课件63张PPT。2.1.3 方程组的解集 1.二元一次方程组
(1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.(2)加减法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加(减)消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法.【思考】
(1)解方程组的基本思路是什么？
提示：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.(2)解方程组消元时，直接把原式代入进行消元？直接把原式相加进行消元吗？
提示：解方程组时常用的消元方法有代入消元法和加减消元法；代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元.2.三元一次方程组
(1)定义：含有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.(2)解三元一次方程组的常用方法：解三元一次方程组和二元一次方程组的方法一样，主要用代入消元法和加减消元法.【思考】
解三元一次方程组的基本思想和注意问题有哪些？
提示：解三元一次方程组的基本思想是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.解三元一次方程组时要特别注意：
①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；
②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确.3.二元二次方程组
(1)含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.
(2)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，叫做二元二次方程组.【思考】
解二元二次方程组的基本思路是什么？
提示：解二元二次方程组的关键是“消元”、“降次”；消元时的方法主要还是代入消元法和加减消元法.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)方程1+ =-2是一元一次方程. ( )
(2) 是方程组 的解.( )(3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐
变少. ( )提示：(1)×.方程1+ =-2是分式方程，不是一元
一次方程.
(2)√.经代入验证，知
是方程组 的解.(3)×.解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法.2.已知 是方程2x-ay=3的一个解，那么a的值
是 ( )
A.1 B.3 C.-3 D.-1【解析】选A.将 代入方程2x-ay=3，得2+a=3，所以a=1.3.用“加减法”将方程组 中的x消去后得到的方程是 ( )
A.y=8 B.7y=10
C.-7y=8 D.-7y=10【解析】选D.①-②后得：-7y=10.类型一 二元一次方程组
【典例】1.已知 是二元一次方程组
的解，则a-b的值为 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.32.求方程组 的解集.【思维·引】
1.把 代入 求出a，b的值，再计算a-b.
2.解方程组的常用方法为代入消元法和加减消元法，选择其中一种，消元，求解.【解析】1.选B.把解代入原方程组得
解得 所以a-b=-1.2.方法一(代入法)：由①得：y=12-x，③
将③代入②得：2x+12-x=20，
解这个一元一次方程，得x=8，
将x=8代入③，得y=4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}.方法二(加减法)：②-①得x=8，代入①得y=4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}.【内化·悟】
解方程组时，怎样选择消元的方法？
提示：根据原题的形式，适当选择消元的方法.如果原题中有一个方程的某一未知数系数为1，可以选择代入消元法；若原题中将方程适当加减后能消元，则选择加减消元法.【类题·通】
1.用代入法解二元一次方程组的一般步骤
(1)当方程组中的未知数系数不是1(或-1)时，常选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示这个未知数.(2)代入时要注意加括号.
(3)为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的方程进行口算检验，不必写检验过程.2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)将其中一个未知数的系数化为相同(或互为相反数)；
(2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，求得另一个未知数的值；
(5)写出方程组的解；
(6)检验，但不必写出检验过程.【习练·破】
解方程组(1) 【解析】(1)由②得，y=2x-1代入①得
7x-3(2x-1)=1，所以x=-2代入①得y=-5，
所以原方程组的解集是{(-2，-5)}.
(2)②-①得：8y=-8，y=-1，
把y=-1代入①，得2x-5×(-1)=7，解得x=1，
所以原方程组的解集是{(1，-1)}.类型二 三元一次方程组
【典例】1.三元一次方程组 消去
未知数z后，得到的二元一次方程组是 ( )2.求三元一次方程组
的解集. 世纪金榜导学号【思维·引】
1.①与③相减，消去z；①乘以4加②，也可以消去z.
2.此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理.反之用代入法运算较烦琐.【解析】1.选B.第一个方程减去第三个方程得4x+3y=2，再将第一个方程乘以4加上第二个方程得23x+17y=11.2.②×3+③，得11x+10z=35.
①与④组成方程组 解得
把x=5，z=-2代入②，得y= .
所以原方程组的解集是 【内化·悟】
解三元一次方程组怎样消元？
提示：解三元一次方程组的关键还是消元，我们要适当选择代入消元法和加减消元法，逐步将“三元”化“二元”，再将“二元”化“一元”，进而求解.【类题·通】
解三元一次方程组的基本步骤
(1)观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；
(2)利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；(3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(4)将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；
(5)写出三元一次方程组的解.【习练·破】
1.已知x+2y+3z=54，3x+2y+2z=47，2x+2y+z=31，那么代数式x+y+z的值是 ( ).
A.17 B.22 C.32 D.132【解析】选B.将三个三元一次方程组成方程组，
整体求法，将三个式子相加，
得6x+6y+6z=132，两边都除以6，解，得x+y+z=22.2.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值.【解析】由题意得三元一次方程组
②-①，得a+b=1， ④
③-①，得4a+b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组 解得 把a=3，b=-2代入①，得c=-5.
因此 类型三 二元二次方程组
【典例】1.方程组 的解集为______.?
2.解方程组
世纪金榜导学号【思维·引】
1.由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过(1)得y=2x再代入(2)可以求出x的值，从而得到方程组的解.2.注意到方程x2-y2=5(x+y)，
可分解成(x+y)(x-y-5)=0，即得x+y=0或x-y-5=0，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程.【解析】1.由(1)得：y=2x (3)，
将(3)代入(2)得：x2-(2x)2+3=0，解得x1=1或x2=-1，
把x=1代入(3)得：y=2；
把x=-1代入(3)得：y=-2.
所以原方程组的解集是{(1，2)，(-1，-2)}.
答案：{(1，2)，(-1，-2)}2.由(1)得(x+y)(x-y)-5(x+y)=0
?(x+y)(x-y-5)=0，
所以x+y=0或x-y-5=0，
所以原方程组可化为两个方程组：
用代入法解这两个方程组，所以原方程组的解集是
{(-1，-6)，(6，1)，( ，- )，(- ， )}.【内化·悟】
求解二元二次方程组的关键是什么？
提示：根据题干条件将原方程组化成最简形式，消元求解.【类题·通】
1.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：
(1)由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(*)；(2)把方程(*)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；
(3)解消元后得到的一元二次方程；
(4)把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(*)，求相应的未知数的值.2.两个注意点
(1)消x还是消y，应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如x-2y+1=0，可以消去x，变形得x=2y-1，再代入消元.(2)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根.3.由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程.【习练·破】
求方程组 的解集.【解析】第二个方程可变形为x=2y+2③，将其代入到第一个方程，整理得8y2+8y=0，
即y(y+1)=0，解得y1=0，y2=-1.
把y1=0代入③，得x1=2；
把y2=-1代入③，得x2=0.所以原方程组的解是
所以原方程组的解集是{(2，0)，(0，-1)}.【加练·固】
求方程组 的解集.【解析】(1)-(2)×3得：x2+xy-3(xy+y2)=0
即x2-2xy-3y2=0?(x-3y)(x+y)=0，
所以x-3y=0或x+y=0，
所以原方程组可化为两个方程组：
用代入法解这两个方程组，
所以原方程组的解集是{(3，1)，(-3，-1)}.温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.依次代入二元一次方程中验算，但有A、D两个选项能使等式成立，此时需注意，题目中这组解是二元一次方程组的解，而A选项并非二元一次方程组.
2.如果方程组中，x与y的和为2，则m的值
是 ( )
A.16 B.4 C.2 D.8
【解析】选B.因为x与y的和为2，即x+y=2，所以与
组成一个三元一次方程组
解这个方程组，求出m=4.
3.方程组有两组不同的实数解，则 ( )
A.m≥- B.m>-
C.-【解析】选B.把②式代入①式得，x2=x+m即x2-x-m=0，因为原方程组有两组不同的实数解，所以Δ>0，即1+4m>0，所以m>-.
4.已知方程组有无穷多组解，m的值分别为 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.任意数
【解析】选A.因为原方程组有无穷多组解，所以化简后两式相同；将①式乘以2得，2x+2y=-14，所以m=2.
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课时素养评价
十二 方程组的解集
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人，求课外小组的人数x和应分成的组数y.依题意得 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.等量关系：(1)总人数=7×组数+3人 (2)总人数=8×组数-5人.
【加练·固】
一批宿舍，若每间住1人，有10人无处住，若每间住3人，则有10间无人住，则这批宿舍的房间数为 ( )
A.20 B.15 C.12 D.10
【解析】选A.设总人数为x，房间数为y，可列出方程组.
?
2.(多选题)下列各组中的值不是方程组的解的是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C、D.把选项中的x，y的值逐项代入，能得到A，B能让原方程成立，而C，D不能让方程成立.
3.根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生篮球联赛中，某球队赛了12场，赢了x场，输了y场，得20分，则可以得出方程
组 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.因为共比赛12场，
所以x+y=12；
又因为赢一场得2分，输一场得1分，
所以2x+y=20.
4.若方程组的解x和y的值互为相反数，则k的值等
于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.根据题意得y=-x，解关于x，k的方程即可.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.方程2x+y=9的正整数解有______个.?
【解析】因为2x+y=9，所以当
x=1时，y=7；x=2时，y=5；
x=3时，y=3；x=4时，y=1；
所以正整数解共4个.
答案：4
6.现有5角的硬币和1元的硬币共18枚，共是15元，问：其中5角的硬币是_______枚，1元的硬币是_______枚.?
【解析】设五角的硬币有x枚，一元的硬币有y枚，则
两式相减得，0.5x=3，所以x=6，所以y=12.
答案：6 12
三、解答题(共26分)
7.(12分)求方程组的解集.
【解析】(1)×3-(2)得：
3x-y=1?y=3x-1 (3)
代入(1)得：
x(3x-1)+x=3?
3x2=3?x1=1或x2=-1.
分别代入(3)得：y1=2或y2=-4.
所以原方程组的解集是.
8.(14分)求方程组的解集.
【解析】①+③，得5x+6y=17 ④
②+③×2，得5x+9y=23 ⑤
④与⑤组成方程组
解这个方程组，
得
把x=1，y=2代入③得：2×1+2×2-z=3，
所以z=3，所以原方程组的解集为{(1，2，3)}.
(15分钟·30分)
1.(4分)解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选
取 ( )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上说法都不对
【解析】选B.因为三个方程中y的系数是1或-1.
2.(4分)方程组有唯一解，则m的值是 ( )
A. B.-
C.± D.以上答案都不对
【解析】选C.由②得，y=x+m代入①得：
2x2+2mx+m2-1=0，因为方程组有唯一解，
所以Δ=(2m)2-4×2×(m2-1)=4m2-8m2+8
=-4m2+8=0，所以m2=2，所以m=±.
3.(4分)在代数式x2+px+q中，当x=1时它的值是0；当x=2时，它的值是-9，则p=______，q=________. ?
【解析】把解代入原方程组得
解得
答案：-12 11
4.(4分)一个十位数字是0的三位数，它恰好等于它的各个位数上的数字和的67倍，交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好是数字和的m倍，则m=________ . ?
【解析】设这个三位数的百位数字为x，个位数字为y，则
两式相加得，101(x+y)=(67+m)(x+y)，
所以67+m=101，
所以m=34.
答案：34
【加练·固】
《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
【解析】设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，则
∴∴
5.(14分)求方程组的解集.
【解析】方法一：由①，得
x=7-y.③
把③代入②，整理，得
y2-7y+12=0，
解这个方程，得
y1=3，y2=4.
把y1=3代入③，得x1=4；
把y2=4代入③，得x2=3.
所以原方程组的解是
所以原方程组的解集是{(4，3)，(3，4)}.
方法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x，y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x，y.
这个方程组的x，y是一元二次方程
z2-7z+12=0的两个根，解这个方程，得z=3，或z=4.
所以原方程组的解是
所以原方程组的解集是{(4，3)，(3，4)}.
1.已知5|x+y-3|+2(x-y)2=0，则 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.因为5|x+y-3|+2(x-y)2=0，
所以两式相加，得
2x-3=0，所以x=，y=x=.
2.求方程组 (1)
(2)的解集.?? 纪金榜导学号
【解析】(1)+(2)×2得：
x2+y2+2xy=36?(x+y)2=36?x+y=6或x+y=-6，
(1)-(2)×2得：
x2+y2-2xy=16?(x-y)2=16?x-y=4或x-y=-4，解此四个方程组，
所以原方程组的解集是{(5，1)，(1，5)，(-1，-5)，(-5，-1)}.
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