课件55张PPT。第三章 函 数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念函数的概念
(1)定义：给定两个非空数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数.(2)记法：y=f(x)，x∈A.(3)定义：【思考】
(1)对应关系还可以用哪些字母表示？
提示：对应关系还可以用小写英文字母如g，h等表示.(2)函数的值域与集合B是什么关系？
提示：函数的值域{y∈B|y=f(x)，x∈A}?B.(3)y=f(x)表示的是“y等于f与x的乘积”吗？
提示：符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何两个集合都可以建立函数关系. ( )
(2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y.
( )
(3)函数的值域即为集合B. ( )提示：(1)×.集合A，B应为非空数集.
(2)√.符合函数的定义.
(3)×.值域是集合B的子集.2.若函数定义在集合A={-1，0，1}上，f为“乘2”，则函数的值域B=________.?
【解析】B={-2，0，2}.
答案：{-2，0，2}3.用区间表示函数f(x)= 的定义域是________.?
【解析】由题意得x-1>0，所以x>1，
定义域为(1，+∞).
答案：(1，+∞)类型一 函数关系的判断
【典例】1.(2019·泰安高一检测)下列四个图像中，不可能是函数图像的是 ( )2.在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是 ( )
①A={x|x∈Z}，B={y|y∈Z}，f为“除以3”；
②A={x|x>0，x∈R}，B={y|y∈R}，f为“求3x的平方根”；③A=R，B=R，f为“求平方”；
④A={x|-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，f为“乘以0”.
A.①④ B.②③④
C.②③ D.③④【思维·引】
1.作与x轴垂直的直线，此直线与函数的图像至多有一个公共点.
2.先看集合A、B是否为非空数集，再判断非空数集A中任取一个数，在非空数集B中是否有唯一的数与之对应，若不是，则不是函数.【解析】1.选B.根据题意，对于选项A，对于任意的x ，有唯一确定的y与其对应，故成立，对于B，由于一个x，可有两个y对应，不成立，对于C，由于满足对于任意的x ，有唯一确定的y与其对应，因此是函数图像，对于D，也是作一条垂直于x轴的直线，交点至多一个即可.2.选D.①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义.【内化·悟】
理解函数的概念，需要把握哪几个要点？提示：(1)集合A，B是非空数集；(2)强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三性只要有一个不满足，便不能构成函数.【类题·通】
1.判断一个对应是否是函数的方法2.根据图形判断对应是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.如图所示：【习练·破】
已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，在下列A到B的四种对应关系中，存在函数关系的个数是 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】选B.根据函数的定义可知，集合A中每一个实数在B中都有唯一确定的实数与之对应，其中①③均满足函数的定义.【加练·固】
如图可作为函数y=f(x)的图像的是 ( )【解析】选D.观察图像可知，A，B，C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图像.D中图像是函数图像.类型二 求函数的定义域
【典例】1.函数y= 的定义域为 ( )
A.(-∞，-5)∪(-5，5)∪(5，+∞)
B.[4，+∞)
C.(4，5)
D.[4，5)∪(5，+∞)2.设全集为R，函数f(x)= 的定义域为M，则?RM
=世纪金榜导学号( )
A.{x|x≥2或x=-1}
B.{x|x<2且x≠-1}
C.{x|x≥2}
D.{x|x>2或x=-1}【思维·引】1.根据被开方数大于等于0，分母不等于0求范围.
2.根据被开方数大于等于0，分母不等于0，0次幂的底数不等于0求范围.【解析】1.选D.因为函数有意义当且仅当
解得4≤x<5或x>5，
故函数y= 的定义域为[4，5)∪(5，+∞).2.选A.因为函数有意义当且仅当
解得x<2且x≠-1，
所以M={x|x<2且x≠-1}，
所以?RM={x|x≥2或x=-1}.【内化·悟】
求函数的定义域时需要关注哪些方面？
提示：关注解析式中是否含有分式、根号、零次幂.【类题·通】
已知函数的解析式，求函数的定义域
(1)本质：求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围.(2)常见题型
①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
③如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.④y=x0要求x≠0.
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).【习练·破】
1.函数f(x)= 的定义域为 ( )
A.[-3，-1)∪(-1，+∞)
B.(-3，-1)∪(-1，+∞)
C.[-1，+∞)
D.[-3，+∞)【解析】选A.因为函数有意义当且仅当
解得x≥-3，且x≠-1，
所以f(x)的定义域为：[-3，-1)∪(-1，+∞).2.函数y= 的定义域为________.?【解析】令-x2+2x+3≥0，
即x2-2x-3≤0，
解得-1≤x≤3，
所以函数的定义为[-1，3].
答案：[-1，3]【加练·固】
函数y= 的定义域为 ( )【解析】选B.由题意得：2x+1≥0，
解得x≥
故函数的定义域是 类型三 函数对应关系的应用
角度1 对应关系的选取
【典例】已知A={x|0≤x≤9}，B={y|0≤x≤3}，下列
对应关系不表示定义在A上的函数的是 ( )
A.f为“乘 ” B.f为“乘 ”
C.f为“乘 ” D.f为“求算术平方根”【思维·引】根据函数的定义判断.
【解析】选A.对于对应f：“乘 ”，x=9∈A时，
y=4.5?B，所以此对应关系不是定义在集合A上的函
数，B，C，D均是定义在集合A上的函数.【素养·探】
在判断函数关系时，常常用到核心素养中的逻辑推理，根据函数的定义判断对应关系是否构成函数关系.
本例中，若f为“求平方根”，则f是否是定义在集合A上的函数？【解析】因为任何一个正数都有两个平方根，故集合A中的任何一个正数都对应两个实数，不符合函数的定义，故f不是定义在集合A上的函数.角度2 利用对应关系求值
【典例】已知f为“平方加1”是定义在集合A上的函数，那么值域中的元素5在集合A中对应的元素是
( )
世纪金榜导学号
A.26 B.2 C.-2 D.±2【思维·引】设对应的元素为x，列方程求值.【解析】选D.因为f为“平方加1”，设集合A中对应的元素为x，由5=x2+1，得x=±2，
所以值域中元素5在A中对应的元素为±2.【类题·通】
1.关于对应关系的选择
根本的方法是依据函数的定义进行判断，判断时可以借助区间的端点值、区间中的特殊值进行验证、排除，另外值域一定是集合B的子集.2.关于利用对应关系求值
利用对应关系建立定义域A中的x与值域中的y之间的方程，通过解方程求值，其中x可以是一个或多个，而y值只能是一个.【习练·破】
已知A=B=R，x∈A，y∈B，对应关系f为“乘以a加b”是定义在集合A上的函数，若集合A中的3和10分别对应集合B中的1和8，则5对应的元素是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选A.A=B=R，x∈A，y∈B，f为“乘以a加
b”，所以有 解得：
即f为“乘以1减2”，5在f下的函数值f(5)=1×5-2=3.课件69张PPT。第2课时
函数概念的综合应用1.同一个函数【思考】
函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可.2.常见函数的定义域和值域【思考】
求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域时为什么分a>0和a<0两种情况？提示：当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物
线，观察图像得值域为
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，观察
图像得值域为 【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数. ( )(2)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t不是同一个函数.
( )
(3)函数f(x)= +1的值域是(-∞，1)∪(1，+∞).
( )提示：(1)×.例如f(x)= 与g(x)= 的定义域与值
域相同，但这两个函数不是同一个函数.
(2)×.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域都是R，对
应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数.
(3)√.因为 ≠0，所以 +1≠1.2.若函数y=x2-3x的定义域为{-1，0，2，3}，则其值
域为 ( )
A.{-2，0，4} B.{-2，0，2，4}
C. D.[0，3]【解析】选A.依题意，当x=-1时，y=4；
当x=0时，y=0；
当x=2时，y=-2；
当x=3时，y=0.
所以函数y=x2-3x的值域为{-2，0，4}.3.设函数f(x)=2x+3的值域是[-1，5]，则其定义域为_______.?
【解析】由-1≤2x+3≤5，解得-2≤x≤1，即函数定义域为[-2，1].
答案：[-2，1]类型一 判断两个函数是否是同一个函数
【典例】1.若函数f(x)=( )2与g(x)=x(x∈D)是同一
个函数，则D可以是 ( )
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.[0，+∞) D.(-∞，0]2.判断下列各组中的两个函数是同一个函数的为
( )
世纪金榜导学号
(1)y1= y2=x-5.
(2)y1= (3)f(x)=x，g(x)=
(4)f(x)= F(x)=
A.(1)、(2) B.(2)、(3)
C.(4) D.(3)【思维·引】
1.根据相等函数的定义域相同求D.
2.先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.【解析】1.选C.函数f(x)的定义域为[0，+∞)，
即D=[0，+∞).2.选C.对于(1)，两个函数的定义域不同，所以不是同
一个函数；对于(2)，两个函数的定义域不同，如当
x=-1时函数y1= 无意义，但y2=
有意义，所以不是同一个函数；对于(3)，g(x)=
=|x|，两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函
数；对于(4)，f(x)= 所以两个
函数定义域相同，对应关系相同，是同一个函数.【内化·悟】
判断两个函数是否是同一个函数的步骤是什么？
提示：先分别求出两个函数的定义域，若定义域相同则考查解析式是否相同.【类题·通】
判断函数是同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否是同一函数的三个步骤.(2)两个注意点.
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示解析式无关.【习练·破】
下列各组函数中表示同一个函数的是 ( )
A.y= 与y=x+3
B.y= 与y=x-1C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)
D.y=2x+1，x∈Z与y=2x-1，x∈Z
【解析】选C.选项A中两函数的定义域不同；选项B，D中两函数的对应关系不同.【加练·固】
判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由.
(1)f(x)=2x+1(x∈R)，g(x)=2x+1(x∈N*).
(2)f(x)=x2，g(x)=
(3)y= y=x-1.【解析】(1)对应关系一致，但定义域不同，因而不是同一个函数.
(2)定义域相同，但对应关系不一致，因而不是同一个函数.(3)y= =|x-1|，与函数y=x-1的对应关系不
一致，所以两个函数不是同一个函数.类型二 利用函数的解析式求值(式)
【典例】已知f(x)= g(x)=x2+2.
(1)求f(2)，g(2)，f(g(2))；(2)求f(g(x)).【思维·引】
(1)将x分别替换成2求出f(2)，g(2)，再求f(g(2)).
(2)将x替换成 代入化简.【解析】(1)f(2)= g(2)=22+2=6，
把g(2)=22+2=6代入f(x)=
得f(g(2))=f(6)=
(2)f(g(x))=f(x2+2)= 【内化·悟】
函数f(x)中的x只能是数字吗？
提示：可以是数字，也可以是字母、式子.【类题·通】
利用函数的解析式求值
函数解析式中的x可以是数字、字母、式子，只要将数字、字母、式子整体代入，即可化简求值，代入遵循从里向外的代入顺序.【习练·破】
设f(x)= 其中x≠0，且x≠1.则f(f(x))=______.?【解析】由f(x)= 则f(f(x))=
答案： 【加练·固】
设函数f(x)=3x2-1，则f(a)-f(-a)的值是 ( )
A. 0 B. 3a2-1 C. 6a2-2 D. 6a2【解析】选A.f(a)-f(-a)
=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.类型三 求函数的值域
角度1 利用不等式的性质求值域
【典例】1.已知函数f(x)= 则f(x)的值域是( )2.求函数f(x)= 的值域. 世纪金榜导学号【思维·引】
1.利用不等式的性质推导 的范围或变形后利用
方程有解求值域.
2.对解析式变形后利用不等式的性质求值域.【解析】1.选C.方法一：因为x2+2≥2，所以
所以f(x)的值域为 方法二：设t是所求值域中的元素，则关于x的方程
应该有解，即x2= -2应该有解，所以 -2≥0，
即 解得0
因为f(x)= 因为x≠1，所以 ≠0，所以f(x)≠5，
所以函数f(x)= 的值域为(-∞，5)∪(5，+∞).【素养·探】
利用不等式求值域时，常常用到核心素养中的数学运
算，利用解析式的变形，推导解析式的范围.
将本例2中的函数变为f(x)= 试求值域.【解析】f(x)= 的定义域为
因为f(x)=
所以f(x)≠ 所以函数的值域为 角度2 配方法求值域
【典例】求下列函数的值域 世纪金榜导学号
(1)f(x)=x2-2x+2.(2) f(x)= 【思维·引】
(1)先配方再求值域.
(2)先换元，再配方求值域.【解析】(1)函数的定义域为R，
因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，
所以函数的值域为[1，+∞).(2)因为函数有意义当且仅当x+1≥0，
即x≥-1，
故函数的定义域是[-1，+∞).
设t= 则x=t2-1(t≥0)，于是g(t)=
又因为t≥0，故g(t)≥
所以函数的值域是 【类题·通】
求函数值域的常用方法
(1)利用不等式的性质：结合定义域，利用x的变形，推导解析式的范围.
(2)利用方程有解：设值域内的元素t，用t表示x，根据x的范围求t的范围，即值域.(3)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.
(4)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确
定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+
(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常
用换元法.(5)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.【发散·拓】
对于形如y= 的函数，还可以把已知函
数转化为关于变量的二次方程，再利用方程有解，即
判别式非负.从而求得原函数值域的方法叫判别式法.【延伸·练】
试用此法求函数y= 的值域.【解析】易知函数的定义域是R，
由y= 得yx2-x+y=0，
当y=0时，x=0，所以y可以为0；当y≠0时，Δ=1-4y2≥0，
所以
综上可得，所求函数的值域为 【习练·破】
(2019·天津高一检测)求下列函数的值域.
(1)f(x)= (2)y= 【解析】(1)f(x)= 的定义域为R，
x2+x+1=
所以
所以f(x)= 的值域为 (2)令t= (t≥0)，则x=1-t2，换元可得函数的解
析式：g(t)=1-t2+4t
=-(t-2)2+5，又因为t≥0，故g(t)≤5，.
所以函数的值域是(-∞，5].【加练·固】
求下列函数的值域.
(1)y=
(2)y=
(3)y=3x2-x+2.【解析】(1)方法一：由x2≥0及4-x2≥0，
观察得 ∈[0，2]，
故此函数的值域为[0，2].方法二：由 x2≥0得-x2≤0，得4-x2≤4，
所以0≤ ≤2，
故此函数的值域为[0，2].(2)y=
因为 所以y≠
所以函数的值域为 (3)函数y=
值域为 课件80张PPT。第3课时
函数的表示方法函数的表示方法【思考】
函数的三种表示方法各自有哪些优缺点？提示：【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用图像法表示. ( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示. ( )
(3)函数的图像一定是一条连续不断的曲线. ( )提示：(1)×.有的函数是不能画出图像的，
如f(x)=
(2) ×.并不是所有的函数都可以用解析式表示.(3)×.有些函数的图像不是一条连续不断的曲线，如
f(x)= 的图像就不是连续的曲线.2.由下表给出函数y=f(x)，则f(f(1))等于 ( )A.1 B.2 C.4 D.5【解析】选B.由题表可知f(1)=4，所以f(f(1))=
f(4)=2.3.函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为_______.【解析】由f(x)的图像可知-5≤x≤5，-2≤y≤3.
答案：[-5，5] [-2，3]类型一 列表法表示函数
【典例】1.观察下表：则f(g(2))-f(-1)= ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 52.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f(g(1))的值为________；当g(f(x))=2时，x=________.?【思维·引】
1.先求出g(2)，再求 f(-1)后计算.
2.观察表格明确自变量和函数值的对应关系.【解析】1.选A.g(2)=-2，f(-2)=1，f(-1)=-1，
所以f(g(2))-f(-1)=f(-2)-f(-1)=1-(-1)=2.
2.f(g(1))=f(3)=1，
因为g(f(x))=2，所以f(x)=2，所以x=1.
答案：1 1【内化·悟】
对于列表法表示的函数，求函数值时应注意什么？
提示：应注意认真审题，准确确定x与y的对应关系.【类题·通】
列表法表示的函数的求值问题的解法
解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量x与y的对应关系，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求自变量x时，则由外向内逐层求解.【习练·破】
1.给出函数f(x)，g(x)如表，则f(g(x))的值域为
( )A.{1，3} B.{1，2，3，4}
C.{4，2} D.{1，2，3}【解析】选C.因为f(g(1))=f(g(2))=f(1)=4，
f(g(3))=f(g(4))=f(3)=2，
所以f(g(x))值域为{4，2}.2.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如表：则方程g(f(x))=x的解集为________.?【解析】由于g(f(1))=g(2)=2，
g(f(2))=g(3)=1，
g(f(3))=g(1)=3，
所以g(f(x))=x的解集为{3}.
答案：{3}类型二 函数图像及应用
【典例】1.某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再去上学，为了赶时间他快速行驶.如图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离.则较符合该同学走法的图像是
( )2.作出下列函数的图像，并指出其值域： 世纪金
榜导学号
(1)y=-x+1，x∈Z.(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
(3)y= (-2≤x≤1，且x≠0).【思维·引】
1.将该同学上学的过程分为四个时间段，逐段分析离学校的距离与出发后的时间的关系.
2.首先明确函数的定义域，其次明确函数图像的形状，最后描点作图.【解析】1.选D.坐标系中，横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离.据此，将该同学上学的过程分为四个时间段：①第一时间段，该同学从家出发往学校行驶，随时间的增长，他到学校的距离越来越小，图像呈现减函数的趋势.②第二时间段，该同学在中途返回家里，随时间的增长，他到学校的距离越来越大，图像呈现增函数的趋势.
③第三时间段，该同学停在家里找作业本，此时他到学校的距离不变，是一个常数，图像呈现水平的线段.④第四时间段，该同学从家出发，急速往学校行驶，随时间的增长，他到学校的距离越来越小，而且由于他行驶的速度很快，故图像呈现“直线下降”的锐减趋势.由以上分析，可知符合题意的图像是D.2.(1)定义域为Z，所以图像为离散的点.图像如图(1)所示. 由图可知y=-x+1，x∈Z的值域为Z.(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x<3)，定义域不是R，因此图像不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分.图像如图(2)所示. 由图可知y=2x2-4x-3(0≤x<3)的值域为[-5，3).(3)用描点法可以作出函数的图像如图(3)所示.由图可
知y= (-2≤x≤1，且x≠0)的值域为(-∞，-1]∪
[2，+∞).【内化·悟】
画一次函数、二次函数和反比例函数的图像时，应注意什么？提示：(1)明确函数图像的形状，即一次函数的图像是直线、二次函数的图像是抛物线、反比例函数的图像是双曲线.
(2)作函数图像时应特别注意：顶点、端点、图像与x轴的交点等这些特殊点.
(3)作图时应首先看清函数的定义域.【类题·通】
描点法作函数图像的步骤
列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.【习练·破】
1.列车从A地出发直达500 km外的B地，途中要经过距离A地200 km的C地，假设列车匀速前进5 h后从A地到达B地，则列车与C地之间的距离s关于时间t的函数图像为 ( )【解析】选A.当t=0时，s=200.
列车的运行速度为 =100(km/h)，所以列车到达C
地的时间为 =2(h)，故当t=2时，s=0.2.如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f(f(3))的值等于________.?【解析】由图可知f(3)=1，
所以f(f(3))=f(1)=2.
答案：2【加练·固】
1.“龟兔赛跑”讲述了这样的一个故事：领先的
兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当
它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但
为时已晚，乌龟还是先到达了终点.如果用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图形与故事情节相吻合的是 ( )【解题指南】乌龟和兔子所跑的路程相同，乌龟所用的时间短，据此可选出答案.
【解析】选B.因为兔子先快、后停、又快、故排除C；又兔子比乌龟晚到达终点，因此排除A，D，故选B.2.作出下列函数的图像.
(1)y=x(-2≤x≤2，x∈Z且x≠0).
(2)y=-2x2+4x+1(0角度1 待定系数法求函数解析式
【典例】(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21，求f(x)的解析式.
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)=1，f(x-1)-f(x)=4x，求f(x)的解析式. 世纪金榜导学号【思维·引】(1)设f(x)=ax+b(a≠0)，根据题意列方程组求a，b.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，根据题意列方程组求a，b，c.【解析】(1)设f(x)=ax+b(a≠0)，
则2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]
=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21，
所以a=2，b=5，所以f(x)=2x+5.(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1，得c=1.
又因为f(x-1)-f(x)=4x，所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x，整理，得-2ax+a-b=4x，求得a=-2，b=-2，所以f(x)=-2x2-2x+1.【素养·探】
用待定系数法求函数解析式时，经常利用核心素养中的数学运算，首先设出所求函数的一般形式，然后根据题目条件建立等量关系，最后通过解方程组求出待定系数，从而确定函数解析式.本例(2)条件“f(0)=1，f(x-1)-f(x)=4x”改为“f(1-x)=f(1+x)，f(2)=1，f(1)=3，”如何求f(x).【解析】由f(1-x)=f(1+x)且f(1)=3，
可设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0)，
又f(2)=a(2-1)2+3=1，故a=-2，
所以f(x)=-2x2+4x+1.角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式
【典例】已知f( +1)=x-2 ，求f(x). 世纪金
榜导学号【思维·引】令t= +1，将解析式中的x用t替代，即
可求出函数的解析式.【解析】方法一：令t= +1，则t≥1，x=(t-1)2，代
入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3，f(x)=x2-
4x+3(x≥1).方法二：f( +1)=x+2 +1-4 -4+3=( +1)2-
4( +1)+3，因为 +1≥1，
所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).角度3 方程组法求函数解析式
【典例】已知函数y=f(x)满足f(x)=2 +3x，则f(x)
的解析式为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】分析已知等式的特点，用 代换上式中
的x，构建关于f(x)和 的方程组，解方程组求出
f(x).【解析】由题意知函数y=f(x)满足f(x)=2 +3x，
即f(x)-2 =3x，用 代换上式中的x，
可得 -2f(x)=
联立得， 解得f(x)=-x- (x≠0).
答案：f(x)=-x- (x≠0)【类题·通】
函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，可用待定系数法.(2)换元法：已知函数f(g(x))的解析式，可用换元
法，此时要注意新元的取值范围.
(3)解方程组法：已知f(x)与 、f(-x)之间的关系
式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
组，通过解方程组求出f(x).【习练·破】
1.已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)=3，f(1)=3，则f(x)=________.?【解析】设f(x)=k1x+ ，则
解得 所以f(x)=x+ .
答案：x+ 2.(1)已知函数y=f(x)满足 =x+1.
求f(x)的解析式.
(2)已知f(x)是一次函数，且2f(x-1)+f(x+1)=6x，求
f(x)的解析式.【解析】(1)设t= -2，则x=
所以f(t)= +1= 所以f(x)= (x≠-2).(2)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)=kx+b(k≠0)，
由2f(x-1)+f(x+1)=6x，得
2[k(x-1)+b]+k(x+1)+b=6x，即3kx-k+3b=6x，所以
所以k=2，b= 即f(x)=2x+ 【加练·固】
1.设函数 则f(x)的表达式为 ( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)= 【解析】选C.令t= 解得
代入 可得
所以f(x)= 2.已知二次函数f(x)的图像经过点(-3，2)，顶点是
(-2，3)，则函数f(x)的解析式为________ .?【解析】设所求解析式为f(x)=a(x+2)2+3(a≠0)，
因为抛物线过点(-3，2)，所以2=a+3.
所以a=-1，
所以f(x)=-(x+2)2+3=-x2-4x-1.
答案：f(x)=-x2-4x-1课件67张PPT。第4课时
分 段 函 数1.分段函数的定义
一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.【思考】
分成两段的分段函数是两个函数吗？
提示：不是，分段函数是一个函数，只是在不同的取值范围上对应方式不一样.2.几个特殊的函数
(1)高斯取整函数
y=[x]，定义域为R，值域为Z.
(2)狄利克雷函数
D(x)= 定义域为R，值域为{0，1}.(3)常数函数
y=c，c为常数，定义域为R，值域为{c}，图像为垂直于y轴的直线.【思考】
能否用图像表示狄利克雷函数？
提示：不能，无法作出狄利克雷函数的图像.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)分段函数y= 的定义域为(-∞，1]. ( )
(2)函数y=|x|不是分段函数. ( )
(3)常数函数的图像是垂直于x轴的直线. ( )提示：(1)×.分段函数y= 的定义域为
(-∞，1]∪[1，+∞)=R.
(2)×.函数y=|x|= 是分段函数.
(3)×.常数函数的图像是垂直于y轴的直线.2.已知函数f(x)= 则f(f(-3))的值为
________.?【解析】因为f(x)=
所以f(-3)=-3+4=1，
f(f(-3))=f(1)=1-4=-3.
答案：-33.设函数f(x)= 若f(x0)=8，则x0=______.?【解析】由题意，得(1)当x0≤2时，有 +2=8，解之
得x0=± ，而 >2不符合，所以x0=- .
(2)当x0>2时，有2x0=8，解之得x0=4.
综上所述，得x0=4或- .
答案：4或- 类型一 分段函数的图像
【典例】高斯取整函数y=[x]又称“下取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数；称函数y=为“上取整函数”，其中表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：[1.3]=1，[-1.3]=-2，<-2.3>=-2，<2.3>=3.(1)函数f(x)=，x∈[-2，2]，求
(2)试作出函数y=[x]+的图像，其中-1≤x≤1.【思维·引】
1.根据两个取整函数的定义由内向外求值.
2.先将函数的解析式分段表示，再作图.【解析】(1)函数f(x)=，x∈[-2，2]，
因为
则< >=<3>=3，
则 因为
则< >=< >=2，
则 =2.(2)当x=-1时，[-1]=-1，<-1>=-1，
此时y=[x]+=-1-1=-2，
当-1=0，
此时y=[x]+=-1+0=-1，
当x=0时，[0]=0，<0>=0，此时y=[x]+=0，
当0=1，
此时y=[x]+=0+1=1，
当x=1时，[1]=1，<1>=1，
此时y=[x]+=1+1=2，则y=[x]+= 作图：【内化·悟】
作分段函数的图像的关键是什么？
提示：确定解析式.【类题·通】
分段函数图像的作法
(1)若函数的解析式中含有如取整、取绝对值等运算符号，则分情况去掉，分段表示解析式.
(2)分段描点作图.
(3)检查图像接点处点的虚实，做到不重不漏.【习练·破】
(2019·石嘴山高一检测)已知函数f(x)=x|x-m|(x
∈R)，且f(1)=0.
(1)求m的值，并用分段函数的形式来表示f(x).
(2)在如图给定的直角坐标系内作出函数f(x)的草图(不用列表).【解析】(1)因为f(1)=0，所以|m-1|=0，即m=1，
所以f(x)=x|x-1|= (2)函数图像如图：【加练·固】
已知函数f(x)=|x-1|.
(1)用分段函数的形式表示该函数.
(2)在右边所给的坐标系中画出
该函数的图像.【解析】(1)y=
(2)作图：类型二 分段函数的解析式及应用
【典例】1.设f(x)= 则f(5)的值为
( )
A.10 B.11 C.12 D.132.设f(x)= 则使得f(m)=1成立的m值是
( )
A.10 B.0，10
C.-2，0，10 D.-1，1，113.如图，定义在[-1，+∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】
1.先求f(5+6)，再求f(f(5+6)).
2.分段令f(m)=1，解方程求m.
3.第一段为一次函数，第二段为二次函数，待定系数法求解析式.【解析】1.选B.因为f(x)=
所以f(5)=f(f(11))=f(9)=f(f(15))
=f(13)=11.2.选C.当m<1时，f(m)=(m+1)2=1，
所以m=-2或m=0，
当m≥1时，f(m)= =1，所以m=10，
综上：m的取值为：-2，0，10.3.当-1≤x≤0时，设解析式为y=kx+b(k≠0)，
则 解得 所以y=x+1，
当x>0时，设解析式为y=a(x-2)2-1(a>0)，因为图像过点(4，0)，所以0=a(4-2)2-1，
解得a= 所以f(x)=
答案：f(x)= 【内化·悟】
已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？
提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定义域.【类题·通】
1.分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.分段函数求自变量值的方法
分段令f(x)等于已知的函数值，解方程求根，验证求出的根是否在该段的自变量范围内，不在范围内的舍去.3.求分段函数的解析式的方法
首先确定每一段上函数的类型，利用待定系数法求每一段上的解析式，其次写函数的解析式时，要注意图像中连接点的虚实，以确定自变量范围中端点的取舍.【习练·破】
1.已知函数f(x)= 若f(x)=5，则x的值是
( )
A.-2 B.2或
C.2或-2 D.2或-2或 【解析】选A.由题意，当x≤0时，f(x)=x2+1=5，得
x=±2，又x≤0，所以x=-2；当x>0时，f(x)=-2x=5，
得x= 舍去.2.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是________.?【解析】因为f(x)的图像由两条线段组成，
所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得
f(x)=
答案：f(x)= 【加练·固】
已知函数f(x)= 则f(f(5))=
( )
A.0 B.-2 C.-1 D.1【解析】选C.因为5>0，将x=5代入函数解析式，得f(5)=3-5=-2，所以f(f(5))=f(-2)，
因为-2<0，将x=-2代入函数解析式，
得f(-2)=(-2)2+4×(-2)+3=-1.类型三 分段函数的综合问题
角度1 范围问题
【典例】已知f(x)= 则不等式x+(x+2)·f(x+2)
≤5的解集是世纪金榜导学号( )
A.[-2，1] B.(-∞，-2]
C. D. 【思维·引】
分x+2≥0，x+2<0两种情况解不等式.【解析】选D.(1)当x+2≥0，即x≥-2时，
f(x+2)=1，
由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x+x+2≤5，
所以x≤ 即-2≤x≤ (2)当x+2<0，即x<-2时，f(x+2)=-1，
由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x-(x+2)≤5，
即-2≤5成立，所以x<-2.
综上，不等式的解集为 【素养·探】
在分段函数求范围的过程中，常常用到核心素养中的
数学运算，通过分情况后代入解析式，解不等式求范
围.
若将本例中的条件改为“已知f(x)= ”试求不
等式的解集.【解析】(1)当x+2≥1，即x≥-1时，f(x+2)=1，
由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x+x+2≤5，
所以x≤ 即-1≤x≤ (2)当x+2<1，即x<-1时，f(x+2)=-1，
由x+(x+2)·f(x+2)≤5，可得x-(x+2)≤5，
即-2≤5，所以x<-1.综上，不等式的解集为 角度2 值域问题
【典例】已知函数f(x)= 世纪金榜导学
号
(1)求 的值.
(2)画出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.【思维·引】
(1)先求 再求
(2)从左向右，图像分别为射线、抛物线、射线，分段
作出图像，观察图像的最高点、最低点，然后确定值
域.【解析】(1)
(2)由图像可知，函数的值域是(-∞，1].【类题·通】
1.已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论.
(2)然后代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出字母的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.2.分段函数的值域
(1)利用不等式的性质分段求出值域，再取各段上值域的并集，即为函数的值域.
(2)作出分段函数的图像，由图像观察函数值的取值范围.【习练·破】
1.已知f(x)= 使f(x)≥-1成立的x的取值
范围是 ( )
A.[-4，2) B.[-4，2]
C.(0，2] D.(-4，2]【解析】选B.因为f(x)≥-1，
所以 或
所以-4≤x≤0或0答案：[6，10]【加练·固】
已知f(x)=
(1)画出函数f(x)的图像.
(2)求f(x)的定义域和值域.【解析】(1)作出f(x)的图像，如图所示.(2)观察函数图像可知，函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1].温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②
【解析】选C.①图像不满足函数的定义域，不正确；
②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；
④不满足函数的定义.
2.如图给出的四个对应关系，其中构成函数的是 ( )
A.(1)(2) B.(1)(4) C.(1)(2)(4) D.(3)(4)
【解析】选B.(1)(4)可以构成函数；
在(2)中，1，4在后一个集合中找不到对应的元素，故不是函数；在(3)中，1对应了两个数3，4，故也不是函数.
3.函数y=+的定义域为________________.?
【解析】由解得x≥且x≠3，
所以函数的定义域为∪(3，+∞).
答案：∪(3，+∞)
4.对应关系f为“乘以2减1”是定义在集合A上的函数，若值域B={-3，-1，3}，则集合A=________ .?
【解析】根据函数的定义，
分别令2x-1=-3，-1，3，
解得 x=-1，0，2，
从而得到集合A={-1，0，2}.
答案： {-1，0，2}
【新情境·新思维】
若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数.那么与函数y=x2，x∈{-2，-1，0，1，2}为同族函数的个数有
( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【解析】选D.由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y=x2，值域为{0，1，4}时，定义域中，0是肯定有的，正负1，至少含一个，正负2，至少含一个.它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，-2}，{0，-1，2}，{0，-1，-2}，{0，1，-2，2}，{0，-1，-2，2}，{0，1，-1，-2}，{0，1，-1，2}，共有8种不同的情况，所以D选项是正确的.
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课堂检测·素养达标
1.下列函数中与y=x是同一个函数的是 ( )
A.y= B.y= C.y= D.y=
【解析】选B.A.y==|x|与y=x的解析式不同，不是同一个函数；
B.y==x的定义域为R，y=x的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一个函数；
C.y=的定义域为(0，+∞)，与y=x定义域不同，不是同一个函数；D.的定义域为{x|x≠0}，和y=x的定义域不同，不是同一个函数.
2.若函数f(x)与函数g(x)=是同一个函数，则函数f(x)的定义域是
( )
A.(-∞，0) B.(-∞，0)∪(0，1]
C.(-∞，0)∪(0，1) D.[1，+∞)
【解析】选B.根据题意，f(x)=；
因为函数f(x)有意义当且仅当所以x≤1，且x≠0；
所以f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0，1].
3.下列函数中，值域为[1，+∞)的是 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
【解析】选C.A.y= 的值域为[0，+∞)；
B.y=的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)；
C.y=的值域为[1，+∞)；
D.y=的值域为(0，+∞).
4.已知全集U={x∈Z|-2【解析】由题意知UA={0，2}，
所以此时函数f(x)=-x2的定义域为{0，2}，
则值域为{0，-4}.
答案：{0，-4}
【新情境·新思维】
规定符号*表示一种运算，即a*b=+a+b(a，b为正实数)，若1*k=3，k∈N*.
(1)求k.(2)求函数y=k*x值域.
【解析】(1)由已知得，1*k=+1+k=3，
解得，=1或=-2(舍去)，所以k=1.
(2)y=k*x=+1+x=+(x>0)，
令t=，t>0，则y=+在(0，+∞)上是增函数，故y>+=1，
所以函数的值域为(1，+∞).
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课堂检测·素养达标
1.如果一次函数f(x)的图像过点(1，0)及点(0，1)，则f(3)= ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
【解析】选B.设一次函数的解析式为f(x)=kx+b，其图像过点(1，0)、(0，1)，
所以解得k=-1，b=1；
所以f(x)=-x+1，所以f(3)=-3+1=-2.
2.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像.由图像可知，下列说法中错误的是 ( )
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13℃
D.这天21时的温度是30℃
【解析】选C.这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14(℃)，故C错.
3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))=________.?
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
【解析】由题设给出的表知f(3)=4，则f(f(3))=f(4)=1.
答案：1
4.已知函数f(x-1)=2x+1，则f(x+1)=______.?
【解析】由已知得f(x+1)=f(x+2-1)
=2(x+2)+1=2x+5.
答案：2x+5
【新情境·新思维】
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，?OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4).若直线l经过点(1，0)，且将?OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是 ( )
A.y=x+1 B.y=x+1
C.y=3x-3 D.y=x-1
【解析】选D.设D(1，0)，因为直线l经过点D(1，0)，且将?OABC分割成面积相等的两部分，所以OD=BE=1，如图所示
因为顶点B的坐标为(6，4)，所以E(5，4)，
设直线l的函数解析式是y=kx+b，
因为直线过D(1，0)，E(5，4)，所以解得
所以直线l的解析式为y=x-1.
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课堂检测·素养达标
1.函数f(x)=的值域是 ( )
A.R B.{2，3} C.(1，+∞) D.(1，2]
【解析】选B.当12.函数f(x)=的图像是 ( )
【解析】选C.由于f(x)==所以其图像为C.
3.设f(x)=则f(f(-1))= ( )
A.3 B.1 C.0 D.-1
【解析】选A.因为f(x)=
所以f(f(-1))=f(1)=1+2=3.
4.根据如图所示的函数f(x)的图像，其中x≥0，写出它的解析式为________.?
【解析】当0≤x≤1时，设f(x)=kx，将点(1，2)代入，求得k=2，所以f(x)=2x，当1当x≥2时，由图像易得f(x)=3.
所以f(x)=
答案：f(x)=
【新情境·新思维】
定义运算x?y=若|m-1|?m=|m-1|，则m的取值范围是 ( )
A. B.[1，+∞)
C. D.(0，+∞)
【解析】选A.由|m-1|?m=|m-1|，可得：|m-1|≤m，所以m≥0，两边平方得：m2-2m+1≤m2，即m≥.
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课时素养评价
二十 函数的表示方法
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对得2分，有选错的得0分)
1.下列表格中的x与y能构成函数的是 ( )
A.
x
非负数
非正数
y
1
-1
B.
x
有理数
无理数
y
1
-1
C.
x
奇数
0
偶数
y
1
0
-1
D.
x
自然数
整数
有理数
y
1
0
-1
【解析】选B.选项A、C中，x=0时，y都有2个数值与之对应，D中任意一个自然数都有3个数值与之对应.
2.已知函数y=f(x)的图像如图所示，则函数的值域是 ( )
A.[-5，6] B.[2，6]
C.[0，6] D.[2，3]
【解析】选C.观察函数y=f(x)的图像上所有的纵坐标，可知此函数的值域是
[0，6]
3.(多选题)甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A.甲比乙先出发
B.乙与甲跑的路程一样多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
【解析】选B，D.从图中直线看出s甲=s乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先于乙到达.
4.已知函数y=f(x)的对应关系如表，函数y=g(x)的图像是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g(f(1))的值为 ( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选C.由y=g(x)的图像及y=f(x)的对应关系表得g(f(1))= g(2)=1.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知函数f=x2+，则f(x)=________，f(3)=________.?
【解析】因为f=x2+
=+2，所以f(x)=x2+2，
所以f(3)=32+2=11.
答案：x2+2 11
【延伸探究】
把本例条件改为f=x2+，如何求f(3).
【解析】因为f=x2+=-2，
所以f(x)=x2-2，
所以f(3)=32-2=7.
6.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图像确定，那么这个一次函数的解析式y=________，乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.?
【解析】设一次函数解析式为y=ax+b(a≠0)，
代入点(30，330)与点(40，630)，得
解得即y=30x-570，
若要免费，则y≤0，所以x≤19.
答案：30x-570 19
三、解答题(共26分)
7.(12分)画出下列函数的图像：
(1)y=x+1(x≤0).
(2)y=x2-2x(x>1，或x<-1).
【解析】(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线图像如图(1).
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1，或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
8.(14分)已知二次函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=4x，且f(0)=2，
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)在区间(-1，2]上，求函数f(x)的值域.
【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
因为f(0)=2，所以c=2，
因为f(x+2)-f(x)=4x，
所以a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4x
整理得4(a-1)x+4a+2b=0
由x的任意性可得
解得a=1，b=-2，所以f(x)=x2-2x+2.
(2)由(1)知f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，
作出函数图像如图所示，
观察图像可知此函数的值域为[1，5).
【类题·通】二次函数解析式的设法
(1)若已知对称轴或顶点坐标，常设配方式f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
(2)若已知f(x)过三点，常设一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(3)若已知f(x)与x轴两交点的横坐标为x1，x2，常设分解式，f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=ax2+bx+c与y=ax+b(ab≠0)的图像只可能是 ( )
【解析】选D.由a的符号排除B，C，又A中y轴为抛物线的对称轴，即b=0，也应排除.
【发散·拓】
1.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图像与系数的关系
(1)a决定开口方向及开口大小，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
(2)c决定二次函数与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，所以二次函数与y轴有且只有一个交点(0，c).
①当c=0时，抛物线经过原点；
②当c>0时，抛物线与y轴交于正半轴；
③当c<0时，抛物线与y轴交于负半轴.
2.一次函数y=kx+b图像跨越的象限
k>0，b>0时，函数图像经过一、二、三象限；
k>0，b<0时，函数图像经过一、三、四象限；
k<0，b>0时，函数图像经过一、二、四象限；
k<0，b<0时，函数图像经过二、三、四象限.
2.(4分)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是 ( )
A.(0，4] B.
C. D.
【解析】选C.因为y=x2-3x-4
=-，
所以对称轴为直线x=，当x=时，y=-.
因为x=0时，y=-4，由二次函数图像可知
解得≤m≤3，所以m的取值范围是.
3.(4分)函数y=的值域是________. ?
【解析】因为0≤16-x2≤16，
所以∈[0，4].
答案：[0，4]
4.(4分)若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________. ?
【解析】由题意可知，长方体的长为(x+10)cm，从而长方体的体积
y=80x(x+10)，x>0.
答案：y=80x(x+10)，x∈(0，+∞)
5.(14分)已知f(-1)=x-2，求函数f(x)的解析式.
【解析】令t=-1，t≥-1，则=t+1，
代入已知函数的解析式可得
f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1，t≥-1，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥-1) .
【加练·固】
若f(2x+1)=4x2+4x则f(x)的解析式为________.?
【解析】令2x+1=t，则x=.
所以f(t)=4×+4×=t2-1，所以f(x)=x2-1.
答案：f(x)=x2-1
1.一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高，每间房的定价应为 ( )
A.100元 B.90元
C.80元 D.60元
【解析】选C.住房率是每天房价的函数关系，这种关系在题中是用表格的形式表示出来的，而每天的收入y=房价×住房率×间数(100)，我们也可以列出相应的表格：
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
收入
6 500元
6 750元
6 800元
5 700元
从表格很清楚地看到，每天的房价定在80元时，每天的收入最高.
2. (1)已知f(x)+2f(-x)=x+1，求f(x)的解析式.
(2)设f(x)是R上的函数，且f(0)=1，并且对任意实数x，y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的解析式.
【解析】(1)因为f(x)+2f(-x)=x+1，
所以f(-x)+2f(x)=-x+1.
于是得到关于f(x)的方程组
解得f(x)=-x+.
(2)方法一：由f(0)=1，
f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，
设x=y，得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
因为f(0)=1，所以f(x)-x(2x-x+1)=1，即f(x)=x2+x+1.
方法二：令x=0，
得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)，
即f(-y)=1-y(-y+1).
又令-y=x，代入上式得：
f(x)=1+x(x+1)，所以f(x)=x2+x+1.
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课时素养评价
二十一 分 段 函 数
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)设函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2，则a= ( )
A.-3 B.3 C.-1 D.1
【解析】选C，D.因为f(-1)==1，所以f(a)=1.
(1)当a≥0时，f(a)==1，所以a=1.
(2)当a<0时，f(a)==1，所以a=-1.
综上可知a=1或-1.
2.设函数f(x)=若f(a)=a，则实数a的值为 ( )
A.±1 B.-1
C.-2或-1 D.±1或-2
【解析】选B.由题意知，f(a)=a；当a≥0时，有a-1=a，解得a=-2(不满足条件，舍去)；当a<0时，有=a，解得a=1(不满足条件，舍去)或a=-1.所以实数a 的值是-1.
3.下列图像是函数y=的图像的是 ( )
【解析】选C.由于f(0)=0-1=-1，所以函数图像过点(0，-1)；当x<0时，y=x2，则函数图像是开口向上的抛物线y=x2在y轴左侧的部分.因此只有图像C符合.
4.设x∈R，定义符号函数sgn x=则 ( )
A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x
【解析】选D.当x<0时，|x|=-x，x|sgn x|=x，xsgn|x|=x，|x|sgn x=(-x)·(-1)=x，排除A，B，C.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知函数f(x)=则f(1)-f(3)等于________.?
【解析】f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17，f(3)=32+1=10，所以f(1)-f(3)=7.
答案：7
【加练·固】
设函数f(x)=则f的值为________.?
【解析】f(2)=22+2-2=4，所以=.
所以f=f=1-=.
答案：
6.设函数f(x)=则f=________，若f(x0)>1，则x0的取值范围是________. ?
【解析】f===，
当x0≤0时，由-x0-1>1，得x0<-2，
当x0>0时，由>1，得x0>1.
所以x0的取值范围为(-∞，-2)∪(1，+∞).
答案： (-∞，-2)∪(1，+∞)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=2x-1，g(x)=求f(g(x))和g(f(x))的解析式.
【解析】当x≥0时，g(x)=x2，f(g(x))=2x2-1，
当x<0时，g(x)=-1，f(g(x))=-2-1=-3，
所以f(g(x))=
因为当2x-1≥0，即x≥时，
g(f(x))=(2x-1)2，
当2x-1<0，即x<时，g(f(x))=-1，
所以g(f(x))=
8.(14分)设函数f(x)=且f(-4)=f(0)，f(-2)=-1.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的定义域、值域.
【解析】(1)因为f(-4)=f(0)，f(-2)=-1，
所以16-4b+c=3，4-2b+c=-1，
解得：b=4，c=3，
所以f(x)=
(2)函数的定义域为[-4，4]，
当-4≤x<0时，y=x2+4x+3=(x+2)2-1，
由-4≤x<0可得，-1≤y≤3，当0≤x≤4时，y=-x+3，
所以-1≤y≤3，所以函数的值域为[-1，3].其图像如图所示：
【加练·固】
已知函数f(x)=
(1)求函数值f(2)，f(f(1)).(2)画出函数图像，并写出f(x)的值域.(不必写过程)
【解析】(1)因为f(x)=
所以f(2)=2×2+1=5，f(f(1))=f(2×1+1)
=f(3)=5，
所以f(2)=5，f(f(1))=5.
(2)函数图像如图，函数f(x)的值域为[-5，5].
(15分钟·30分)
1.(4分)函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=-|x|-1 B.f(x)=|x-1|
C.f(x)=-|x|+1 D.f(x)=|x+1|
【解析】选C.结合图像可知，
当x≤0时，f(x)=x+1，
当x>0时，f(x)=-x+1，
所以f(x)=
即f(x)=-|x|+1.
2.(4分)定义运算a*b=则函数f(x)=x2*|x|的图像是 ( )
【解析】选B.由已知给出的运算定义知：
f(x)=x2*|x|=
即f(x)=所以选项B符合题意.
3.(4分)已知f(x)=如果f(x0)=3，那么x0=______. ?
【解析】因为f(x)=
所以若x0<0，f(x0)==3，所以x0=-；
同理若x0>0，f(x0)=x0+1=3，所以x0=2.
答案：2或-
4.(4分)若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域为________. ?
【解析】由题意得f(x)=
画出函数f(x)的图像得值域是(-∞，1].
答案：(-∞，1]
5.(14分)已知函数f(x)=1+，
(1)用分段函数的形式表示函数f(x).
(2)在坐标系中画出函数f(x)的图像.
(3)在同一坐标系中，再画出函数g(x)=(x>0)的图像(不用列表)，观察图像直接写出当x>0时，不等式f(x)>的解集.
【解析】(1)因为当x≥0时，f(x)=1；
当x<0时，f(x)=x+1，
所以f(x)=
(2)函数图像如图：
(3)由上图可知当x>1时，f(x)>g(x)，
所以不等式f(x)>的解集为{x|x>1} .
【加练·固】
已知函数f(x)=求(1)f，f(f(-1))的值.
(2)若f(a)>2，求a的取值范围.
【解析】(1)f=+5；f(f(-1))=f(-3+5)=f(2)=-4+8=4.
(2)由题意知f(a)>2，
当a≤0时，3a+5>2?a>-1，此时-1当02?a>-3，此时0当a>1时，-2a+8>2?a<3，此时1综上，所求a的取值范围是-11.设定义域为R的函数f(x)=且f(f(x))=1，则x的值所组成的集合为________. ?
【解析】设f(x)=t，t∈R，
则对于f(t)=1，有解t=2或者-1≤t≤1.
那么，①当t=f(x)=2时，
有2x-3=2，x=>1，满足条件.
②当-1≤x≤1时，f(x)=1，满足条件.
当x>1或x<-1时，
代入式子f(x)=2x-3，
可得不等式
解得1综上：-1≤x<2或者x=.
答案：-1≤x<2或者x=
2.设函数f(x)=
(1)请在下列直角坐标系中画出函数f(x)的图像.
(2)根据(1)的图像，试分别写出函数f(x)与函数y=t的图像有2，3，4个交点时，相应的实数t的取值范围.
(3)记函数g(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使g(x0)=x0成立，则称点(x0，x0)为函数g(x)图像上的不动点.试问，函数f(x)图像上是否存在不动点，若存在，求出不动点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】(1) 函数f(x)的图像如图：
(2)根据图像可知当-22时，方程f(x)=t有2个交点；
当t=1或t=2时，方程f(x)=t有3个交点；
当1(3)若f(x)图像上存在不动点，
则f(x)=x有解，则y=f(x)与y=x有交点.
由图像可知：
若-1≤x≤2，则-x2+2=x，
解得x=1(舍去x=-2)，即不动点为(1，1)；
若x>2，则3x-8=x，
解得x=4，即不动点为(4，4)
综上，函数f(x)图像上存在不动点(1，1)、(4，4).
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课时素养评价
十九 函数概念的综合应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)下面四组函数中，f(x)与g(x)是同一个数的是 ( )
A.f(x)=|x|，g(x)=()2
B.f(x)=2x(x≠0)，g(x)=
C.f(x)=x，g(x)=
D.f(x)=x，g(x)=
【解析】选B，C.函数f(x)=|x|的定义域为R，
g(x)=()2的定义域为[0，+∞)，定义域不同，不是同一个函数；g(x)=的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，g(x)==2x，解析式相同，是同一个函数；f(x)=x，g(x)==x，两函数为同一个函数；
f(x)=x的定义域为R，g(x)=的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数.
【加练·固】
已知函数y=f(x)与函数y=+是同一个函数，则函数y=f(x)的定义域是 ( )
A.[-3，1] B.(-3，1)
C.(-3，+∞) D.(-∞，1]
【解析】选A.由于y=f(x)与y=+是同一个函数，故二者定义域相同，所以y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤1}.故写成区间形式为[-3，1].
2.已知函数f(x)=x2+2x(-2≤x≤1且x∈Z)，则f(x)的值域是 ( )
A.[0，3] B.{-1，0，3}
C.{0，1，3} D.[-1，3]
【解析】选B.函数f(x)=x2+2x(-2≤x≤1且x∈Z)，
所以x=-2，-1，0，1；对应的函数值分别为：0，-1，0，3，所以函数的值域为：{-1，0，3}.
3.下列函数中，值域为(0，+∞)的是 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=x2+x+1
【解析】选B.A选项中，y的值可以取0；C选项中，y可以取负值；对D选项，x2+x+1=+，故其值域为，只有B选项的值域是(0，+∞).
4.若函数f(x)满足f(x)-2f(2-x)=-x2+8x-8，则f(1)的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.令x=1，f(1)-2f(1)=-1+8-8=-1，则f(1)=1.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.函数f(x)=(x∈[3，6])，f(4)=________，值域为_______.?
【解析】f(4)==2，由3≤x≤6得1≤x-2≤4，所以1≤≤4，所以函数的值域为[1，4].
答案：2 [1，4]
6.已知f(x)=2x2+1，则f(2x+1)=______________.?
【解析】因为f(x)=2x2+1；
所以f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3.
答案：8x2+8x+3
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=：
(1)求f(2)的值.
(2)求函数f(x)的定义域和值域.
【解析】(1)f(2)==-.
(2)因为f(x)有意义当且仅当x≠-2；
所以f(x)的定义域为{x|x≠-2}，
所以f(x)==1-，
所以f(x)≠1，
所以f(x)的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
8.(14分)求下列函数的值域
(1)y=2+3.
(2)y=x2-2x+3，x∈{-2，-1，0，1，2，3}.
(3)y=x-.
【解析】(1)因为≥0，所以2+3≥3.
故y=2+3的值域为[3，+∞).
(2)当x=-2，-1，0，1，2，3时，y=11，6，3，2，3，6.
故函数的值域为{2，3，6，11}.
(3)设t=，
则t≥0，且x=-t2+，
代入原式得y=-t2-t+=-(t+1)2+1.
因为t≥0，所以y≤.
故函数的值域为.
【加练·固】
已知f(x)=x2-2x+7.
(1)求f(2)的值.
(2)求f(x-1)和f(x+1).
(3)求f(x+1)的值域.
【解析】f(x)=x2-2x+7.
(1)当x=2时，可得f(2)=4-4+7=7.
(2)f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)+7=x2-4x+10.
f(x+1)=(x+1)2-2(x+1)+7=x2+6.
(3)由(2)可知f(x+1)=x2+6
因为x2≥0，所以f(x+1)≥6.
所以f(x+1)的值域为[6，+∞)
(15分钟·30分)
1.(4分)下列函数中，与函数y=是同一个函数的是 ( )
A.y=x B.y=-x
C.y=- D.y=x2
【解析】选B.根据题意，由-2x3≥0得x≤0，
函数y=的定义域是(-∞，0]，
所以y==|x|
=-x.
2.(4分)若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是( )
A.a=-1或a=3 B.a=-1
C.a=3 D.a不存在
【解析】选B.由得a=-1.
3.(4分)已知函数f(x)=x2，g(x)=，则f(x)·g(x)=______________.?
【解析】f(x)·g(x)=x2·=x(x≠0)，
答案：x(x≠0)
4.(4分)已知函数f(x)=5x3，则f(x)+f(-x)=______. ?
【解析】函数f(x)=5x3，
则f(-x)=5(-x)3=-5x3，
那么：f(x)+f(-x)=5x3-5x3=0.
答案：0
5.(14分)已知f(x)=2x-1，g(x)=.
(1)求：f(x+1)，g，f(g(x)).
(2)写出函数f(x)与g(x)的定义域和值域.
【解析】(1)f(x)=2x-1，g(x)=，
可得f(x+1)=2(x+1)-1=2x+1；
g==；
f(g(x))=2g(x)-1=-=.
(2)函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)，
值域为(-∞，+∞)，由x2≥0，1+x2≥1，0<≤1，可得函数g(x)的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，1].
1.函数f(x)=|x-2|+2-在区间(0，2)上的值域为 ( )
A. B.
C. D.(-∞，2]
【解析】选D.当0因为x+≥2=2，
此时-≤-2，4-≤2，
所以f(x)≤2，即值域为(-∞，2].
2.已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的值域.
(2)求f+f+f+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值.
【解析】(1)假设t是所求值域中的元素，则关于x的方程=t应该有解，
即x2=应该有解，从而≥0，
解得-1所以所求值域为(-1，1].
(2)因为f(x)+f=+=+=0，
所以f+f(4)=0，f+f(3)=0，
f+f(2)=0，
又f(0)=1，f(1)=0，
所以原式=1.
【加练·固】
设f(x)=，求证
(1)f(-x)=f(x).
(2)f=-f(x)，(x≠0).
【证明】(1)f(-x)===f(x).
(2)f===-=-f(x)，x≠0.
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课时素养评价
十八 函数的概念
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.若对应关系f为“求绝对值”是定义在集合A上的一个函数，值域为B，若A={-1，0，1}，则A∩B= ( )
A.{-1，0，1} B.{0，1}
C.{1} D.{0}
【解析】选B.由题意知A={-1，0，1}，对应关系f为“求绝对值”，
则B={0，1}，所以A∩B={0，1}.
2.设对应关系f为“求平方”是定义在集合A上的函数，如果值域B={1}，那么集合A不可能是 ( )
A.{1} B.{-1}
C.{-1，1} D.{-1，0}
【解析】选D.若集合A={-1，0}，则0∈A，但02=0?B.
3.函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.[-1，2)∪(2，+∞) B.(-1，+∞)
C.[-1，2) D. [-1，+∞)
【解析】选A.因为函数有意义当且仅当
解得x∈[-1，2)∪(2，+∞).
【加练·固】
函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.(-∞，1] B.(-∞，0)
C.(-∞，0)∪(0，1] D.(0，1]
【解析】选C.因为函数有意义当且仅当得
即x≤1且x≠0，即函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1].
4.(多选题)下列对应关系：
A.A={1，4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，f为“求平方根”；
B.A=R，B=R，f为“求倒数”；
C.A=R，B=R，f为“平方减2”；
D.A={-1，0，1}，B={0，1}，f为“求平方”.
其中是定义在集合A上的函数的是 ( )
【解析】选C，D.对于A，不是函数，A中的元素在B中的对应元素不唯一；对于B，不是函数，A中的元素0在B中没有对于元素；对于C，符合函数概念，是函数；对于D符合函数概念，是函数.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.给定集合A=B=R，f为“乘以2加1”，则集合A中的元素-1对应的函数值为________，值域中的-1在定义域中对应______.?
【解析】令x=-1，则y=-2+1=-1，令y=2x+1=-1，则x=-1.
答案：-1 -1
6.函数y=的定义域为________.(用区间表示)?
【解析】因为函数有意义当且仅当
?
?-2≤x≤3，且x≠.
所以函数的定义域为∪
答案：∪
三、解答题
7.(16分)判断下列对应关系是否为定义在集合A上的函数，
(1)A=R，B={x|x>0}，f为“求绝对值”.
(2)A=Z，B=Z，f为“求平方”.
(3)A=Z，B=Z，f为“求算术平方根”.
【解析】(1)由于x=0，y=0?B，则对应关系不为定义在集合A上的函数.
(2)由A中的任一个整数平方后，仍为整数，即对应关系为定义在集合A上的函数.
(3)由于A中的负整数，没有算术平方根，则对应关系不为定义在集合A上的函数.
(15分钟·30分)
1.(4分)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“fun_ction”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.给定集合M={-1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应关系：①“求倒数”，②“加上1”，③“求绝对值”，④“求平方”，请由函数定义判断，其中能构成定义在集合M上的函数的是 ( )
A.①③ B.①②
C.③④ D.②④
【解析】选C.在①中，y=，
当x=-1时，y==-1??N，错误；
在②中，y=x+1，当x=-1时，y=-1+1=0??N，错误；
在③中，y=|x|，满足函数定义正确；
在④中，y=x2满足函数定义正确.
2.(4分)已知集合A={x|x≥4}，g(x)=的定义域为B，若A∩B=，则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2，4) B.(3，+∞)
C.(-∞，3) D.(-∞，3]
【解析】选D.g(x)的定义域B={x|x由于A∩B=，
画数轴易得a+1≤4，即a≤3.
3.(4分)已知对应关系f为“求平方”是定义在集合A上的函数，值域为
{0，1，4}，则集合A中的元素最多有______个. ?
【解析】令x2=0，1，4，
解得x=0，±1，±2，故最多有5个.
答案：5
4.(4分)若函数f(x)=的定义域为R，则m的取值范围为________. ?
【解析】因为函数有意义当且仅当mx2+x+3≠0，
由于函数的定义域是R，
故mx2+x+3≠0对一切实数x恒成立.
当m=0时，x+3≠0，即x≠-3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m=0不合题意.
当m≠0时，有Δ=12-12m<0，解得m>.
故综上可知，m的取值范围是.
答案：
5.(14分)求下列函数的定义域
(1)f(x)=-(2x+3)0.
(2)f(x)=.
【解析】(1)因为函数有意义当且仅当
解得
所以定义域为∪.
(2)因为函数有意义当且仅当
所以所以x≤-1或x≥6且x≠-3，
所以定义域为(-∞，-3)∪(-3，-1]∪[6，+∞).
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