课件49张PPT。2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式1.均值不等式(基本不等式)
(1)算术平均值与几何平均值(2)均值不等式【思考】
(1)算术平均值的实质是什么？
提示：数a，b在数轴上对应的点的中点坐标.
(2)均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式.(3)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？
请举例说明.
提示：不能，如 是不成立的.2.均值不等式与最值
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.【思考】
通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？
提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”，“二定”，“三相等”.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与 成立的条件是相
同的. ( )
(2)当a>0，b>0时a+b≥2 . ( )
(3)当a>0，b>0时ab≤ . ( )(4)函数y=x+ 的最小值是2. ( )提示：(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式 成立的条件是a>0，b>0.
(2)√.均值不等式的变形公式.
(3)√.均值不等式的变形公式.
(4)×.当x<0时，x+ 是负数.2.下列不等式正确的是 ( )
【解析】选C.因为a2>0，所以 成立.3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.?
【解析】当a2+1=2a，即(a-1)2=0时“=”成立，此时a=1.
答案：a=1类型一 对均值不等式的理解
【典例】1.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒
成立的是 ( )
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2
C. D. 2.不等式a+1≥2 (a>0)中等号成立的条件是( )
世纪金榜导学号
A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2【思维·引】利用均值不等式时需注意使用条件.【解析】1.选D.对于A项，当a=b时，应有a2+b2=2ab，
所以A项错；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同
号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为
ab>0，所以 ，所以 .2.选C.因为a>0，根据均值不等式 ，当且仅
当a=b时等号成立，故a+1≥2 中等号成立当且仅当
a=1.【内化·悟】
1.使用均值不等式的前提条件是什么？
提示：a>0，b>0.
2.均值不等式中，等号成立的条件是什么？
提示：a=b【类题·通】
在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.
一正，a，b均为正数；
二定，不等式一边为定值；
三相等，不等式中的等号能取到，即a=b有解.【习练·破】
设0
，同样由0等式可得， ，综上， .类型二 直接利用均值不等式求最值
【典例】1.设x>0，y>0，且x+y=18，则xy的最大值为
( )
A.80 B.77 C.81 D.822.当x>1时， 的最小值为________. 世纪金榜导
学号?【思维·引】根据已知条件，直接利用均值不等式求最值.【解析】1.选C.因为x>0，y>0，所以 ，即xy
≤ =81，当且仅当x=y=9时，(xy)max=81.2.令t= ，
因为x-1>0，所以t≥ +2=8，当且仅当x-1
= ，即x=4时，t的最小值为8.
答案：8【内化·悟】
能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的？
提示：一般条件中有“和为定值”或“积为定值”，要求的结论是“积的最大值”或“和的最小值”.【类题·通】
利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点
1.两种类型
(1)若a+b=p(两个正数a，b的和为定值)，则当a=b时，
积ab有最大值 ，可以用均值不等式 求得.(2)若ab=S(两个正数的积为定值)，则当a=b时，和a+b
有最小值2 ，可以用均值不等式a+b≥ 求得.2.一个关注点
不论哪种情况都要注意等号取得的条件.【习练·破】
已知a>0，b>0，ab=4，m=b+ ，n=a+ ，求m+n的最小
值.【解析】因为m=b+ ，n=a+ ，
所以m+n=b+ +a+ .
由ab=4，那么b= ，所以b+ +a+
= =5，当且仅当 即a=2
时取等号.所以m+n的最小值是5.【加练·固】
已知a>0，b>0，则 的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.5【解析】选C.因为a>0，b>0，
所以
≥4 =4，当且仅当
即a=b=1时，等号成立.类型三 间接利用均值不等式求最值
角度1 “不正”问题
【典例】已知x<0，则3x+ 的最大值为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值.【解析】因为x<0，所以-x>0.
则
≤ =-12，当且仅当 =-3x，即x=-2时，
3x+ 取得最大值为-12.
答案：-12【内化·悟】
使用均值不等式的前提条件必须是所给的式子均大于0吗？
提示：当所给式子均小于0，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化.角度2 “不定”问题
【典例】(1)已知x>2，求x+ 的最小值.
(2)已知0学号【思维·引】先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值.【解析】(1)因为x>2，所以x-2>0，所以x+ =x-2+
+2≥ +2=4，
所以当且仅当x-2= (x>2)，
即x=3时，x+ 的最小值为4.(2)因为00，所以 x(1-2x)= ×
2x(1-2x)≤ ，
所以当且仅当2x=1-2x ，
即x= 时， x(1-2x)的最大值为 .【素养·探】
本例考查利用均值不等式求最值，突出考查了逻辑推
理与数学运算的核心素养.
若把本例(1)改为：已知x< ，
试求4x-2+ 的最大值.【解析】因为x< ，所以4x-5<0，5-4x>0.
所以4x-5+3+
=1.
当且仅当5-4x= 时等号成立，又5-4x>0，
所以5-4x=1，x=1时，4x-2+ 的最大值是1.【类题·通】
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.【习练·破】
已知x>0，求2-x- 的最大值.【解析】因为x>0，所以x+ ≥4，
所以2-x- ≤2-4=-2，
所以当且仅当x= (x>0)即x=2时，2-x- 的最大值是
-2.课件36张PPT。第2课时
均值不等式的应用 类型一 “常数代换法” 求最值
【典例】若点A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则
的最小值为________. 世纪金榜导学号?【思维·引】由已知条件得到m，n的关系，构造均值不等式求最值.【解析】因为A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，
所以m+n=1，而 ≥2+2=4，
当且仅当m=n= 时取“=”，所以 的最小值为4.
答案：4【内化·悟】
“常数代换法”适合什么样的问题求解？
提示：有条件的求最值问题.【类题·通】
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.
(4)利用均值不等式求最值.【习练·破】
已知x ，y均为正数，且 =1，求x +y的最小值.【解析】x+y=(x+y)
=10+ ≥10+2 =16，
当且仅当 = 且 =1，
即x=4， y=12时取等号，所以x+y的最小值为16.【加练·固】
若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
( )
A. B. C.5 D.6【解析】选C.由x+3y=5xy，
可得 =1，
所以3x+4y=(3x+4y)·
=
≥ =5，当且仅当x=1，y= 时取等
号，故3x+4y的最小值是5.类型二 利用均值不等式证明不等式
【典例】已知a，b，c均大于0，且a+b+c=1，
世纪金榜导学号
求证： ≥9.【思维·引】将“1”换为a+b+c，转化成积为常数的特点，利用均值不等式证明.【证明】因为a，b，c均大于0且a+b+c=1，所以
≥3+2
+2+2=9.当且仅当a=b=c= 时，等号成立.【内化·悟】
结合均值不等式判断： 和 的大小关系.
提示： ≤ .【类题·通】
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.【习练·破】
已知a，b，c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥
8abc.【证明】因为a，b，c都是正数，
所以a+b≥2 >0，b+c≥2 >0，c+a≥2 >0，所
以(a+b)(b+c)(c+a)≥2 ·2 ·2 =8abc，即
(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc，当且仅当a=b=c时等号成立.【加练·固】
已知a，b，c为正数，
求证： ≥3.【证明】左边=
= .
因为a，b，c为正数，
所以 ≥2(当且仅当a=b时取“=”)；
≥2(当且仅当a=c时取“=”)；
≥2(当且仅当b=c时取“=”).从而 ≥6(当且仅当a=b=c时取等号).
所以 -3≥3，
即 ≥3.类型三 均值不等式的实际应用
【典例】玩具所需成本费用为P元，且P与生产套数x的
关系为P=1 000+5x+ x2，而每套售出的价格为Q元，
其中Q(x)=a+ (a，b∈R)， 世纪金榜导学号
(1) 问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本
费用最少？(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值.(利润=销售收入-成本)【思维·引】列出每套玩具的成本费用 以及利润
x·Q(x)-P的式子，可进行求解.【解析】(1)每套玩具所需成本费用为
+5=25，当 ，即x=100时
等号成立，故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少.(2)利润为x·Q(x)-P
=
= x2+(a-5)x-1 000，由题意得
解得a=25，b=30.【内化·悟】
均值不等式的实际问题中的应用的关键是什么？
提示：结合实际问题建立对应的函数关系，把实际问题中的最值问题抽象成函数的最大、最小值问题.【类题·通】
应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数.(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.【习练·破】
近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万
元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自
动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：
万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成
正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假
设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的
水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面
积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)=
(x≥0，k为常数).记y(单位：万元)为该企业安装这种
净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和.(1) 试解释C(0)的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简.
(2) 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【解析】(1) C(0)表示不安装净水设备时每年缴纳的
水费为4万元.
因为C(0)= =4，所以k=1 000.
所以y=0.2x+ ×4=0.2x+ ，x≥0﹒(2) y=0.2 -1≥0.2×40-1=7.
当x+5= ，即x=15时，ymin=7，
所以当x为15平方米时，y取得最小值，最小值为7万元.温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.若x2+y2=4，则xy的最大值是 ( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选C.xy≤=2，当且仅当x=y时取“=”.
2.设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A.a-b<0 B.0<<1
C.< D.ab>a+b
【解析】选C.因为a>b>0，由均值不等式知<一定成立.
3.对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是________.?
【解析】A=≥=G，所以A≥G.
答案：A≥G
【新情境·新思维】
定义一个新的量：向量，用符号a表示，也可以用形如点的坐标的方法表示，如向量a=(x，y)，定义向量a=(x，y)的长度|a|=，两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)可以进行加法运算，其和仍是一个向量，法则为：a+b=(x1+x2，y1+y2).已知a=(x-1，1)，b=，则|a+b|的最小值是 ( )
A.1 B. C. D.2
【解析】选B.由题意知a+b=，所以|a+b|=≥(当且仅当x2=1时，等号成立).
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课堂检测·素养达标
1.已知2a+b=1，a>0，b>0，则+的最小值是 ( )
A.2 B.3-2
C.3+2 D.3+
【解析】选C.+=+=3+≥3+2，当且仅当=，且2a+b=1，即a=，b=-1时取等号.
2.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是 ( )
A.≤ B.+≤1
C.≥2 D.a2+b2≥8
【解析】选D.4=a+b≥2(当且仅当a=b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，A，C不成立；+==≥1，B不成立；a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8.
3.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_____.?
【解析】设矩形的一边为x m，
则另一边为×(20-2x)=(10-x)m，
所以y=x(10-x)≤=25，
当且仅当x=10-x，即x=5时，ymax=25 m2.
答案：25 m2
4.已知x>0，y>0且+=1，则x+y的最小值为________.?
【解析】因为x>0，y>0，所以x+y=(x+y)=3++≥3+2(当且仅当y=x时取等号)，
所以当x=+1，y=2+时，x+y的最小值为3+2.
答案：3+2
【新情境·新思维】
已知a>0，b>0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为 ( )
A.9 B.12 C.18 D.24
【解析】选B.由+≥得
m≤(a+3b)=++6.
又++6≥2+6=12，当且仅当a=3b时等号成立，所以m≤12，所以m的最大值为12.
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课时素养评价
十七 均值不等式的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)已知a>0，b>0，a+b=2，则对于+ ( )
A.取得最值时a=
B.最大值是5
C. 取得最值时b=
D.最小值是
【解析】选AD.因为a+b=2，所以+=+=+++2≥+2=，当且仅当=且a+b=2，即a=，b=时，等号成立.
2.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则 ( )
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，
所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤，
所以1+x≤1+，故x≤.
3.已知正数x，y满足x+2y-xy=0，则x+2y的最小值为 ( )
A.8 B.4 C.2 D.0
【解析】选A.由x+2y-xy=0，得+=1，
且x>0，y>0.所以x+2y=(x+2y)×=++4≥4+4=8，当且仅当x=2y时等号成立.
4.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，+∞)，
a≥，
又因为x∈(0，+∞)，所以=≤=，当且仅当x=1时等号成立，所以a≥.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知一次函数y=-x+1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最值时a的值为________.?
【解析】因为A(2，0)，B(0，1)，所以0≤b≤1，由题意得a=2-2b，
ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·=.
当且仅当1-b=b，即b=时等号成立，此时a=1，
因此当b=，a=1时，ab的最大值为.
答案： 1
6.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________.?
【解析】设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2=，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为+x≥2=40，当且仅当=x，即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.
答案：20
三、解答题(共26分)
7.(12分) 已知a>0，b>0，a+b=1，求证：
(1)++≥8.
(2)≥9.
【证明】(1)因为a+b=1，a>0，b>0，
所以++=2.
所以+=+=2++≥2+2=4，
所以++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).
(2)方法一：因为a>0，b>0，a+b=1，
所以1+=1+=2+，
同理1+=2+，
所以=
=5+2≥5+4=9.
所以≥9(当且仅当a=b=时等号成立).
方法二：=1+++，
由(1)知，++≥8，
故=1+++≥9.
当且仅当a=b=时取等号 .
8.(14分)如图某村计划建造一个室内面积为 800 平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留 1 米宽的通道，沿前侧内墙保留 3 米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【解析】设矩形的一边长为 x米，
则另一边长为米，
因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米，
长为米.
由得4所以其面积S=(x-4)·
=808-≤808-2
=808-160=648(m2).
当且仅当2x=，即x=40∈(4，400)时等号成立.
因此当矩形温室的两边长分别为 40 米， 20 米时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是 648平方米.
(15分钟·30分)
1.(4分)某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金 ( )
A.大于10 g B.小于10 g
C.大于等于10 g D.小于等于10 g
【解析】选A.设两臂长分别为a，b，
两次放入的黄金数是x，y，
依题意有ax=5b，by=5a，
所以xy=25.
因为≥，
所以x+y≥10，
又a≠b，所以x≠y.所以x+y>10.即两次所得黄金数大于10 g.
2.(4分)已知正实数m，n满足m+n=1，且使+取得最小值.若y=，x=是方程y=xα的解，则α = ( )
A.-1 B. C.2 D.3
【解析】选C.+=(m+n)
=1+++16
=17++≥17+2=25.
当且仅当=又m+n=1，即m=，n=时，上式取等号，
即+取得最小值时， m=，n=，
所以y=25，x=5， 25=5α.
得α=2.
3.(4分)如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2. ?
【解析】设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y=(x+4)-72
=8+2
≥8+2×2=56(dm2).
当且仅当x=，即x=12 dm时等号成立.
答案：56
4.(4分)设a+b=2，b>0，则+取最小值时a的值为________. ?
【解析】因为a+b=2，
所以+=+=+=++≥+2=+1，
当且仅当=时等号成立.
又a+b=2，b>0，
所以当b=-2a，a=-2时，
+取得最小值.
答案：-2
5.(14分)已知正数a，b，x，y满足a+b=10，+=1，x+y的最小值为18，求a，b的值.
【解析】x+y=(x+y)
=a+++b=10++.
因为x，y>0，a，b>0，
所以x+y≥10+2=18，
即=4.
又a+b=10，所以或
1.若a>0，b>0，且a+b=1，则的最小值是 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【解析】选A.
=+1
=+1
=+1≥+1
=9.
所以当a=b=时，原式取最小值9.
2.某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【解析】(1)设每件定价为x元，依题意得
x≥25×8，
整理得x2-65x+1 000≤0，
解得25≤x≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
(2)依题意不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解，
等价于x>25时a≥+x+有解，
因为+x≥2=10(当且仅当x=30时，等号成立)，
所以a≥10.2.
所以当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
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课时素养评价
十六 均值不等式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.不等式a2+b2≥2|ab|成立时，实数a，b一定是 ( )
A.正数 B.非负数
C.实数 D.不存在
【解析】选C.原不等式可变形为a2+b2-2|ab|=|a|2+|b|2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0，对任意实数都成立.
2.(多选题)(2019·怀化高一检测)设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有( )
A.ab>1 B.ab<1
C.<1 D.>1
【解析】选B、D.因为ab≤，a≠b，
所以ab<1，
又1==<，
所以>1，所以ab<1<.
3.若a，b∈Z，且a+b=0，则2a+2b的最小值是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选A.因为a，b∈Z，所以2a>0，2b>0，所以2a+2b≥2=2=2，当且仅当a=b=0时，等号成立.所以2a+2b的最小值是2.
4.已知0A. B. C. D.
【解析】选A.因为00，
则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤3×=，
当且仅当x=1-x，即x=时取等号.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知当x=3时，代数式4x+(x>0，a>0)取得最小值，则a=________.?
【解析】4x+≥2=4(x>0，a>0)，当且仅当4x=，即x=时等号成立，所以=3，即a=36.
答案：36
6.下列不等式的证明过程：
①若a，b∈R，则+≥2=2；
②若x，y∈R，则=|x|+≥2；
③若a，b∈R，ab<0，则+=-+≤-2=-2.
其中正确的序号是________.?
【解析】①②都错在符号上.
答案：③
三、解答题(共26分)
7.(12分)设a>0，b>0，且不等式++≥0恒成立，求实数k的最小值.
【解析】因为a>0，b>0，所以原不等式可化为：
k≥-(a+b)，
所以k≥--2.
因为+≥2，所以--2的最大值为-4.
所以k≥-4，即k的最小值为-4.
8.(14分)求t=x+的取值范围.
【解析】当x>0时，x+≥2=2，
当且仅当x=即x=1时，“=”成立，
所以x+≥2.
当x<0时，x+=-≤-2=-2，
当且仅当-x=，即x=-1时“=”成立.
所以x+≤-2故t=x+的取值范围为{t|t≤-2或t≥2}.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知m=a+(a>2)，n=4-b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系
是 ( )
A.m>n B.mC.m=n D.不确定
【解析】选A.因为a>2，所以a-2>0.
又因为m=a+=(a-2)++2，
所以m≥2+2=4.
由b≠0得b2≠0，所以4-b2<4，即n<4.所以m>n.
2.(4分)已知当x=a时，代数式x-4+(x>-1)取得最小值b，则a+b=( )
A.-3 B.2 C.3 D.8
【解析】选C.y=x-4+=x+1+-5，由x>-1，得x+1>0，>0，所以由均值不等式得y=x+1+-5≥2-5=1，当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，所以x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.
3.(4分)已知x>0，y>0，且满足+=1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________. ?
【解析】因为x>0，y>0且1=+≥2，所以xy≤3.当且仅当==，即x=，y=2时取等号.
答案：3 2
4.(4分)已知x>0，y>0，且xy=100，则x+y的最小值为________.?
【解析】x+y≥2=20，当且仅当x=y=10时取“=”.
答案：20
5.(14分)设x>-1，求的最小值.
【解析】因为x>-1，所以x+1>0，
设x+1=t>0，则x=t-1，于是有：
==
=t++5≥2+5=9.
当且仅当t=，即t=2时取等号，此时x=1.
所以当x=1时，函数取得最小值是9.
1.已知正数0A.a2+b2 B.2
C.2ab D.a+b
【解析】选D.因为a，b∈(0，1)，a≠b，
所以a+b>2，a2+b2>2ab，
所以，最大的只能是a2+b2与a+b之一.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)，
又0因此a2+b22.(1)x>0时求x++2的最小值.
(2)0【解析】(1)因为x>0，所以x++2≥2+2=8，
当且仅当x=，即x=3时等号成立.
所以x++2的最小值是8.
(2)因为00，
所以2x(5-2x)≤=，
当且仅当2x=5-2x，即x=时等号成立，
所以2x(5-2x)的最大值为.
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