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单元素养评价(二)
(第二章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若ab≠0且a
A.> B.a2C.a2>b2 D.-a>-b
【解析】选D.A.a=-3，b=2排除；
B.a=-1，b=1排除；C.a=1，b=2排除；
D正确.
2.若ax2-5x+3=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集
是 ( )
A.a>-2 B.a<-2
C.a>-2且a≠0 D.a>-
【解析】选C.因为ax2-5x+3=0是关于x的一元二次方程，所以a≠0，而不等式3a+6>0的解集是a>-2，所以a>-2且a≠0.
3.根据下列表格对应的值
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.02
0.01
0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解的范围应是 ( )
A.x<3.24 B.3.24C.3.253.26
【解析】选B.根据表格数据，由方程解的概念可得答案.
4.如果x是实数，那么使|x|≤2成立的必要不充分条件是 ( )
A.|x+1|≤1 B.|x+1|≤2
C.|x+1|≤3 D.|x-1|≤1
【解析】选C.|x|≤2?-2≤x≤2，
又因为|x+1|≤1?-2≤x≤0，
|x+1|≤2?-3≤x≤1，|x+1|≤3?-4≤x≤2，|x-1|≤1?0≤x≤2，
所以|x|≤2?|x+1|≤3.
5.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a= ( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.0.5
【解析】选B.由题意得=0，所以
所以a=-1.
6. 已知a，b分别满足a2-6a+4=0，b2-6a+4=0，且a≠b，则a2+b2= ( )
A.36 B.50 C.28 D.25
【解析】选C.由题意知a，b是方程x2-6x+4=0的两个根，
所以a+b=6，ab=4，所以a2+b2=(a+b)2-2ab=36-8=28.
7.已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R，则实数a的取值范围是 ( )
A.a<-或a>1 B.-C.-【解析】选D.a=1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，
由Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0，解得-综上可知，-8.已知正实数a，b满足4a+b=30，使得+取最小值时，实数对(a，b)
是 ( )
A.(5，10) B.(6，6)
C.(10，5) D.(7，2)
【解析】选A.因为a>0，b>0，
所以+=(4a+b)
=≥(5+2)=，当且仅当时取等号.即a=5，b=10.
9.已知4枝郁金香和5枝丁香的价格小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格大于24元.设2枝郁金香的价格为A元，3枝丁香的价格为B元，则A，B的大小关系为 ( )
A.A>B B.A=B
C.A【解析】选A.设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元，由已知，得
即
不等式①两边同乘以4，不等式②两边同乘以11，得
所以22x+11y>16x+20y.所以6x>9y， 即2x>3y.
故2枝郁金香的价格比3枝丁香的价格贵，即A>B.
10.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选B.不等式(x+y)≥9对任意正实数x，y恒成立，
则1+a++≥a+2+1≥9，
所以≥2或≤-4(舍去)，
所以正实数a的最小值为4.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11.在数轴上，A(x)，B(3)，且AB=，则 ( )
A.x=或-
B.x=-或
C.AB的中点C或
D.AB的中点C或
【解析】选AC.由题意AB=|x-3|=，
所以x-3=±，x=或-，所以AB中点对应的数为=或=.
12.下列四个命题，其中假命题为 ( )
A.?x∈R，x2-3x+2>0恒成立
B.?x∈Q，x2=2
C.?x∈R，x2+1=0
D.?x∈R，4x2>2x-1+3x2.
【解析】选ABCD.因为方程x2-3x+2=0，Δ=(-3)2-4×2>0，
所以当x>2或x<1时，x2-3x+2>0才成立，所以A为假命题.
当且仅当x=±时，x2=2，所以不存在x∈Q，使得x2=2，所以B为假命题.
对?x∈R，x2+1≠0，所以C为假命题.
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，
即当x=1时，4x2=2x-1+3x2成立，所以D为假命题.
13.若0A.a2+b2>2ab B.a<
C.b< D.b>a2+b2
【解析】选ABD.由于02ab，
又a+b=1，则0又a2+b2-b=(a+b)2-2ab-b
=1-2ab-b=a-2ab=a(1-2b)<0，则b>a2+b2.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上)
14.不等式||<1的解集为________.?
【解析】原不等式等价为|x+1|<|x-1|(x≠1)，
两边平方得，x2+2x+1答案：(-∞，0)
15.若关于x的不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞，a)∪(1，+∞)，则a的值为________.?
【解析】不等式tx2-6x+t2<0的解集为(-∞，a)∪(1，+∞)，
所以原不等式可化为t(x-a)(x-1)<0，即t[x2-(1+a)x+a]<0且t<0，
可得
所以a=2或-3，又∵a<0，∴a=-3.
答案：-3
16.已知集合A={x|x2-2x+a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是________. ?
【解析】因为1?{x|x2-2x+a>0}，
所以1∈{x|x2-2x+a≤0}，
即1-2+a≤0，所以a≤1.
答案：{a|a≤1}
17.已知关于x的不等式|x+2|-|x+3|>m，若不等式有解，则m的取值范围为________，若不等式无解，则m的取值范围为________. ?
【解析】令y=|x+2|-|x+3|
=
作出图象如图所示：
由图象知-1≤|x+2|-|x+3|≤1.
若不等式有解，m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可，所以m<1，
故m的取值范围是(-∞，1).
若不等式的解集为，m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值，
所以m≥1，故m的取值范围是[1，+∞).
答案：(-∞，1) [1，+∞)
四、解答题(本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.(12分)已知关于x，y的方程组的解集中只有一个元素，求实数k的值.
【解析】把y-kx+1=0变形为y=kx-1，
代入y2-2x=0化简得，k2x2-2(k+1)x+1=0，
由题意，Δ=4(k+1)2-4k2=0，
所以k=-.
19.(14分)解不等式或不等式组.
(1)<1.
(2)
【解析】(1)原不等式可化为(2x-3)(x+5)<(x+5)2，
所以(x+5)(x-8)<0，
所以原不等式的解集为(-5，8).
(2)不等式x+2>的解集为，
不等式2|x|-3≤0的解集为，所以原不等式组的解集为.
20.(14分)设x∈R，比较与1-x的大小.
【解析】作差：-(1-x)=，
①当x=0时，因为=0，所以=1-x；
②当1+x<0，即x<-1时，
因为<0，所以<1-x；
③当1+x>0且x≠0，即-10时，
因为>0，所以>1-x.
21.(14分)已知a>0，b>0，a+b=1，求证：+≥.
【证明】因为a>0，b>0，a+b=1，
所以[(2a+1)+(2b+1)]
=1+4++≥5+2=9，
又(2a+1)+(2b+1)=4，
所以+≥.
22.(14分)已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}，求k的值.
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围.
【解析】(1)因为不等式kx2-2x+6k<0的解集为{x|x<-3或x>-2}，
所以x1=-3与x2=-2是方程kx2-2x+6k=0(k≠0)的两根，
所以-==-3-2，所以k=-.
(2)若不等式的解集为R，即kx2-2x+6k<0恒成立，
则满足所以k<-，
所以k的取值范围是.
23.(14分)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
【解析】(1)设所用时间为t=(h)，
y=×2×+14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是
y=+x，x∈[50，100].(或y=+x，x∈[50，100]).
(2)y=+x≥26，
当且仅当=x，即x=18时，等号成立.
故当x=18时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
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考点突破·素养提升
素养一 数学运算
角度1 解方程与方程组
【典例1】关于x的方程x2-4x+k=0与2x2-3x+k=0有一个相同的根，求k的值.
【解析】设x2-4x+k=0的两根为α，β，
2x2-3x+k=0的两根为α，γ，则
①-③得：β-γ=⑤，
由②④得：αβ=2αγ⑥
当α=0时，由②得：k=0；
当α≠0时，由⑥得：β=2γ，
代入⑤得：β=5；把β=5代入①得，α=-1，
代入②得，k=-5，所以k=0或k=-5.
【类题·通】
求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，解题步骤是列方程组，解方程组.
【加练·固】
若方程x2+3x+k=0的两根之差为5，求k值.
【解析】设方程的两根为α，α+5，
由根与系数的关系得：α+α+5=-3，
所以α=-4，所以α+5=1，
所以k=α(α+5)=-4×1=-4.
角度2 解不等式与不等式组
【典例2】在R上定义运算：=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为 ( )
A.- B.-
C. D.
【解析】选D.原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1，
即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立，
x2-x-1=-≥-，
所以-≥a2-a-2，-≤a≤.
【类题·通】
解决“恒成立”的基本方法是转化法，其基本步骤有两步，即分离与求最值，本题进行了巧妙的转化后，变成解一元二次不等式问题.
素养二 逻辑推理
角度1 不等式的性质及其应用
【典例3】(1)已知a，b满足等式x=a2+b2+20，y=4(2b-a)，则x，y满足的大小关系是 ( )
A.x≤y B.x≥y C.xy
(2)若<<0，则不等式：①a+b|b|；
③a2中，正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(3)若a，b>0，且P=，Q=，则P，Q的大小关系是 ( )
A.P>Q B.P【解析】(1)选B.x-y=a2+b2+20-4(2b-a)=(a+2)2+(b-4)2≥0，所以x≥y.
(2)选B.由<<0，得ab>0，b故a+b<0|a|，因此①正确，②错
误，③错误.又+-2=>0，因此④正确.
(3)选D.P2-Q2=-(a+b)
=-≤0，所以P2≤Q2，即P≤Q.
【类题·通】
不等式的性质是进行不等关系的推理运算的理论基础，应注意准确应用，保证每一步的推理都有根据.要熟练掌握不等式性质应用的条件，以防推理出错.
【加练·固】
如果a，b，c满足cA.ab>ac B.c(b-a)>0
C.cb2【解析】选C.c0，c<0.
对于A：?ab>ac，A正确.
对于B：?c(b-a)>0，B正确；
对于C：?cb2≤ab2，即C不一定成立.
对于D：ac<0，a-c>0?ac(a-c)<0，D正确.
角度2 均值不等式及其应用
【典例4】当x≥0时，求x+的最小值.
【解析】因为x+=(x+1)+-1，
又x≥0，所以x+1>0，>0，
所以x+1+≥2.当且仅当x+1=，
即x=-1时，x+取最小值2-1.
【类题·通】
利用均值不等式求最值的策略
【加练·固】
已知x>0，y>0，xy=10，求+的最小值.
【解析】因为x>0，y>0，xy=10，所以+≥2=2，当且仅当=，即x=2，y=5时，等号成立，
故+的最小值为2.
素养三 直观想象
角度 解绝对值不等式
【典例5】已知不等式|x+2|-|x+3|>m.
(1)若不等式有解.
(2)若不等式解集为R.
(3)若不等式解集为，分别求出m的范围.
【解析】方法一：因为|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(-2)，B(-3)距离的差.
即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|.
由图象知(|PA|-|PB|)max=1，
(|PA|-|PB|)min=-1.
即-1≤|x+2|-|x+3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(-∞，1).
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x+2|-|x+3|的最小值还小，即m<-1，m的范围为(-∞，-1).
(3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，+∞).
方法二：由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1，
|x+3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1，
可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(-∞，1).
(2)若不等式解集为R，则m∈(-∞，-1).
(3)若不等式解集为?，则m∈[1，+∞).
【类题·通】
解绝对值不等式的常用方法
(1)平方法.
(2)分情况讨论去绝对值法.
(3)利用绝对值的几何意义，借助数轴求解法.
(4)构造函数，利用图象求解法.
素养四 数学建模
角度 基本不等式的实际应用
【典例6】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
【解析】设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x+6y=36，即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S，则S=xy.
方法一：由于2x+3y≥2=2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax= m2，当且仅当2x=3y时，等号成立.
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.
方法二：由2x+3y=18，得x=9-y.
因为x>0，所以0因为00.所以S≤=.
当且仅当6-y=y，即y=3时，等号成立，此时x=4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.
【类题·通】
解决基本不等式的实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，解题时，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.
【加练·固】
某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运 ( )
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
【解析】选C.设二次函数为y=a(x-6)2+11.
又图象过点(4，7)，代入得7=a(4-6)2+11，
解得a=-1，所以y=-x2+12x-25.
设年平均利润为m，则m==-x-+12≤2，
当且仅当x=，即x=5时取等号.
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课件2张PPT。第二课 等式与不等式
