课件55张PPT。2.2.3 一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的概念
形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.【思考】
(1)不等式x2+ >0是一元二次不等式吗？
提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略
吗？
提示：不可以，若a=0，就不是二次不等式了.2.一元二次不等式的解法
(1)因式分解法：
如果x1
不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞).(2)配方法：
一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2(1)因式分解法的实质是什么？
提示：通过对不等式的左边进行因式分解，转化为等价不等式组求解.
(2)配方法的实质是什么？
提示：通过对不等式左边进行配方，转化为绝对值不等式求解.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( )
(2)若方程ax2+bx+c=0可以变形为a(x-1)(x+1)=0，则ax2+bx+c<0的解集为(-1，1). ( )(3)一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2(2)×.当a>0时，ax2+bx+c<0的解集为(-1，1).
(3)√.2.不等式2x≤x2+1的解集为 ( )
A.? B.R
C.{x|x≠1} D.{x|x>1或x<-1}
【解析】选B.2x≤x2+1?x2-2x+1≥0?(x-1)2≥0，所以x∈R.3.不等式(2x-5)(x+3)<0 的解集为________.?
【解析】原不等式可化为 ，所以 ，
所以原不等式的解集为 .
答案： 类型一 解一元二次不等式
角度1 因式分解法
【典例】已知集合A={x|x2-x-2>0}，则?RA= ( )
世纪金榜导学号
A.{x|-1C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【思维·引】解一元二次不等式可得集合A，再求其补集即可.
【解析】选B.由x2-x-2>0左边因式分解得(x+1)(x-2)
>0， 解得x<-1或x>2，则A={x|x<-1或x>2}，所以
?RA={x|-1≤x≤2}.【素养·探】
本例考查一元二次不等式的解法与集合的运算，同时考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.
本例若改为：设集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>
0}，则A∩B= ( )
【解析】选D.由x2-4x+3<0，得(x-1)(x-3)<0，解得
10，解得x> ，所以
B= .所以A∩B= .角度2 配方法
【典例】解下列不等式
(1)3x2-5x-2<0.(2)-x2+6x-10>0.
【思维·引】用配方法解答.【解析】(1)原不等式可化为 ，因为
，所以原不等式可化为 ，两
边开平方得 ，所以 ，即 ，
所以原不等式的解集为 .(2)原不等式可化为x2-6x+10<0，
因为x2-6x+10=(x-3)2+1，
所以原不等式可化为(x-3)2<-1，
因为(x-3)2≥0恒成立，故原不等式的解集为?.【类题·通】
利用配方法解一元二次不等式的步骤：
(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1.
(2)一元二次不等式通过配方变为(x-h)2>k或(x-h)2(3)根据k值情况确定不等式的解集.【习练·破】
1.(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2+x-2<0成立
的x的取值范围为________.?
【解析】3x2+x-2<0，即(x+1)(3x-2)<0，即-1故x的取值范围是 .
答案： 2.解下列不等式
(1)-3x2+6x≤2.(2)4x2-12x+9>0.【解析】(1)原不等式可化为 ，
因为 ，所以原不等式可化为
，两边开平方得 ，
所以 ，
所以原不等式的解集为 .(2)原不等式可化为x2-3x+ >0，
因为 ，所以原不等式可化为 ，
所以只要 ，不等式即成立，所以原不等式的解集
为 .【加练·固】
解不等式
(1)2x2-3x-2<0.(2) x2-2x+2>0.【解析】(1)由2x2-3x-2<0得(x-2)(2x+1)<0，解得- <
x<2，所以原不等式的解集为 .
(2)因为x2-2x+2=(x-1)2+1，所以原不等式可化为(x-1)2
>-1，显然成立，所以原不等式的解集为R.类型二 解简单的分式不等式
【典例】1.不等式 >0的解集是________.?
2.解不等式 ≤2. 世纪金榜导学号
【思维·引】先把分式不等式转化为整式不等式后再
求解.【解析】1.因为 >0，所以(x-2)(x+4)<0，故-4答案： 2.由题意x-2≠0，所以(x-2)2>0原不等式两边同乘以
(x-2)2得：(x+1)(x-2)≤2(x-2)2且x-2≠0，
即(x-2)(-x+5)≤0，所以(x-2)(x-5)≥0，所以x<2或
x≥5，所以原不等式的解集为：(-∞，2)∪[5，+∞).【内化·悟】
1.解分式不等式的思想方法是什么？
提示：转化思想.
2.解分式不等式要注意什么？
提示：分母不为零.【类题·通】
解分式不等式的关注点
(1)根据是实数运算的符号法则，分式不等式经过同解
变形可化为四种类型，解题思路如下：
① >0?f(x)g(x)>0；
② <0?f(x)g(x)<0；③ ≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或
f(x)=0；
④ ≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或
f(x)=0.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为用上述方法求解.【习练·破】
不等式 ≥0的解集为 ( )【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(2x+1)>0或x-1=0，
解得x<- 或x>1或x=1，
所以原不等式的解集为 .【加练·固】
解不等式 >1.
【解析】由题意x+3≠0，所以(x+3)2>0，原不等式两
边同乘以(x+3)2得：(2-x)(x+3)>(x+3)2且x+3≠0，
即(x+3)(-2x-1)>0，所以(x+3)(2x+1)<0，
故-3【典例】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购 a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点. 世纪金榜导学号(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式.
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.【思维·引】由题意构建函数关系或不等式解决问题.【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的
收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%).
依题意：y=200a(1+2x%)(10-x)%
= a(100+2x)(10-x)(0依题意得： a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%，
化简得，x2+40x-84≤0，所以-42≤x≤2.
又因为0所以x的取值范围是{x|0求实际应用问题中未知数的取值范围，应注意什么隐含信息？
提示：应注意未知数具有的“实际含义”，隐含着其取值范围的限制.【类题·通】
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系.
(3)求：解不等式.(4)答：回答实际问题.
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.【习练·破】
某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄
水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供
水，t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最
少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？【解析】(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y=
400+60t-120 (0≤t≤24).
令x= ，则t= ，
所以y=400+10x2-120x
=10(x-6)2+40(0≤x≤12)，
所以当x=6，即t=6时，ymin=40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.(2)由已知400+10x2-120x<80，
得x2-12x+32<0，解得4即 ，而 ，
所以每天约有8小时供水紧张.【加练·固】
有一批净水机原销售价为每台800元，在甲、乙两
家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一
台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类
推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每
台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类净水机，问去哪家商场购买花费较少？【解析】设该单位需购买x台净水机，甲、乙两商场的购货款的差价为y元，
则因为去甲商场购买共花费(800-20x)x，据题意，800-20x≥440，所以1≤x≤18.去乙商场购买共花费600x，x∈N*，所以y= (x∈N*)
= (x∈N*)
得 故若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.不等式3x2-2x+1>0的解集为 ( )
A. B.
C. D.R
【解析】选D.由3x2-2x+1>0得x2-x+>0，
所以>-显然成立，所以原不等式的解集为R.
2.不等式<0的解集为 ( )
A.{x|x>1} B.{x|x<-2}
C.{x|-21或x<-2}
【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(x+2)<0，
解得-23.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-
0.1x2(0A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3 000≤0，
即x2+50x-30 000≥0，
解得x≥150或x≤-200(舍去).
4.设集合M={x|x2-x<0}，N={x|x2<4}，则M与N的关系为________.?
【解析】因为M={x|x2-x<0}={x|0N={x|x2<4}={x|-2所以MN.
答案：MN
【新情境·新思维】
在R上定义运算?：x?y=x(1-y)，若不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2，3)，则a+b的值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选C.因为x?y=x(1-y)，所以(x-a)?(x-b)>0，
得(x-a)[1-(x-b)]>0，
即(x-a)(x-b-1)<0，
因为不等式(x-a)?(x-b)>0的解集是(2，3)，
所以a+b+1=2+3，所以a+b=4.
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课时素养评价
十五 一元二次不等式的解法
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围
是 ( )
A.{m|-1B.{m|-2C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|m<-1或m>1}
【解析】选C.因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，所以Δ=m2-4>0，解得m>2或m<-2.
【加练·固】
已知全集U=R，集合A={x|x2-2x>0}，则UA等于 ( )
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|0C.{x|x<0或x>2}
D.{x|x≤0或x≥2}
【解析】选A.因为A={x|x<0或x>2}，所以UA={x|0≤x≤2}.
2.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4则M∩N= ( )
A.{x|-4B.{x|-4C.{x|-2D.{x|2【解析】选C.由题意得，N={x|-23.(多选题)下列四个不等式中解集为R的是 ( )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+>0
C.-2x2+3x-4<0
D.x2+6x+10>0
【解析】选CD.对于C项，不等式可化为x2-x+2>0，所以>-，所以-2x2+3x-4<0的解集为R；对于D项，不等式可化为(x+3)2>-1，所以x2+6x+10>0的解集为R.
4.关于x的不等式<0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是( )
A.m<0 B.m>0
C.m≠0 D.不确定
【解析】选B.因为0∈M，所以<0.所以m>0.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2-x1=15，则a=________.?
【解析】由x2-2ax-8a2<0，
得(x+2a)(x-4a)<0，
因为a>0，则4a>-2a，
所以不等式的解集为(-2a，4a)，
即x2=4a，x1=-2a，
由x2-x1=15，
得4a-(-2a)=15，解得a=.
答案：
6.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达
7 000万元，则x的最小值是________.?
【解析】由已知，
3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000，
化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0，
解得x%≥0.2，或x%≤-3.2(舍去).
所以x≥20，即x的最小值为20.
答案：20
三、解答题(共26分)
7.(12分)解不等式-1【解析】原不等式可化为
即即
所以
如图，结合数轴，可得原不等式的解集为
{x|-3≤x<-2或08.(14分)某单位在对一个长800 m、宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.
【解析】设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800-2x)m，宽为(600-2x)m，
根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥×800×600，
整理得x2-700x+60 000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
由题意知 x>0，所以0当x在(0，100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.
(15分钟·30分)
1.(4分)不等式<2的解集为 ( )
A.{x|x≠-2} B.R
C. D.{x|x<-2或x>2}
【解析】选A.因为x2+x+1=+>0，
所以原不等式可化为x2-2x-2<2(x2+x+1)，化简得x2+4x+4>0，
即(x+2)2>0，
所以原不等式的解集为{x|x≠-2}.
2.(4分)已知x1，x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根，则+的最大值为 ( )
A.18 B.19 C. D.不存在
【解析】选A.由方程有两个实数根得，Δ≥0，
即(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0.
解得-4≤k≤-，
又+=(x1+x2)2-2x1x2=-(k+5)2+19，
所以当k=-4时，+有最大值，最大值为18.
3.(4分)若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为(1，m)，则实数a的值为________，m的值为________. ?
【解析】由题意可知不等式ax2-6x+a2=0可化为a(x-1)(x-m)<0的形式且a>0，
所以解得m=2，所以a=2.
答案：2 2
4.(4分)某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________ . ?
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y=2 400×t%
=60(8t-t2).
令y≥900，即60(8t-t2)≥900，解得3≤t≤5.
答案：[3，5]
5.(14分)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值.
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
【解析】(1) 因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，b>1且a>0.
由根与系数的关系，得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0，即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2当c<2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c当c=2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为.
1.在R上定义运算：x*y=x(1-y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x恒成立，则 ( )
A.-1C.-【解析】选C.依题意得x-a-x2+a2<1恒成立，即+>0恒成立?a2-a-<0恒成立?-2.当0≤x≤2时不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2恒成立，试求t的取值范围.
【解析】令y=x2-3x+2，0≤x≤2.
则y=x2-3x+2=-，
所以函数在[0，2]上取得最小值为-，最大值为2.
若(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2在[0，2]上恒成立，
则即
所以或
所以t的取值范围为-1≤t≤1-.
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