课件42张PPT。2.2.2不等式的解集1.不等式的解集与不等式组的解集
不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.构成不等式组的各个不等式的解集的交集称为不等式组的解集.【思考】
解不等式的理论依据是什么？
提示：不等式的性质2.简单的绝对值不等式的解法
(1)绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式.
(2)绝对值不等式的解集(3)|ax+b|≤c，|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c.
②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.【思考】
若m=0或m<0时，不等式的解集是怎样的？
提示：3.绝对值不等式的几何意义
(1)数轴上两点之间的距离公式：数轴上两点A(a)，
B(b)之间的距离AB=|a-b| .
(2)数轴上两点的中点坐标公式：数轴上两点A(a)，
B(b)的中点坐标x= .(3)绝对值不等式的几何意义【思考】
(1)数轴上任意两点之间的距离都可以利用此公式计算吗？
提示：可以.
(2)不等式|x+1|≤3的解集的几何意义是什么？
提示：数轴上与表示-1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式3x-1≥-4的解集为(-∞，-1]. ( )
(2)构成不等式组的各个不等式的解集的并集称为不等式组的解集. ( )(3)|a-2|表示数轴上表示a的点与表示2的点之间的距离. ( )提示：(1)×.不等式3x-1≥-4的解集为[-1，+∞).
(2)×.构成不等式组的各个不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
(3)√.由数轴上两点之间的距离公式可得.2.不等式3x>4x-6的解集为 ( )
A.{x|x>6} B.{x|x<6}
C.[6，+∞) D.(-∞，6]
【解析】选B.原不等式移项、合并得-x>-6，两边同时乘以-1得x<6.3.不等式|x-3|≤1的解集为________.?
【解析】原不等式可变形为-1≤x-3≤1，故2≤x≤4.
答案：[2，4]类型一 解不等式(组)
【典例】求下列不等式(组)的解集：
【思维·引】利用不等式的性质解不等式(组).【解析】(1)不等式两边同时乘以4得：4x-2>-x+8，
移项得：4x+x>8+2，即5x>10，
不等式两边同时除以5得：x>2，
因此原不等式的解集为(2，+∞).(2)①式两边同时加上1，得：3x≤9，
这个不等式两边同时除以3得：x≤3，
因此不等式①的解集为(-∞，3]，
类似地，可得不等式②的解集为 ，
又因为(-∞，3]∩ ，
所以原不等式组的解集为 .【内化·悟】
解不等式时常用不等式的哪些性质？
提示：常用以下四条性质：
性质1 a>b?a+c>b+c
性质2 a>b，c>0?ac>bc
性质3 a>b，c<0?ac
推论1 a+b>c?a>c-b【类题·通】
解不等式(组)的注意点
(1)移项要改变项的符号.
(2)利用性质3时要改变不等号的方向.
(3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集.【习练·破】
不等式组 的整数解的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.分别解两个不等式可得不等式组的解集
为 ，故满足题意的整数解为0，1，2，共3
个.【加练·固】
关于x的不等式组 的解集为(-∞，4)，
则实数m的取值范围为________.?【解析】不等式 的解集为(-∞，4)，不等
式x+m<0的解集为(-∞，-m)，要使不等式组的解集为
(-∞，4)，需满足-m≥4，即m≤-4.
答案：(-∞，-4]类型二 解绝对值不等式
【典例】求下列绝对值不等式的解集：
(1)|3x-1|≤6.(2)3≤|x-2|<4.
【思维·引】去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式.【解析】(1)因为|3x-1|≤6?-6≤3x-1≤6，
即-5≤3x≤7，从而得 ，
所以原不等式的解集是 .
(2)因为3≤|x-2|<4所以3≤x-2<4或-45≤x<6或-2所以原不等式的解集为：{x|-2解绝对值不等式的基本步骤是什么？
提示：(1)去绝对值号，进行等价转化.
(2)解不含绝对值号的不等式.【类题·通】
绝对值不等式的解题策略：等价转化法
(1)形如|x|a(a>0)型不等式：
|x||x|>a?x>a或x<-a.(2)形如a<|x|a>0)型不等式：
a<|x|不等式|2x+1|>3的解集是 ( )
A.{x|x<-2或x>1} B.{x|-2C.{x|x<-2或x≥1} D.{x|-2≤x<1}【解析】选A.由|2x+1|>3，得2x+1>3或2x+1<-3，
因此x<-2或x>1，所以原不等式的解集为{x|x<-2或x
>1}.【加练·固】
解不等式：3<|x+2|≤4；
【解析】因为3<|x+2|≤4，所以3-3，即1所以原不等式的解集为{x|1角度1 求数轴上点的坐标或范围
【典例】在数轴上，A(2)，B(x)，已知线段AB的中点到C(-1)的距离小于6，求x的取值范围.世纪金榜导学号【思维·引】根据数轴上两点的中点坐标公式与距离
公式求解.
【解析】设AB的中点为D，则D ，
所以由题意得DC= 即|4+x|<12，因此-12<4
+x<12，-16所以x的取值范围是(-16，8).【素养·探】
本例考查数轴上两点的中点坐标公式与距离公式，着
重考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
在本例中，若点B到线段AC的中点的距离等于 ，试求
点B的坐标.【解析】设AC中点为E，则E ，由题意得BE= ，
所以x=-2或3，所以点B的坐标是B(-2)或B(3).角度2 解含有两个绝对值的不等式
【典例】解不等式|x+1|+|x-1|≥3. 世纪金榜导学号
【思维·引】可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解.【解析】如图，设数轴上与-1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[-1，1]上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.所以-1-x+1-x=3，得x=- .
同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1
对应数轴上的x，所以x-1+x-(-1)=3.所以x= .
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之
和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是
.【类题·通】
1.|a-b|的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离.
2.利用绝对值的几何意义解决含有两个绝对值的不等式|x-a|+|x-b|≥c，|x-a|+|x-b|≤c比较直观，但只适用于数据较简单的情况.【习练·破】
解不等式|x+2|>|x-1|.
【解析】不等式可以看作数轴上到点-2的距离大于到
点1的距离的点的集合，而到点-2的距离等于到点1的
距离的点是- ，故点- 右边的点满足不等式.所以不
等式的解集为 .温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.不等式3x+6≤2x的解集为 ( )
A.[-6，+∞) B.(-∞，-6]
C.[6，+∞) D.(-∞，6]
【解析】选B.移项得3x-2x≤-6，
即x≤-6，
故原不等式的解集为(-∞，-6].
2.不等式|x+1|>3的解集是 ( )
A.{x|x<-4或x>2} B.{x|-4C.{x|x<-4或x≥2} D.{x|-4≤x<2}
【解析】选A.由|x+1|>3，得x+1>3或x+1<-3，因此x<-4或x>2.
3.数轴上，已知点M(-2)，N(3)，则线段MN的中点E的坐标为________.?
【解析】由中点坐标公式知， = .
答案：E
4.已知点B(x)到原点的距离不大于4，则x的取值范围为________.?
【解析】由题意，|x|≤4，所以-4≤x≤4.
答案：[-4，4]
【新情境·新思维】
定义一种新的符号logab(其中b>0，a>0且a≠1)，且满足如下性质，当a>1时，若logab>logac，则b>c；
当0logac，则b已知log0.5|x+3|【解析】因为0<0.5<1，且log0.5|x+3|所以|x+3|>2，所以x>-1或x<-5.
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课时素养评价
十四 不等式的解集
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)不等式|x|·(1-2x)>0的解集是 ( )
A.
B.(-∞，0)∪
C.
D.
【解析】选BD.原不等式等价于
解得x<且x≠0，
即x∈(-∞，0)∪.
2.不等式1<|x+1|<3的解集为 ( )
A.(0，2) B.(-2，0)∪(2，4)
C.(-4，0) D.(-4，-2)∪(0，2)
【解析】选D.由1<|x+1|<3，得13.在平面直角坐标系中，点P(2x-6，x-5)在第四象限，则x的取值范围
是 ( )
A.(3，5) B.(-3，5)
C.(-5，3) D.(-5，-3)
【解析】选A. 由题意，x应满足不等式组
解得不等式组的解集为{x|34.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1，2)，则实数a的取值为 ( )
A.8 B.2 C.-4 D.-8
【解析】选C.原不等式化为-6即-8又因为-1二、填空题(每小题4分，共8分)
5.数轴上点A(-2)，B(4)，C(x)，则线段AB的中点D的坐标为________，若点D到C的距离大于2，则x的取值范围为________.?
【解析】点D的坐标为=1，DC=|x-1|>2，所以x>3或x<-1.
答案：D(1) ∪(3，+∞)
6.不等式≥1的实数解为________.?
【解析】≥1?|x+1|≥|x+2|，且x+2≠0.
所以x≤-且x≠-2.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)解不等式组
【解析】把不等式-2x-4>0移项得2x<-4，
所以x<-2，即该不等式的解集为(-∞，-2).同理得不等式x-2≤0的解集为(-∞，2]，所以原不等式组的解集为(-∞，-2).
8.(14分)解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R).
【解析】若2m-1≤0，即m≤，
则|2x-1|<2m-1恒不成立，此时，原不等式无解；
若2m-1>0，即m>，
则-(2m-1)<2x-1<2m-1，
所以1-m综上所述：当m≤时，原不等式的解集为，
当m>时，原不等式的解集为{x|1-m (15分钟·30分)
1.(4分)不等式>的解集是 ( )
A.(0，2) B.(-∞，0)
C.(2，+∞) D.(-∞，0)∪(2，+∞)
【解析】选A.由绝对值的意义知，
>等价于<0，
即x(x-2)<0，
解得02.(4分)不等式|x+1|+|x+2|<5的解集为( )
A.(-3，2) B.(-1，3)
C.(-4，1) D.
【解析】选C.|x+1|+|x+2|表示数轴上一点到-2，-1两点的距离和，根据-2，-1之间的距离为1，可得到-2，-1距离和为5的点是-4，1.因此|x+1|+|x+2|<5的解集是(-4，1).
3.(4分)在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为________.?
【解析】不等式|2x-1|+|2x+1|≤6?+≤3，由绝对值的几何意义知(如图)，
当-≤x≤时，不等式+≤3成立.
答案：
4.(4分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为，则a=________. ?
【解析】因为|ax-2|<3，所以-1当a>0时，-当a=0时x∈R，与已知条件不符；
当a<0时，又不等式的解集为，
故a=-3.
答案：-3
5.(14分)设集合A={x||x-a|<1，x∈R}，B={x||x-b|>2，x∈R}，若A?B，则实数a，b应满足什么关系？
【解析】由|x-a|<1，得a-1由|x-b|>2，得xb+2.
因为A?B，所以a-1≥b+2或a+1≤b-2，
即a-b≥3或a-b≤-3，
所以|a-b|≥3.
1.若不等式|x+1|+|x-2|≥a的解集为R，则实数a的取值范围是 ( )
A.a≥3 B.a≤3 C.a>3 D.a<3
【解析】选B.令t=|x+1|+|x-2|，
由题意知只要tmin≥a即可，
由绝对值的几何意义得tmin=3所以a≤3.
即实数a的取值范围是(-∞，3].
2.若关于x的不等式|x+2|+|x-1|【解析】方法一：由|x+2|+|x-1|
=|x+2|+|1-x|≥|x+2+1-x|=3，
知a≤3时，原不等式无解.
方法二：数轴上任一点到-2与1的距离之和最小值为3.
所以当a≤3时，原不等式的解集为.
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