
【典例】1.已知函数f(x)在区间[-2，5]上的图像如图所示，则此函数的最小值点，最大值分别为 ( )A.-3，5 B.-3，f(5)
C.-2，5 D.-2，f(5)2.已知函数f(x)= 世纪金榜导学号
(1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出f(x)的图像.
(2)由图像指出函数f(x)的最值点，求出最值.【思维·引】1.根据最值的几何意义确定最值.
2.(1)根据一次、二次函数图像的关键点作图.
(2)利用最值的几何意义确定最大、小值、最值点.【解析】1.选D.由函数f(x)的图像可知最小值点为
-2，最大值为f(5).2.(1)由题意，当x∈[-1，2]时，f(x)=-x2+3，为二次函数的一部分；
当x∈(2，5]时，f(x)=x-3，为一次函数的一部分；
所以，函数f(x)的图像如图所示：(2)由图像可知，最大值点为0，最大值为3；最小值点为2，最小值为-1.【内化·悟】
最值点与最值的意义相同吗？
提示：不同，最值点是取最值时自变量的值，而最值是函数值.【类题·通】
图像法求最值、最值点的步骤【习练·破】
已知函数f(x)= 则f(x)的最小值、最大
值点分别为________，________.?【解析】作出函数f(x)的图像(如图).由图像可知，当x=±1时，f(x)取最大值，最小值为0，故f(x)的最小值为0，最大值点为±1.
答案：0 ±1【加练·固】
已知函数f(x)= 求函数f(x)的最
大值、最小值.【解析】作出f(x)的图像如图：由图像可知，当x=2时，f(x)取最大值为2；
当x= 时，f(x)取最小值为
所以f(x)的最大值为2，最小值为 类型二 函数的平均变化率与单调性、最值
【典例】已知函数f(x)= 世纪金榜导学号
(1)判断函数f(x)在区间[0，+∞)上的单调性，并用平
均变化率证明其结论.
(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值.【思维·引】(1)根据当x变大时，y值的变化判断单调性，并用平均变化率证明.
(2)根据单调性确定在哪一点处取最大、最小值，再求最值.【解析】(1)f(x)在区间[0，+∞)上是增函数.
证明如下：任取x1，x2∈[0，+∞)，且x1≠x2，f(x2)-f(x1)=
所以 因为x1，x2∈[0，+∞)，所以(x1+1)(x2+1)>0，所以
>0，所以函数f(x)在区间[0，+∞)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函
数f(x)在区间[2，9]上的最大值为
f(9)= 最小值为f(2)= 【内化·悟】
利用单调性求最值的关键是什么？
提示：准确确定函数的单调性.【类题·通】
利用函数的平均变化率证明单调性的步骤
(1)任取x1，x2∈D，且x1≠x2.
(2)计算f(x2)-f(x1)，
(3)根据x1，x2的范围判断 的符号，确定函数的单
调性.【习练·破】
已知函数f(x)= x∈[3，7].
(1)判断函数f(x)的单调性，并用平均变化率加以证明.
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)函数f(x)在区间[3，7]内单调递减，证明
如下：
在[3，7]上任意取两个数x1和x2，且x1≠x2，
因为f(x1)= f(x2)=
所以f(x2)-f(x1)= 所以
因为x1，x2∈[3，7]，所以x1-2>0，x2-2>0，
所以 <0，函数f(x)为[3，7]上的减函数.(2)由单调函数的定义可得f(x)max=f(3)=4，f(x)min
=f(7)= 【加练·固】
设函数f(x)=2-
(1)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性并用平均变化
率加以证明.
(2)求函数f(x)在区间[2，5]上的最大值与最小值.【解析】(1)函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，下证之.设x1，x2是(0，+∞)上的任意两个实数，且x1≠x2，则f(x2)-f(x1)=
所以
因为x1，x2∈(0，+∞)，所以 >0所以函数f(x)在
(0，+∞)上为增函数.(2)由(1)可知函数f(x)在[2，5]上为增函数，
所以f(x)max=f(5)= f(x)min=f(2)= 类型三 常见的函数最值问题
角度1 不含参数的最值问题
【典例】函数f(x)=-2x2+x+1在区间[-1，1]上最小值点________，最大值为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题.【解析】函数f(x)=-2x2+x+1的对称轴为x=
函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为-1，最
大值为
答案：-1 角度2 含参数的最值问题
【典例】设a为实数，函数f(x)=x2-|x-a|+1，x∈R.
世纪金榜导学号
(1)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小
值.
(2)当0(2)讨论对称轴与区间的位置关系求最值.【解析】(1)当a=0，x∈[0，2]时函数f(x)=x2-x+1，
因为f(x)的图像抛物线开口向上，对称轴为x=
所以，当x= 时f(x)值最小，最小值为
当x=2时，f(x)值最大，最大值为3.(2)f(x)=
①当x≥a时，f(x)=x2-x+a+1=
因为0a，则f(x)在[a，+∞)上的最小
值为 ②当x因为0则f(x)在(-∞，a]上的最小值为
综上，f(x)的最小值为 【素养·探】
在解决含参数的最值问题时，常常用到核心素养中的逻辑思维，利用分情况讨论，分别表示不同情况下的最值.
将本例的函数改为f(x)=x2-2ax+1，试求函数在区间[0，2]上的最值.【解析】函数的对称轴为x=a，
(1)当x<0时，f(x)在区间[0，2]是增函数，
所以f(x)min=f(0)=1；
当0≤x≤2时，f(x)min=f(a)=-a2+1；当x>2时，f(x)在区间[0，2]是减函数，
所以f(x)min=f(2)=5-4a，
所以f(x)min= (2)当x≤1时，f(x)max=f(2)=5-4a；
当x>1时，f(x)max=f(0)=1，所以f(x)max= 【类题·通】
一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值.(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像
开口向上、对称轴为x=m，区间[a，b]为例，
①最小值：f(x)min= ②最大值：f(x)max=
当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨
论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.【习练·破】
1.函数f(x)=x2-3x-4在区间[0，2]上的最小值点为________，最大值为________.?【解析】函数的对称轴为x= 开口向上，
所以最小值点为 最大值为f(0)=-4.
答案： -42.已知函数f(x)=x2-x+1，求f(x)在闭区间[t，t+1]
(t∈R)上的最小值.【解析】函数f(x)=x2-x+1= 其对称轴为x=
(1)当t≥ 时，f(x)在[t，t+1]上是增函数，
所以f(x)min=f(t)=t2-t+1；(2)当t+1≤ 即t≤- 时，f(x)在[t，t+1]上是减
函数，所以f(x)min=f(t+1)=t2+t+1；(3)当t< 上单调递减，在 上单调递增，所以f(x)min=
综上f(x)min= 【加练·固】
函数y=-x2+6x+9在区间[a，b](a以函数在[a，b]单调递增.
所以
解得 或 又因为a答案：-2 0