课件49张PPT。3.3 函数的应用(一) 1.一次函数模型
形如y=kx+b的函数为一次函数模型，其中k≠0.2.二次函数模型
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式：_______________________.
(3)两点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).【思考】
一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际应用问题中，定义域一定是全体实数吗？
提示：不一定，要根据应用问题中的自变量的实际意义确定.3.基本不等式
如果a，b是正数，那么 (当且仅当a=b时取“=”号)【思考】
基本不等式适用的条件.
提示：(1)代数式中各项必须都是正数.
(2)代数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
(3)等号成立的条件必须存在.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有采集的数据都适合函数模型的解析式. ( )(2)实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解析式唯一确定. ( )
(3)利用函数模型得到数据后，要用该数据解释需要解决的实际问题. ( )提示：(1)×.只要大部分数据适合就可以.
(2)×.由解析式、自变量的实际意义共同确定.
(3)√.建立数学模型是为解决实际问题服务的，得出的数据要能解释实际问题.2.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是 ( )【解析】选A.小明父亲行走的路程前20分钟增加到900米，20分钟至40分钟路程不增加，40分钟至60分钟路程减少至0，因此A中图像符合题意.3.某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售价格每涨1元，销量减少1个，要获得最大利润，此商品的销售单价应是 ( )
A.55元 B.50元 C.56元 D.48元【解析】选A.设销售单价为x元，总利润为W元，
则W=(x-30)[40-1×(x-40)]=-x2+110x-2400
=-(x-55)2+625，所以x=55时获得最大利润为625元.4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 ( )
A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x+1 【解析】选D.分裂一次后由2个变成2×2=22个，分裂两次后变成4×2=23个……分裂x次后变为y=2x+1个.类型一 一次函数模型
【典例】李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度，每度0.4元，超过30度时，超过部分按每度0.5元.方案二：不收管理费，每度0.48元.
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系.
(2)小李家九月份按方案一交费34元，问小李家该月用电多少度？
(3)小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？【思维·引】
利用两种方案的解析式解决相应的问题.【解析】(1)当0≤x≤30时，L(x)=2+0.4x；
当x>30时，L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5
=0.5x-1，
所以L(x)= (2)当0≤x≤30时，L(x)≤L(30)=14，
故小李家九月份用电超过30度，
由0.5x-1=34得x=70，故小李家该月用电70度.(3)方案二收费E(x)=0.48x，x≥0，
令L(x)
当0≤x≤30时，2+0.4x<0.48x，解得，25当x>30时，0.5x-1<0.48x，解得，30综上可得小李家月用电量在(25，50)时，选择方案一比选择方案二更好.【内化·悟】
怎样求一次函数的解析式？
提示：设f(x)=kx+b(k≠0)，利用条件求出系数k，b.即待定系数法.【类题·通】
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【习练·破】
已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式为________.?【解析】由题意得A，B两地相距150千米，
某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，
需要2.5小时，
以50千米/时的速度返回A地，需要3小时；
所以当0≤t≤2.5时，x=60t，当2.5所以x=
答案：x= 类型二 二次函数的应用
【典例】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在
国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等
地.上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市
收购了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售. 世纪金榜导学号(1)若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式.
(2)李经理如果想获得利润22 500元，需将这批香菇存放多少天后出售？
(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？【思维·引】
(1)销售金额=售价×销售量.
(2)表示出利润=销售总金额-收购成本-各种费用，再求存放时间.
(3)对利润的表达式配方求最值.【解析】(1)由题意y与x之间的函数关系式为
y=(10+0.5x)(2 000-6x)
=-3x2+940x+20 000(1≤x≤110，且x为整数).
(2)由题意令-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=
22 500，解方程得：x1=50，x2=150(不合题意，舍
去)，故需将这批香菇存放50天后出售.(3)设利润为w，由题意得
w=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x
=-3(x-100)2+30 000.
因为a=-3<0，所以抛物线开口方向向下，所以x=100时，w最大=30 000，所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是30 000元.【内化·悟】
求二次函数模型的最值需要关注哪些方面？
提示：需要关注(1)函数的开口方向；(2)对称轴；
(3)自变量的取值范围.【类题·通】
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【习练·破】
某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放
水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注
水，若t小时内向居民供水总量为100 (0≤t≤24)，
则当t为何值时蓄水池中的存水量最少？【解析】设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，
则y=400+60t-100 (0≤t≤24).
设u= ，则u∈[0，2 ]，
y=60u2-100 u+400=60 +150，
所以当u= 即t= 时，蓄水池中的存水量最少.类型三 基本不等式的应用
【典例】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该
地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.
经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的
平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平
方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
世纪金榜导学号【思维·引】平均综合费用=平均建筑费用+平均购
地费用，
平均购地费用= ，建设层数x必须为正整数.【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)=(560+48x)+
=560+48x+ (x≥10，x∈N*).
所以f(x)=560+48x+
≥560+2 =2 000，当且仅当48x= ，即x=15时取等号.
因此，当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2 000，即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.【类题·通】
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
④根据实际背景写出答案.【习练·破】
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为
4 800m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，
池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总
造价最低，最低总造价是多少元？【解析】设水池底面一边的长度为x m，水池的
总造价为l元，根据题意，得l=240 000+720
≥240 000+720×2
=240 000+720×2×40=297 600，当x= ，
即x=40时，有最小值297 600.因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，
水池的总造价最低，最低总造价是297 600元温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1为 ( )
【解析】选A.由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图像是重合的线段，由此排除C，D，再根据v12.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是 ( )
A.310元 B.300元 C.390元 D.280元
【解析】选B.由图像知，该一次函数过(1，800)，(2，1 300)，可求得解析式y=500x+300(x≥0)，当x=0时，y=300.
3.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.?
【解析】一年的总运费为6×=(万元).
一年的总存储费用为4x万元.
总运费与总存储费用的和为万元.
因为+4x≥2=240，当且仅当=4x，即x=30时取得等号，
所以当x=30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
答案：30
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课时素养评价
二十八 函数的应用(一)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b【解析】选C.由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升.由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线又上升.
【加练·固】
明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是 ( )
【解析】选C.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快，故应选C.
2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 ( )
A.15 B.40 C.25 D.130
【解析】选C.若4x=60，则x=15>10，不合题意；若2x+10=60，则x=25，满足题意；若1.5x=60，则x=40<100，不合题意.故拟录用25人.
3.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20 %；同时乙产品连续两次降价，每次降价都是20 %，结果都以92.16元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是 ( )
A.不亏不盈 B.赚23.68元
C.赚47.32元 D.亏23.68元
【解析】选D.设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则x(1+20 %)2=92.16，y(1-20 %)2=92.16，所以x=64，y=144，64+144-92.16×2=23.68.
4.已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是 ( )
A.x=60t
B.x=60t+50
C.x=
D.x=
【解析】选D.从A地到B地的来回时间分别为：=2.5，=3，
所以x=
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q-Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.?
【解析】L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000
=-Q2+30Q-2 000
=-(Q-300)2+2 500，
当Q=300时，L(Q)的最大值为2 500万元.
答案：2 500
6.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y=f(x)的解析式为________.?
【解析】由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y=f(x)=
答案：y=f(x)=
三、解答题(共26分)
7.(12分)某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？
【解析】根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：
y=
(1)当0≤x≤400时，由3.75x=750，得x=200.
(2)当400≤x≤600时，由1.25x+1 000=750，得x=-200(舍去).
综合(1)和(2)，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张.
答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.
8.(14分)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75 %，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
【解析】(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100，300]，n=kx+b(k<0)，因为0=300k+b，即b=-300k，所以n=k(x-300).
所以利润y=(x-100)k(x-300)=k(x-200)2-10 000k(x∈(100，300])，
因为k<0，所以x=200时，ymax=-10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
(2)由题意得k(x-100)(x-300)=-10 000k·75 %，
整理，得x2-400x+37 500=0，解得x=250或x=150，
所以，商场要获得最大利润的75 %，每件标价为250元或150元.
(15分钟·30分)
1.(4分)某工厂2017年的产量为A，2018年的增长率为a，2019年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则有 ( )
A.x=(a+b) B.x≤(a+b)
C.x>(a+b) D.x≥(a+b)
【解析】选B.由(1+x)2=(1+a)(1+b)≤，所以x≤(a+b).
2.(4分)某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元.则这两筐椰子原来的总个数为 ( )
A.180 B.160 C.140 D.120
【解析】选D.设原来两筐椰子的总个数为x，成本价为a元/个，则解得故这两筐椰子原来共有120个.
3.(4分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车运营的利润y与运营年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有运营利润的时间不超过________年. ?
【解析】设二次函数y=a(x-6)2+11，又过点(4，7)，所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.
解y≥0，得6-≤x≤6+，所以0答案：10
4.(4分)长为4、宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时面积最大，此时x=______，最大面积S=______. ?
【解析】S=(4+x)=-+x+12
=-(x-1)2，当x=1时，Smax=.
答案：1
5.(14分)一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义.
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图像.
【解析】(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.
(2)根据图像，有s=
这个函数的图像如图所示.
1.某商人将彩电先按原价提高40 %，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元. ?
【解析】设彩电的原价为a元，所以a(1+0.4)·80 %-a=270，所以0.12a=270，解得a=2 250.所以每台彩电的原价为2 250元.
答案：2 250
2.已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每
年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1 %时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
【解析】设重组后，该企业年利润为y万元.
当待岗人员不超过1%时由1->0，x≤2 000×1%=20得则y=(2 000-x)-0.5x
=-5+9 000.64；
当待岗人员超过1%且不超过5%时，
由20则y=(2 000-x)(3.5+0.9)-0.5x=-4.9x+8 800.
故y=
当则y=-5+9 000.64
≤-5×32+9 000.64=8 840.64，
当且仅当x=，即x=16时取等号，此时y取得最大值8 840.64；当20所以y<-4.9×20+8 800=8 702.
又8 840.64>8 702，
故当x=16时，y有最大值8 840.64.
即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗.
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