课件62张PPT。3.1.3 函数的奇偶性
第1课时 函数的奇偶性 1.函数的奇偶性【思考】
函数的奇偶性定义中，“对于定义域D内任意一个x，都有-x∈D”，那么奇偶函数的定义域有什么特征？
提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.2.奇偶函数的图像特征
(1)函数是偶函数?图像关于y轴对称；
(2)函数是奇函数?图像关于原点对称.【思考】
(1)如果奇函数在原点处有定义，则其图像有什么特征？
提示：图像过原点，即f(0)=0.(2)有没有一个函数既是奇函数，又是偶函数？
提示：有.如f(x)=0的图像为x轴，即关于y轴对称，又关于原点对称，因此既是奇函数，又是偶函数.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)奇函数的图像一定过原点. ( )
(2)如果定义域内存在x0，满足f(-x0)=f(x0)，
函数f(x)是偶函数. ( )(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)+
f(-x)=0，则函数f(x)是奇函数. ( )提示：(1)×.不一定，如函数f(x)= .
(2)×.不符合定义，必须对于定义域内的任意一个
x都成立.
(3)√.若f(x)+f(-x)=0，则f(-x)=-f(x).2.下列图像表示的函数具有奇偶性的是 ( )【解析】选B.B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性.3.若f(x)为R上的奇函数，且f(2)=3，则f(-2)
=________. ?
【解析】因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(-2)=-f(2)=-3.
答案：-3类型一 函数奇偶性的判断
【典例】1.函数f(x)= -2x的图像关于 ( )
A.y轴对称 B.坐标原点对称
C.直线y=-x对称 D.直线y=x对称2.判断下列函数的奇偶性： 世纪金榜导学号
(1)f(x)=|2x-1|-|2x+1|.
(2)f(x)= 【思维·引】1.先判断函数的奇偶性，再判断图像的对称性.
2.根据函数奇偶性的定义判断.【解析】1.选B.函数的定义域A={x|x≠0}，
所以x∈A时，-x∈A，且f(-x)=- +2x
=- =-f(x)，
所以f(x)为奇函数，故图像关于坐标原点对称.2.(1)因为x∈R，f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1|
=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)方法一：作出函数图像如图：
关于原点对称，所以函数是奇函数.方法二：当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0，
所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1，
所以f(-x)=-f(x)；当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0，
f(-x)=1-(-x)2=1-x2，
所以f(-x)=-f(x)；当x=0时，f(-0)=-f(0)=0.
综上，对x∈R，总有f(-x)=-f(x)，所以f(x)为R上
的奇函数.【内化·悟】
函数具有奇偶性的前提是什么？
提示：定义域关于原点对称.【类题·通】
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法： (2)图像法：【发散·拓】
如果两个函数f(x)，g(x)具有奇偶性，且有共同的
定义域，那么f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、
(g(x)≠0)有以下规律：偶±偶=偶、奇±奇=奇、
偶×偶=偶、偶×奇=奇、奇×奇=偶，相除时类似于
相乘的情况.【延伸·练】
设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数【解析】选D.当x∈R时，-x∈R，A中，
设g(x)=f(x)f(-x)，则g(-x)=f(-x)·f(x)=g(x)，
为偶函数；
B中，设g(x)=f(x)|f(-x)|，则g(-x)=f(-x)·
|f(x)|非奇非偶函数；C中，设g(x)=f(x)-f(-x)，则g(-x)=f(-x)-f(x)
=-g(x)，为奇函数；
D中，设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(-x)=f(-x)+f(x)
=g(x)，所以f(x)+f(-x)是偶函数.【习练·破】
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)= (2)f(x)=x3+x.
(3)f(x)= 【解析】(1)f(x)= 的定义域是A=(-∞，1)∪
(1，+∞)，-1∈A，但1?A，所以f(x)为非奇非偶函数.
(2)f(x)=x3+x的定义域是R，当x∈R时，-x∈R，且
f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(3)函数的定义域为R，当x∈R时，-x∈R，
当x>0时，-x<0，则f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)；
当x=0时，f(-x)=f(x)=1；
当x<0时，-x>0，f(-x)=-x+1=f(x).
综上，对任意x∈R，都有f(-x)=f(x)，所以f(x)
为偶函数.【加练·固】
函数f(x)= -x2的图像关于 ( )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称
D.直线y=x对称【解析】选A.f(x)的定义域为{x|x≠0}，
又f(-x)= -(-x)2= -x2=f(x).
所以f(x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称.类型二 奇偶函数图像的应用
【典例】1.如图，给出了奇函数f(x)的局部图像，
那么f(1)等于 ( )
A.-4 B.-2
C.2 D.42.设偶函数f(x)的定义域为[-5，5]，且f(3)=0，当x∈[0，5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式xf(x)<0的解集是________. 世纪金榜导学号?【思维·引】1.奇函数关于原点对称，点(-1，f(-1))的对称点为(1，-f(-1)).
2.利用偶函数的图像性质作出x∈[-5，0]上的图像，分两种情况讨论求不等式的解集.【解析】1.选B.由函数的图像可得f(-1)=2，又由函数为奇函数，则f(1)=-f(-1)=-2.2.因为f(x)为偶函数，且由图像可得在[0，3)上，
f(x)<0，在(3，5]上，f(x)>0，
则在[-5，-3)上，f(x)>0，在(-3，0]上，f(x)<0，
xf(x)<0? 所以-5≤x<-3或
0
答案：[-5，-3)∪(0，3)【内化·悟】
怎样作具有奇偶性的函数的图像？
提示：先判断函数的奇偶性，作函数在y轴右侧的图像，根据奇偶性得到函数左侧的图像.【类题·通】
巧用奇偶性作函数图像的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在[0，+∞)(或(-∞，0])上对应的图像.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在
(-∞，0](或[0，+∞))上对应的函数图像.【习练·破】
已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图像.
(2)根据图像写出函数y=f(x)的增区间、值域.【解析】(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调增区间为(-1，0)，(1，+∞)，值域为[-1，+∞).【加练·固】
定义在R上的奇函数f(x)在[0，+∞)上的图像如图所示.
(1)画出f(x)的图像.
(2)写出函数的单调减区间.【解析】(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(-1，-1)，(-2，0)，连线可得f(x)的图像如图：(2)单调减区间为(-∞，-1]，[1，+∞).类型三 利用奇偶性求参数值
角度1 利用奇偶性求参数值
【典例】已知函数f(x)=x3+(a+1)x2的图像关于原点对称，则a= 世纪金榜导学号( )
A.1 B.-1 C.-2 D.2【思维·引】根据图像，先得到奇偶性，再根据定义
求值.
【解析】选B.因为函数图像关于原点对称，
所以函数是奇函数，则f(-x)=-f(x)，得-x3+(a+1)x2
=-x3-(a+1)x2，即(a+1)x2=0，即a+1=0，得a=-1.【素养·探】
在利用奇偶性的过程中，需要用到核心素养中的逻辑推理，将奇偶性转化为相应的等式，通过逻辑推理、计算求参数的值.
若将本例中的条件改为函数f(x)=ax2+(a-1)x+2是偶函数，试求a的值.【解析】若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)，
即k(-x)2-(k-1)x+2=kx2+(k-1)x+2，即(k-1)x=0
对于x∈R恒成立，则k-1=0，k=1.角度2 利用奇偶性求函数值
【典例】1.已知函数f(x)=ax3+bx-2，f(2 019)=3，
则f(-2 019)= 世纪金榜导学号( )
A.-7 B.-5 C.-3 D.-22.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x+1，则f(1)+g(1)=( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3【思维·引】1.利用f(2 019)=3求出未知式子的值，再求f(-2 019)的值.
2.利用奇偶函数的定义，构造f(x)+g(x)后求值.【解析】1.选A.因为f(2 019)=3，
所以f(2 019)=2 0193a+2 019b-2=3，
所以2 0193a+2 019b=5，
所以f(-2 019)=-2 0193a-2 019b-2=-5-2=-7.2.选B.由f(x)-g(x)=x3+x+1，将所有x替换成-x，得
f(-x)-g(-x)=-x3-x+1，根据f(x)=f(-x)，g(-x)=
-g(x)，得f(x)+g(x)=-x3-x+1，再令x=1，计算得，
f(1)+g(1)=-1.【类题·通】
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为
[a，b]，根据定义域关于原点对称，a+b=0求参数.
(2)解析式含参数：根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)
列式，比较系数即可求解.【习练·破】
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>1时，
f(x)= -1，则f(-2)= ( )
【解析】选B.根据题意，当x>1时，f(x)= -1，
则f(2)= -1= ，又由函数f(x)为奇函数，
则f(-2)=-f(2)=- .2.已知函数f(x)=ax2+bx+c(-2a-3≤x≤1)是偶函数，则a=________，b=________.?【解析】因为f(x)是偶函数，所以其定义域关于y轴对
称.所以-2a-3=-1.所以a=-1.所以f(x)=-x2+bx+c.因为
f(-x)=f(x)，所以-(-x)2+b(-x)+c=-x2+bx+c.所以
-b=b，所以b=0.
答案：-1 0【加练·固】
若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx是 ( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，
所以f(x)=f(-x)，即ax2+bx+c=ax2-bx+c，所以b=0，
所以g(x)=ax3+bx2+cx=ax3+cx，所以g(-x)=-(ax3+cx)
=-g(x)，所以g(x)是奇函数.课件51张PPT。第2课时
函数奇偶性的应用 类型一 利用函数的奇偶性求解析式
【典例】已知f(x)是定义在R上的奇函数，x>0时，f(x)=x2-2x-3，求f(x)的解析式. 世纪金榜导学号【思维·引】利用奇偶性分别求出当x=0，x<0时的解析式.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
若x<0，则-x>0，
则f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3，
又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=-x2-2x+3，
故f(x)=-x2-2x+3，所以函数f(x)= 【内化·悟】
对于奇函数，怎样处理在x=0处的解析式？
提示：考查在x=0处是否有意义，如果有则f(0)=0.【类题·通】
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x).【习练·破】
f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时f(x)=x(1+x3)，则当x<0时f(x)为 ( )
A.x(1+x3) B.-x(1-x3)
C.x(1-x3) D.-x(1+x3)【解析】选C.根据题意，x<0，则-x>0，
则f(-x)=(-x)[1+(-x)3]=-x(1-x3)，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=x(1-x3).【加练·固】
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-x+1.
(1)求f(0)的值.
(2)求f(x)在R上的解析式.【解析】(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(-x)=-f(x)，令x=0，得f(-0)=-f(0)，
即f(0)=0，故f(0)=0；(2)当x<0时，-x>0，f(-x)=[(-x)2-(-x)+1]=x2+x+1，
又由函数f(x)为奇函数，
则f(x)=-f(-x)=-x2-x-1，
又由f(0)=0，则f(x)= 类型二 函数奇偶性与单调性关系的应用
【典例】1.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，
x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有 <0，
则 ( ) A.f (3)B.f (1)C.f (-2)D.f (3)世纪金榜导学号
A.(-3，2) B.(-2，3)
C.(-2，2) D.[-3，2]【思维·引】1.先得出函数的单调性，再利用奇偶性转化到一个单调区间上比较.
2.利用奇偶性得出函数在R上的单调性，结合图像确定2x+1的范围，从而求x的范围.【解析】1.选A.根据题意，函数f(x)为偶函数，
则f(-2)=f(2)，函数f(x)满足：对任意x1，x2∈
[0，+∞)(x1≠x2)，有 <0，则函数f(x)
在[0，+∞)上为减函数，
则f(3)则f(3)单调递增，则在(-∞，0)上是减函数，f(2x+1)-3若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么在区间[-b，-a]上的单调性是怎样的？如果函数f(x)是奇函数呢？提示：偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么在区间[-b，-a]上的单调性是减函数.若函数f(x)是奇函数，则在区间[-b，-a]上也是增函数.【类题·通】
奇偶性与单调性的关系
1.关系：
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；
(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2.应用：
(1)奇函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用单调性可直接得到 a，b的大小关系；
(2)偶函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考虑|a|，|b|的关系.【习练·破】
1.已知函数f(x)是定义在区间[-2，2]上的偶函数，
当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，如果不等式
f(1-m)A. B.[1，2]
C.(-∞，0) D.(-∞，1)【解析】选A.根据题意，函数f(x)是定义在区间
[-2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)是减函
数则f(1-m)-1≤m< ，则m的取值范围为2.已知奇函数f(x)为R的减函数，若f(3a2)+f(2a-1)
≥0，则实数a的取值范围是________.?【解析】因为奇函数f(x)为R上的减函数，
所以不等式f(3a2)+f(2a-1)≥0，
等价为f(3a2)≥-f(2a-1)=f(1-2a)，
即3a2≤1-2a，即3a2+2a-1≤0得(a+1)(3a-1)≤0，得-1≤a≤ ，
即实数a的取值范围是
答案： 【加练·固】
函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-∞，0]上为增函数，若f(a)≤f(3)，则实数a的取值范围是( )
A.a≤3 B.a≥-3
C.a≤-3或a≥3 D.-3≤a≤3【解析】选C.根据题意，函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-∞，0]上为增函数，则其在[0，+∞)上是减函数，若f(a)≤f(3)，则f(|a|)≤f(3)，即|a|≥3解可得a≤-3或a≥3.类型三 函数的单调性、奇偶性的综合应用
角度1 探究函数的图像及性质
【典例】研究函数y=x- 的性质，并作出函数的图像. 世纪金榜导学号
【思维·引】按照定义域→奇偶性→单调性→图像的顺序进行探究.【解析】函数的定义域为D={x|x≠0}，从而可知
函数的图像有左右两部分.
设f(x)=x- ，则对任意x∈D都有-x∈D，
而且f(-x)=-x+
所以函数y=x- 是奇函数，函数的两部分图像关于
原点对称.任取x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，f(x2)-f(x1)=
=(x2-x1)+ =(x2-x1)+
所以 =1+ ，因为x1，x2∈(0，+∞)，
所以 >0所以函数y=x- 在(0，+∞)上是增函数.
列出部分函数值如下表所示，描点作图.再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，【素养·探】
在探究函数的图像和性质时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过探究函数的性质，进一步得到函数的图像.
将本例中的函数变为y= ，试探究函数的性质，并作出函数的图像.(参考公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))【解析】函数的定义域为D={x|x≠0}，从而可知函数的图像有左右两部分.
设f(x)= ，则对任意x∈D，都有-x∈D，
而且f(-x)= =-f(x)，所以函数y= 是奇函数，函数的两部分图像关于
原点对称.因为x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2时，
f(x2)-f(x1)= 所以 因为x1，x2∈(0，+∞)，
所以 <0，所以函数y= 在(0，+∞)上是减函数.列出部分函数值如下表所示，描点作图.再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，角度2 研究函数的对称性
【典例】求证二次函数f(x)=-x2+2x+3关于x=1对称. 世纪金榜导学号
【思维·引】分别计算f(1+h)，f(1-h)【证明】任取h∈R，因为f(1+h)=-(1+h)2+2(1+h)+3
=-h2+4，
f(1-h)=-(1-h)2+2(1-h)+3=-h2+4，
所以f(1+h)=f(1-h)，所以函数的图像关于x=1对称.【类题·通】
1.如何探究函数的性质及图像
主要从以下几个方面进行探究，定义域、奇偶性、单调性.如果具有奇偶性，则只探究y轴右侧的函数性质及图像，y轴左侧的可以根据奇偶性得到.2.关于函数的对称性
函数f(x)若对于任意x∈R，a是常数，
(1)关于直线x=a对称：
?f(a+x)=f(a-x)(f(2a-x)=f(x))，(2)关于点(a，b)对称：
?f(a+x)+f(a-x)=2b(f(2a-x)+f(x)=2b)，
特别地：关于点(a，0)对称，则f(a+h)=-f(a-h).【习练·破】
求证：函数f(x)= 的图像关于(-1，1)对称.【证明】任取h∈R，因为f(-1+h)=
f(-1-h)=
所以f(-1+h)+f(-1-h)=
所以函数f(x)= 的图像关于(-1，1)对称.【加练·固】
试探究函数f(x)=x|x|-2x的性质，作出图像并写出单调区间和值域.【解析】函数的定义域为R，任取x∈R，则-x∈R，
且f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x
=-f(x)，
所以函数f(x)=x|x|-2x是奇函数，
当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x是二次函数，对称轴为x=1，f(1)=1-2=-1，与x轴交于(0，0)，
(2，0)，作出函数图像如图，再根据函数是奇函数
得函数的图像，如图所示：由图可知，函数的单调增区间为(-∞，-1]或
[1，+∞)，单调减区间为[-1，1]，值域为R.温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.下列函数是偶函数的是 ( )
A.y=x B.y=2x2-3
C.y= D.y=x2，x∈(-1，1]
【解析】选B.对于A，定义域为R，f(-x)=-x=-f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)=f(-x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数.
2.使函数f(x)=xa的定义域为R且为奇函数的a的值可以是 ( )
A.-1 B. C.3 D.以上都不对
【解析】选C.对于A，a=-1时，f(x)=x-1，其定义域不是R，不符合题意；对于B，a=时，f(x)==，其定义域不是R，不符合题意；对于C，a=3时，f(x)=x3，其定义域为R且为奇函数，符合题意.
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=-x2-x，则f(2)=________.?
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，并且x≤0时，f(x)=-x2-x，所以f(2)=-f(-2)=-[-(-2)2-(-2)]=2.
答案：2
4.如图，给出奇函数y=f(x)的局部图像，则f(-2)+f(-1)=________. ?
【解析】由题图知f(1)=，f(2)=，
又f(x)为奇函数，所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.
答案：-2
【新情境·新思维】
若函数f(x)=为奇函数，则a=________，f(g(-2))=________.?
【解析】因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，
即a=0，g(-2)=f(-1)=-f(1)=-2，
又f(-2)=-f(2)=-7，所以f(g(-2))=f(-2)=-7.
答案：0 -7
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课堂检测·素养达标
1.下面四个命题：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定通过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).其中错误的命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.偶函数的图像关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y=，故①错误，③正确.奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点，如y=，故②错误.若y=f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但未必x∈R，如f(x)=0，其定义域为[-1，1]，故④错误.
2.奇函数y=f(x)的局部图像如图所示，则 ( )
A.f(2)>0>f(4) B.f(2)<0C.f(2)>f(4)>0 D.f(2)【解析】选A.由题意可知：函数的图像如图：可知f(2)>0>f(4).
3.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)，则当x<0时，f(x)=________.?
【解析】因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(-x)=-f(x)，又x≥0时，f(x)=x(1+x)，
所以设x<0，-x>0，则f(-x)=-x(1-x)=-f(x)，
所以f(x)=x(1-x).
答案：x(1-x)
4.已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是增函数，则f(-2)，f(-π)，f(3)的大小关系是________.?
【解析】本题是利用函数的单调性比较函数值的大小.当自变量的值不在同一区间上时，利用函数的奇偶性，化到同一单调区间上比较其大小.因为f(x)为偶函数，所以f(-2)=f(2)，f(-π)=f(π)，又因为f(x)在[0，+∞)上是增函数，2<3<π，所以f(2)所以f(-2)答案：f(-2)【新情境·新思维】
已知偶函数f(x)在[0，+∞)单调递增，且f(1)=-1，f(3)=1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x取值范围是 ( )
A.[3，5] B.[-1，1]
C.[1，3] D.[-1，1]∪[3，5]
【解析】选D.因为偶函数f(x)在[0，+∞)单调递增，且f(1)=-1，f(3)=1，所以不等式-1≤f(x-2)≤1，即f(1)≤f(x-2)≤f(3)，1≤x-2≤3或-3≤x-2≤-1，
解得3≤x≤5或-1≤x≤1，即x的取值范围是[-1，1]∪[3，5].
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课时素养评价
二十五 函数奇偶性的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的2分，有选错的得0分)
1.(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是 ( )
A.f(-3)>f(-1) B.f(0)C.f(-1)f(0)
【解析】选AC.因为f(x)为偶函数，
所以f(-3)=f(3)，f(-1)=f(1)，
又f(3)>f(1)，
所以f(-3)>f(-1)，f(3)>f(-1)都成立.
2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )
A.y=|x| B.y=(x≠0)
C.y=-x2 D.y=-x
【解析】选D.根据题意，依次分析选项：对于A，y=|x|，为偶函数，不符合题意；对于B，y=，(x≠0)，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，y=-x2，是二次函数，为偶函数，不符合题意；对于D，y=-x，是正比例函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数，符合题意.
3.已知函数f(x)和g(x)满足f(x)=2g(x)+1，且g(x)为R上的奇函数，f(-1)=8，求f(1)= ( )
A.6 B.-6 C.7 D.-7
【解析】选B.因为f(-1)=2g(-1)+1=8，
所以g(-1)=，又因为g(x)为奇函数，
所以g(-1)=-g(1).
所以g(1)=-g(-1)=-，所以f(1)=2g(1)+1=2×+1=-6.
4.定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(-3)=0，则f(x)<0的解集是 ( )
A.(-3，0)∪(3，+∞)
B.(-∞，-3)∪(0，3)
C.(-∞，-3)∪(3，+∞)
D.(-3，0)∪(0，3)
【解析】选B.因为f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，
所以f(x)在(-∞，0)内是增函数，
因为f(-3)=-f(3)=0，
所以f(3)=0.
当x>0时，由f(x)=0=f(3)得0当x<0时由f(x)=0=f(-3)，所以x<-3，
当x=0时f(x)=0不符合题意，
故f(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0，3).
【加练·固】
已知奇函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，则不等式<0的解集为 ( )
A.(-∞，0)
B.(0，+∞)
C.(-1，0)∪(0，1)
D.(-∞，-1)∪(1，+∞)
【解析】选C.根据题意，函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，
则在(0，1)上，f(x)<0，在(1，+∞)上，f(x)>0.
又由f(x)为奇函数，则在(-∞，-1)上，f(x)<0，在(-1，0)上，f(x)>0，
<0?或，
则有-1即不等式<0的解集为(-1，0)∪(0，1).
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x2+-x，则f(x)=________.?
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f=0；
又因为x<0时，f(x)=2x2+-x，
f(-x)=-f(x)，
所以x>0时，
f(x)=-f(-x)=-2x2+-x；
综上，f(x)=
答案：
6.设f(x)是定义在[-2b，3+b]上的偶函数，且在[-2b，0]上为增函数，则b=________，f(x-1)≥f(3)的解集为________.?
【解析】f(x)是定义在[-2b，3+b]上的偶函数，
所以-2b+3+b=0，所以b=3，
所以f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上为增函数，所以f(x)在[0，6]上为减函数，
所以由f(x-1)≥f(3)得：.
解得-2≤x≤4，所以f(x-1)≥f(3)的解集为：
{x|-2≤x≤4}.
答案：3 {x|-2≤x≤4}
三、解答题(共26分)
7.(12分)试探究函数y=1-的性质，并作出函数的图像.
【解析】函数的定义域为D={x|x≠0}，从而可知函数的图像有左右两部分.
设f(x)=1-，则对任意x∈D都有-x∈D，
而且f(-x)=1-=1-=f(x)，
所以函数f(x)=1-是偶函数，函数的两部分图像关于y轴对称.
因为x1，x2∈(0，+∞)，且x1f(x2)-f(x1)=-
=-==，
所以=，因为x1，x2∈(0，+∞)，
所以>0，所以函数f(x)=1-在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<1.列出部分函数值如表所示，描点作图.
x
1
2
3
f(x)=1-
-3
0
再根据函数是偶函数，可得出函数图像如图所示.
8.(14分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=.
(1)求f(2)的值；
(2)证明：y=f(x)在区间(-∞，0)上是减函数.
(3)求f(x)的解析式
【解析】(1)根据题意，由函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=1+，
则f(2)=-f(-2)=-=-；
(2)任取x1，x2∈(-∞，0)，且x1≠x2，
则f(x2)-f(x1)=(1+)-=-=，
所以=-，又由x1-1<0，x2-1<0，可得<0，函数y=f(x)在区间
(-∞，0]上单调递减；
(3)当x=0时，f(0)=0；
当x>0时，-x<0，则f(-x)=1-，
由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x)，f(x)=-1+=.所以f(x)=
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=|x-1|的图像是 ( )
【解析】选A.根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y=|x-1|的值恒正可知选项D不正确.
2.(4分)若函数f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0，+∞)上有最大值5，则F(x)在(-∞，0)上有 ( )
A.最小值-5 B.最大值-5
C.最小值-1 D.最大值-3
【解析】选C.令h(x)=f(x)+g(x)，
因为函数f(x)、g(x)都是奇函数，则h(x)也是奇函数，且F(x)=h(x)+2.
因为F(x)=f(x)+g(x)+2在(0，+∞)上有最大值5，
所以h(x)在(0，+∞)上有最大值3，
所以h(x)在(-∞，0)上有最小值-3，
所以F(x)=h(x)+2在(-∞，0)上有最小值-1.
3.(4分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)，f(1)=4，则f(3)+f(10)的值为________. ?
【解析】由f(x+4)=f(x)+f(2)，
令x=-2，得f(-2+4)=f(-2)+f(2)，
又f(x)为偶函数，所以f(-2)=f(2)，
所以f(2)=0，所以f(x+4)=f(x)，
又f(1)=4，所以f(3)+f(10)=f(-1)+f(2)
=f(1)+f(2)=4+0=4.
答案：4
【加练·固】
设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035)=________.?
【解析】因为f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，所以f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=…=f(4 034)=0，
f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=…=f(4 035)
=2-1=1，
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(4 035)
=2 017×0+2 018×1=2 018.
答案：2 018
4.(4分)已知偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，且f(2)=0，则不等式>0的解集为________. ?
【解析】根据题意，偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，则在[0，+∞)上递增，又由f(2)=0，则在(0，2)上，f(x)<0，
在(2，+∞)上，f(x)>0，又由f(x)为偶函数，则在(-∞，-2)上，f(x)>0，
在(0，2)上，f(x)<0，?>0?或，
解得-22，即不等式的解集为(-2，1)∪(2，+∞).
答案：(-2，1)∪(2，+∞)
5.(14分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)=-x2-2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意实数m，f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.
【解析】(1)当x<0时，-x>0，又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-(-x2+2x)=x2-2x，
所以f(x)=；
(2)f(m-1)+f(m2+t)<0，
所以f(m-1)<-f(m2+t)，
又f(x)是奇函数，所以f(m-1)又因为f(x)为R上的单调递减函数，
所以m-1>-t-m2恒成立，
所以t>-m2-m+1=-+恒成立，
所以t>即实数t的范围为.
1.函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)+g(x)=，则f(x)
等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题知f(x)+g(x)=①
以-x代x，①式得f(-x)+g(-x)=，
即f(x)-g(x)=②
①+②得f(x)=.
2.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1，a∈R.
(1)试判断f(x)的奇偶性；
(2)若a=1，求f(x)的最小值.
【解析】(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)，此时，f(x)为偶函数.
当a≠0时f(a)=a2+1，f(-a)=a2+2|a|+1，f(a)≠f(-a)，f(a)≠-f(-a)，此时， f(x)为非奇非偶函数.
(2)因为a=1，所以f(x)=x2+|x-1|+1=
当x≥1时，f(x)=-≥2，
当x<1时，f(x)=x2-x+2=+≥，故函数f(x)的最小值为.
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课时素养评价
二十四 函数的奇偶性
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的2分，有选错的得0分)
1.已知f(x)=x3+2x，则f(a)+f(-a)的值是 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
【解析】选A.f(-x)=-x3-2x=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，则f(a)+f(-a)=0.
2.(多选题)对于定义在R上的任意奇函数f(x)都有 ( )
A.f(x)·f(-x)是奇函数
B.f(x)·f(-x)是偶函数
C.f(x)·f(-x)<0
D.f(x)·f(-x)≤0
【解析】选BD.因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)·f(-x)=-f2(x)≤0，且是偶函数.
3.奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-2，则f(6)+f(-3)的值为 ( )
A.10 B.-10 C.9 D.15
【解析】选A.根据题意，函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-2，则f(6)=8，f(3)=-2，
又由函数f(x)为奇函数，则f(-3)=-f(3)=2，则f(6)+f(-3)=10.
4.若函数f(x)=为奇函数，则a= ( )
A. B. C. D.1
【解题指南】利用奇函数的定义得到f(-1)=-f(1)，列出方程求出a.
【解析】选A.因为f(x)为奇函数，
所以f(-1)=-f(1)，
所以=-，
所以1+a=3(1-a)，解得a=.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.设偶函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调减区间为________.?
【解析】作出函数f(x)的图像如图：
故单调减区间为[-5，-4]，[-1，0]，[1，4].
答案：[-5，-4]，[-1，0]，[1，4]
【加练·固】
已知函数f(x)=ax3+bx+2，且f(π)=1，则f(-π)=________.?
【解析】根据题意，设g(x)=f(x)-2=ax3+bx，
则g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-(ax3+bx)=-g(x)，
则g(x)为奇函数，则g(π)+g(-π)=[f(π)-2]+[f(-π)-2]=0，则有f(-π)=3.
答案：3
6.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=________.?
【解析】因为f(x)是奇函数，
所以f(-2)=-f(2)，f(-1)=-f(1).
又f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，
所以f(1)+f(2)=-3.
答案：-3
三、解答题(共26分)
7.(12分)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=+.
(2)f(x)=.
(3)f(x)=
【解析】(1)由得x2=1，即x=±1.
因此函数的定义域为A={-1，1}.
因为f(1)=f(-1)=0，所以f(x)=0，
当x∈A时，-x∈A且f(-x)=0，f(x)=0，
即f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是
A=(-∞，-1)∪(-1，+∞)，
当1∈A时，-1?A，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为R，当x∈R时，-x∈R，
当x>0时，f(x)=x2+x，因为-x<0，
所以f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x
=-(x2+x)=-f(x)；
当x=0时，f(0)=02+0=0=-f(0)；
当x<0时，f(x)=-x2+x，因为-x>0，
所以f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x).
所以对任意x∈R，都有f(-x)=-f(x)，
所以f(x)为奇函数.
8.(14分)已知函数f(x)为奇函数，f(x)=.
(1)求f(-3)的值.(2)求实数a的值.
【解析】(1)因为f(x)=，
则f(3)=0，
又由函数f(x)为奇函数，
则f(-3)=-f(3)=0，故f(-3)=0.
(2)由(1)的结论，
f(-3)==0，
解得：a=3.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知函数f(x)=g(x)+|x|，对任意的x∈R总有f(-x)=-f(x)，且g(-1)=1，则g(1)= ( )
A.-1 B.-3 C.3 D.1
【解析】选B.根据题意，函数f(x)=g(x)+|x|，对任意的x∈R总有f(-x)=-f(x)，
则有f(-1)=-f(1)，即f(-1)+f(1)=0，
则有g(-1)+|-1|+g(1)+|1|=0，
又由g(-1)=1，则g(1)=-3.
2.(4分)函数f(x)=ax3+2bx+a-b是奇函数，且其定义域为[3a-4，a]，
则f(a)= ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选B.因为奇函数的定义域为[3a-4，a]，
所以3a-4+a=0，得4a=4，a=1，
则f(x)=x3+2bx+1-b，
又f(0)=0，得f(0)=1-b=0，则b=1，
即f(x)=x3+2x，则f(a)=f(1)=1+2=3.
3.(4分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x-c，则c=________，f(-2)=________. ?
【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)=2x-c，所以f(0)=1-c=0，
所以c=1，
又当x≥0时，f(x)=2x-1，所以f(2)=3，
又由函数f(x)为奇函数，则f(-2)=-f(2)=-3.
答案：1 -3
4.(4分)若函数f(x)=是奇函数，则实数m=________.?
【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即=-，
所以-x-2m+1=-x+2m-1，
所以-2m+1=2m-1，所以m=.
答案：
5.(14分)已知奇函数f(x)=
(1)求实数m的值，并画出y=f(x)的图像.
(2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，试确定a的取值范围.
【解析】(1)当x<0时，-x>0，
f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x，
所以f(x)=x2+2x，所以m=2.y=f(x)的图像如图所示.
(2)由(1)知f(x)=
由图像可知，f(x)在[-1，1]上单调递增，要使f(x)在[-1，a-2]上单调递增，只需解得11.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )
A.y=-x2+5 B.y=-x
C.y=x3 D.y=-(x≠0)
【解析】选C.A中函数为偶函数；B中的函数为减函数；C中函数符合题意；D中函数为奇函数，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上为增函数，在定义域上不具有单调性.
2.已知函数f(x)=x2+ (x≠0).
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
(2)若f(1)=2，试判断f(x)在[2，+∞)上的单调性.
【解析】(1)当a=0时，f(x)=x2，f(-x)=f(x)，函数f(x)是偶函数.当a≠0时，f(x)=x2+ (x≠0，常数a∈R)，取x=±1，得f(-1)+f(1)=2≠0；f(-1)-f(1)
=-2a≠0，
所以f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1).
所以当a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)若f(1)=2，即1+a=2，解得a=1，
这时f(x)=x2+.任取x1，x2∈[2， +∞)，且x1则f(x2)-f(x1)=-
=(x2+x1)(x2-x1)+=(x2-x1)
所以=x2+x1-，
由于x1≥2，x2≥2，且x1所以x1+x2>，
所以>0，故f(x)在[2，+∞)上是单调递增函数.
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