课件56张PPT。2.1.2 一元二次方程的解集及其根与
系数的关系 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集【思考】
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=
适合用于所有的一元二次方程吗？提示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
只适合于方程有根时使用，即：当根的判别式
Δ=b2-4ac≥0时适用.2.一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个
实数根x1，x2，则有x1+x2=- ；x1x2= .【思考】
利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
提示：先把方程化为ax2+bx+c=0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ=b2-4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)用公式法解一元二次方程3x2=-2x+3时，
a=3，b=-2，c=3，再代入公式即可. ( )
(2)方程x2-2=0的解是x= . ( )(3)若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，
则x1x2=-2. ( )提示：(1)×.用公式法解一元二次方程时，要先把
方程化为标准形式，再求a，b，c的值.
(2)×.方程x2-2=0的解是x=± .
(3)×.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中x1x2= .2.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形
为( )
A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9
C.(x-1)2=6 D.(x-2)2=9
【解析】选C.因为x2-2x-5=x2-2x+1-6=0，
所以(x-1)2=6.3.解下列方程，最适合用公式法求解的是 ( )
A.(x+2)2-16=0 B.(x+1)2=4
C. x2=8 D.x2-3x-5=0
【解析】选D.公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程.4.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别为 ( )
A.b=-1，c=2 B.b=1，c=-2
C.b=1，c=2 D.b=-1，c=-2
【解析】选D.b=x1+x2=1-2=-1，c=x1x2=-2.类型一 配方法解一元二次方程
【典例】1.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形
为( )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15
C.(x-4)2=17 D.(x-4)2=152.用配方法求方程2x2+1=3x的解集.【思维·引】
1.方程的二次项系数为1，将常数项移到等号右边得x2-8x=1，然后等号两边加上一次项系数一半的平方，等号左右两边分别化为完全平方式和常数.2.先把方程化成2x2-3x+1=0，它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.【解析】1.选C.移项，得x2-8x=1.
配方，得x2-8x+42=1+42，即(x-4)2=17.2.移项，得2x2-3x=-1.
二次项系数化为1，得x2-
配方，得x2-
由此可得x- x=1或x= ，
所以原方程的解集为 【类题·通】
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式.
(2)将常数项移到方程的右边.
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1.(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数.
(5)当方程右边是一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是一个负数时，原方程无实数解.【习练·破】
1.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是 ( )
A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=3
C.(x-2)2=5 D.(x+2)2=5
【解析】选A.因为x2+4x+1=(x+2)2-3=0，
所以(x+2)2=3.2.用配方法解方程：2x2-7x+6=0.【解析】系数化为1，得x2- x+3=0.
配方，得x2-
即 所以x- =± .所以x1=2，x2= .【加练·固】
用配方法求方程3x2-6x+4=0的解集.【解析】移项，得3x2-6x=-4.
二次项系数化为1，得x2-2x=- .
配方，得x2-2x+12=- +12，(x-1)2=- .
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程的解
集为?.类型二 公式法解一元二次方程
【典例】1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到 ( ).
2.用公式法求方程2x2-4x-1=0的解集.【思维·引】
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，分清楚a，b，c，然后代入公式即可.【解析】1.选D.因为4x2-12x=3，所以4x2-12x-3=0，
因为a=4，b=-12，c=-3，
所以Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×(-3)=192>0，
所以x= 2.a=2，b=-4，c=-1，
所以Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0，
所以x=
所以x= 或x= ，所以原方程的解集为 【内化·悟】
用公式法解一元二次方程时哪些地方易出错？
提示：用公式法解一元二次方程注意点有：①注意化方程为一般形式；②注意方程有实数根的前提条件“Δ≥0”；③注意方程有根应该是两个；④求解出的根注意适当化简.【类题·通】
用公式法解一元二次方程的步骤：
(1)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值.
(2)求出b2-4ac的值.
(3)若b2-4ac≥0，将a，b，c的值代入求根公式计算，得出方程的解；若b2-4ac<0，则方程无实根.【习练·破】
1.方程 x2+4 x+6 =0的根是 ( )
A.x1= ，x2= B.x1=6，x2=
C.x1=2 ，x2= D.x1=x2=- 【解析】选D.因为a= ，b=4 ，c=6 ，
所以Δ=b2-4ac=(4 )2-4× ×6 =0，
所以x=
所以x1=x2=- .2.解方程：5x2-3x=x+1.【解析】方程化为5x2-4x-1=0，a=5，b=-4，c=-1，
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0，
方程有两个不等的实数根，
x=
即x1=1，x2=- .【加练·固】
求方程x2+17=8x的解集.【解析】方程化为x2-8x+17=0.
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0.
所以原方程的解集为?.类型三 一元二次方程根与系数的关系
角度1 一元二次方程根的判别式
【典例】关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是 ( )
世纪金榜导学号
A.0 B.8 C.4± D.0或8【思维·引】方程有两个相等实根，所以Δ=b2-4ac=0.
【解析】选D.依题意得a=1，b=m-2，c=m+1，
所以Δ=(m-2)2-4(m+1)=0，
所以m2-4m+4-4m-4=0，所以m2-8m=0，
所以m1=0，m2=8.【素养·探】
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的逆定理成立吗？提示：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac逆定理也成立.
即：(1)当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0.
(2)当方程有两个相等的实数根时，Δ=0.
(3)当方程没有实数根时，Δ<0.角度2 一元二次方程根与系数的关系
【典例】1.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是 ( )
A.x2-7x+12=0 B.x2+7x+12=0
C.x2+7x-12=0 D.x2-7x-12=02.已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下列式子的值.【思维·引】
1.以x1，x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
2.将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.【解析】1.选A.因为一元二次方程中，x1+x2=7，x1x2=12，
又因为x1+x2=- ，x1x2= ，
令a=1，则b=-7，c=12，
所以原方程为：x2-7x+12=0.2.由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=5，x1·x2=-7.
(1) =(x1+x2)2-2x1x2=52-2×(-7)
=25+14=39.
(2) 【类题·通】
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤
(1)算：计算出两根的和与积.
(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式.
(3)代：代入求值.【发散·拓】如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q.【习练·破】
1.下列对关于x的一元二次方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是 ( )
A.方程有两个不相等的实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程没有实数根
D.无法确定【解析】选A.依题意得a=1，b=2k，c=k-1，
所以Δ=b2-4ac=(2k)2-4(k-1)=4k2-4k+4
=(2k-1)2+3>0，
所以方程有两个不等实根.2.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m2=0有两个实数
根x1，x2，则m2 的值是 ( )
A. B.- C.4 D.-4【解析】选D.因为x2-4x-m2=0有两个实数根x1，x2，
所以x1+x2=4，x1x2=-m2，所以m2 =m2·
=m2· =-4.【加练·固】
若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数，则a=________.?【解析】因为方程的两根互为倒数，
所以两根的乘积为1，即a2=1，
所以a=1或a=-1.
当a=1时，原方程化为x2+1=0，方程无实数根，
不符合题意，故舍去；当a=-1时，原方程化为x2-2x+1=0，Δ=0，符合题意.故a=-1.
答案：-1温馨提示：
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课堂检测·素养达标
1.已知x=2是一元二次方程x2-2mx+4=0的一个解，则m的值为 ( )
A.2 B.0 C.0或2 D.0或-2
【解析】选A.因为x=2是一元二次方程x2-2mx+4=0的一个解，所以4-4m+4=0，所以m=2.
2.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ( )
A.a>2 B.a<2
C.a<2且a≠1 D.a<-2
【解析】选C.Δ=4-4(a-1)=8-4a>0，得a<2.又a-1≠0，所以a<2且a≠1.
3.已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1，则k=________.?
【解析】依题意，得2×12-3k×1+4=0，即2-3k+4=0，解得，k=2.
答案：2
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课时素养评价
十一 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.一元二次方程x2-2x-1=0的解集是 ( )
A.{1}
B.{1+，-1-}
C.{1+，1-}
D.{-1+，-1-}
【解析】选C.方程x2-2x-1=0，
变形得：x2-2x=1，
配方得：x2-2x+1=2，即(x-1)2=2，
开方得：x-1=±，
解得：x=1+或x=1-，
所以原方程的解集为{1+，1-}.
【加练·固】
方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于 ( )
A.3 B.2 C.1 D.2
【解析】选B.2x2-6x+3=0，
这里a=2，b=-6，c=3，
因为b2-4ac=36-24=12，
所以x==，即p=；
2x2-2x-1=0，这里a=2，b=-2，c=-1，
因为b2-4ac=4+8=12，
所以x==，即q=，
则p+q=+=2.
2.一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是 ( )
A.m>1 B.m=1
C.m<1 D.m≤1
【解析】选D.因为方程x2-2x+m=0总有实数根，
所以Δ≥0，即4-4m≥0，所以-4m≥-4，所以m≤1.
3.已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长是 ( )
A.14 B.12
C.12或14 D.以上都不对
【解析】选B.解方程x2-12x+35=0得x=5或x=7.因为3+4=7，所以长度为3，4，7的线段不能组成三角形，故x=7不符合题意，所以三角形的周长=3+4+5=12.
4.已知m，n是方程x2-x-1=0的两实数根，则+的值为 ( )
A.-1 B.- C. D.1
【解析】选A.根据题意得m+n=1，mn=-1，
所以+===-1.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为________.?
【解析】根据题意得Δ=(-5)2-4k>0，
解得k<，所以k可取的最大整数为6.
答案：6
6.方程5x+2=3x2的解集是________________.?
【解析】将方程化为一般形式3x2-5x-2=0，
a=3，b=-5，c=-2，b2-4ac
=(-5)2-4×3×(-2)=49>0，
x==，x=2或x=-.
所以原方程的解集为{2，-}.
答案：{2，-}
三、解答题
7.(16分)已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且·-x1-x2=115.
(1)求k的取值.
(2)求+-8的值.
【解析】(1)因为由题意有x1+x2=6，x1·x2=k.
所以·-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115
所以k=11或k=-11.
又因为方程x2-6x+k=0有实数解，
所以Δ=(-6)2-4k≥0，所以k≤9.
所以k=11不符合题意应舍去，故k的值为-11.
(2)由(1)知x1+x2=6，x1·x2=-11，
所以+-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.
(15分钟·30分)
1.(4分)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是 ( )
A.-1或5 B.1 C.5 D.-1
【解析】选D.设方程两根为x1，x2，
由题意，得+=5.
所以(x1+x2)2-2x1x2=5.
因为x1+x2=a，x1x2=2a，
所以a2-2×2a=5.
解得a1=5，a2=-1.
又因为Δ=a2-8a，当a=5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a=5.
当a=-1时，Δ>0，此时方程有两实数根.
所以取a=-1.
2.(4分)若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程
是 ( )
A.x2+3x-2=0 B.x2-3x+2=0
C.x2-2x+3=0 D.x2+3x+2=0
【解析】选B.两个根为x1=1，x2=2，则两根的和是3，积是2.A项中两根之和等于-3，两根之积等于-2，所以此选项不正确；
B项中两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；
C项中两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；
D项中两根之和等于-3，两根之积等于2，所以此选项不正确.
3.(4分)若实数a，b(a≠b)分别满足a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，则+=________. ?
【解析】由实数a，b分别满足a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，且a≠b，得a，b是方程x2-7x+2=0的两个根，所以a+b=7，ab=2，
所以+====.
答案：
4.(4分)如图将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是________. ?
【解析】设空地边长为x米，则：
(x-3)(x-2)=20，
所以x2-5x-14=0，
所以x1=-2，x2=7，
因为x>0，
所以x=7.
答案：7
【加练·固】
等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2-8x+n-2=0的两根，则n的值为________.?
【解析】当2为底边长时，则a=b，a+b=8，
所以a=b=4.
因为4，4，2能围成三角形，
所以n-2=4×4，解得n=18.
当2为腰长时，a，b中有一个为2，
则另一个为6.
因为6，2，2不能围成三角形，所以此种情况不存在.
答案：18
5.(14分)已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两实根为x1，x2，且+-x1x2=7，求m的值.
【解析】(1)因为x2-(m-3)x-m=0，所以Δ=b2-4ac=[-(m-3)]2-4×1×(-m)
=m2-2m+9=(m-1)2+8>0，所以方程有两个不相等的实数根.
(2)因为x2-(m-3)x-m=0，方程的两实根为x1，x2，
所以x1+x2=m-3，x1x2=-m.
因为+-x1x2=7，
所以(x1+x2)2-3x1x2=7，
即(m-3)2-3×(-m)=7，解得m1=1，m2=2，
即m的值是1或2.
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