课件69张PPT。2.2 不 等 式
2.2.1 不等式及其性质1.不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点.
(1)不等符号<， >，≤，≥或≠.
(2)所表示的关系是不等关系.【思考】
(1)不等号“≤，≥”的读法分别是什么？
提示：“≤”读作小于或者等于，“≥”读作大于或者等于.(2)不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a
提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者a(1)画数轴比较法(2)作差比较法【思考】
(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
提示：是任意实数.
(2)若“b-a>0”，则a，b的大小关系是怎样的？
提示：b>a.3.不等式的性质
性质1 a>b?a+c>b+c
性质2 a>b，c>0?ac>bc
性质3 a>b，c<0?ac性质4 a>b，b>c?a>c
性质5 a>b?b推论1 a+b>c?a>c-b
推论2 a>b，c>d?a+c>b+d
推论3 a>b>0，c>d>0?ac>bd
推论4 a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)
推论5 a>b>0 ? >___【思考】
(1)性质2，3可以概括为在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？
提示：不对.要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向.(2)推论1类似于解方程中的什么法则？
提示：移项法则.
(3)使用推论3，4，5时，要注意什么条件？
提示：各个数均为正数.5.证明问题的常用方法
(1)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法.
(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.(3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.反证法是一种间接证明的方法.【思考】
(1)综合法与分析法有什么区别？
提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.(2)反证法的实质是什么？
提示：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( )
(2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a(3)若a>b，则ac2>bc2. ( )(4)若a+c>b+d，则a>b，c>d. ( )提示：(1)√.不等式x≥2表示x>2或x=2，即x不小于2.
(2)√.任意两数之间，有且只有a>b，a=b，a系中的一种，没有其他大小关系.
(3)×. 由不等式的性质，ac2>bc2?a>b；反之，c=0
时，a>b ac2>bc2.(4)×.取a=4，c=5，b=6，d=2，满足a+c>b+d，但不满足a>b，故此说法错误.2.设bA.a-c>b-d B.ac>bd
C.a+c>b+d D.a+d>b+c
【解析】选C.因为b【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1)，而x<1，所以x-2<0，x-1<0，所以x2+2-3x>0，所以x2+2>3x.
答案：x2+2>3x类型一 作差法比较大小
【典例】比较下列各式的大小：
(1)当x≤1时，比较3x3与3x2-x+1的大小.
(2)当x，y，z∈R时，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.【思维·引】利用作差法比较，先作差、化简，再判断差的符号.【解析】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)
=3x2(x-1)+(x-1)
=(3x2+1)(x-1).
因为x≤1，所以x-1≤0，而3x2+1>0.
所以(3x2+1)(x-1)≤0，所以3x3≤3x2-x+1.(2)因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)
=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1
=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0，
所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2，
当且仅当x=y= 且z=1时取到等号.【素养·探】
本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.
本例(1)中，若把条件“x≤1”去掉，试比较所给两式的大小.【解析】去掉条件“x≤1”后需对差的符号进行讨论.
显然3x2+1>0，所以
当x<1时，(3x2+1)(x-1)<0，所以3x3<3x2-x+1；
当x=1时，(3x2+1)(x-1)=0，所以3x3=3x2-x+1；
当x>1时，(3x2+1)(x-1)>0，所以3x3>3x2-x+1.【类题·通】
作差法比较大小的步骤【习练·破】
已知x，y∈R，P=2x2-xy+1，Q=2x- ，试比较P，Q的
大小.
【解析】因为P-Q=2x2-xy+1-
=x2-xy+ +x2-2x+1= +(x-1)2≥0，
所以P≥Q.【加练·固】
比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2+3与2x；
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.【解析】(1)(x2+3)-2x=x2-2x+3
=(x-1)2+2≥2>0，
所以x2+3>2x.(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b)，
因为a>0，b>0，且a≠b，
所以(a-b)2>0，a+b>0.
所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0，
即a3+b3>a2b+ab2.类型二 利用不等式的性质判断命题真假
【典例】下列命题中一定正确的是 ( )
世纪金榜导学号
A.若a>b且 ，则a>0，b<0
B.若a>b，b≠0，则 >1C.若a>b，且a+c>b+d，则c>d
D.若a>b且ac>bd，则以c>d【思维·引】利用不等式的性质和特殊值检验求解.【解析】选A.对于A项，因为 ，
所以 >0，即 >0，
又a>b，所以b-a<0，所以ab<0，所以a>0，b<0；
对于B项，当a>0，b<0时，有 <0<1，故B项错；
对于C项，当a=10，b=3时，虽有10+1>3+2，但1<2，故
C项错；对于D项，当a=-1，b=-2时，有(-1)×(-1)>(-2)×7，但-1<7，故D项错.【素养·探】
利用不等式的性质判断命题真假，突出考查了逻辑推
理与数学运算的核心素养.
对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是 ( )
A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则
C.若a|b|，则a2>b2【解析】选D.当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；
当a>b>0，有 ，故B为假命题；
a-b>0?
? ，故C为假命题；
若a>|b|≥0，则a2>b2，故D为真命题.【类题·通】
1.运用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质.(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.2.倒数性质：
(1)若a>b>0，则 .
(2)若0>a>b，则 .
即a>b，ab>0? .【习练·破】
若a>b>c，则下列不等式成立的是 ( )
A. B.
C.ac>bc D.ac【解析】选B.因为a>b>c，所以a-c>b-c>0.
所以 .【加练·固】
设a>1>b>-1，则下列不等式中恒成立的是 ( )
A. B.
C.a2>2b D.a>b2【解析】选D.A错，例如a=2，b=- 时， ， =-2，
此时， ；B错，例如a=2，b= 时， ， =2，此
时， ；C错，例如 时， ，
此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2.类型三 利用不等式的性质证明不等式
角度1 综合法
【典例】已知a>b>0，c求证： .【思维·引】本题可利用不等式的性质进行证明，也可以作差进行证明.【证明】方法一：因为c-d>0，
因为a>b>0，所以a-c>b-d>0，
所以0< ，又因为e<0，所以 .
方法二： ，因为
a>b>0，c-d>0，所以a-c>0，b-d>0，b-a<0，c-d<0，又e<0，所以 >0，所以
.【素养·探】
本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑推
理的核心素养.
本例条件不变，结论改为求证 ，请证
明.【证明】因为c-d>0，
因为a>b>0，所以a-c>b-d>0，
所以(a-c)2>(b-d)2>0，
所以0< ，又e<0，
所以 .角度2 分析法与反证法
【典例】证明： . 世纪金榜导学号
【思维·引】根据问题特点可选用分析法证明，也可
用反证法证明.【证明】方法一：分析法：要证 ，
只需证 ，只需证 ，
展开得 ，只需证 ，
即证14<18，显然成立，所以 .方法二：反证法：假设 ，则
，
两边平方得 ，所以 ，
即14≥18，显然不成立，所以假设错误.
所以 .方法三：运用 变形后
再证.【类题·通】
1.利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点
(1)实质：就是根据性质把不等式变形.
(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2.证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法.【习练·破】
1.将下面用分析法证明 ≥ab的步骤补充完整：
要证 ≥ab，只需证a2+b2≥2ab，也就是证
________，即证________，由于________显然成立，
因此原不等式成立.【解析】用分析法证明 ≥ab的步骤为：要证
≥ab成立，只需证a2+b2≥2ab，也就是证a2+b2-2ab≥
0，即证(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0显然成立，所以原
不等式成立.
答案：a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥02.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列为________.?【解析】根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论.
答案：③①②【加练·固】
已知x，y>0，且x+y>2.
求证： 中至少有一个小于2.【证明】假设 都不小于2，即 ≥2，
≥2.
因为x，y>0，所以1+x≥2y，1+y≥2x.
所以2+x+y≥2(x+y)，即x+y≤2与已知x+y>2矛盾.
所以 中至少有一个小于2.类型四 比较大小在实际问题中的应用
【实际情境】某单位组织职工去某地参观学习需包车
前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受
7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的
8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根
据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.【转化模板】
1. —由题意可得甲、乙两车队收费与乘车人数的表
达式，要比较哪个车队收费更优惠，可依据作差法模
型解决.
2. —设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，
坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元.3. —当n取不同的正整数值时，比较y1与y2的大小.
4. —由题意，y1= .
因为y1-y2= ，
当n=5时，y1=y2；当n>5时，y1当n<5时，y1>y2.5. —当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；
多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队
更优惠.温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.下列说法正确的是 ( )
A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
【解析】选C.对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x2.已知a+b>0，b<0，那么，a，b，-a，-b的大小是 ( )
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
【解析】选C.令a=5，b=-2满足a+b>0，
所以a>-b>b>-a.
3.已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是 ( )
A.若a>b，c>b，则a>c
B.若a>-b，则c-aC.若a>b，c
D.若a2>b2，则-a<-b
【解析】选B. 选项A，若a=4，b=2，c=5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以.否则如a=-1，b=0时不成立.
4.用反证法证明“a，b，c 三个数中至少有一个不小于”时，假设内容是_______.
【解析】“a，b，c中至少有一个不小于”的反面是“a，b，c都小于”.
答案：a，b，c都小于
【新情境·新思维】
如果a，b，c满足c①ab>ac ②c(b-a)>0 ③cb2【解析】由c0，c<0，而b的值不确定，当b=0时③不成立.①②④均成立.
答案：③
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课时素养评价
十三 不等式及其性质
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.若x≠2且y≠-1，则M=x2+y2-4x+2y与-5的大小关系是 ( )
A.M>-5 B.M<-5
C.M=-5 D.不能确定
【解析】选A.因为x2+y2-4x+2y-(-5)=(x-2)2+(y+1)2，又若x≠2且y≠-1，所以(x-2)2+(y+1)2>0，故M>-5.
2.下列命题中正确的是 ( )
A.若ac>bc，则a>b B.若a2>b2，则a>b
C.若>，则a>b D.若<，则a>b
【解析】选C.对于A，c>0时，结论成立，故A不正确；对于B，a=-2，b=-1，满足a2>b2，但a3.(多选题)已知<<0，给出下列四个结论：
①a|b|；④ab其中正确结论的序号是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选B，D.①因为<<0，所以b0，所以a+b|b|不成立；④ab-b2=b(a-b)，因为b0，即ab-b2=b(a-b)<0，所以ab4.已知a>b>c，则++的值 ( )
A.为正数 B.为非正数
C.为非负数 D.不确定
【解析】选A.因为a>b>c，所以a-b>0，b-c>0，a-c>b-c>0，所以>0，>0，<，所以+->0，所以++的值为正数.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________.?
【解析】(1)原来每天行驶x km，现在每天行驶(x+19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x+19)>2 200.
(2)若每天行驶(x-12) km，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9.
答案：8(x+19)>2 200 >9
6.已知c>a>b>0，则_______?.(填“>”“<”或“=”)
【解析】因为c>a，所以c-a>0，又因为a>b，所以>.
答案：>
三、解答题(共26分)
7.(12分)(1)已知a>b>c>0，试比较与的大小.
(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
【解析】(1)-=
===.
因为a>b>c>0，所以a-b>0，ab>0，a+b-c>0.
所以>0，即>.
(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)
=x2+x+1=+.
因为≥0，所以+≥>0，
所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0，
所以2x2+5x+3>x2+4x+2.
8.(14分)已知a≠1且a∈R，试比较与1+a的大小.
【解析】因为-(1+a)=，
①当a=0时，=0，所以=1+a.
②当a<1，且a≠0时，>0，
所以>1+a.
③当a>1时，<0，所以<1+a.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知实数a，b，c满足b+c=6-4a+3a2，c-b=4-4a+a2，则a，b，c的大小关系是 ( )
A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b
【解析】选A. c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0，
所以c≥b，已知两式作差得2b=2+2a2，
即b=1+a2，
因为1+a2-a=+>0，
所以1+a2>a，
所以b=1+a2>a，所以c≥b>a.
2.(4分)若a，b，c为实数，且aA.ac2 D.a2>ab>b2
【解析】选D.因为c为实数，所以取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；-=，因为a0，ab>0，所以>0，即>，故选项B不成立；因为a0，所以a2>ab.所以ab-b2=b(a-b)>0，所以ab>b2.故选项D正确.
3.(4分)已知三个不等式：①ab>0，②>，③bc>ad.则下列结论正确的有________个. ?
(1)①③?② (2)①②?③ (3)②③?①
【解析】不等式②作等价变形>?>0，由ab>0，bc>ad，可得②成立，即①③?②；
若ab>0，>0，则 bc>ad，故①②?③；
若 bc>ad，>0，则 ab>0，故②③?①.
答案：3
4.(4分)甲、乙两工厂2018年元月份产值相同，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相等，乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相等，已知2019年元月份两厂的产值相等，则2018年7月份产值高的工厂是________厂.?
【解析】设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x，由题意得1+12a=1×(1+x)12①，7月份甲的产值为 1+6a，7月份乙的产值为 1×(1+x)6，由①知(1+x)6=，即7月份乙的产值为.因为(1+6a)2-()2=36a2>0，所以1+6a>，即7月份甲的产值大于乙的产值.
答案：甲
5.(14分)已知1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的取值范围.
【解析】设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，则有解得
所以3a-2b=(a+b)+(a-b).
因为≤(a+b)≤，-≤(a-b)≤，
所以-2≤3a-2b≤10，
即3a-2b的范围是[-2，10].
1.有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d已知a+b=c+d，a+d>b+c，a+cA.d>b>a>c B.b>c>d>a
C.d>b>c>a D.c>a>d>b
【解析】选A.因为a+b=c+d，a+d>b+c，所以2a>2c，即a>c.因此b2.有三个实数m，a，b(a≠b)，如果在a2(m-b)+m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a【解析】不妨设P=a2(m-b)+m2b，Q=b2(m-a)+m2a.由题意知Q所以(a-b)(m-a)(m-b)<0.(*)
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