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单元素养评价(一)
(第一章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，
则A∩B= ( )
A.{-1，0，1} B.{0，1}
C.{-1，1} D.{0，1，2}
【解析】选A.B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}，所以A∩B={-1，0，1}.
2.命题p：?x∈[-1，1]，x2-1≤0的否定是 ( )
A.p：?x∈[-1，1]，x2-1>0
B.p：?x∈[-1，1]，x2-1≥0
C.p：?x∈[-1，1]，x2-1≥0
D.p：?x∈[-1，1]，x2-1>0
【解析】选D.命题p是全称量词命题，其否定为存在量词命题，即p：?x∈[-1，1]，x2-1>0.
3.设集合U={x|x<5，x∈N*}，M={x|x2-5x+6=0}，则UM= ( )
A.{1，4} B.{1，5}
C.{2，3} D.{3，4}
【解析】选A.由集合U={x|x<5，x∈N*}={1，2，3，4}，M={x|x2-5x+6=0}
={2，3}，
则UM={1，4}.
4.设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N?M”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当a=1时，N={1}，可推出“N?M”.当“N?M”时，有a2=1或a2=2，
解得a=±1或a=±，不能推出a=1.
【加练·固】
设M，N是两个集合，则“M∪N≠”是“M∩N≠”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由维恩图易知“M∪N≠”“M∩N≠”，且“M∩N≠”?
“M∪N≠”.
5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 ( )
A.每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点
B.对任意非正数c，若a≤b+c，则a≤b
C.存在一个菱形不是平行四边形
D.存在一个实数x使不等式x2-3x+7<0成立
【解析】选B.A，B为全称量词命题，但A为假命题，B为真命题.
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当四边形ABCD为菱形时，其对角线互相垂直，必有AC⊥BD；但当AC⊥BD时，四边形不一定是菱形(如图)，
因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
7.如图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合
是 ( )
A.(IA∩B)∩C B.(IB∪A)∩C
C.(A∩B)∩IC D.(A∩IB)∩C
【解析】选D.补集IB画成维恩图如图(1)，交集A∩IB画成维恩图如图(2)，而(A∩IB)∩C画成维恩图就是题目的维恩图.
8.若集合A={x|1≤x<2}，B={x|x>b}，且A∩B=A.则实数b的范围是 ( )
A.b≥2 B.1
C.b≤2 D.b<1
【解析】选D.因为A∩B=A，所以A?B，所以b<1.
9.已知集合A={0}，B={-1，0，1}，若A?C?B，则符合条件的集合C的个数
为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选C.由题意得，满足题意的集合C可以是{0}，{0，-1}，{0，1}和
{0，-1，1}共4个.
10.已知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a的取值为 ( )
A.a>- B.a≥-
C.a=- D.a=-或1
【解析】选D.若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：①当a=1时，x=，满足题意，
②当a≠1时，Δ=8a+1=0，所以a=-，
综上所述，a=-或1.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，4}，B={0，1，3}，则( )
A.A∩B={0，1}
B.UB={4}
C.A∪B={0，1，3，4}
D.集合A的真子集个数为8
【解析】选AC.因为A={0，1，4}，B={0，1，3}，所以A∩B={0，1}，
A∪B={0，1，3，4}，选项A，C都正确；
又全集U={0，1，2，3，4}，所以UB={2，4}，
选项B错误；集合A={0，1，4}的真子集有7个，所以选项D错误.
12.有下列命题中，真命题有 ( )
A.?x∈N*，使x为29的约数
B.?x∈R，x2+x+2>0
C.存在锐角α，sin α=1.5
D.已知A={a|a=2n}，B={b|b=3m}，则对于任意的n，m∈N*，都有A∩B=
【解析】选AB.
A中命题为真命题.当x=1时，x为29的约数成立；
B中命题是真命题.x2+x+2=+>0恒成立；
C中命题为假命题.根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有
0D中命题为假命题.易知6∈A，6∈B，故A∩B≠.
13.下列说法正确的是 ( )
A.“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件
B.若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则p：某班至少有一个女生爱踢足球
C.“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”
D.“k>4，b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件
【解析】选AD.对于A，“a2+a≠0”?“a≠-1且a≠0”，“a≠0”“a≠-1且a≠0”，“a≠-1且a≠0”?“a≠0”，所以“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件是正确的；
对于B，若命题p：某班所有男生都爱踢足球，
则p：某班至少有一个男生不爱踢足球，所以原说法是错误的；
对于C，“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形，其对角线不相等”，所以选项C中的说法是错误的；
对于D，当k>4，b<5时，函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示，显然交y轴于负半轴，交x轴于正半轴.
由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，
即x=0，y=b-5<0，所以b<5.
当y=0时，x=>0，
因为b<5，所以k>4.所以选项D中的说法是正确的.
三、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)
14.设集合A={x|-10}，则A∩B=________，(RB)∪A=________.?
【解析】因为A={x|-10}，所以A∩B={x|0(RB)∪A={x|x<2}.
答案：{x|0【加练·固】
已知集合A={-1，0，1}，B={x|x2-3x+m=0}，若A∩B={0}，则B=________.?
【解析】因为A∩B={0}，所以0∈B，所以m=0，所以B={0，3}.
答案：{0，3}
15.已知集合A为数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)?
【解析】由“A={0}”可推出“A∩{0，1}={0}”，
由“A∩{0，1}={0}”推不出“A={0}”，例如：A={0，2}时也有A∩{0，1}={0}，
所以“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件.
答案：必要不充分
【加练·固】
若命题“?x∈(3，+∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________.?
【解析】由题意知当x>3，有x>a恒成立，则a≤3.
答案：(-∞，3]
16.设p：-m≤x≤m(m>0)，q：-1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________ . ?
【解析】设A=[-m，m]，B=[-1，4]，
若p是q的充分条件，则A?B，
所以所以0所以m的最大值为1，若p是q的必要条件，
则B?A，所以
所以m≥4，则m的最小值为4.
答案：1 4
17.已知集合A=(0，2)，集合B=(-1，1)，集合C={x|mx+1>0}，若A∪B?C，则实数m的取值范围为________ . ?
【解析】由题意，A∪B=(-1，2)，
因为集合C={x|mx+1>0}，A∪B?C，
①m<0，x<-，所以-≥2，
所以m≥-，所以-≤m<0；
②m=0时，成立；
③m>0，x>-，所以-≤-1，
所以m≤1，所以0综上所述，实数m的取值范围为.
答案：
四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.(12分)设A={x∈Z||x|≤6}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，求：
(1)A∪(B∩C).
(2)A∩A(B∪C).
【解析】(1)由题意得A={-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，
B∩C={3}，所以A∪(B∩C)={-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}.
(2)B∪C={1，2，3，4，5，6}，
A(B∪C)={-6，-5，-4，-3，-2，-1，0}，
A∩A(B∪C)={-6，-5，-4，-3，-2，-1，0}.
19.(14分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：?m∈R，<0.
(2)q：圆上任一点到圆心的距离是r.
(3)r：?x，y∈Z，2x+4y=.
(4)s：存在一个无理数，它的立方是有理数.
【解析】(1)p：?m∈R，≥0.
-m2-1<0，所以<0，p是真命题，所以p是假命题.
(2)q：圆上存在一点到圆心的距离不是r；
由q是真命题，所以q是假命题.
(3)r：?x，y∈Z，2x+4y≠；
若x，y∈Z，则x+2y也是整数，不可能等于，所以r是假命题，所以r是真命题.
(4)s：任意一个无理数，它的立方都不是有理数.
是无理数，()3=2是有理数，所以s是真命题，s是假命题.
20.(14分)已知不等式m-1【解析】由题意(m-1，m+1)，
所以
所以-≤m≤.
所以实数m的取值范围是.
21.(14分)设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2}，求实数a的值.
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意可知：A={2，1}，因为A∩B={2}，所以2∈B，
将2代入集合B中得：4+4(a-1)+(a2-5)=0，解得：a=-5，a=1.
当a=-5时，集合B={2，10}，符合题意；
当a=1时，集合B={2，-2}，符合题意.
综上所述：a=-5或a=1.
(2)因为A∪B=A，所以B?A，
Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=8(3-a)，
①当Δ<0时，即a>3时，B=满足条件；
②当Δ=0，即a=3时，B={-2}不满足条件；
③当Δ>0，即a<3时，B=A={1，2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得，
所以矛盾；
综上，a的取值范围是(3，+∞).
22.(14分)已知集合A={x|3≤x<7}，B={2(1)求A∪B，(RA)∩B.
(2)若C?(A∪B)，求a的取值范围.
【解析】(1)因为集合A={x|3≤x<7}，B={2故A∪B={x|2(RA)∩B={2(2)依题意可知
①当C=时，有5-a≥a，得a≤；
②当C≠时，有
解得综上所述，所求实数a的取值范围为(-∞，3].
23.(14分)已知p：?x∈R，m【解析】由x∈R得x2-1≥-1，
若p：?x∈R，m则m<-1.
若q：?x∈R，x2+2x-m-1=0为真，
则方程x2+2x-m-1=0有实根，
所以4+4(m+1)≥0，所以m≥-2.
因为p，q都是真命题，
所以所以-2≤m<-1.
所以实数m的取值范围为[-2，-1).
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考点突破·素养提升
素养一 数学抽象
角度 集合的基本概念
【典例1】已知集合={a2，a+3b，0}，则2|a|+b=________.?
【解析】因为集合={a2，a+3b，0}，所以b=0，a2=4，解得a=±2，
当a=-2，b=0时，{-2，0，4}={4，-2，0}，成立，
此时2|a|+b=4.
当a=2，b=0时，{2，0，4}={4，2，0}，成立，
此时2|a|+b=4.
答案：4
【典例2】已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的值.
【解析】由题设条件可知：1∈A，
若a+2=1，即a=-1时，
(a+1)2=0，a2+3a+3=1=a+2，
不满足集合中元素的互异性，舍去；
若(a+1)2=1，即a=0或a=-2，
当a=0时，a+2=2，(a+1)2=1，a2+3a+3=3，
满足条件；
当a=-2时，a+2=0，(a+1)2=1，a2+3a+3=1，
不满足集合中元素的互异性，舍去；
若a2+3a+3=1，即a=-1或a=-2，均不满足条件，
理由同上.综上可知，实数a的值只能是a=0.
【素养·探】
将本例条件改为“集合A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，2∈B，B?A”，求实数a，x的值.
【解析】因为a，x∈R，集合A={2，4，x2-5x+9}，
B={3，x2+ax+a}，2∈B，B?A，
所以
解得x=2，a=-或x=3，a=-，
经检验x=2，a=-或x=3，a=-都符合题意，
故所求a，x的值分别为-，2或-，3.
【类题·通】
1.集合元素的互异性在解题中的两个应用
(1)切入：利用集合元素的互异性寻找解题的切入点.
(2)检验：解题完毕，利用互异性验证答案的正确性.
2.描述法表示集合的关键及注意点
(1)关键：清楚集合的类型及元素的特征性质.
(2)注意点：当特征性质的表示形式相同时，要清楚代表元素的不同会导致集合含义的不同，所以研究描述法时要关注集合中代表元素的属性.
【加练·固】
设集合A={x|x2-3x+a=0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________.
【解析】因为4∈A，
所以16-12+a=0，所以a=-4，
所以A={x|x2-3x-4=0}={-1，4}.
答案：{-1，4}
素养二 数学运算
角度 集合的基本运算
【典例3】(2018·北京高考)已知集合A={x||x|<2}，B={-2，0，1，2}，
则A∩B= ( )
A.{0，1} B.{-1，0，1}
C.{-2，0，1，2} D.{-1，0，1，2}
【解析】选A.集合A={x|-2所以A∩B={0，1}.
【典例4】设全集I=R，已知集合M={-3}，N={x|x2+x-6=0}.
(1)求(IM)∩N.
(2)记集合A=(IM)∩N，已知集合B=[a-1，a+5]，a∈R，若A∩B=A，求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为M={-3}，
则IM={x|x≠-3}，
又因为N={2，-3}，从而有(IM)∩N={2}.
(2)因为A∩B=A，所以A?B，
又因为A={2}，
所以a-1≤2≤a+5，
解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围是[-3，3].
【类题·通】
1.集合基本运算的方法
(1)定义法或维恩图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在维恩图中表示出来，借助维恩图观察求解.
(2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解.
2.集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法
(1)不含字母参数：直接将集合中的不等式解出，在数轴上求解.
(2)含有字母参数：若字母的取值影响到不等式的解，要先对字母分类讨论，再求解不等式，然后在数轴上求解.
【加练·固】
1.设集合U={x|x是小于20的质数}，A，B?U，(UA)∩B={3，5}，
(UB)∩A={11，13}，(UA)∩(UB)={7，17}，则集合A，B分别为 ( )
A.A={1，2，11，13，19}，B={1，2，3，5，19}
B.A={2，11，13，19}，B={2，3，5，19}
C.A={3，11，13，19}，B={2，3，5，19}
D.A={2，11，13，17，19}，B={2，3，5，7，19}
【解析】选B.由题意画出Venn图如下，
所以A∩B={2，19}，
所以A={2，11，13，19}.B={2，3，5，19}.
2.若集合A={x|-3≤x≤4}和B={x|2m-1≤x≤m+1}.
(1)当m=-3时，求集合(RA)∩B.
(2)当A∩B=B时，求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m=-3时，集合RA={x|x<-3或x>4}，B={x|-7≤x≤-2}.
所以(RA)∩B={x|-7≤x<-3}.
(2)因为A∩B=B，所以B?A，
当2m-1>m+1，即m>2时，B=，满足B?A，
当2m-1≤m+1，即m≤2时，B≠，
若B?A，则
解得-1≤m≤3，又m≤2，所以-1≤m≤2，
综上所述，m的取值范围是m≥-1.
素养三 逻辑推理
角度1 判断集合间的关系
【典例5】集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，P={y|y=3n+1，n∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是 ( )
A.SPM B.S=PM
C.SP=M D.P=MS
【解析】选C.运用整数的性质求解.集合M，P表示的是被3整除余1的整数集，集合S表示的是被6整除余1的整数集.
【类题·通】
1.集合间关系的判断方法
(1)定义法：根据定义直接判断元素与集合间的关系，得出集合间的关系.
(2)图示法：利用数轴或Venn图表示出相应的集合，根据图示直观地判断.
2.求解集合间关系问题的两个注意事项
(1)解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时遵循“不重不漏”的原则，且对每类情况都要给出问题的解答.
(2)对于两集合A，B，当A?B时，不要忽略A=.
【加练·固】
已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.A={x∈R|x2-3x+2=0}={1，2}，
B={x∈N|0因为A?C?B，所以集合C可以为
{1，2}， {1，2，3}， {1，2，4}， {1，2，3，4}共4个.
角度2 充分条件和必要条件
【典例6】已知集合A={x∈R|2x+m<0}，B={x∈R|x<-1或x>3}，
(1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？
【解析】(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件，
则只要{x|x<-1或x>3}，
则只要-≤-1，即m≥2，故存在实数m≥2时，使x∈A是x∈B成立的充分条件.
(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件，
则只要{x|x<-1或x>3}，则这是不可能的，
故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件.
【类题·通】
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)集合法：写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度.
【加练·固】
判断m≥2是否是关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.
【解析】(1)因为m≥2，所以Δ=m2-4≥0，方程x2+mx+1=0有实根.
设x2+mx+1=0的两个实根为x1，x2，
由根与系数的关系知x1x2>0.所以x1，x2同号.
又因为x1+x2=-m≤-2，所以x1，x2同为负根.
所以m≥2?关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根.
(2)因为x2+mx+1=0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2=1，所以m-2=-(x1+x2)-2
=--2=-=-≥0，所以m≥2.
所以关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根?m≥2.
从而m≥2?关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根.
所以m≥2是关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.
角度3 全称量词命题和存在量词命题及其否定
【典例7】写出下列全称量词命题或存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：空集是任何一个非空集合的真子集.
(2)q：?x∈R，4x2>2x-1+3x2.
(3)r：?x∈{-2，-1，0，1，2}，|x-2|<2.
(4)s：所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.
【解析】(1)p：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集.
由p是真命题可知p是假命题.
(2)q：?x∈R，4x2≤2x-1+3x2，
因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1≥0，
所以当x=1时，4x2=2x-1+3x2.
由q是假命题可知q是真命题.
(3)r：?x∈{-2，-1，0，1，2}，︱x-2︱≥2.
因为当x=1时，︱x-2︱=1<2.
所以r是假命题.
(4)s：有的圆的圆心到其切线的距离不等于半径.由s是真命题可知s是假命题.
【类题·通】
1.全称量词命题和存在量词命题的判断
主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
2.全称量词命题和存在量词命题真假的判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)判断存在量词命题“?x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性.若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题.
【加练·固】
写出下列全称量词命题或存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p：?x∈{3，5，7}，3x+1是偶数.
(2)q：对任意x∈R，都有|x-2|+|x-4|>3.
(3)r：二次函数的图象是抛物线.
(4)s：在实数范围内，有些一元二次方程无解.
【解析】(1)p：?x∈{3，5，7}，3x+1不是偶数.
因为对集合{3，5，7}中的每一个值，都有3x+1是偶数.
p是真命题，所以p是假命题.
(2)q：?x∈R，|x-2|+|x-4|≤3.
因为当x=3时，|x-2|+|x-4|=2<3.
所以q是真命题.
(3)r：有的二次函数的图象不是抛物线.
由r是真命题可知r是假命题.
(4)s：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解.由s是真命题可知s是假命题.
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